Matematika 1 (folytatás)


Tartalom, témakörök

  1. ⇐ megelőző témakörök (1-5)
  2. Állítások, logikai műveletek. (Kopasz 1996: 11-15; Borsodi 1972: 255-294)
    • Gyakorló feladatok
    • A fontosabb logikai műveletek értéktáblázatai
    • Az értéktáblázatok elkészítésének lépései
    • Az értéktáblázatok gyakorlása
  3. Logikai azonosságok, logikai következtetések. Köznyelvi és matematikai tartalmú szövegek formalizálása. (Kopasz 1996: 15-20; Borsodi 1972: 294-314)
    • Gyakorló feladatok
  4. A halmazműveletek és a logikai műveletek kapcsolata. Kvantifikáció. (Kopasz 1996: 24-25; 26-29; Borsodi 1972: 314-320)
    • Gyakorló feladatok
  5. A természetes számfogalom. Peano-axiómák, a teljes indukció. (Brindza 1996: 61-65; Borsodi-Göndöcs 1970: 81-92)
    • Gyakorló feladatok
  6. A négy alapművelet elméleti megalapozása. (Brindza 1996: 65-72; Borsodi-Göndöcs 1970: 92-134)
  7. Az egész számok halmaza. (Pappné Ádám 1996: 73-82; Borsodi-Göndöcs 1970: 183-199)
  8. A racionális számok halmaza. (Pappné Ádám 1996: 82-95; Borsodi-Göndöcs 1970: 199-220)
  9. A valós számok halmaza. (Pappné Ádám 1996: 102; Borsodi-Göndöcs 1970: 221-235)

6.1. Kijelentések, állítások

Kijelentésen vagy állításon olyan kijelentő mondatot értünk, amely valamely személyről, tárgyról, dologról stb. megállapít valamit. Egy kijelentés logikai értéke (vagy igazságértéke) igaz (1) vagy hamis (0) lehet. (vö. Kopasz 1996: 11)

Egy kijelentésről mindig egyértelműen eldönthető, hogy az igazságértéke igaz vagy hamis.

Egy kijelentés egy predikátumból ("állítmányból") és egy vagy több individuumnévből áll. Például tekintsük az alábbi kijelentést:

Egy kijelentést formalizálhatunk úgy, hogy a kijelentés egyes összetevőit, és magát a kijelentést is betűkkel helyettesítjük.

A predikátumok kétértékű (logikai) függvények, esetükben az individuumneveket tartalmazó halmazok direkt szorzata a függvények értelmezési tartománya.


Példák:


6.2. Nyitott mondatok

Ha egy kijelentésben egy vagy több individuumnevet individuumváltozókkal helyettesítünk, nyitott mondathoz jutunk. (A nyitott mondattal lényegében egyező értelemben használhatjuk az (elemi vagy atomi) formula terminust is. A továbbiakban, ha nem okoz félreértést, individuumváltozók helyett egyszerűen változókról fogunk beszélni.)

Egy nyitott mondat esetében minden individuumváltozó egy meghatározott alaphalmazból vehet fel értéket. Az alaphalmaz ebben az értelemben meghatározza az illető változó típusát.

Például formalizáljuk a p ⇋ "Paks a Duna mellett fekszik." kijelentést p ⇋ P(a,b) módon. Ekkor

  • az 'a' változó lehetséges értékei városnevek lehetnek;
  • a 'b' változó lehetséges értékei pedig folyónevek lehetnek.

Figyeljük meg, hogy P("Paks","Duna") igaz kijelentés, de például P("Győr","Tisza") hamis.

A P(a,b) nyitott mondat logikai értékét általános esetben csak akkor tudjuk meghatározni, ha ismerjük az 'a' és 'b' változók konkrét értékét. (Kivételt képeznek azok az esetek, amikor egy P(a,b) nyitott mondat a változók minden lehetséges értékére azonos (pl. igaz) logikai értéket ad, ami például logikai törvények esetében teljesül.)

Ha a változók helyére különböző értékeket helyettesítünk a nyitott mondat értéke különböző lehet (egyszer igaz, másszor hamis). Ilyen esetekben a nyitott mondat (vagy formula) értékeléséről beszélünk.

Egy nyitott mondat logikai értéke a benne szereplő változók értékétől függ.

Vannak olyan nyitott mondatok, amelyek a változók minden lehetséges értékére igaz logikai értéket adnak; például az I osztály minden 'u' és 'v' tanulójára igaz, hogy "Ha az 'u' tanuló szomszédja a 'v' tanulónak, akkor a 'v' tanuló is szomszédja az 'u' tanulónak." A példa a tanulók közötti szomszédsági reláció tulajdonságait fejezi ki, és az iskola univerzumban általános, logikai törvény.


Példák:

A predikátumok n változós, kétértékű (logikai) függvények:
P(x1,x2,...,xn) : H1Χ H2Χ ...Χ Hn → {0,1}
ahol Hi az xi változó lehetséges értékeit (a lehetséges individuumneveket) tartalmazó alaphalmaz (i=1,2,...,n).
Ha például V a magyarországi városok halmaza, I pedig egy meghatározott osztály tanulóinak halmaza, akkor a P(x,"Duna") ⇋ "az 'x' város a Duna mellett fekszik", ill. a Q("Kata",y) ⇋ "Kata szomszédja az 'y' tanulónak" nyitott mondatok az alábbi kétértékű függvényeknek felelnek meg:

A fenti példában a 'V', halmaznak azok az elemei (azok az 'x' városok), amelyekhez a P(x,"Duna") predikátum 'igaz' (1) értéket rendel, egy adott tulajdonsággal rendelkeznek (ti. a Duna mellett fekszenek). Ha a P(x,y) predikátum második argumentumában különböző folyóneveket is megengedünk, és D-vel jelöljük a lehetséges folyók halmazát, akkor a P(x,y) predikátum igaz értékei a VΧD direkt szorzat egy részhalmazát adják meg (azaz egy meghatározott relációt az adott városok és folyók között).


Általános esetben különböző típusú változók fordulnak elő, amelyek különböző alaphalmazokból vehetnek fel értékeket (például tanulók, tanárok, tárgyak, osztályzatok stb.). Azt a kört, amelyben a logikai vizsgálatok során a különböző nyitott mondatokat értelmezzük, tárgyalási univerzumnak nevezzük. (vö. Bognár-Forrai 2004; Margitay 2014: 183-184)

Általánosan megfogalmazva a tárgyalási univerzum azoknak a dolgoknak az összessége, amelyek valamely logikai vizsgálódás tárgyát képezik. (vö. Tallér 1996: 277)

6.3. Logikai alapelvek

Arisztotelésztől származik két fontos logikai alapelv:

Megjegyzés:
– Az ellentmondásmentesség elve elvileg megengedi, hogy mind az állítás, mind a tagadása hamis legyen (ha viszont az egyik igaz, akkor a másik biztosan hamis lesz).
– A harmadik kizárásának elve elvileg megengedi, hogy mind az állítás, mind a tagadása igaz legyen (ha viszont az egyik hamis, akkor a másik biztosan igaz lesz).

A fenti alapelvek kifejezik, hogy a klasszikus (arisztotelészi) logikában két logikai érték van (igaz és hamis), és az állítások egyértelmű logikai értékkel rendelkeznek.


Néhány példa:


6.4. Logikai műveletek

Eddig olyan elemi állításokkal (nyitott mondatokkal, elemi vagy atomi formulákkal) foglalkoztunk, amelyek egy predikátumot és egy vagy több individuumnevet tartalmaztak.

Elvileg lehetséges az is, hogy egy elemi állítás nem tartalmaz egy individuumnevet sem, ilyen lehet pl. az "Esik." kijelentés. Azonban a természetes nyelv mindig erősen tömörít, tehát ha kiegészítjük ezt az állítást, pl. "Most Debrecenben esik." módon, akkor például a mondatban szereplő helyhatározó ("Debrecenben"), és az időhatározó ("most") egyaránt individuumnévnek tekinthető.

