Feladatok

Informatika matematikai-logikai alapjai

Határozza meg az alábbi fogalmakat! Ahol lehet, adjon meg szinonimákat és példákat!

változó

formula

halmazok megadása konstruktív és deskriptív módszerrel

igazsághalmaz

értékelés

ekvivalens formulák

logikai törvény

a harmadik kizárásának logikai elve

az ellentmondásmentesség logikai elve

atomi formula

konjunkció, diszjunkció és negáció

implikáció és ekvivalencia

disztributivitás

De Morgan-féle törvények

univerzális és egzisztenciális kvantor

modus ponens szabály

teljes függvényrendszer

az implikáció teljes konjunktív és teljes diszjunktív normálformája

Oldja meg az alábbi feladatokat!

1. Állítsa elő logikai kapuáramkörök segítségével az implikációt mint logikai függvényt!

2. Döntse el, hogy az alábbi formulák közül melyik logikai azonosság. Hozza a bal oldalon szereplő formulákat egyszerűbb alakra és bizonyítsa be a logikai azonosságot!

(a) ( ( A ⊃ ( A ⊃ B) ) ∨. ⌝ A ) ~? ( A ⊃ B )

(b) ( ( A ⊃ ( A ⊃ B) ) ∨. A ) ~? ( A ⊃ B )

3. Döntse el, hogy az alábbi formulák közül melyik logikai törvény. Hozza a formulákat egyszerűbb alakra és bizonyítsa be a logikai törvényt!

(a) ⊨? ( ( A ⊃ B) ⊃ A ) ∨. A

(b) ⊨? ( ( A ⊃ B) ⊃ A ) ∨. ⌝A

4. Készítse el kézzel és számítógéppel az alábbi formulák közül az egyik formula Quine-táblázatát!

(a) ( ( A ⊃ B) ⊃ A ) ∨. ⌝A

(b) ( ( A ⊃ B) ⊃ A ) ∨. A

(c) ( ( A ⊃ B) ⊃ A ) ∨. A

(d) ( ( A ⊃ B) ⊃ A ) ∨. ⌝A

Programozás és algoritmikus gondolkodás

Készítse el az alábbi algoritmusokat megvalósító programokat!

A példákhoz használt online JavaScript interpreter:

Online JavaScript Interpreter by Peter Jipsen, Chapman University (January 2013).
http://math.chapman.edu/~jipsen/js/ (2018-12-12)

1. Egy henger sugara (r) és magassága (m) alapján számítsa ki a henger felszínét (A=?) és térfogatát (V=?) az alábbi értékekre:

r m A V
1 10 ? ?
2 12 ? ?
3 14 ? ?
... ... ? ?

Írassa ki az értékeket egymás alatt a fenti táblázatos formában 10 különböző hengerre!

Egy lehetséges megoldás: 

function felszin(r,m) {
 return 2*(r*r*Math.PI)+(2*r*Math.PI)*m;
 }

function terfogat(r,m) {
 return (r*r*Math.PI)*m;
 }

var r,m;

r=1;
m=10;

writeln("r m A V"); // táblázat fejléce
writeln("--------");

while(r<=10) {
 a=Math.round(felszin(r,m)*100)/100; // kerekítés
 v=Math.round(terfogat(r,m)*100)/100; // kerekítés
 writeln(r+" "+m+" "+a+" "+v);
 m+=2;
 r++;
 }


writeln("----------------------------------");

2. Írassa ki egy karakterlánc (pl. az "Indul a görög aludni" palindróma) betűit egymás alá, fordított sorrendben!

Két lehetséges megoldás: 

var s="Indul a görög aludni";
var i,j;

// első megoldás

 j=s.length;
for(i=0;i<s.length;i++) {
 j--;
 writeln(s.charAt(j));
 }

writeln("----------------------------------");

// második megoldás

for( j=s.length-1;j>=0;j--) {
 writeln(s.charAt(j));
 }

writeln("----------------------------------");

3. Hozzon létre egy tömböt, amely 10 különböző gyümölcsnevet tartalmaz! Írassa ki a gyümölcsneveket és a gyümölcsnevek betűinek számát (pl. 'alma' esetében 4) ábécében elrendezve, egymás alá!

Egy lehetséges megoldás: 

var gyumi=[
"banán",
"narancs",
"citrom",
"barack",
"dinnye",
"körte",
"mogyoró",
"alma",
"szilva",
"dió"
];
var i;

gyumi.sort();

for(i=0;i<gyumi.length;i++) {
 writeln(gyumi[i]+" "+gyumi[i].length);
 }

writeln("----------------------------------");

Önállóan elkészítendő programok

1.a) Írassa ki az alábbi sorozat első 10 elemét! (2.44 a) alapján, vö. Balassa 1996: 35)

30, 27, 24, 21, 18, ...

