Matematika 1 - Gyakorló feladatok

Gyakorló feladatok (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 90; Veress 1996: 35; Szászné Virányi - Brindza 1996: 39-41):

Bizonyítsa be a megadott sorozatokra teljes indukcióval az alábbi állításokat!^⇒

(a) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=3
s_n=s_n−1+3 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=3*n (n∈ℕ⁺)
teljesül. (A szorzás ismételt összeadás!)

(b) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=5
s_n=s_n−1+4 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=4*(n−1)+5 (n∈ℕ⁺)
teljesül. (A számtani sorozat n-ik eleme.)

(c1) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=3
s_n=3*s_n−1 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=3ⁿ (n∈ℕ⁺)
teljesül. (A hatványozás ismételt szorzás!)

(c2) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=3
s_n=2*s_n−1 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=3*2ⁿ⁻¹ (n∈ℕ⁺)
teljesül. (A mértani sorozat n-ik eleme.)

(d) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=1
s_n=2*s_n−1+1 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=2ⁿ−1 (n∈ℕ⁺)
teljesül.

(e) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=1
s_n=s_n−1+(2*n−1) (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=n² (n∈ℕ⁺)
teljesül.

(1) Az állítás n=1-re igaz:
    s₁= 1²= 1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
    s_k= k²
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki s_k+1 értékét:
    s_k+1= s_(k+1)−1+[2*(k+1)−1]= s_k+(2*k+1)
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe s_k értékét az indukciós feltevés alapján:
    s_k+1= k²+(2*k+1)
Ezután számoljunk :)
    s_k+1=
    k²+(2*k+1)=
    k²+2*k+1=
    (k+1)²
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott s_n=n² összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.

(f) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=1
s_n=s_n−1+n (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=n*(n+1)/2 (n∈ℕ⁺)
teljesül. (A számtani sorozat összege.)

(g) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=1
s_n=s_n−1+n² (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=n*(n+1)*(2*n+1)/6 (n∈ℕ⁺)
teljesül.

(1) Az állítás n=1-re igaz:
    s₁= 1*(1+1)*(2*1+1)/6= 1*2*3/6= 1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
    s_k= k*(k+1)*(2*k+1)/6
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki s_k+1 értékét:
    s_k+1= s_(k+1)−1+(k+1)²= s_k+(k+1)²
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe s_k értékét az indukciós feltevés alapján:
    s_k+1= k*(k+1)*(2*k+1)/6+(k+1)²
Ezután számoljunk :)
    s_k+1=
    k*(k+1)*(2*k+1)/6+(k+1)²=
    k*(k+1)*(2*k+1)/6+6*(k+1)²/6=
    (k+1)*[k*(2*k+1)+6*(k+1)]/6=
    (k+1)*(2*k²+k+6*k+6)/6=
    (k+1)*(2*k²+7*k+6)/6=^*
    (k+1)*(k+2)*(2*k+3)/6
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott s_n=n*(n+1)*(2*n+1)/6 összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.
^* kiegészítés:
    2*k²+7*k+6=
    (2*k²+4*k)+(3*k+6)=
    (k+2)*2*k+(3*k+6)=
    (k+2)*2*k+(k+2)*3=
    (k+2)*(2*k+3)

(h) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=1
s_n=s_n−1+(2*n−1)² (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=n*(4*n²−1)/3 (n∈ℕ⁺)
teljesül.

(1) Az állítás n=1-re igaz:
    s₁= 1*(4*1²−1)/3= (4−1)/3= 1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
    s_k= k*(4*k²−1)/3
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki s_k+1 értékét:
    s_k+1= s_(k+1)−1+[2*(k+1)−1]²= s_k+(2k+1)²
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe s_k értékét az indukciós feltevés alapján:
    s_k+1= k*(4*k²−1)/3+(2*k+1)²
Ezután számoljunk :)
    s_k+1=
    k*(4*k²−1)/3+(2*k+1)²=
    k*(4*k²−1)/3+3*(2*k+1)²/3=
    [k*(2*k+1)*(2*k−1)+3*(2*k+1)²]/3=
    (2*k+1)*[k*(2*k−1)+3*(2*k+1)]/3=
    (2*k+1)*(2*k²−k+6*k+3)/3=
    (2*k+1)*(2*k²+5*k+3)/3=^*
    (2*k+1)*(k+1)*(2*k+3)/3=
    (k+1)*(2*k+1)*(2*k+3)/3=
    (k+1)*(2*k+2−1)*(2*k+2+1)/3=
    (k+1)*[2*(k+1)−1]*[2*(k+1)+1]/3=
    (k+1)*[4*(k+1)²−1]/3
    Megjegyzés: a levezetéskor felhasználtuk az (a²−b²)=(a−b)*(a+b) algebrai azonosságot.
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott s_n=n*(4*n²−1)/3 összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.
^* kiegészítés:
    2*k²+5*k+3=
    (2*k²+2*k)+(3*k+3)=
    (k+1)*2*k+(k+1)*3=
    (k+1)*(2*k+3)

(i) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=2
s_n=s_n−1+n*(n+1) (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=n*(n+1)*(n+2)/3 (n∈ℕ⁺)
teljesül.