Az állítások között meghatározott logikai műveleteket értelmezünk, amelyek segítségével összetett állításokat (logikai kifejezéseket vagy formulákat) fogalmazhatunk meg. (A "logikai kifejezés" rendszerint arra utal, hogy egy összetett állítás formalizálásakor logikai műveleteket használunk; a "formula" pedig rendszerint arra, hogy egy állításban rendszerint egy vagy több individuumváltozó szerepel. Egy formulán általában összetett kifejezést értünk, amely atomi formulákból logikai műveletek segítségével épül fel.)

Például az iskola univerzumban feltehetjük azt a kérdést, hogy kik azok a tanulók, akik legalább jó eredményt értek el matematikából, de testnevelésből közepesnél gyengébb a teljesítményük. A
    jegy : IΧT→{1, 2, 3, 4, 5}
"osztályozó" függvény" felhasználásával ez az állítás
    {x∈I | (jegy(x,"matek")=4 ∨ jegy(x,"matek")=5) ∧ (jegy(x,"tesi")=2 ∨ jegy(x,"tesi")=1)}
módon fogalmazható meg. Figyeljük meg a "vagy" (∨) és "és" (∧) logikai műveletek használatát.

Csak olyan logikai műveletekkel foglalkozunk, amelyekre érvényes az alábbi, ún. értékelési alapelv:


A továbbiakban egy- és kétváltozós logikai műveletekkel foglalkozunk. Ezek az alábbi logikai (vagy Boole) függvényekkel írhatók le:

Egyváltozós logikai műveletre példa a negáció (tagadás, logikai "nem"). Ha 'p' egy állítás, akkor a negációt az alábbi függvény írja le:

f(p) = {  1  ha 'p' hamis, vagyis |p|=0
 0  ha 'p' igaz, vagyis |p|=1

A fenti logikai függvényt az alábbi értéktáblázattal (vagy igazságtáblázattal) adhatjuk meg:

p f(p)
0 1
1 0

Kétváltozós logikai műveletre példa a konjunkció (logikai "és"). Ha 'p' egy állítás, akkor a konjunkciót az alábbi függvény írja le:

f(p,q) = {  1  ha 'p' és 'q' igaz, vagyis |p|=1 és |q|=1
 0  ha 'p' vagy 'q' bármelyike hamis, vagyis |p|=0 vagy |q|=0

A fenti logikai függvényt szintén megadhatjuk egy értéktáblázattal (vagy igazságtáblázattal):

p q f(p,q)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Egy másik példa kétváltozós logikai műveletre a diszjunkció (logikai "vagy"). Ha 'p' egy állítás, akkor a diszjunkciót az alábbi függvény írja le:

f(p,q) = {  0  ha 'p' és 'q' hamis, vagyis |p|=0 és |q|=0
 1  ha 'p' vagy 'q' bármelyike igaz, vagyis |p|=1 vagy |q|=1

A fenti logikai függvényt szintén megadhatjuk egy értéktáblázattal (vagy igazságtáblázattal):

p q f(p,q)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Az értéktáblázatból látszik, hogy a diszjunkció ún. "megengedő" vagy műveletet jelöl, azaz ha |p|=1 és |q|=1 egyszerre igaz, akkor a diszjunkció igaz. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy |p|=1 és/vagy |q|=1 igaz (de jegyezzük meg, hogy ezt a formát csak kivételes esetekben használjuk).


A legfontosabb logikai műveletek és jelölésük, ha 'P' és 'Q' tetszőleges állítások (vö. Kopasz 1996: 12-15):

A felsorolt logikai műveletek egy-, ill. kétváltozós logikai függvények, ezért megadásukra értéktáblázatokat használunk.

(I.) Például legyen a tárgyalási univerzum az iskola univerzum, amelyben 'I' a tanulók halmaza. Legyen A⊆I azoknak a tanulóknak a halmaza, akik kiválók matematikából, és B⊆I azoknak a tanulóknak a halmaza, akik közepesek testnevelésből.

Ha x∈I egy tetszőleges elem (tanuló), tekintsük az alábbi két nyitott mondatot:
P(x,A) ⇋ "'x' eleme az 'A' halmaznak"
Q(x,B) ⇋ "'x' eleme a 'B' halmaznak"

A fenti nyitott mondatok P(x,A) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló matematikából" és Q(x,B) ⇋ "az 'x' tanuló közepes testnevelésből" módon is leírhatók.

Ebben a tárgyalási univerzumban vizsgáljuk meg a három legfontosabb logikai műveletet:

(1) ⌝P(x,A) ⇋ "'x' nem eleme az 'A' halmaznak" (ennek szokásos jelölése x∉A; emlékezzünk rá, hogy ez definíció szerint az x∈A állításnak felel meg)

Bevezetve a p ⇋ P(x,A) kijelentésváltozót, a negációt az
⌝p : {0,1}→{0,1}
egyváltozós logikai függvénnyel írhatjuk le (a továbbiakban, ha az nem okoz félreértést, az egyszerűség kedvéért elhagyjuk a |...| jeleket). A fenti megállapítások alapján a ⌝p függvényt az alábbi, korábban már megismert értéktáblázat adja meg:

p ⌝p
1 0
0 1

(2) P(x,A)∧Q(x,B) ⇋ "'x' eleme az 'A' halmaznak és 'x' eleme a 'B' halmaznak" (ennek szokásos jelölése x∈A ∧ x∈B; emlékezzünk rá, hogy ez definíció szerint az x∈A∩B állításnak felel meg)

Bevezetve a p ⇋ P(x,A) és q ⇋ Q(x,B) kijelentésváltozókat, a konjunkciót a
p∧q : {0,1}Χ{0,1}→{0,1}
kétváltozós logikai függvénnyel írhatjuk le (most is elhagyjuk a |...| jeleket). A fenti megállapítások alapján a p∧q függvényt az alábbi értéktáblázat adja meg:

p q p∧q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

(3) P(x,A)∨Q(x,B) ⇋ "'x' eleme az 'A' halmaznak vagy 'x' eleme a 'B' halmaznak" (ennek szokásos jelölése x∈A ∨ x∈B; emlékezzünk rá, hogy ez definíció szerint az x∈A∪B állításnak felel meg)

Bevezetve most is a p ⇋ P(x,A) és q ⇋ Q(x,B) kijelentésváltozókat, a diszjunkciót a
p∨q : {0,1}Χ{0,1}→{0,1}
kétváltozós logikai függvénnyel írhatjuk le (most is elhagyjuk a |...| jeleket). A fenti megállapítások alapján a p∨q függvényt az alábbi értéktáblázat adja meg:

p q p∨q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

A példákból jól látszik, hogy


(II.) Legyen most is a tárgyalási univerzum egy iskola, ezen belül 'I' egy osztály, és x∈I egy tetszőleges tanuló. Legyen most C⊆I azoknak a tanulóknak a halmaza, akik jók matematikából, és D⊆I azoknak a tanulóknak a halmaza, akik kiválók énekből. Tekintsük az alábbi két nyitott mondatot:
P(x,C) ⇋ "az 'x' tanuló jó matematikából"
Q(x,D) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló énekből"

A fenti nyitott mondatok az előzőekhez hasonlóan P(x,C) ⇋ "'x' eleme a 'C' halmaznak" és Q(x,D) ⇋ "'x' eleme a 'D' halmaznak" módon is leírhatók.

Ebben a tárgyalási univerzumban vizsgáljuk meg az implikáció és az ekvivalencia jelentését.

