Tartalom, témakörök
- ⇐ megelőző témakörök (1-5)
- Állítások, logikai műveletek.⇒ (Kopasz 1996: 11-15; Borsodi 1972: 255-294)
- Gyakorló feladatok⇒
- Logikai azonosságok, logikai következtetések. Köznyelvi és matematikai tartalmú szövegek formalizálása.⇒ (Kopasz 1996: 15-20; Borsodi 1972: 294-314)
- Gyakorló feladatok⇒
- A halmazműveletek és a logikai műveletek kapcsolata. Kvantifikáció.⇒ (Kopasz 1996: 24-25; 26-29; Borsodi 1972: 314-320)
- Gyakorló feladatok⇒
- A természetes számfogalom. Peano-axiómák, a teljes indukció.⇒ (Brindza 1996: 61-65; Borsodi-Göndöcs 1970: 81-92)
- Gyakorló feladatok⇒
- A négy alapművelet elméleti megalapozása.⇒ (Brindza 1996: 65-72; Borsodi-Göndöcs 1970: 92-134)
- Az egész számok halmaza.⇒ (Pappné Ádám 1996: 73-82; Borsodi-Göndöcs 1970: 183-199)
- A racionális számok halmaza.⇒ (Pappné Ádám 1996: 82-95; Borsodi-Göndöcs 1970: 199-220)
- A valós számok halmaza.⇒ (Pappné Ádám 1996: 102; Borsodi-Göndöcs 1970: 221-235)
6.1. Kijelentések, állítások
Kijelentésen vagy állításon olyan kijelentő mondatot értünk, amely valamely személyről, tárgyról, dologról stb. megállapít valamit. Egy kijelentés logikai értéke (vagy igazságértéke) igaz (1) vagy hamis (0) lehet. (vö. Kopasz 1996: 11)
Egy kijelentésről mindig egyértelműen eldönthető, hogy az igazságértéke igaz vagy hamis.Egy kijelentés egy predikátumból ("állítmányból") és egy vagy több individuumnévből áll. Például tekintsük az alábbi kijelentést:
- Paks a Duna mellett fekszik.
- individuumnév: Paks
- predikátum: (vmi) fekszik (vmi mellett)
- individuumnév: Duna
Egy kijelentést formalizálhatunk úgy, hogy a kijelentés egyes összetevőit, és magát a kijelentést is betűkkel helyettesítjük.
- Ha egy kijelentést egy betűvel helyettesítünk, kijelentésváltozót kapunk. A fentiek értelmében a kijelentésváltozók logikai értéke 1 vagy 0 lehet. (Például bevezethetjük a 'p' kijelentésváltozót a következőképpen: p ⇋ "Paks a Duna mellett fekszik." Mivel Paks tényleg a Duna mellett fekszik, azaz a kijelentés igaz, tehát |p|=1 teljesül.)
- Az individuumneveket szintén helyettesíthetjük betűkkel, ekkor individuumváltozókat vagy röviden változókat kapunk. (Például bevezethetjük az 'a' és 'b' individuumváltozókat a ⇋ "Paks" és b ⇋ "Duna" módon.)
Jegyezzük meg, hogy általános iskolában a nyitott mondatok⇒ tanításakor az individuumváltozók jelölésére betűk helyett más szimbólumokat is szokás használni (például üres négyzeteket, köröket, háromszögeket stb.).- A predikátumot is helyettesíthetjük egy betűvel, azonban ekkor figyelembe kell vennünk (azaz valamilyen formában jelölnük kell) a predikátum és az individuumnevek kapcsolatát, az állítás vagy kijelentés belső szerkezetét. (Például bevezethetjük a 'P' szimbólumot P ⇋ "(vmi) fekszik (vmi mellett)" módon. Vegyük észre, hogy a (vmi) az alanyt, a (vmi mellett) a határozót mint mondatrészeket jelöli.)
A predikátumok kétértékű (logikai) függvények, esetükben az individuumneveket tartalmazó halmazok direkt szorzata a függvények értelmezési tartománya.⇒
Példák:
- Paks a Duna mellett fekszik.
- predikátum: P ⇋ "(vmi) fekszik (vmi mellett)"
- individuumnév: a ⇋ "Paks"
- individuumnév: b ⇋ "Duna"
- kijelentésváltozó, formalizált kijelentés: p ⇋ P(a,b)
- igazságérték: |p|=1 (p igaz, mert Paks tényleg a Duna mellett fekszik)
- Kata szomszédja Marinak.
- predikátum: Q ⇋ "(vki) szomszédja (vkinek)"
- individuumnév: u ⇋ "Kata"
- individuumnév: v ⇋ "Mari"
- kijelentésváltozó, formalizált kijelentés: q ⇋ Q(u,v)
- igazságérték: ha Kata tényleg a szomszédja Marinak, akkor |q|=1 (q igaz), egyébként |q|=0 (q hamis)
6.2. Nyitott mondatok
Ha egy kijelentésben egy vagy több individuumnevet individuumváltozókkal helyettesítünk, nyitott mondathoz jutunk. (A nyitott mondattal lényegében egyező értelemben használhatjuk az (elemi vagy atomi) formula terminust is. A továbbiakban, ha nem okoz félreértést, individuumváltozók helyett egyszerűen változókról fogunk beszélni.)
