Matematika 1 - Gyakorló feladatok


A természetes számfogalom. Peano-axiómák, a teljes indukció.

Gyakorló feladatok (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 90; Veress 1996: 35; Szászné Virányi - Brindza 1996: 39-41):

Bizonyítsa be a megadott sorozatokra teljes indukcióval az alábbi állításokat!

(a) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=3
sn=sn−1+3 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=3*n (n∈ℕ+)
teljesül. (A szorzás ismételt összeadás!)

(b) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=5
sn=sn−1+4 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=4*(n−1)+5 (n∈ℕ+)
teljesül. (A számtani sorozat n-ik eleme.)

(c1) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=3
sn=3*sn−1 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=3n (n∈ℕ+)
teljesül. (A hatványozás ismételt szorzás!)

(c2) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=3
sn=2*sn−1 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=3*2n−1 (n∈ℕ+)
teljesül. (A mértani sorozat n-ik eleme.)

(d) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=2*sn−1+1 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=2n−1 (n∈ℕ+)
teljesül.

(e) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=sn−1+(2*n−1) (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n2 (n∈ℕ+)
teljesül.

(1) Az állítás n=1-re igaz:
    s1= 12= 1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
    sk= k2
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki sk+1 értékét:
    sk+1= s(k+1)−1+[2*(k+1)−1]= sk+(2*k+1)
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe sk értékét az indukciós feltevés alapján:
    sk+1= k2+(2*k+1)
Ezután számoljunk :)
    sk+1=
    k2+(2*k+1)=
    k2+2*k+1=
    (k+1)2
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott sn=n2 összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.

(f) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=sn−1+n (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n*(n+1)/2 (n∈ℕ+)
teljesül. (A számtani sorozat összege.)

(g) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=sn−1+n2 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n*(n+1)*(2*n+1)/6 (n∈ℕ+)
teljesül.

(1) Az állítás n=1-re igaz:
    s1= 1*(1+1)*(2*1+1)/6= 1*2*3/6= 1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
    sk= k*(k+1)*(2*k+1)/6
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki sk+1 értékét:
    sk+1= s(k+1)−1+(k+1)2= sk+(k+1)2
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe sk értékét az indukciós feltevés alapján:
    sk+1= k*(k+1)*(2*k+1)/6+(k+1)2
Ezután számoljunk :)
    sk+1=
    k*(k+1)*(2*k+1)/6+(k+1)2=
    k*(k+1)*(2*k+1)/6+6*(k+1)2/6=
    (k+1)*[k*(2*k+1)+6*(k+1)]/6=
    (k+1)*(2*k2+k+6*k+6)/6=
    (k+1)*(2*k2+7*k+6)/6=*
    (k+1)*(k+2)*(2*k+3)/6
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott sn=n*(n+1)*(2*n+1)/6 összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.
* kiegészítés:
    2*k2+7*k+6=
    (2*k2+4*k)+(3*k+6)=
    (k+2)*2*k+(3*k+6)=
    (k+2)*2*k+(k+2)*3=
    (k+2)*(2*k+3)

(h) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=sn−1+(2*n−1)2 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n*(4*n2−1)/3 (n∈ℕ+)
teljesül.

(1) Az állítás n=1-re igaz:
    s1= 1*(4*12−1)/3= (4−1)/3= 1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
    sk= k*(4*k2−1)/3
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki sk+1 értékét:
    sk+1= s(k+1)−1+[2*(k+1)−1]2= sk+(2k+1)2
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe sk értékét az indukciós feltevés alapján:
    sk+1= k*(4*k2−1)/3+(2*k+1)2
Ezután számoljunk :)
    sk+1=
    k*(4*k2−1)/3+(2*k+1)2=
    k*(4*k2−1)/3+3*(2*k+1)2/3=
    [k*(2*k+1)*(2*k−1)+3*(2*k+1)2]/3=
    (2*k+1)*[k*(2*k−1)+3*(2*k+1)]/3=
    (2*k+1)*(2*k2−k+6*k+3)/3=
    (2*k+1)*(2*k2+5*k+3)/3=*
    (2*k+1)*(k+1)*(2*k+3)/3=
    (k+1)*(2*k+1)*(2*k+3)/3=
    (k+1)*(2*k+2−1)*(2*k+2+1)/3=
    (k+1)*[2*(k+1)−1]*[2*(k+1)+1]/3=
    (k+1)*[4*(k+1)2−1]/3
    Megjegyzés: a levezetéskor felhasználtuk az (a2−b2)=(a−b)*(a+b) algebrai azonosságot.
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott sn=n*(4*n2−1)/3 összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.
* kiegészítés:
    2*k2+5*k+3=
    (2*k2+2*k)+(3*k+3)=
    (k+1)*2*k+(k+1)*3=
    (k+1)*(2*k+3)

(i) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=2
sn=sn−1+n*(n+1) (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n*(n+1)*(n+2)/3 (n∈ℕ+)
teljesül.