(4) P(x,C)⊃Q(x,D) ⇋ "ha az 'x' tanuló jó matematikából, akkor kiváló énekből is"
– a P(x,C) állítást az implikáció előtagjának nevezzük
– a Q(x,D) állítást az implikáció utótagjának nevezzük

Emeljük ki, hogy
(1) az implikáció csak abban az esetben hamis, ha az előtagja igaz és az utótagja hamis;
(2) ha az implikáció előtagja hamis, akkor az implikációt mindig igaznak tekintjük.

Bevezetve a p ⇋ P(x,C) és q ⇋ Q(x,D) kijelentésváltozókat, az implikációt a
p⊃q : {0,1}Χ{0,1}→{0,1}
kétváltozós logikai függvénnyel írhatjuk le (most is elhagyjuk a |...| jeleket). A fenti megállapítások alapján a p⊃q függvényt az alábbi értéktáblázat adja meg:

p q p⊃q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Egy tetszőleges 'I' osztályban egy adott x∈I tanulóra a P(x,C)⊃Q(x,D) állítás lehet igaz is és hamis is. Azonban ha a P(x,C)⊃Q(x,D) állítás az 'I' osztály minden tanulójára igaz, akkor minden x∈I tanuló, aki négyes matematikából, az ötös énekből is.

(5) P(x,C)≡Q(x,D) ⇋ az 'x' tanuló pontosan akkor ("akkor és csak akkor") jó matematikából, ha kiváló énekből is"

Az ekvivalencia mint logikai művelet akkor és csak akkor igaz, ha a művelettel összekapcsolt állítások azonos logikai értékűek (azaz vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis).

Bevezetve a p ⇋ P(x,C) és q ⇋ Q(x,D) kijelentésváltozókat, az ekvivalenciát a
p≡q : {0,1}Χ{0,1}→{0,1}
kétváltozós logikai függvénnyel írhatjuk le (most is elhagyjuk az |...| jeleket). A fenti megállapítások alapján a p≡q függvényt az alábbi értéktáblázat adja meg:

p q p≡q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Egy tetszőleges 'I' osztályban egy adott x∈I tanulóra a P(x,C)≡Q(x,D) állítás lehet igaz is és hamis is. Ha azonban a P(x,C)≡Q(x,D) állítás minden tanulóra igaz, akkor a tanulók vagy egyszerre jók matematikából és kiválók énekből, vagy nem jók matematikából és ugyanakkor nem kiválók énekből sem.

A fontosabb logikai műveletek értéktáblázatai


negáció, tagadás ("nem A", "NOT A"): ( ⌝A )

negáció
A ( ⌝A )
0 1
1 0

konjunkció ("A és B", "A AND B"): ( A ∧ B )

konjunkció
A B ( A ∧ B )
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

diszjunkció ("A vagy B", "A OR B"): ( A ∨ B ) (a diszjunkció az ún. megengedő vagy-nak felel meg; formális szövegekben szokásos erre az "és/vagy" kötőszó használata is)

diszjunkció
A B ( A ∨ B )
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

kizáró vagy ("A XOR B"): ( A ⨁ B )

kizáró vagy
A B ( A ⨁ B )
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

implikáció ("A-ból következik B"; A-t előtagnak, B-t utótagnak is szokás nevezni): ( A ⊃ B )

implikáció
A B ( A ⊃ B )
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

implikáció tagadása ("A de/és nem B", "A AND NOT B"): ( (⌝(A ⊃ B) ~ (A ∧ ⌝B))

implikáció
A B ⌝(A ⊃ B)
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0

ekvivalencia ("A ekvivalens B-vel"): ( A ≡ B )

ekvivalencia
A B ( A ≡ B )
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Az értéktáblázatok elkészítésének lépései

Legyenek 'p' és 'q' tetszőleges kijelentésváltozók (azaz olyan állítások, amelyek logikai értéke vagy 0, vagy 1). Vizsgáljuk meg az
F ⇋ (p⊃q)≡.(p∧q)
formula igazságértékét a 'p' és 'q' kijelentésváltozók különböző logikai értéke esetén.

Például ha |p|=1 és |q|=1, akkor az 'F' formula értékét az alábbi lépésekkel könnyen kiszámíthatjuk:

  1. az implikáció értéktáblázata alapján |p⊃q|=1 teljesül;
  2. a konjunkció értéktáblázata alapján |p∧q|=1 teljesül;
  3. az ekvivalencia értéktáblázata alapján pedig F=|(p⊃q)≡.(p∧q)|=|1≡1|=1 teljesül.

Ha az 'F' formula értékét a 'p' és 'q' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére ki akarjuk számítani, a könnyebb áttekintés érdekében érdemes a számítás részeredményeit egy értéktáblázatban összefoglalni.

p q p⊃q p∧q (p⊃q)≡.(p∧q)
0 0 1 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1

Vegyük észre, hogy a fenti értéktáblázat utolsó sora azokat a részeredményeket tartalmazza, amelyeket a 'p' és 'q' kijelentésváltozók |p|=1 és |q|=1 értéke mellett az 'F' formula kiszámításakor korábban már kiszámoltunk.


Egy másik példaként vizsgáljuk meg a
G ⇋ (p⊃q)∧⌝q⊃.⌝p
formula igazságértékét a 'p' és 'q' kijelentésváltozók különböző logikai értéke esetén. Vegyük észre, hogy az értéktáblázat most a 'p' és 'q' kijelentésváltozók negáltját is tartalmazza. (A könnyebb áttekintés érdekében az összetett formulák logikai értékeit tartalmazó oszlopokban kiemeltük az elvégzendő műveletet.)

p q p⊃q ⌝q (p⊃q)⌝q ⌝p (p⊃q)∧⌝q⊃.⌝p
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 1

Jegyezzük meg, hogy a 'G' formula kiszámításakor az utolsó lépés a pont (.) operátorral jelölt implikáció (⊃.) kiszámítása volt.

Az értéktáblázatból látszik, hogy a 'G' formula a 'p' és 'q' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz, vagyis logikai törvény. Később látni fogjuk, hogy ezzel a modus tollens következtetési szabályt igazoltuk.


Az értéktáblázatok gyakorlása

1. feladat: Töltse ki az értéktáblázat harmadik oszlopát az oszlop fejrészében megadott formulának megfelelően!

p q p⊃q
0 0
0 1
1 0
1 1

Hibás válaszok száma: ?


2. feladat: Töltse ki az értéktáblázat utolsó oszlopát az oszlop fejrészében megadott formulának megfelelően! (A táblázat ötödik és hatodik oszlopa segédoszlop, amit a program az utolsó oszlop ellenőrzése során nem vesz figyelembe. Ezek kitöltése nem kötelező, de ajánlott, mivel az oszlopok kitöltése segíti a végső formula meghatározását.)

p q ⌝p ⌝q ? ? ?
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 0

Hibás válaszok száma: ?


6.5. Formulák és értékelések (kiegészítő anyag)

Ennek a gondolatkörnek a zárásaként vezessünk be, ill. pontosítsunk néhány fontos fogalmat.

Azokat a formulákat, amelyek nem tartalmaznak szabad (azaz konkrét értékekkel helyettesíthető) változókat, zárt formuláknak nevezzük. Nyitott mondatokból a "minden" és a "létezik" (ill. "van olyan") kvantorokkal zárt formulákat képezhetünk. Egy zárt formuláról egy adott tárgyalási univerzumban mindig egyértelműen eldönthető, hogy az igazságértéke igaz vagy hamis. Például "Minden város a Duna mellett fekszik." hamis és "Van olyan város, amely a Duna mellett fekszik." igaz, ha a magyarországi városokat vesszük figyelembe a 'város' individuumváltozó alaphalmazaként. Vegyük észre, hogy egyik fenti állításban sincsenek szabad változók, ugyanis a "minden", ill. "van olyan" kvantorok után nem helyettesíthetünk be egyetlen konkrét városnevet sem.)