Egy nyitott mondat esetében minden individuumváltozó egy meghatározott alaphalmazból vehet fel értéket. Az alaphalmaz ebben az értelemben meghatározza az illető változó típusát.
Például formalizáljuk a p ⇋ "Paks a Duna mellett fekszik." kijelentést p ⇋ P(a,b) módon. Ekkor
- az 'a' változó lehetséges értékei városnevek lehetnek;
- a 'b' változó lehetséges értékei pedig folyónevek lehetnek.
Figyeljük meg, hogy P("Paks","Duna") igaz kijelentés, de például P("Győr","Tisza") hamis.
A P(a,b) nyitott mondat logikai értékét általános esetben csak akkor tudjuk meghatározni, ha ismerjük az 'a' és 'b' változók konkrét értékét, valamint a 'P' predikátum által meghatározott π relációt (azaz azokat az 'x' és 'y' elemeket, amelyekre (x,y)∈π, ahol π⇋{(x,y)|P(x,y) igaz} teljesül.). (Kivételt képeznek azok az esetek, amikor egy P(a,b) nyitott mondat a változók minden lehetséges értékére azonos (pl. igaz) logikai értéket ad, ami például logikai törvények vagy logikai azonosságok esetében teljesül.)
Ha a változók helyére különböző értékeket helyettesítünk, a nyitott mondat értéke különböző lehet (egyszer igaz, másszor hamis). Ilyen esetekben a nyitott mondat (vagy formula) értékeléséről beszélünk.
Egy nyitott mondat logikai értéke a benne szereplő változók értékétől függ.Vannak olyan nyitott mondatok, amelyek a változók minden lehetséges értékére⇒ igaz logikai értéket adnak; például az I osztály minden 'u' és 'v' tanulójára igaz, hogy "Ha az 'u' tanuló szomszédja a 'v' tanulónak, akkor a 'v' tanuló is szomszédja az 'u' tanulónak." A példa a tanulók közötti szomszédsági reláció egy ismert tulajdonságát (a reláció szimmetriáját) fejezi ki, ami az iskola univerzumban általános, logikai törvény.
Példák:
- Egy város a Duna mellett fekszik.
- predikátum: P ⇋ "(vmi) fekszik (vmi mellett)"
- változó: x ⇋ "város"
- lehetséges alaphalmaz: x ∈ V, ahol
V = {"Esztergom", "Visegrád", "Budapest", "Dunaújváros", "Paks", ..., "Miskolc", "Debrecen", "Szeged", "Pécs", ...} ('V' meghatározott magyarországi⇒ városok halmaza)- individuumnév: b ⇋ "Duna"
- nyitott mondat: p ⇋ P(x,b)
- x ⟷ "Paks" helyettesítés esetén |p|=1
- x ⟷ "Miskolc" helyettesítés esetén |p|=0
- Kata szomszédja egy (másik) tanulónak.
- predikátum: Q ⇋ "(vki) szomszédja (vkinek)"
- individuumnév: u ⇋ "Kata"
- változó: y ⇋ "tanuló"
- lehetséges alaphalmaz: y ∈ I, ahol
I = {"Tercsi", "Fercsi", "Kata", "Klára", "Anett", "Peti", "Mari", "Pisti", "Zoli", "Zsuzsa"} ('I' egy osztály tanulóinak halmaza; ha az állításban szerepel a "másik" határozatlan névmás, akkor y≠"Kata" teljesül)- nyitott mondat: q ⇋ Q(u,y)
- y ⟷ "Mari" helyettesítés esetén |q|=1 (ha Kata tényleg a szomszédja Marinak)
- y ⟷ "Tercsi" helyettesítés esetén |q|=0 (ha a valóságban Kata és Tercsi nem szomszédok)
A predikátumok n változós, kétértékű (logikai) függvények:
P(x1,x2,...,xn) : H1Χ H2Χ ...Χ Hn → {0,1}
ahol Hi az xi változó lehetséges értékeit (a lehetséges individuumneveket) tartalmazó alaphalmaz (i=1,2,...,n).
Ha például V a magyarországi városok halmaza,⇒ I pedig egy meghatározott osztály tanulóinak halmaza⇒, akkor a P(x,"Duna") ⇋ "az 'x' város a Duna mellett fekszik", ill. a Q("Kata",y) ⇋ "Kata szomszédja az 'y' tanulónak" nyitott mondatok az alábbi kétértékű függvényeknek felelnek meg:
- P(x,y) : V Χ {Duna} → {0,1}
- Q(x,y) : {Kata} Χ I → {0,1}
Például a P(x,y) kétértékű (logikai) függvényt, ha y="Duna", az alábbi táblázattal adhatjuk meg:
x y P(x,y) Budapest Duna 1 Debrecen Duna 0 Dunaújváros Duna 1 Esztergom Duna 1 Miskolc Duna 0 Paks Duna 1 Pécs Duna 0 Szeged Duna 0 Visegrád Duna 1 ... Duna ... A fenti példában a 'V', halmaznak azok az elemei (azok az 'x' városok), amelyekhez a P(x,"Duna") predikátum 'igaz' (1) értéket rendel, egy adott tulajdonsággal rendelkeznek (ti. a Duna mellett fekszenek). Ha a P(x,y) predikátum második argumentumában különböző folyóneveket is megengedünk, és D-vel jelöljük a lehetséges folyók halmazát, akkor a P(x,y) predikátum igaz értékei a VΧD direkt szorzat egy részhalmazát adják meg. Ezáltal a P(x,y) predikátum egy meghatározott relációt ad meg az adott városok és folyók között.
