Mátrixaritmetikai műveletek gyakorlása

Az alábbi program segítségével 3*3 típusú kvadratikus mátrixokon gyakorolhatjuk a tanult mátrixaritmetikai műveleteket.

Például a következő műveleteket hajthatjuk végre:

(1) tetszőleges számú mátrix szorzatának kiszámítása

• az A és B mátrix elemei tetszőlegesen megváltoztathatók;
  • mind az A, mind a B mátrixok elemei véletlenszerűen is beállíthatók;
• a számok beírása után kattintsunk a "SZORZÁS" gombra;
• a szorzatmátrix (A*B) átmásolható az A mátrixba az "A*B→A" gombra kattintva;
  • a B mátrix elemeit újból megváltoztatva, majd összeszorozva az A mátrix tartalmával már három mátrix szorzatát tudjuk kiszámolni (az A*B szorzatmátrixot jobbról szorozva az új mátrixszal);
  • a szorzatmátrixot újra átmásolva az A mátrixba, majd ismételve az előző lépést, tetszőleges számú mátrix szorzata kiszámítható (A*B₁*B₂*...);
• a szorzatmátrix (A*B) átmásolható a B mátrixba az "A*B→B" gombra kattintva;
  • az A mátrix elemeit újból megváltoztatva, majd összeszorozva a B mátrix tartalmával már három mátrix szorzatát tudjuk kiszámolni (az A*B szorzatmátrixot balról szorozva az új mátrixszal);
  • a szorzatmátrixot újra átmásolva az A mátrixba, majd ismételve az előző lépést, tetszőleges számú mátrix szorzata kiszámítható (...*A₂*A₁*B).

(2) az A mátrix rangjának, determinánsának és inverzének meghatározása

• írjuk be az A mátrixba egyenként a mátrix elemeit (vagy kattintsunk a véletlen számok→A gombra);
• ! állítsuk be a B mátrix elemeit úgy, hogy az algoritmus kezdetén a B mátrix mindig egységmátrix legyen (ha szükséges, kattintsunk az E→B gombra);
• ha az A mátrixot és a B mátrixot már megfelelően beállítottuk, szorozzuk össze őket (kattintsunk a SZORZÁS (A*B) gombra);
  ezzel elérjük, hogy az A*B szorzatmátrixba beíródnak az A mátrix elemei;
• elemi sortranszformációk végrehajtásával alakítsuk át a mátrixot felső vagy alsó háromszögmátrixszá;
  • a főátlóban a zérustól különböző elemek száma megadja a mátrix rangját;
  • ha a főátlóban minden elem zérustól különböző, akkor a determináns értékét úgy kapjuk meg, hogy
    • a főátlóban levő elemeket összeszorozzuk, és
    • az így kapott szorzatot megszorozzuk a determináns szorzójának reciprokával;
  • ha a főátlóban előfordul zérus elem, akkor a determináns értéke zérus;
• ha a főátlóban minden elem zérustól különböző, akkor elemi sortranszformációk végrehajtásával alakítsuk tovább a mátrixot úgy, hogy végül egységmátrixot kapjunk;
  • a determináns értékét ekkor a determináns szorzójának reciproka adja meg;
  • a kiinduló A mátrix A⁻¹ inverz mátrixát a B mátrix adja meg; ezt ellenőrizzük úgy, hogy
    • az A mátrixba visszaírjuk vagy visszamásoljuk az eredeti mátrix elemeit (utóbbi esetben kattintsunk az (A*B)→A gombra);
    • az A mátrixot és a B mátrixot összeszorozzuk;
    • ha az A*B szorzatmátrix egységmátrix, akkor a B mátrix valóban az A mátrix inverze. (Ha az átalakítások során tizedestörtek jelentek meg, akkor elképzelhető, hogy az egységmátrix egyes elemei nem pontosan 0, ill. 1 értékűek. Ilyen esetekben a KEREKÍTÉS (4 tizedesjegyre) gombra kattintva ellenőrizhető, hogy a mátrix elemei 4 tizedesjegy pontossággal megegyeznek-e az egységmátrix megfelelő elemeivel.)

Jegyezzük meg, hogy ha az A mátrixon egy elemi sortranszformációt végrehajtunk, akkor

• a használt sortranszformáció kódja (és S_ij, valamint S_i(λ) sortranszformációk esetén a determináns szorzója) automatikusan beíródik a "Használt sortranszformációk" alatti szövegterületre;
• a használt sortranszformáció a B mátrixon is automatikusan végrehajtódik; tehát
  • ha az algoritmus kezdetén (amikor elkezdtük az A mátrix átalakítását) a B mátrix egységmátrix volt, akkor
  • az algoritmus végén (amikor az A mátrixot egységmátrixszá alakítottuk) a B mátrixban a kiinduló A mátrix inverz mátrixát kapjuk meg.

Ha csak olyan elemi sortranszformációkat hajtunk végre, amely nem vezet törtekhez (sem az A, sem a B mátrixban), akkor az A mátrixot mindig olyan diagonális mátrix alakra hozhatjuk, amelyben a főátlóban minden elem megegyező. Legyen ez az elem d∈ℤ (d≠0). Ekkor a B mátrix az eredeti A mátrix inverz mátrixának 1/d szerese lesz (azaz A⁻¹=B/d), és csak egész számokat tartalmaz.

---

A = 

i= j=

i= λ= /

i= j= λ= /

Használt sortranszformációk (determináns szorzója | reciproka:  | )

B = 

i= j=

i= λ= /

i= j= λ= /

Használt oszloptranszformációk (determináns szorzója | reciproka:  | )

A*B =