Matematika 1 - Gyakorló feladatok

Gyakorló feladatok (vö. Veressné 1996: 35-39):

Adja meg az alábbi sorozatok elemeinek a kiszámítási módját. Próbálja meg mind rekurzívan, mind képlettel megadni a sorozat általános elemét. Írja fel a sorozatok első néhány tagját a megadott elemeken kívül.

Ismétlés:
Az 's₁' kezdőtaggal rendelkező és 'd' differenciájú számtani sorozat általános tagja:
    s_n=s_n−1+d (n∈ℕ⁺, n≥2)
    s_n=s₁+(n−1)*d (n∈ℕ⁺)
A számtani sorozat első 'n' tagjának összege:
    s₁+s₂+...+s_n=n*(s₁+s_n)/2

(a0) 1, 2, 3, 4, ... (állandó különbségű vagy számtani sorozat)

(a1) 2, 5, 8, 11, ...

(a2) 3, 6, 9, 12, ...

(a3) 1, 3, 6, 10, 15, ... (állandó különbségű vagy számtani sorozat elemeinek összege)

(b1) 1, 2, 4, 7, 11, ... (egyenletesen változó különbségű vagy többletes sorozat)

(1) megoldás a sorozat általános elemének rekurzív megadásával: s₁=1, s_n=s_n−1+(n−1) (n>1)
(2) megoldás a sorozat általános elemének képlettel történő megadásával:
    s₁=1
    s₂=s₁+1
    s₃= s₂+2= s₁+(1+2)
    s₄= s₃+3= s₁+(1+2+3)
    ...
    s_n= s_n−1+(n−1)= s₁+(1+2+3+...+n−1)
miatt (ld. a számtani sorozat összegképletét): s_n= s₁+(n−1)*(1+n−1)/2= 1+n*(n−1)/2

(b2) 1, 4, 9, 16, 25, ...

Ismétlés:
Az 's₁' kezdőtaggal rendelkező és 'q' kvóciensű mértani sorozat általános tagja:
    s_n=s_n−1*q (n∈ℕ⁺, n≥2)
    s_n=s₁*qⁿ⁻¹ (n∈ℕ⁺)
A mértani sorozat első 'n' tagjának összege (q≠1 esetén):
    s₁+s₂+...+s_n=s₁*(qⁿ−1)/(q−1)

(c1) 3, 6, 12, 24, ... (arányosan változó különbségű sorozat)

(1) megoldás a sorozat általános elemének rekurzív megadásával:
    s₁=3
    s₂=6
    s_n=s_n−1+2*(s_n−1−s_n−2)= 3*s_n−1−2*s_n−2 (n>2)
(2) megoldás a sorozat általános elemének képlettel történő megadásával:
    s₁=3
    s₂=s₁+3
    s₃=s₂+2*3=s₁+(3+2*3)
    s₄= s₃+2*2*3= s₁+(3+2*3+2*2*3)= s₁+(3+2*3+2²*3)
    ...
    s_n= s_n−1+2⁽ⁿ⁻²⁾*3= s₁+(3+2*3+2²*3+...+2ⁿ⁻²*3)
miatt (ld. a mértani sorozat összegképletét): s_n= s₁+3*(2ⁿ⁻¹−1)/(2−1)= 3+3*(2ⁿ⁻¹−1)= 3*2ⁿ⁻¹

(c2) 1, 2, 4, 5, 7, 8, ... (periodikusan változó különbségű sorozat)

(d1) 1, 2, 4, 8, 16, ... (állandó hányadosú vagy mértani sorozat)

(d2) 1, 3, 7, 15, 31, ... (állandó hányadosú vagy mértani sorozat összege)

(d3) 1, 1/3, 1/9, 1/27, ...

(d4) 1, −3, 9, −27, ... (váltakozó előjelű vagy alternáló sorozat)

(e) 1, 2, 6, 24, 120, ... (egyenletesen változó hányadosú sorozat)

(f1) 1, 2, 4, 1, 2, 4, ... (periodikus sorozat)

(f2) 1, 2, 4, 4, 2, 1, 1, 2, 4, ... (periodikus sorozat)

(g) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... (Fibonacci-sorozat)

(h1) 0, 1/2, 2/3, 3/4, ... (összetett sorozat)

(h2) 1, -10, 2, -8, 3, -6, ...

Számítsa ki és írja fel egy táblázatban az alábbi sorozatok első 10 tagját! Vizsgálja meg a megadott sorozatok tulajdonságait!^⇒

(a1) s_n=n/(n+3)

(a2) s_n=−(n+1)/n

(b) s_n=2−1/n

(c) s_n=sin(n*π/2)

(d) s₁=0, s₂=1, s_n+1=(s_n−1+s_n)/2 (n>1)

(e) s₁=5, s₂=−1, s_n+1=(s_n−1+s_n)/2 (n>1)