Általános esetben különböző típusú változók fordulnak elő, amelyek különböző alaphalmazokból vehetnek fel értékeket (például tanulók, tanárok, tárgyak, osztályzatok stb.). Azt a kört, amelyben a logikai vizsgálatok során a különböző nyitott mondatokat értelmezzük, tárgyalási univerzumnak nevezzük. (vö. Bognár-Forrai 2004; Margitay 2014: 183-184)
Általánosan megfogalmazva a tárgyalási univerzum azoknak a dolgoknak az összessége, amelyek valamely logikai vizsgálódás tárgyát képezik. (vö. Tallér 1996: 277)
6.3. Logikai alapelvek
Arisztotelésztől származik két fontos logikai alapelv:
- az ellentmondásmentesség logikai elve: egy állítás nem lehet egyszerre igaz is és hamis is
- a harmadik kizárásának logikai elve: egy állítás vagy igaz, vagy hamis, nincs harmadik lehetőség
Megjegyzés:
– Az ellentmondásmentesség elve elvileg megengedi, hogy mind az állítás, mind a tagadása hamis legyen (ha viszont az egyik igaz, akkor a másik biztosan hamis lesz).
– A harmadik kizárásának elve elvileg megengedi, hogy mind az állítás, mind a tagadása igaz legyen (ha viszont az egyik hamis, akkor a másik biztosan igaz lesz).A fenti alapelvek kifejezik, hogy a klasszikus (arisztotelészi) logikában
(1) az állítások egyértelmű logikai értékkel rendelkeznek, és
(2) csak két logikai érték van (igaz és hamis).
Néhány példa:
- az az állítás, hogy "A fű zöld." és "A fű nem zöld." nem lehet egyszerre igaz;
- az az állítás, hogy "A fű zöld." és "A fű fehér." nem lehet egyszerre igaz (mert ha a fű fehér, akkor⇒ nem zöld, és ha zöld, akkor nem fehér);
- az az állítás, hogy "A zsír egészséges." és "A zsír egészségtelen." nem lehet egyszerre igaz;
(Számos ilyen példát kaphatunk, ha túlságosan általános kijelentő mondatokat vizsgálunk. Ha egy ilyen típusú mondat logikai értéke nem dönthető egyértelműen el, akkor nem tekinthető állításnak (tehát vitatkozni sem érdemes róla), ezért valamilyen módon pontosítani kell. Például az, hogy "A zsír egészséges 'x' (ember) számára." már olyan nyitott mondat, amely egyes emberek (x∈Ea) esetén igaz, más emberek (x∈Eb) esetén pedig hamis lehet.)- az az állítás, hogy "Paks a Duna mellett fekszik.", igaz; tehát az, hogy "Paks nem a Duna mellett fekszik.", hamis;
- Ha bebizonyítjuk, hogy a primszámok halmaza nem véges (például úgy, hogy ha feltesszük, hogy véges, ellentmondásra jutunk), akkor biztosak lehetünk benne, hogy a primszámok halmaza végtelen.
- az a mondat, hogy "Azt hiszem, ma esni fog." az esőt illetően nem állítás, mert nem dönthető el egyértelműen, hogy igaz vagy hamis.
6.4. Logikai műveletek
Eddig olyan elemi állításokkal (nyitott mondatokkal, elemi vagy atomi formulákkal) foglalkoztunk, amelyek egy predikátumot és egy vagy több individuumnevet tartalmaztak.
Elvileg lehetséges az is, hogy egy elemi állítás nem tartalmaz egy individuumnevet sem, ilyen lehet pl. az "Esik." kijelentés. Azonban a természetes nyelv mindig erősen tömörít, tehát ha kiegészítjük ezt az állítást, pl. "Most Debrecenben esik." módon, akkor például a mondatban szereplő helyhatározó ("Debrecenben"), és az időhatározó ("most") egyaránt individuumnévnek tekinthető.
Az állítások között meghatározott logikai műveleteket értelmezünk, amelyek segítségével összetett állításokat (logikai kifejezéseket vagy formulákat) fogalmazhatunk meg.
A "logikai kifejezés" rendszerint arra utal, hogy egy összetett állítás formalizálásakor logikai műveleteket használunk; a "formula" pedig rendszerint arra, hogy egy állításban rendszerint egy vagy több individuumváltozó szerepel. Emellett egy formulán többnyire összetett kifejezést ("összetett formulát") értünk, amely elemi vagy atomi formulákból logikai műveletek segítségével épül fel.