(j) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=4
sn=sn−1+n*(3*n+1) (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n*(n+1)2 (n∈ℕ+)
teljesül.

(k) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1/2
sn=sn−1+1/[n*(n+1)] (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n/(n+1) (n∈ℕ+)
teljesül.

(l) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=sn−1+n3 (n∈ℕ, n≥2)

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n2*(n+1)2/4 (n∈ℕ+)
teljesül.

(1) Az állítás n=1-re igaz:
    s1= 12*(1+1)2/4= 22/4= 1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
    sk= k2*(k+1)2/4
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki sk+1 értékét:
    sk+1= sk+1−1+(k+1)3= sk+(k+1)3
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe sk értékét az indukciós feltevés alapján:
    sk+1= (k2*(k+1)2/4)+(k+1)3
Ezután számoljunk :)
    sk+1=
    (k2*(k+1)2/4)+(k+1)3=
    k2*(k+1)2/4+4*(k+1)3/4=
    (k+1)2*[k2+4*(k+1)]/4=
    (k+1)2*[k2+4*k+4)]/4=
    (k+1)2*(k+2)2/4
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott sn=n2*(n+1)2/4 összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.

[kieg.] Bizonyítsa be teljes indukcióval az alábbi állításokat!

(a1) 6|n3−n (n∈ℕ)

A bizonyításhoz szükségünk van az oszthatóság fogalmára:
Egy tetszőleges 'n' szám akkor és csak akkor osztható egy 'k' természetes számmal, ha létezik olyan 'p' természetes szám, hogy n=p*k teljesül.
(Például n=12 osztható k=3-mal, mert p=4 esetén 12=4*3 teljesül.)
Ezek után a teljes indukciós bizonyítás a következő:
(1) n=1-re az állítás fennáll, mert 13−1=0 nyilvánvalóan osztható 3-mal (0=0*3 teljesül).
(2.1) Tegyük fel (indukciós feltevés), hogy n=k-ra az állítás fennáll, azaz létezik olyan 'q' természetes szám, amelyre k3−k=q*6 teljesül.
(2.2) Számoljuk ki n=k+1-re a vizsgált kifejezés, azaz n3−n értékét:
(k+1)3−(k+1)=
(k3+3*k2+3*k+1)−(k+1)=
k3−k+3*k2+3*k+1−1=
(k3−k)+(3*k2+3*k)=
(k3−k)+3*k*(k+1)=
6*q+3*k*(k+1)
Mivel két egymást követő természetes szám közül az egyik biztosan páros, ezért k*(k+1) biztosan osztható 2-vel, azaz van olyan 'r' természetes szám, amelyre k*(k+1)=r*2 teljesül. Ezt helyettesítsük be a fenti eredménybe:
(k+1)3−(k+1)=
6*q+3*2*r=
6*q+6*r=
6*(q+r)
Mivel (q+r) természetes szám, (k+1)3−(k+1) osztható 6-tal, vagyis az állítás a 'k' természetes számról öröklődött a 'k+1' természetes számra.
(3) A bizonyítandó állítás tehát minden természetes számra teljesül.

(a2) 6|(n2+5)*n (n∈ℕ)

(b1) 5|7n−2n (n∈ℕ)

(b2) 5|24*n+1+3 (n∈ℕ)

(c1) 3|7n−1 (n∈ℕ)

(c2) 4|9n−5n (n∈ℕ)

(d) 33|46n−13n (n∈ℕ)

[kieg.] Bizonyítsa be teljes indukcióval az alábbi állításokat!

(a.1) n+1≤2n (n∈ℕ, n≥4)

(a.2) 3*n<2n (n∈ℕ, n≥4)

(a.3) 2*n+1≤2n (n∈ℕ, n≥3)


Boda István, 2021.