(j) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=4
s_n=s_n−1+n*(3*n+1) (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=n*(n+1)² (n∈ℕ⁺)
teljesül.

(k) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=1/2
s_n=s_n−1+1/[n*(n+1)] (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=n/(n+1) (n∈ℕ⁺)
teljesül.

(l) Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon:
s₁=1
s_n=s_n−1+n³ (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
s_n=n²*(n+1)²/4 (n∈ℕ⁺)
teljesül.

(1) Az állítás n=1-re igaz:
    s₁= 1²*(1+1)²/4= 2²/4= 1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
    s_k= k²*(k+1)²/4
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki s_k+1 értékét:
    s_k+1= s_k+1−1+(k+1)³= s_k+(k+1)³
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe s_k értékét az indukciós feltevés alapján:
    s_k+1= (k²*(k+1)²/4)+(k+1)³
Ezután számoljunk :)
    s_k+1=
    (k²*(k+1)²/4)+(k+1)³=
    k²*(k+1)²/4+4*(k+1)³/4=
    (k+1)²*[k²+4*(k+1)]/4=
    (k+1)²*[k²+4*k+4)]/4=
    (k+1)²*(k+2)²/4
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott s_n=n²*(n+1)²/4 összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.

[kieg.] Bizonyítsa be teljes indukcióval az alábbi állításokat!

(a1) 6|n³−n (n∈ℕ)

A bizonyításhoz szükségünk van az oszthatóság fogalmára:
Egy tetszőleges 'n' szám akkor és csak akkor osztható egy 'k' természetes számmal, ha létezik olyan 'p' természetes szám, hogy n=p*k teljesül.
(Például n=12 osztható k=3-mal, mert p=4 esetén 12=4*3 teljesül.)
Ezek után a teljes indukciós bizonyítás a következő:
(1) n=1-re az állítás fennáll, mert 1³−1=0 nyilvánvalóan osztható 3-mal (0=0*3 teljesül).
(2.1) Tegyük fel (indukciós feltevés), hogy n=k-ra az állítás fennáll, azaz létezik olyan 'q' természetes szám, amelyre k³−k=q*6 teljesül.
(2.2) Számoljuk ki n=k+1-re a vizsgált kifejezés, azaz n³−n értékét:
(k+1)³−(k+1)=
(k³+3*k²+3*k+1)−(k+1)=
k³−k+3*k²+3*k+1−1=
(k³−k)+(3*k²+3*k)=
(k³−k)+3*k*(k+1)=
6*q+3*k*(k+1)
Mivel két egymást követő természetes szám közül az egyik biztosan páros, ezért k*(k+1) biztosan osztható 2-vel, azaz van olyan 'r' természetes szám, amelyre k*(k+1)=r*2 teljesül. Ezt helyettesítsük be a fenti eredménybe:
(k+1)³−(k+1)=
6*q+3*2*r=
6*q+6*r=
6*(q+r)
Mivel (q+r) természetes szám, (k+1)³−(k+1) osztható 6-tal, vagyis az állítás a 'k' természetes számról öröklődött a 'k+1' természetes számra.
(3) A bizonyítandó állítás tehát minden természetes számra teljesül.

(a2) 6|(n²+5)*n (n∈ℕ)

(b1) 5|7ⁿ−2ⁿ (n∈ℕ)

(b2) 5|2^4*n+1+3 (n∈ℕ)

(c1) 3|7ⁿ−1 (n∈ℕ)

(c2) 4|9ⁿ−5ⁿ (n∈ℕ)

(d) 33|46ⁿ−13ⁿ (n∈ℕ)

[kieg.] Bizonyítsa be teljes indukcióval az alábbi állításokat!

(a.1) n+1≤2ⁿ (n∈ℕ, n≥4)

(a.2) 3*n<2ⁿ (n∈ℕ, n≥4)

(a.3) 2*n+1≤2ⁿ (n∈ℕ, n≥3)