A logikai műveletek legfontosabb funkciója az, hogy segítségükkel összetett logikai kifejezéseket tudunk létrehozni.Később látni fogjuk azt is, hogy néhány logikai alapművelet segítségével minden logikai függvény kifejezhető.
Például az iskola univerzumban feltehetjük azt a kérdést, hogy kik azok a tanulók, akik legalább jó eredményt értek el matematikából, de testnevelésből közepesnél gyengébb a teljesítményük. A
jegy : IΧT→{1, 2, 3, 4, 5}
"osztályozó" függvény" felhasználásával⇒ ez az állítás
{x∈I | (jegy(x,"matek")=4 ∨ jegy(x,"matek")=5) ∧ (jegy(x,"tesi")=2 ∨ jegy(x,"tesi")=1)}
módon fogalmazható meg. Figyeljük meg a "vagy" (∨) és "és" (∧) logikai műveletek használatát.Csak olyan logikai műveletekkel foglalkozunk, amelyekre érvényes az alábbi, ún. értékelési alapelv:
- Értékelési alapelv: az összetett állítások logikai értékét a logikai műveletekkel összekapcsolt állítások logikai értékei egyértelműen meghatározzák. (Tetszőleges állításokon értelmezve egy logikai műveletet, a művelet az összekapcsolt állításokhoz pontosan egy logikai értéket rendel.)
- Az általunk használt logikai műveletek egy- és kétváltozós logikai (vagy Boole) függvényekkel írhatók le.
- A logikai műveletek értéktáblázatok segítségével adhatók meg, ahol
- egyváltozós műveletek esetén a táblázatok első oszlopa, kétváltozós műveletek esetén pedig a táblázatok első két oszlopa a műveletek argumentumainak lehetséges logikai értékeit tartalmazza;
- a táblázatok utolsó oszlopa az értéktáblázattal megadott művelet logikai értékét tartalmazza a táblázat adott sorának megfelelő argumentumértékek mellett.
A továbbiakban egy- és kétváltozós logikai műveletekkel foglalkozunk. Ezek az alábbi logikai (vagy Boole) függvényekkel írhatók le:
- egyváltozós logikai műveletek (max. 22=4 lehetőség):
f : {0,1} → {0,1}- kétváltozós logikai műveletek (max. 24=16 lehetőség):
g : {0,1}Χ{0,1} → {0,1}Egyváltozós logikai műveletre példa a negáció (tagadás, logikai "nem"). Ha 'p' egy állítás, akkor a negációt az alábbi függvény írja le:
f(p) = { 1 ha 'p' hamis, vagyis |p|=0 0 ha 'p' igaz, vagyis |p|=1 A fenti logikai függvényt az alábbi értéktáblázattal (vagy igazságtáblázattal) adhatjuk meg:
p f(p) 0 1 1 0 Kétváltozós logikai műveletre példa a konjunkció (logikai "és"). Ha 'p' egy állítás, akkor a konjunkciót az alábbi függvény írja le:
f(p,q) = { 1 ha 'p' és 'q' igaz, vagyis |p|=1 és |q|=1 0 ha 'p' vagy 'q' bármelyike hamis, vagyis |p|=0 vagy |q|=0 A fenti logikai függvényt szintén megadhatjuk egy értéktáblázattal (vagy igazságtáblázattal):
p q f(p,q) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Egy másik példa kétváltozós logikai műveletre a diszjunkció (logikai "vagy"). Ha 'p' egy állítás, akkor a diszjunkciót az alábbi függvény írja le:
f(p,q) = { 0 ha 'p' és 'q' hamis, vagyis |p|=0 és |q|=0 1 ha 'p' vagy 'q' bármelyike igaz, vagyis |p|=1 vagy |q|=1 A fenti logikai függvényt szintén megadhatjuk egy értéktáblázattal (vagy igazságtáblázattal):
p q f(p,q) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Az értéktáblázatból látszik, hogy a diszjunkció ún. "megengedő" vagy műveletet jelöl, azaz ha |p|=1 és |q|=1 egyszerre igaz, akkor a diszjunkció igaz. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy |p|=1 és/vagy |q|=1 igaz (de jegyezzük meg, hogy ezt a formát csak kivételes esetekben használjuk).
A legfontosabb logikai műveletek és jelölésük, ha 'P' és 'Q' tetszőleges állítások (vö. Kopasz 1996: 12-15):
- negáció⇒ vagy tagadás (logikai "nem"): ⌝P
- konjunkció⇒ vagy összekapcsolás (logikai "és"): P∧Q
- diszjunkció⇒ (alternáció) vagy szétválasztás (logikai "vagy"; szokásos a "megengedő vagy" elnevezés is): P∨Q
- kizáró vagy:⇒ P⨁Q
- implikáció⇒ (kondicionális) vagy feltételes állítás: P⊃Q
- implikáció tagadása:⇒ P⊅Q
- ekvivalencia⇒ (bikondicionális) vagy kettős feltételes állítás: P≡Q
A felsorolt logikai műveletek egy-, ill. kétváltozós logikai függvények, ezért megadásukra értéktáblázatokat használunk.
A következőkben vizsgáljuk meg példákon keresztül az egyes logikai műveletek jelentését.