Amikor egy nyitott mondat változóinak értéket adunk (azaz a változók helyére a típusuknak megfelelő alaphalmazokból vett elemeket helyettesítünk), a formula konkretizálásáról vagy értékeléséről beszélünk. Az értékelt formulák egyértelmű (igaz vagy hamis) logikai értékkel rendelkező állítások. (Például "Paks a Duna mellett fekszik." egy értékelt formula.)

Mind a zárt formulák, mind az értékelt formulák egyértelmű logikai értékkel rendelkező állítások.

Összetett logikai kifejezések kiértékelésekor fontos a logikai műveletek sorrendje:

.

( ... )

Egy összetett logikai kifejezés kiértékelésekor

A pont (.) operátor nem önálló logikai művelet, a pontot mindig egy másik művelet után adjuk meg. A pont operátor azt jelzi, hogy a ponttal jelölt műveletet mindig utoljára kell végrehajtani.

Például értékeljük ki az A ∧ (A ∨ B) ≡. A összetett logikai kifejezést, ha |A|=1 és |B|=0.

  1. |A ∨ B| = |1 ∨ 0| = 1
  2. |A ∧ (A ∨ B)| = |A ∧ (A ∨ B)| = |A ∧ 1| = 1
  3. |A ∧ (A ∨ B) ≡. A| = |A ∧ (A ∨ B) ≡. A| = |1 ≡ A| = |1 ≡ 1| = 1

Figyeljük meg, hogy minden lépésben egy logikai műveletet értékeltünk ki (a művelet értéktáblázatának megfelelően), és a kapott részeredményeket felhasználtuk a kiértékelés további lépései során.

Készítsük el ezután az A ∧ (A ∨ B) ≡. A összetett logikai kifejezés értéktáblázatát az egyes műveletek kiértékelésének sorrendjében, és emeljük ki azt a sort, amelyben |A|=1 és |B|=0.

A B AB A(A∨B) A∧(A∨B)≡.A
1 1 1 1 1
1 0 1 1 1
0 1 1 0 1
0 0 0 0 1

Egy másik példaként készítsük el az A∧B⊃.A∨B logikai kifejezés értéktáblázatát.

A B AB AB A∧B⊃.A∨B
1 1 1 1 1
1 0 0 1 1
0 1 0 1 1
0 0 0 0 1

Végül pedig készítsük el az A⊃B≡.⌝B⊃⌝A logikai kifejezés értéktáblázatát.

A B AB B A ⌝B⌝A A⊃B≡.⌝B⊃⌝A
1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1

Gyakorló feladatok


7.1. Kijelentéslogika; logikai azonosságok

A kijelentéslogika esetében nem foglalkozunk a kijelentések "belső szerkezetével" (Szendrei-Tóth 1978: 14). A továbbiakban

Azt az állítást, hogy "egy 'p' kijelentés igaz", a szabvány-igaz állítás felhasználásával p≡⊤ módon, azt pedig, hogy mindig igaz (azaz az adott tárgyalási univerzumban |p|=1 teljesül, vagyis 'p' logikai törvény), |p≡⊤|=1 módon írhatjuk le. Ez utóbbit a továbbiakban p = ⊤ módon jelöljük. (Ezzel azt fejezzük ki, hogy "p ekvivalens a szabvány igaz állítással". Egy másik lehetőség az ekvivalencia kifejezésére a p ~⊤ jelölés. Később a logikai törvény jelölésére bevezetjük a ⊨ p jelölést is.)

Például formalizáljuk az alábbi kijelentést: "Az az állítás, hogy 'ha a fű piros, akkor zöld', igaz." Legyen

Ezekkel a jelölésekkel a kijelentés
p⊃q≡.⊤
módon formalizálható. Vizsgáljuk meg a kijelentést értéktáblázattal:

p q p⊃q (p⊃q)≡.⊤
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1

Mivel 'p' hamis állítás, ezért |p|=0. Az értéktáblázatban kiemeltük azokat a sorokat, amelyekben 'p' értéke 0. A kiemelt sorokban a vizsgált p⊃q≡.⊤ logikai kifejezés értéke 1 (függetlenül a 'q' állítás igazságtartalmától), vagyis a kijelentés igaz. Általánosan megfogalmazva: egy implikáció mindig igaz, ha az előfeltétel (előtag) hamis.

Ezután formalizáljuk az alábbi kijelentést egy zöld, füves réten: "Az az állítás, hogy 'ha a fű nedves, akkor zöld', igaz." Legyen

Ezekkel a jelölésekkel a kijelentés
p⊃q≡.⊤
módon formalizálható. Vizsgáljuk meg ezt a kijelentést is értéktáblázattal:

p q p⊃q (p⊃q)≡.⊤
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1

Mivel 'q' igaz állítás, ezért |q|=1. Az értéktáblázatban most azokat a sorokat emeltük ki, amelyekben 'q' értéke 1. A kiemelt sorokban sorokban a vizsgált p⊃q≡.⊤ logikai kifejezés értéke 1 (függetlenül a 'p' állítás igazságtartalmától), vagyis a kijelentés igaz. Általánosan megfogalmazva: egy implikáció mindig igaz, ha a következmény (utótag) igaz.

Ha két logikai kifejezés logikai értéke a kifejezésekben szereplő kijelentésváltozók minden lehetséges értékére azonos, akkor a logikai kifejezések ekvivalensek. (Ennek megfelelően, ha 'A' és 'B' ekvivalens logikai kifejezések, akkor minden esetben |A≡B|=1 teljesül. Az alábbiakban ezt A = B módon jelöljük.)

A logikai műveletek tulajdonságai alapján meg tudunk adni olyan logikai azonosságokat, amelyek ekvivalens logikai kifejezéseket adnak meg.

Legyenek A, B, C, ... tetszőleges kijelentésváltozók. A legfontosabb logikai azonosságok a következők (vö. Kopasz 1996: 12-17):

  • kettős tagadás: ⌝(⌝A) = A
  • a konjunkció idempotenciája: A∧A = A
  • a konjunkció kommutativitása: A∧B = B∧A
  • a konjunkció asszociativitása: (A∧B)∧C = A∧(B∧C)
  • konjunkció szabványkijelentésekkel:
    • A∧⊤ = A
    • A∧⊥ = 
  • a diszjunkció idempotenciája: A∨A = A
  • a diszjunkció kommutativitása: A∨B = B∨A
  • a diszjunkció asszociativitása: (A∨B)∨C = A∨(B∨C)
  • diszjunkció szabványkijelentésekkel:
    • A∨⊤ = 
    • A∨⊥ = A
  • disztributivitás:
    • A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)
    • A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)
  • abszorpció (elnyelés; elimináció):
    • A∧(A∨B) = A
    • A∨(A∧B) = A
  • de Morgan-féle azonosságok:
    • ⌝(A∧B) = ⌝A∨⌝B
    • ⌝(A∨B) = ⌝A∧⌝B

Ide sorolhatjuk a két alapvető logikai alapelvet kifejező összefüggéseket is:

  • az ellentmondás törvénye:
    • (A∧⌝A)  = 
  • a kizárt harmadik törvénye:
    • (A∨⌝A)  = 

A fenti azonosságok a három alapvető logikai művelet, a negáció, konjunkció és diszjunkció legfontosabb tulajdonságait írják le.