1.b) Mennyi azoknak a 100 és 500 közé eső egész számoknak az összege, amelyek 5-tel osztva hármat adnak maradékul? (5.2, vö. Balassa 1996: 52)

2.a) Írassa ki az alábbi sorozat első 10 elemét! (2.44 b), vö. Balassa 1996: 35)

3, 6, 12, 24, ...

2.b) Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul egyet adnak! (5.4, vö. Balassa 1996: 52)

3.a) Írassa ki az alábbi sorozat első 10 elemét! (2.44 c), vö. Balassa 1996: 35)

0, 1 , 2 , 3 , ...
2 3 4

3.b) Határozza meg azoknak a 100-nál kisebb természetes számokat, amelyek 5-tel osztva maradékul 3-at és 7-tel osztva maradékul 2-t adnak!

4.a) Írassa ki az alábbi sorozat első 10 elemét! (2.44 d), vö. Balassa 1996: 35)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

4.b) Melyik az a 300-nál kisebb természetes szám, amely páros, továbbá 3-mal, 5-tel és 7-tel osztható?

5.a) Adott a sorozat általános tagja. Írassa ki a sorozat első 10 elemét! (2.45 a), vö. Balassa 1996: 35)

an = − n+1
n

5.b) Írassa ki a 10-nél nagyobb és 50-nél kisebb prímszámokat!

6.a) Adott a sorozat általános tagja. Írassa ki a sorozat első 10 elemét! (2.45 b), vö. Balassa 1996: 35)

an = 2 − 1
n

6.b) Írassa ki a 10-nél kisebb természetes számok faktoriálisát!

7.a) Írassa ki az alábbi sorozat első 10 elemét!

1, 2, 4, 7, 11, 16, ...

7.b) Az n ∈ ℕ természetes szám milyen értékeinél lesz egész szám az alábbi kifejezés értéke az n ∈ [4,30] intervallumban? (5.74 alapján, vö. Balassa 1996: 60)

(5*n+9)
(n−3)

8.a) Írassa ki az alábbi sorozat első 10 elemét!

1, −2, 3, −4, 5, −6, ...

8.b) Melyik az a háromjegyű szám, amelyből 7-et elvéve 7-tel osztható számot, 8-at elvéve 8-cal osztható számot, 9-et elvéve 9-cel osztható számot kapunk? (5.68 alapján, vö. Balassa 1996: 60)

9.a) Adott a sorozat általános tagja. Írassa ki a sorozat első 10 elemét! (2.45 c), vö. Balassa 1996: 35)

an = sin(n* π )
2
(Megjegyzés: a JavaScript nyelvben a π értékét Math.PI módon kaphatjuk meg, a szinuszfüggvényt Math.sin(x) formában írhatjuk le.)

9.b) Van-e gyöke az alábbi egyenletnek a 20-nál kisebb természetes számok körében?

4*x3 − 6*x2 + x = 10

10.a) Adott a sorozat általános tagja. Írassa ki a sorozat első 10 elemét! (2.45 d), vö. Balassa 1996: 35)

a1=0, a2=1, an+1 = an-1 + an , n>1
2
10.b) Írassa ki az alábbi sorozat első 10 elemének összegét!

a1 = 1, an = an-1 + 3 (n>1)

11.a) Írassa ki az alábbi sorozat első 10 elemét!

1, 4, 9, 16, 25, ...

11.b) Határozza meg 385 pozitív osztóinak összegét! (5.71 alapján, vö. Balassa 1996: 60)

12.a) Írassa ki az alábbi sorozat első 10 elemét!

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

12.b) Írassa ki az alábbi sorozat első 10 elemének összegét!

a1 = 1, an = 2*an-1 - 4 (n>1)

13.a) Adott a sorozat általános tagja. Írassa ki a sorozat első 10 elemét! (2.45 e), vö. Balassa 1996: 35)

a1=5, a2=−1, an+1 = an-1 + an , n>1
2

13.b) Adja össze az 5-nél nagyobb és 26-nál kisebb összetett számokat!

14.a) Adott a sorozat általános tagja. Írassa ki a sorozat első 10 elemét! (2.45 f), vö. Balassa 1996: 35)

an = 1 [( 1+√5 )n − ( 1−√5 )n]
√5 2 2
(Megjegyzés: a JavaScript nyelvben a négyzetgyök-függvényt Math.sqrt(x), a hatványfüggvényt pedig Math.pow(x,n) formában írhatjuk le.)

14.b) Határozza meg azokat a négyjegyű pozitív egész számokat, amelyek oszthatók minden egyjegyű számmal! (5.31 alapján, vö. Balassa 1996: 56)

A feladatokhoz felhasznált irodalom:

Balassa Zsófia (szerk.) 1996. Matematika feladatgyűjtemény az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára. Budapest: Nemzeti Tankönyvk.

Boda István, 2018.