(I.) Legyen a tárgyalási univerzum az iskola univerzum, amelyben 'I' a tanulók halmaza. Legyen A⊆I azoknak a tanulóknak a halmaza, akik kiválók matematikából, és B⊆I azoknak a tanulóknak a halmaza, akik közepesek testnevelésből.
Ha x∈I egy tetszőleges elem (tanuló), tekintsük az alábbi két nyitott mondatot:
P(x,A) ⇋ "'x' eleme az 'A' halmaznak (azaz x∈A)"
Q(x,B) ⇋ "'x' eleme a 'B' halmaznak (azaz x∈B)"A fenti nyitott mondatok P(x,A) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló matematikából" és Q(x,B) ⇋ "az 'x' tanuló közepes testnevelésből" módon is leírhatók.
Ebben a tárgyalási univerzumban vizsgáljuk meg a három legfontosabb logikai műveletet:
(1) ⌝P(x,A) ⇋ "'x' nem eleme az 'A' halmaznak" (ennek szokásos jelölése x∉A; emlékezzünk rá, hogy ez definíció szerint az x∈A állításnak felel meg⇒)
- ha |P(x,A)|=1, akkor |⌝P(x,A)|=0 (ha 'x' a matematikából kiváló tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy 'x' nem kiváló matematikából, hamis)
- ha |P(x,A)|=0, akkor |⌝P(x,A)|=1 (ha 'x' nem a matematikából kiváló tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy 'x' nem kiváló matematikából, igaz)
Bevezetve a p ⇋ P(x,A) kijelentésváltozót, a negációt az
⌝p : {0,1}→{0,1}
egyváltozós logikai függvénnyel írhatjuk le (a továbbiakban, ha az nem okoz félreértést, az egyszerűség kedvéért elhagyjuk a |...| jeleket). A fenti megállapítások alapján a ⌝p függvényt az alábbi, korábban már megismert értéktáblázat adja meg:
p ⌝p 1 0 0 1 (2) P(x,A)∧Q(x,B) ⇋ "'x' eleme az 'A' halmaznak és 'x' eleme a 'B' halmaznak" (ennek szokásos jelölése x∈A ∧ x∈B; emlékezzünk rá, hogy ez definíció szerint az x∈A∩B állításnak felel meg⇒)
- ha |P(x,A)|=1 és |Q(x,B)|=1, akkor |P(x,A)∧Q(x,B)|=1 (ha 'x' a matematikából kiváló tanulókhoz tartozik, valamint 'x' a tesiből közepes tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy 'x' kiváló matematikából és 'x' közepes tesiből, igaz)
- ha |P(x,A)|=1 és |Q(x,B)|=0, akkor |P(x,A)∧Q(x,B)|=0 (ha 'x' a matematikából kiváló tanulókhoz tartozik, továbbá 'x' nem a tesiből közepes tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy 'x' kiváló matematikából és 'x' közepes tesiből, hamis)
- ha |P(x,A)|=0 és |Q(x,B)|=1, akkor |P(x,A)∧Q(x,B)|=0 (ha 'x' nem a matematikából kiváló tanulókhoz tartozik, valamint 'x' a tesiből közepes tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy 'x' kiváló matematikából és 'x' közepes tesiből, hamis)
- ha |P(x,A)|=0 és |Q(x,B)|=0, akkor |P(x,A)∧Q(x,B)|=0 (ha 'x' nem a matematikából kiváló tanulókhoz tartozik, és 'x' nem is a tesiből közepes tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy 'x' kiváló matematikából és 'x' közepes tesiből, hamis)
Bevezetve a p ⇋ P(x,A) és q ⇋ Q(x,B) kijelentésváltozókat, a konjunkciót a
p∧q : {0,1}Χ{0,1}→{0,1}
kétváltozós logikai függvénnyel írhatjuk le (most is elhagyjuk a |...| jeleket). A fenti megállapítások alapján a p∧q függvényt az alábbi értéktáblázat adja meg:
p q p∧q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 (3) P(x,A)∨Q(x,B) ⇋ "'x' eleme az 'A' halmaznak vagy 'x' eleme a 'B' halmaznak" (ennek szokásos jelölése x∈A ∨ x∈B; emlékezzünk rá, hogy ez definíció szerint az x∈A∪B állításnak felel meg⇒)
- ha |P(x,A)|=1 és |Q(x,B)|=1, akkor |P(x,A)∨Q(x,B)|=1 (ha 'x' a matematikából kiváló tanulókhoz tartozik, és 'x' a tesiből közepes tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy 'x' kiváló matematikából vagy 'x' közepes tesiből, igaz)
- ha |P(x,A)|=1 és |Q(x,B)|=0, akkor |P(x,A)∨Q(x,B)|=1 (ha 'x' a matematikából kiváló tanulókhoz tartozik, és 'x' nem a tesiből közepes tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy 'x' kiváló matematikából vagy 'x' közepes tesiből, igaz)
- ha |P(x,A)|=0 és |Q(x,B)|=1, akkor |P(x,A)∨Q(x,B)|=1 (ha 'x' a nem matematikából kiváló tanulókhoz tartozik, és 'x' a tesiből közepes tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy 'x' kiváló matematikából vagy 'x' közepes tesiből, igaz)
- ha |P(x,A)|=0 és |Q(x,B)|=0, akkor |P(x,A)∨Q(x,B)|=0 (ha 'x' nem a matematikából kiváló tanulókhoz tartozik, és 'x' nem is a tesiből közepes tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy 'x' kiváló matematikából vagy 'x' közepes tesiből, hamis)
Bevezetve most is a p ⇋ P(x,A) és q ⇋ Q(x,B) kijelentésváltozókat, a diszjunkciót a
p∨q : {0,1}Χ{0,1}→{0,1}
kétváltozós logikai függvénnyel írhatjuk le (most is elhagyjuk a |...| jeleket). A fenti megállapítások alapján a p∨q függvényt az alábbi értéktáblázat adja meg:
p q p∨q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 A példákból jól látszik, hogy
- a műveletek argumentumaiként megadott 'P' és 'Q' (elemi) állítások lehetséges logikai értékei 1 (igaz) és 0 (hamis), és a belőlük képzett ⌝P, P∧Q és P∨Q összetett állítások szintén az 1 és 0 logikai értékeket vehetik fel;
- a korábban említett értékelési alapelv teljesül, mivel a 'P' és 'Q' (elemi) állítások lehetséges logikai értékei egyértelműen meghatározzák a belőlük képzett ⌝P, P∧Q és P∨Q összetett állítások logikai értékeit.