Az alábbi azonosságok segítségével a kizáró vagy, az implikáció és az ekvivalencia kifejezhető a negáció, konjunkció és diszjunkció segítségével (érdemes megjegyezni, hogy az ekvivalencia kifejezhető az implikáció és a konjunkció segítségével is):

  • a kizáró vagy kifejezése:
    • A⨁B = (A∨B)∧⌝(A∧B)
    • A⨁B = (A∧⌝B)∨(B∧⌝A)
  • az implikáció kifejezése:
    • A⊃B = ⌝A∨B
      • A⊃B = ⌝B⊃⌝A
    • A⊃B = (A∧B)∨(⌝A∧B)∨(⌝A∧⌝B)
      • A⊃B = (A∧B)∨⌝A
  • az ekvivalencia kifejezése:
    • A≡B = (A⊃B)∧(B⊃A)
    • A≡B = (A∧B)∨(⌝A∧⌝B)

Jegyezzük meg, hogy a fenti logikai azonosságokban használt "kiemelt" egyenlőségjel ( = ) az általa összekapcsolt logikai kifejezések ekvivalenciáját fejezi ki. (A logikai azonosságokban vagy "logikai egyenletekben" (vö. Kopasz 1996: 15) az egyenlőségjel bal- és jobboldalán szereplő logikai kifejezések a bennük szereplő kijelentésváltozók minden lehetséges értéke mellett azonos logikai értéket adnak. A logikai kifejezések ekvivalenciájának jelölésére szokásosabb az A~B jelölés, de az ekvivalenciát logikai törvényként felírva ugyanezt fejezi ki a ⊨ A≡B jelölés is.)

A logikai azonosságok igazságtáblázattal könnyen igazolhatóak.

Például igazoljuk az abszorpciót, azaz a
A∧(A∨B) = A
azonosságot egy igazságtáblázattal. A táblázat fehérrel kiemelt oszlopai az azonosság bal- és jobboldalán szereplő logikai kifejezések logikai értékét tartalmazzák.

A táblázatból leolvasható, hogy az abszorpciót kifejező azonosság bal- és jobboldalán szereplő logikai kifejezések értékei az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értéke mellett megegyeznek, vagyis az azonosság teljesül. Vegyük észre, hogy ez megfelel annak, hogy az A∧(A∨B)≡.A ekvivalencia az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz (vagyis logikai törvény).

A logikai azonosságokat átalakíthatjuk úgy, hogy eredményül érvényes logikai azonosságokat kapunk:


7.2. Logikai következmény, logikai következtetések

Legyenek P1, P2, ..., Pn és Q tetszőleges formulák.

A P1, P2, ..., Pn formuláknak a Q formula a következménye, ha minden olyan esetben, amikor a P1, P2, ..., Pn formulák igazak, akkor a Q formula is igaz (vö. Kopasz 1996: 18).

A köznyelvben szokásos elnevezés szerint: ha a Q formula a következménye a P1, P2, ..., Pn formuláknak, akkor azt mondjuk, hogy a P1, P2, ..., Pn premisszák és a Q konklúzió ok-okozati kapcsolatban állnak. Ezt az előző jelölésekkel ⊨ P1∧P2∧ ... ∧Pn⊃Q módon is kifejezhetjük.

Következtetésről beszélünk, ha adott premisszák teljesülése mellett megállapítjuk egy adott konklúzió teljesülését (azaz igazoljuk, hogy a konklúzió a premisszák következménye). (Ennek tipikus formája a "ha a premisszák teljesülnek, akkor a konklúzió is teljesül" következtetési forma. A fenti jelölésekkel ez
    "ha P1, P2, ..., Pn mindegyike teljesül, akkor Q teljesül", vagy
    "P1, P2, ..., Pn teljesüléséből következik Q teljesülése"
módon fogalmazható meg.)

Azt, hogy a P1, P2, ..., Pn premisszák következménye a Q konklúzió,
P1, P2, ..., Pn ⊨ Q
módon jelöljük. Szokásos a

P1, P2, ..., Pn
Q

vagy

P1
P2
...
Pn
Q

jelölés is.

A következtetések általános formulája (vagy sémája) logikai műveletekkel kifejezve a következő:

A P1, P2, ..., Pn premisszáknak a Q konklúzió akkor és csak akkor következménye, ha a
P1∧P2∧...∧Pn ⊃ Q
általános formula minden esetben teljesül.

Ha egy adott formula teljesül
– a benne szereplő individuumváltozók minden lehetséges értékére,
– a formula értelmezésére használt tárgyalási univerzum összes lehetséges alaphalmaza esetén,
akkor logikai törvényről beszélünk. A logikai törvényeket a jellel jelöljük.

Például tekintsük egy olyan formulát az iskola univerzumban, amelyben minden individuumváltozó alaphalmaza egy adott osztály tanulóinak halmaza. Ez a formula az iskola univerzumban akkor és csak akkor logikai törvény, ha minden osztály minden tanulójára igaz.

A logikai következtetésre vonatkozó általános formulában a "minden esetben teljesül" megfelel annak, hogy a P1∧P2∧...∧Pn ⊃ Q formula logikai törvény. Ezt
⊨ P1∧P2∧...∧Pn ⊃ Q
módon jelöljük.

Ha egy formula előállítható adott számú kijelentésváltozó összetett logikai kifejezéseként (vagyis az ∧, ∨, ⌝, ⊃, ≡ stb. logikai műveletek segítségével), és teljesül, hogy a kijelentésváltozók minden lehetséges értékére a formula igaz, akkor a formula logikai törvény, amely bármilyen tárgyalási univerzumban teljesül (ún. propozicionális tautológia, vö. Dragálin-Buzási 1986: 81-83).

Például a "ha egy tanuló kitűnő, akkor kiváló matematikából" az iskola univerzumban logikai törvény, feltéve, hogy a "kitűnő" 5.0 átlagot, a "kiváló" pedig egy adott tárgyból jeles (pl. matematikából 5-ös) eredményt jelent. Ha bevezetjük a P(x) ⇋ "az 'x' tanuló kitűnő" és Q(x) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló matematikából" formulákat, és ezeket a p ⇋ P(x) és q ⇋ Q(x) kijelentésváltozókkal jelöljük, akkor a fenti állítás p⊃q módon formalizálható. Mivel ez az iskola univerzumban minden osztályra igaz, ezért
    ⊨ p⊃q
teljesül. Azonban ez nyilvánvalóan nem tautológia, mivel pl. |p|=1 és |q|=0 esetén p⊃q hamis.
Ezzel szemben például a modus ponens következtetési sémának megfelelő
    p∧(p⊃q)⊃.q
összetett logikai kifejezés tautológia, mivel könnyen (ti. egy négy soros igazságtáblázattal) ellenőrizhető, hogy a 'p' és 'q' kijelentésváltozók bármely értékére igaz. Tehát a kifejezés az iskola univerzumban is logikai törvény, amit ⊨ p∧(p⊃q)⊃.q módon fejezhetünk ki. Ezt a 'p' és 'q' kijelentésváltozók fenti értelmezése mellett a következőképpen olvashatjuk: "ha egy 'x' tanuló kitűnő (p) és minden tanulóra igaz, hogy a kitűnő tanulók (p) jegye jeles matematikából (q), akkor az 'x' tanuló jeles matematikából (q)".

A következtetések helyességének igazolásakor a konklúzió logikai értékét kell megvizsgálnunk minden olyan esetben, amikor a premisszák igazak. Ezt például a következőképpen tehetjük meg:

Egy másik lehetőség a P1, P2, ..., Pn ⊨ Q következtetés helyességének igazolására az, hogy megpróbáljuk a logikai műveletekre vonatkozó azonosságok alapján a P1∧P2∧ ... ∧Pn⊃Q összetett logikai kifejezést mint logikai azonosságot levezetni.


Legyen például

P1=A∨⌝B
P2=⌝A⊃B
Q=A

Vizsgáljuk meg a P1, P2 ⊨ Q, azaz az ⊨ (A∨⌝B)∧(⌝A⊃B)⊃.A következtetés helyességét az alábbi értéktáblázat alapján (vö. Kopasz 1996: 18):

A B ⌝B A∨⌝B
(P1)
⌝A ⌝A⊃B
(P2)
P1∧P2 A
(Q)
P1∧P2⊃Q
1 1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0 0 0 1

Az értéktáblázatból látszik, hogy P1, P2 ⊨ Q teljesül.