(II.) Legyen most is a tárgyalási univerzum egy iskola, ezen belül 'I' egy osztály, és x∈I egy tetszőleges tanuló. Legyen most C⊆I azoknak a tanulóknak a halmaza, akik jók matematikából, és D⊆I azoknak a tanulóknak a halmaza, akik kiválók énekből. Tekintsük az alábbi két nyitott mondatot:
P(x,C) ⇋ "az 'x' tanuló jó matematikából"
Q(x,D) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló énekből"A fenti nyitott mondatok az előzőekhez hasonlóan P(x,C) ⇋ "'x' eleme a 'C' halmaznak" és Q(x,D) ⇋ "'x' eleme a 'D' halmaznak" módon is leírhatók.
Ebben a tárgyalási univerzumban vizsgáljuk meg az implikáció és az ekvivalencia jelentését.
(4) P(x,C)⊃Q(x,D) ⇋ "ha az 'x' tanuló jó matematikából, akkor kiváló énekből is"
– a P(x,C) állítást az implikáció előtagjának nevezzük
– a Q(x,D) állítást az implikáció utótagjának nevezzük
- ha |P(x,C)|=0 és |Q(x,D)|=0, akkor |P(x,C)⊃Q(x,D)|=1 (definíció szerint)
- ha |P(x,C)|=0 és |Q(x,D)|=1, akkor |P(x,C)⊃Q(x,D)|=1 (definíció szerint)
- ha |P(x,C)|=1 és |Q(x,D)|=0, akkor |P(x,C)⊃Q(x,D)|=0 (ha 'x' a matematikából jó tanulókhoz tartozik, de 'x' nem az énekből kiváló tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy "abból, hogy 'x' jó matematikából, következik, hogy 'x' kiváló énekből", hamis)
- ha |P(x,C)|=1 és |Q(x,D)|=1, akkor |P(x,C)⊃Q(x,D)|=1 (ha 'x' a matematikából jó tanulókhoz tartozik, és 'x' az énekből kiváló tanulókhoz tartozik, akkor az az állítás, hogy "abból, hogy 'x' jó matematikából, következik, hogy 'x' kiváló énekből", igaz)
Emeljük ki, hogy
(1) az implikáció csak abban az esetben hamis, ha az előtagja igaz és az utótagja hamis;
(2) ha az implikáció előtagja hamis, akkor az implikációt mindig igaznak tekintjük.Bevezetve a p ⇋ P(x,C) és q ⇋ Q(x,D) kijelentésváltozókat, az implikációt a
p⊃q : {0,1}Χ{0,1}→{0,1}
kétváltozós logikai függvénnyel írhatjuk le (most is elhagyjuk a |...| jeleket). A fenti megállapítások alapján a p⊃q függvényt az alábbi értéktáblázat adja meg:
p q p⊃q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Egy tetszőleges 'I' osztályban egy adott x∈I tanulóra a P(x,C)⊃Q(x,D) állítás lehet igaz is és hamis is. Azonban ha a P(x,C)⊃Q(x,D) állítás az 'I' osztály minden tanulójára igaz, akkor minden x∈I tanuló, aki négyes matematikából, az ötös énekből is.
(5) P(x,C)≡Q(x,D) ⇋ az 'x' tanuló pontosan akkor ("akkor és csak akkor") jó matematikából, ha kiváló énekből is"
- ha |P(x,C)|=1 és |Q(x,D)|=1, akkor |P(x,C)≡Q(x,D)|=1
- ha |P(x,C)|=1 és |Q(x,D)|=0, akkor |P(x,C)≡Q(x,D)|=0
- ha |P(x,C)|=0 és |Q(x,D)|=1, akkor |P(x,C)≡Q(x,D)|=0
- ha |P(x,C)|=0 és |Q(x,D)|=0, akkor |P(x,C)≡Q(x,D)|=1
Az ekvivalencia mint logikai művelet akkor és csak akkor igaz, ha a művelettel összekapcsolt állítások azonos logikai értékűek (azaz vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis).Bevezetve a p ⇋ P(x,C) és q ⇋ Q(x,D) kijelentésváltozókat, az ekvivalenciát a
p≡q : {0,1}Χ{0,1}→{0,1}
kétváltozós logikai függvénnyel írhatjuk le (most is elhagyjuk az |...| jeleket). A fenti megállapítások alapján a p≡q függvényt az alábbi értéktáblázat adja meg:
p q p≡q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Egy tetszőleges 'I' osztályban egy adott x∈I tanulóra a P(x,C)≡Q(x,D) állítás lehet igaz is és hamis is. Ha azonban a P(x,C)≡Q(x,D) állítás minden tanulóra igaz, akkor a tanulók vagy egyszerre jók matematikából és kiválók énekből, vagy nem jók matematikából és ugyanakkor nem kiválók énekből sem.
A fontosabb logikai műveletek értéktáblázatai
negáció, tagadás ("nem A", "NOT A"): ( ⌝A )
| A | ( ⌝A ) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
konjunkció ("A és B", "A AND B"): ( A ∧ B )
| A | B | ( A ∧ B ) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
diszjunkció ("A vagy B", "A OR B"): ( A ∨ B ) (a diszjunkció az ún. megengedő vagy-nak felel meg; formális szövegekben szokásos erre az "és/vagy" kötőszó használata is)
| A | B | ( A ∨ B ) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
kizáró vagy ("A XOR B"): ( A ⨁ B )
| A | B | ( A ⨁ B ) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
implikáció ("A-ból következik B"; A-t előtagnak, B-t utótagnak is szokás nevezni): ( A ⊃ B )
| A | B | ( A ⊃ B ) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
implikáció tagadása ("A de/és nem B", "A AND NOT B"): ( (⌝(A ⊃ B) ~ (A ∧ ⌝B))
| A | B | ⌝(A ⊃ B) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
ekvivalencia ("A ekvivalens B-vel"): ( A ≡ B )
| A | B | ( A ≡ B ) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Az értéktáblázatok elkészítésének lépései
Legyenek 'p' és 'q' tetszőleges kijelentésváltozók (azaz olyan állítások, amelyek logikai értéke vagy 0, vagy 1).
Vizsgáljuk meg az
F ⇋ (p⊃q)≡.(p∧q)
formula igazságértékét a 'p' és 'q' kijelentésváltozók különböző logikai értéke esetén.
Például ha |p|=1 és |q|=1, akkor az 'F' formula értékét az alábbi lépésekkel könnyen kiszámíthatjuk:
Ha az 'F' formula értékét a 'p' és 'q' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére ki akarjuk számítani, a könnyebb áttekintés érdekében érdemes a számítás részeredményeit egy értéktáblázatban összefoglalni.
| p | q | p⊃q | p∧q | (p⊃q)≡.(p∧q) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Vegyük észre, hogy a fenti értéktáblázat utolsó sora azokat a részeredményeket tartalmazza, amelyeket a 'p' és 'q' kijelentésváltozók |p|=1 és |q|=1 értéke mellett az 'F' formula kiszámításakor korábban már kiszámoltunk.
Egy másik példaként vizsgáljuk meg a
G ⇋ (p⊃q)∧⌝q⊃.⌝p
formula igazságértékét a 'p' és 'q' kijelentésváltozók különböző logikai értéke esetén. Vegyük észre, hogy az értéktáblázat most a 'p' és 'q' kijelentésváltozók negáltját⇒ is tartalmazza.
(A könnyebb áttekintés érdekében az összetett formulák logikai értékeit tartalmazó oszlopokban kiemeltük az elvégzendő műveletet.)
| p | q | p⊃q | ⌝q | (p⊃q)∧⌝q | ⌝p | (p⊃q)∧⌝q⊃.⌝p |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Jegyezzük meg, hogy a 'G' formula kiszámításakor az utolsó lépés a pont (.) operátorral jelölt implikáció (⊃.) kiszámítása volt.
Az értéktáblázatból látszik, hogy a 'G' formula a 'p' és 'q' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz, vagyis logikai törvény.⇒ Később látni fogjuk, hogy ezzel a modus tollens⇒ következtetési szabályt igazoltuk.
Az értéktáblázatok gyakorlása
1. feladat: Töltse ki az értéktáblázat harmadik oszlopát az oszlop fejrészében megadott formulának megfelelően!
| p | q | p⊃q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | |
| 0 | 1 | |
| 1 | 0 | |
| 1 | 1 | |
Hibás válaszok száma: ?