Vegyük észre, hogy a táblázat utolsó oszlopában ábrázolt P1∧P2⊃Q logikai kifejezés az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz.

A fenti formális következtetés például megfeleltethető az alábbi példának:

P1 ⇋ "Az ég borús vagy nem süt a nap."
P2 ⇋ "Ha az ég nem borús, akkor süt a nap."
Q ⇋ "Az ég borús."

Megjegyzés:
– "Az ég borús vagy nem süt a nap." (P1) logikailag azt fejezi ki, hogy vagy az ég borús, vagy a nap nem süt (vagy esetleg mindkettő teljesül). Ha azonban az ég nem borús, akkor P1 csak akkor lehet igaz, ha nem süt a nap.
– P2 semmit sem mond arról, hogy ha az ég borús, akkor ennek milyen következménye van (a napsütésre nézve), vagyis a konklúzió (Q) fennállása mellett mindkét premissza igaz. (Formálisan: ha Q igaz, akkor a P2 által kifejezett implikáció előfeltétele hamis, tehát P2 igaz.)
– Ha viszont az ég nem borús (azaz ⌝Q igaz), akkor P2-ből az következik, hogy süt a nap. Fentebb azonban láttuk, hogy ez ellentmondásban van azzal, hogy P1 igaz, tehát ⌝Q nem lehet a következtetés konklúziója.


A fenti következtetés formálisan is igazolható:

P1∧P2 ~
(A∨⌝B)∧(⌝A⊃B) ~
(A∨⌝B)∧(⌝⌝A∨B) ~
(A∨⌝B)∧(A∨B) ~
A∨(⌝B∧B) ~
A∨⊥ ~
A

Vagyis P1∧P2⊃A, következésképpen P1∧P2⊨A teljesül.


7.3. Összetett érvelések, levezetések (kiegészítő anyag)

Mind a mindennapi következtetések esetében ("józan ésszel" gondolkodva), mind a tudományos gondolatmenetek során meghatározott következtetési sémákat használunk.

Az egyik legalapvetőbb következtetési séma a modus ponens, amelynek formális leírása a következő:
A , ( A ⊃ B ) ⊨ B
Ez a séma kifejezi, hogy ha az 'A' állítás igaz, és az 'A' állításból következik a 'B' állítás, akkor a 'B' állítás igaz.

Például az alábbi következtetés
    "Az ég nem borús." és "Ha az ég nem borús, akkor süt a nap.", akkor "Süt a nap."
a modus ponens következtetési logikáját követi.

A következtetési sémákban
– a premisszák (P1,P2,...) és a konklúzió (Q) helyén meghatározott formulák szerepelnek,
– amelyeket úgy választunk meg, hogy a sémák mint összetett formulák minden esetben teljesüljenek.
Például az alapvető modus ponens séma esetében P1 ⇋ A, P2 ⇋ (A⊃B), és Q ⇋ B (ahol A és B tetszőleges kijelentésváltozók). A modus ponens séma a premisszák és a konklúzió ilyen megválasztása esetén az A és B kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz logikai értéket ad (amely például egy értéktáblázat segítségével könnyen igazolható).

A következtetési sémákból további érvényes sémákat kaphatunk a helyettesítés elvének és a pótlás elvének a felhasználásával. Jegyezzük meg, hogy a korábban megismert logikai azonosságokból további következtetési sémák kaphatók. Például az A∧⊤ = A azonosságból megkaphatjuk az A∧⊤ ⊨ A következtetési sémát.

Egy következtetés akkor és csak akkor érvényes, ha sémája érvényes, azaz, ha érvényes következtetési séma behelyettesítésével keletkezett. (Margitay 2014: 134)

Példaként bizonyítsuk be a korábban vizsgált

P1=A∨⌝B
P2=⌝A⊃B
Q=A

következtetés érvényességét. A következtetések általános formulájának megfelelően azt kell igazolnunk, hogy az
(A∨⌝B)∧(⌝A⊃B)⊃.A
formula az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz.

A logikai azonosságokat felhasználva a kiinduló formulát alakítsuk át úgy, hogy minden lépésben egymással logikailag ekvivalens kifejezésekhez jussunk:
(A∨⌝B)∧(⌝AB)⊃.A = 
(A∨⌝B)(A∨B)⊃.A = 
A∨(⌝BB)⊃.A = 
A∅⊃.A = 
A⊃A
adódik. Ez az implikáció tulajdonságai miatt mindig igaz, mivel az ok (ill. előfeltétel, előtag) és okozat (ill. következmény, utótag) azonossága miatt az A⊃A formulában nem fordulhat elő a 0⊃1 helyettesítés. (Jegyezzük meg, hogy az azonosság törvénye éppen az A⊃A levezetési szabály érvényességét mondja ki.)

Nagyon fontos azonban annak a tudatosítása, hogy egy következtetés helyessége nem jelenti automatikusan azt, hogy igazat, ill. értelmes dolgot mondunk. Ehhez a következtetésekben használt premisszáknak is igazaknak (és értelmeseknek) kell lenniük.


Ezek után próbáljuk meghatározni, hogy egy összetett érvelés (pl. matematikai bizonyítás, levezetés) milyen általános formát követ.

Ha az A1, A2, ..., Ak premisszáknak következménye a P1, P2, ..., Pn konklúzió, azaz
A1, A2, ..., Ak ⊨ P1
A1, A2, ..., Ak ⊨ P2
...
A1, A2, ..., Ak ⊨ Pn
teljesül, és
a P1, P2, ..., Pn premisszáknak következménye a Q konklúzió, azaz
P1, P2, ..., Pn ⊨ Q
teljesül, akkor
A1, A2, ..., Ak ⊨ Q
is teljesül,
vagyis az A1, A2, ..., Ak premisszáknak is következménye lesz a Q konklúzió (vö. Szendrei-Tóth 1978: 52).

Jegyezzük meg, hogy az előzőek alapján az A1, A2, ..., Ak ⊨ Pi (i=1,2,...,n) és P1, P2, ..., Pn ⊨ Q következtetéseknek meg kell felelniük valamelyik érvényes következtetési sémának.

Egy levezetés tehát egy adott tárgyalási univerzumban a következő elemekből áll:
  – kezdeti premisszákból (amelyek az adott tárgyalási univerzumban értelmezett formulák);
  – a következtetési sémák többszöri, a fenti általános formának megfelelő alkalmazásából (a sémákban szereplő kijelentésváltozókat az adott tárgyalási univerzumban értelmezett formulákkal helyettesítve);
  – a végső konklúzióból (amely szintén az adott tárgyalási univerzumban értelmezett formula).


Példaként próbáljunk meg levezetni egy halmazok közötti összefüggést. Legyen a tárgyalási univerzum az 'I' alaphalmaz (ennek elemei és részhalmazai). Ebben teljesül az alábbi összefüggés:

Ha A⊆B és C⊆D tetszőleges halmazok, akkor A∩C⊆B∪D teljesül.