2. feladat: Töltse ki az értéktáblázat utolsó oszlopát az oszlop fejrészében megadott formulának megfelelően! (A táblázat ötödik és hatodik oszlopa segédoszlop, amit a program az utolsó oszlop ellenőrzése során nem vesz figyelembe. Ezek kitöltése nem kötelező, de ajánlott, mivel az oszlopok kitöltése segíti a végső formula meghatározását.)
| p | q | ⌝p | ⌝q | ? | ? | ? |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | |||
| 0 | 1 | 1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 0 | 1 | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | |||
Hibás válaszok száma: ?
6.5. Formulák és értékelések (kiegészítő anyag)
Ennek a gondolatkörnek a zárásaként vezessünk be, ill. pontosítsunk néhány fontos fogalmat.
- A predikátumokból és (individuum)változókból álló nyitott mondatokat atomi formuláknak nevezzük (pl. a "Kata szomszédja Marinak." kijelentés a Q(x,y) atomi formulából kapható, ahol 'Q' predikátum, 'x' és 'y' pedig individuumváltozók, amelyek a tanulók I halmazából vehetnek fel értékeket⇒).
- Speciálisan a "nullváltozós" predikátumok is atomi formulák (Dragálin-Buzási 1986: 32,34), ezeket a kijelentésváltozókkal⇒ azonosítjuk (vö. Kopasz 1996: 27, Sashalminé Kelemen 2003: 37).
- Az atomi formulákból logikai műveletek⇒ (pl. 'nem', 'és', 'vagy' stb.) és zárójelek segítségével összetett logikai kifejezéseket, formulákat hozhatunk létre. (Bár a 'formula' és a 'logikai kifejezés' szinonimák, azonban 'formula' alatt rendszerint nyitott mondatokból álló logikai kifejezést értünk.)
Azokat a formulákat, amelyek nem tartalmaznak szabad (azaz konkrét értékekkel helyettesíthető) változókat, zárt formuláknak nevezzük. Nyitott mondatokból a "minden" és a "létezik" (ill. "van olyan") kvantorokkal⇒ zárt formulákat képezhetünk. Egy zárt formuláról egy adott tárgyalási univerzumban mindig egyértelműen eldönthető, hogy az igazságértéke igaz vagy hamis. Például "Minden város a Duna mellett fekszik." hamis és "Van olyan város, amely a Duna mellett fekszik." igaz, ha a magyarországi városokat vesszük figyelembe a 'város' individuumváltozó alaphalmazaként.⇒ Vegyük észre, hogy egyik fenti állításban sincsenek szabad változók, ugyanis a "minden", ill. "van olyan" kvantorok után nem helyettesíthetünk be egyetlen konkrét városnevet sem.)
Amikor egy nyitott mondat változóinak értéket adunk (azaz a változók helyére a típusuknak megfelelő alaphalmazokból vett elemeket helyettesítünk), a formula konkretizálásáról vagy értékeléséről beszélünk. Az értékelt formulák egyértelmű (igaz vagy hamis) logikai értékkel rendelkező állítások. (Például "Paks a Duna mellett fekszik." egy értékelt formula.)
Mind a zárt formulák, mind az értékelt formulák egyértelmű logikai értékkel rendelkező állítások.
Összetett logikai kifejezések kiértékelésekor fontos a logikai műveletek sorrendje:
. ≡ ⊃ ∨
∧⌝ ∀
∃( ... ) Egy összetett logikai kifejezés kiértékelésekor
- azokat a műveleteket kell először végrehajtani, amelyek a táblázatban jobbról előrébb állnak (magasabb "precedenciával" rendelkeznek);
- ha két művelet azonos precedenciával rendelkezik, akkor végrehajtásuk balról jobbra történik.
A pont (.) operátor nem önálló logikai művelet, a pontot mindig egy másik művelet után adjuk meg. A pont operátor azt jelzi, hogy a ponttal jelölt műveletet mindig utoljára kell végrehajtani.Például értékeljük ki az A ∧ (A ∨ B) ≡. A összetett logikai kifejezést, ha |A|=1 és |B|=0.
- |A ∨ B| = |1 ∨ 0| = 1
- |A ∧ (A ∨ B)| = |A ∧ (A ∨ B)| = |A ∧ 1| = 1
- |A ∧ (A ∨ B) ≡. A| = |A ∧ (A ∨ B) ≡. A| = |1 ≡ A| = |1 ≡ 1| = 1
Figyeljük meg, hogy minden lépésben egy logikai műveletet értékeltünk ki (a művelet értéktáblázatának⇒ megfelelően), és a kapott részeredményeket felhasználtuk a kiértékelés további lépései során.
Készítsük el ezután az A ∧ (A ∨ B) ≡. A összetett logikai kifejezés értéktáblázatát az egyes műveletek kiértékelésének sorrendjében, és emeljük ki azt a sort, amelyben |A|=1 és |B|=0.
A B A∨B A∧(A∨B) A∧(A∨B)≡.A 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1
Egy másik példaként készítsük el az A∧B⊃.A∨B logikai kifejezés értéktáblázatát.
A B A∧B A∨B A∧B⊃.A∨B 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1
Végül pedig készítsük el az A⊃B≡.⌝B⊃⌝A logikai kifejezés értéktáblázatát.
A B A⊃B ⌝B ⌝A ⌝B⊃⌝A A⊃B≡.⌝B⊃⌝A 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1