Emlékeztető:
A részhalmaz reláció (⊆), a metszetképzés (∩) és az unióképzés (∪) meghatározásából következnek az alábbi összefüggések tetszőleges x∈I elemre és A, B, C, D⊆I halmazokra:
  • x∈A ∧ A⊆B ⇒ x∈B
  • x∈C ∧ C⊆D ⇒ x∈D
  • x∈A∩C ⇔ x∈A ∧ x∈C
    • x∈A∩C ⇒ x∈A ∧ x∈C
    • x∈A ∧ x∈C ⇒ x∈A∩C
  • x∈B∪D ⇔ x∈B ∨ x∈D
    • x∈B∪D ⇒ x∈B ∨ x∈D
    • x∈B ∨ x∈D ⇒ x∈B∪D

A bizonyítás lépései (a premisszák: P2 ⇋ A⊆B és P4 ⇋ C⊆D) :

x∈A∩C ∧ A⊆B ∧ C⊆D
x∈A∩C ⇒ x∈A ∧ x∈C (U ⊨ V)
x∈A ∧ x∈C ⇒ x∈A (V ⊨ P1; ld. a szűkítés szabályát)
x∈A ∧ A⊆B ⇒ x∈B (P1, P2 ⊨ R1)
x∈A ∧ x∈C ⇒ x∈C (V ⊨ P3; ld. a szűkítés szabályát)
x∈C ∧ C⊆D ⇒ x∈D (P3, P4 ⊨ R2)
x∈B ∧ x∈D ⇒ x∈B∩D (R1, R2 ⊨ Q')
x∈B ⇒ x∈B ∨ x∈D (R1 ⊨ S; ld. a bővítés szabályát)
x∈B ∨ x∈D ⇒ x∈B∪D (S ⊨ Q)
x∈B∪D (U, P2 ⊨ Q)

Megjegyzés: a fenti következtetéshez a P4 premisszán keresztül is eljuthattunk volna, ugyanis teljesen hasonló lépésekkel U, P4 ⊨ Q is levezethető.

Ezzel bizonyítottuk, hogy egy tetszőleges x∈A∩C elemre a megadott feltételek mellett x∈B∪D teljesül (vö. U, P2 ⊨ Q). Ez a részhalmaz reláció (⊆) definíciója miatt éppen azt jelenti, hogy A∩C⊆B∪D teljesül, amit bizonyítani akartunk (q.e.d.).

A bizonyítás szürkével jelölt soraiból az is látszik, hogy a megadott feltételek mellett A∩C⊆B∩D is teljesül (vö. U, P2, P4 ⊨ Q').


A következtetési sémák, ill. levezetések helyes használata az alábbiakat eredményezi:

Tekintsük az alábbi példát a természetes számok halmazán mint tárgyalási univerzumban. Döntsük el (osztás nélkül!), hogy 1971 osztható-e 3-mal? (vö. Borsodi 1972: 309)

Értelmezzük az alábbi formulákat a természetes számok halmaza (ℕ) mint tárgyalási univerzum felett:

  • P1(x) ⇋ "az x∈ℕ természetes szám számjegyeinek összege osztható 3-mal"
  • Q(x) ⇋ "az x∈ℕ természetes szám osztható 3-mal"
  • P2(x) ⇋ P1(x)⊃Q(x)

Az alapvető modus ponens következtetési szabály alapján a
P1(x), P1(x)⊃Q(x) ⊨ Q(x)
következtetés helyes. Korábbi iskolai tanulmányainkból tudjuk, hogy a P1(x)⊃Q(x) állítás minden x∈ℕ természetes számra igaz. Ezért azokra az x∈ℕ természetes számokra, amelyekre P1(x) igaz, a modus ponens szabály alapján Q(x) is igaz lesz.

Jegyezzük meg, hogy
(1) a fenti következtetés bármilyen természetes számra igaz, vagyis olyan x'∈ℕ természetes számokra is, amelyre P1(x') nem teljesül (de ekkor általánosan semmilyen következtetést nem tudunk levonni Q(x')-re vonatkozóan);
(2) esetünkben azonban nemcsak a P1(x)⊃Q(x) implikáció, hanem speciálisan a P1(x)≡Q(x) ekvivalencia is igaz minden természetes számra. (Egy természetes szám akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek az összege osztható 3-mal.) Az ekvivalenciára vonatkozó logikai azonosság és a szűkítés szabálya miatt érvényes a
    P1(x)≡Q(x) ⊨ Q(x)⊃P1(x)
következtetési séma. A modus tollens szabályt alkalmazva ebből
    Q(x)⊃P1(x), ⌝P1(x) ⊨ ⌝Q(x)
adódik, vagyis azokra az x'∈ℕ természetes számokra, amelyekre P1(x') nem teljesül, Q(x') sem teljesül.

Megállapíthatjuk, hogy az x=1971 természetes számra

  • P1(1971) igaz (ugyanis 1+9+7+1=18=6*3 osztható 3-mal);
  • emiatt Q(1971) is igaz lesz;
  • tehát arra a következtetésre jutottunk, hogy 1971 osztható 3-mal.

Jegyezzük meg végül, hogy a kapott következtetéshez egy lépésben is eljuthatunk, ha a kategorikus szillogizmus következtetési szabályát alkalmazzuk.


7.4. Következtetési sémák

Legyenek A, B és C tetszőleges formulák.

Az érvényes következtetések levonását számos következtetési (vagy levezetési) szabály segíti. Ezek olyan formulák, amelyek a bennük szereplő kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igazak (azaz logikai törvények). Ezt a továbbiakban az ⊨ szimbólummal jelöljük.

Lássunk néhányat a fontosabb következtetési szabályok közül (vö. Dragálin-Buzási 1986: 110, 122-125 et passim):

Ismerjünk meg néhány további, két premisszát tartalmazó alapvető következtetési sémát vagy szillogizmust is (Kopasz 1996: 19-20):

A fenti következtetési szabályokat és sémákat átalakíthatjuk úgy, hogy eredményül további, érvényes szabályokat vagy sémákat kapunk (vö. Ruzsa 1968b: 544):

Végül emeljük ki azt a korábban már említett összefüggést, amely szerint a logikai azonosságok maguk is kétirányú ("megfordítható") következtetési szabályoknak vagy sémáknak tekinthetők (vö. Borsodi 1972: 313).

Az esetelemzés szabálya például az alábbi logikai azonosság egyik következménye:
(A⊃C)∧(B⊃C) = (A∨B)⊃C

A fenti azonosság azonos átalakításokkal könnyen belátható:
    (A⊃C)∧(B⊃C) = 
    (⌝A∨C)∧(⌝B∨C) = 
    (⌝A∧⌝B)∨C = 
    ⌝(A∨B)∨C = 
    (A∨B)⊃C (q.e.d.)

A fenti logikai azonosságból az alábbi két következtetési szabályt kapjuk:

Gyakorló feladatok


8.1. Példák következtetési sémák használatára

A következőkben példákat mutatunk be a következtetési sémák helyes használatára. Minden példát megadunk

A szöveges példák során olyan értelmes mondatokat adunk meg az iskola univerzumban (a benne levő osztályokkal, tanulókkal, tantermekkel, taneszközökkel stb.), amelyek egy adott következtetési séma helyes használatát mutatják be. A példák során a premisszák külön sorokban szerepelnek, és a belőlük levonható következtetést az alattuk levő vonal alatt adjuk meg.

Minta:

(... példa) (modus ponens)
Róza figyelmesen elolvassa és megérti a kiválasztott feladat szöveges példáját.
Ha Róza figyelmesen elolvas és megért egy feladatot, akkor meg is tudja oldani.
Róza meg tudja oldani a kiválasztott feladatot.

(1) A szöveges példákban szereplő állítások rendszerint nyitott mondatok, amelyek egy vagy több predikátumot és különböző típusú individuumváltozókat tartalmaznak. Az individuumváltozók meghatározott alaphalmazokból vehetnek fel értékeket (amelyeket az iskola univerzumban jól ismertnek tételezünk fel).

A fenti szöveges példában szereplő állítások esetén egy individuumváltozót használunk, amely a különböző feladatok alaphalmazából vehet fel értékeket. (Ha Róza helyett 'egy tanuló" szerepelne a mondatokban, akkor egy olyan individuumváltozót is bevezetnénk, amely a tanulók alaphalmazából vehet fel értékeket.)

(2) A példákat halmazok közötti összefüggések segítségével is megadjuk. Ezekben legyen I egy alaphalmaz, legyenek A, B, C⊆I meghatározott halmazok, x∈I pedig egy adott halmazelem (amelyekre a feladatokban megfogalmazott állítások teljesülnek).

(3) A példákban P1 és P2 jelentsenek premisszákat, és Q ezek egy lehetséges következményét.

Minden példa esetében a P1, P2 ⊨ Q következtetés teljesül.

(a1) (modus ponens)
P1 ⇋ x∈A
P2 ⇋ A⊆B
Q = x∈B

A feladatban felhasznált következtetési séma: modus ponens.

Egy lehetséges megoldás:
Julcsi az 1.a osztályba jár. (P1)
Az 1.a osztály a Kossuth Általános Iskola egyik osztálya. (P2)
Julcsi a Kossuth Általános Iskolába jár. (Q)

Megjegyzés: egy iskolát egy olyan, tanulókból álló halmaznak tekintjük, akik az adott iskolába, és azon belül egy meghatározott osztályba járnak. Feltesszük továbbá, hogy egy osztály tanulói mindannyian egy iskolába járnak (másképpen megfogalmazva nincs olyan osztály, amelynek a tanulói különböző iskolákba járnak).
A fenti példában tehát
    Julcsi (x) az 1.a osztályba (A) jár. ⇋ x∈A
    Az 1.a osztály (A) a Kossuth Általános Iskola (B) egyik osztálya. ⇋ A⊆B
    Julcsi (x) a Kossuth Általános Iskolába (B) jár. ⇋ x∈B

A következtetés az alábbi módon igazolható. A részhalmaz reláció (⊆) definíciója miatt:
P2 ⇋ "az 'A' halmaz minden eleme eleme a 'B' halmaznak is".
Ez formálisan a következőképpen írható le:
P2 ⇋ (tetszőleges x∈A esetén) x∈A ⊃ x∈B
Vegyük észre, hogy A⊆B fennállása esetén az (x∈A ⊃ x∈B) implikáció bármely x∈I elem esetén igaz, amiből a modus ponens következtetési séma alapján
x∈A , (x∈A ⊃ x∈B) ⊨ x∈B
következik. Ennek alapján
P1 , P2 ⊨ x∈B
teljesül, vagyis a keresett Q formulára
Q = x∈B
adódik.

(a2) (modus ponens)
P1 x∈A
P2 ⇋ A⊆B;
Q = x∉B

A feladatban felhasznált következtetési séma: modus ponens (második variációja).

Egy lehetséges megoldás:
Julcsi az 1.a osztályba jár. (P1)
Az 1.a osztály nem a Kossuth Általános Iskola egyik osztálya. (P2)
Julcsi nem a Kossuth Általános Iskolába jár. (Q)
(b1) (indirekt bizonyítás)
P1 x∈A
P2BA;
Q = x∈B

A feladatban felhasznált következtetési séma: indirekt bizonyítás.

Egy lehetséges megoldás:
Julcsi az 1.a osztályba jár. (P2)
A Kossuth Általános Iskolán kívül egyetlen iskolának sincs 1.a osztálya. (P1)
Julcsi a Kossuth Általános Iskolába jár. (Q)
(b2) (indirekt bizonyítás)
P1 x∈A
P2 ⇋ B⊆A;
Q = x∉B

A feladatban felhasznált következtetési séma: indirekt bizonyítás (második változat).

Egy lehetséges megoldás:
Julcsi az 1.a osztályba jár. (P2)
A Kossuth Általános Iskolának nincs 1.a osztálya. (P1)
Julcsi nem a Kossuth Általános Iskolába jár. (Q)
(c) (modus tollens)
P1 ⇋ A⊆B
P2 x∉B
Q = x∉A

A feladatban felhasznált következtetési séma: modus tollens.

Egy lehetséges megoldás:
Az 1.a osztály a Kossuth Általános Iskola egyik osztálya. (P1)
Julcsi nem a Kossuth Általános Iskolába jár. (P2)
Julcsi nem az 1.a osztályba jár. (Q)
(d) (modus tollendo ponens)
P1 ⇋ x∈A∪B
P2 x∉A
Q = x∈B

A feladatban felhasznált következtetési séma: modus tollendo ponens.

Egy lehetséges megoldás:
Julcsi az 1.a osztályba vagy az 1.b osztályba jár. (P1)
Julcsi nem az 1.b osztályba jár. (P2)
Julcsi az 1.a osztályba jár. (Q)
(e) (de Morgan szabály és modus tollendo ponens)
P1 ⇋ x∉(A∩B)
P2 ⇋ x∈A
Q = x∉B

A feladatban felhasznált következtetési sémák: de Morgan azonosság és modus tollendo ponens

Egy lehetséges megoldás:
Julcsi nem a Kossuth Általános Iskola 1.a osztályába jár. (P1)
Julcsi az 1.a osztályba jár. (P2)
Julcsi nem a Kossuth Általános Iskolába jár. (Q)

Emlékezzünk vissza rá, hogy a halmazokra vonatkozó de Morgan azonosság alapján
    (A∩B) = (AB)
teljesül. Ha x∈I egy tetszőleges tanuló, akkor a p ⇋ x∈A és q ⇋ x∈B kijelentésekkel ez
    ⌝(p∧q) = (⌝p∨⌝q)
módon írható le, ami éppen a kijelentésekre érvényes de Morgan azonosság. Ennek megfelelően az előző megoldás P1 premisszája átfogalmazható:
   "Julcsi nem a Kossuth Általános Iskolába jár vagy Julcsi nem az 1.a osztályba jár."
Jegyezzük meg, hogy a fenti kijelentésben megengedő vagy szerepel, vagyis lehetséges, hogy Julcsi nem a Kossuth Általános Iskola tanulója és nem is az 1.a osztályba jár.

(f) (láncszabály)
P1 ⇋ A⊆B
P2 ⇋ B⊆C
Q = A⊆C

A feladatban felhasznált következtetési séma: láncszabály

Egy lehetséges megoldás:
Bori és Julcsi nagyon szeretik a matematikát. (P1)
Azok a tanulók, akik szeretik a matematikát, az 1.a osztályba járnak. (P2)
Bori és Julcsi az 1.a osztályba járnak. (Q)
(g) (ekvivalencia kifejezése)
P1 ⇋ A⊆B
P2 ⇋ B⊆A
Q = (A=B)

A feladatban felhasznált következtetési séma: az ekvivalencia kifejezése az implikáció segítségével.

Egy lehetséges megoldás:
Azok a tanulók, akik szeretik a matematikát, az 1.a osztályba járnak. (P1)
Azok a tanulók, akik az 1.a osztályba járnak, szeretik a matematikát. (P2)
Azok a tanulók, akik szeretik a matematikát, és azok a tanulók, akik az 1.a osztályba járnak, ugyanazok. (Q)
(h) (esetelemzés)
P1 ⇋ A⊆C
P2 ⇋ B⊆C
Q = (A∪B)⊆C

A feladatban felhasznált következtetési séma: az esetelemzés szabálya

Egy lehetséges megoldás:
Azok a tanulók, akik szeretik a matematikát, az 1.a osztályba járnak. (P1)
Azok a tanulók, akik szeretik az éneket, az 1.a osztályba járnak. (P2)
Azok a tanulók, akik szeretik a matematikát vagy szeretik az éneket, az 1.a osztályba járnak. (Q)
(i) (reductio ad absurdum)
Vezessük be az alábbi halmazokat:
  • A ⇋ "az osztály tanulói"
  • Pal ⇋ "a Pál utcai fiúk"
  • Red ⇋ "a Vörösingesek"
  • Mat ⇋ "azok a tanulók, akik szeretik a matematikát"
  • Acs ⇋ "Ács Feriék"
Venn-diagram: A Pál utcai fiúk és a Vörösingesek osztálya
P1 ⇋ A=Pal∪Red
P2 ⇋ Pal⊆Mat
P3 ⇋ Acs⊆Mat
Q = Acs⊆Red

A feladatban felhasznált következtetési séma: az ellentmondásra való visszavezetés (reductio ad absurdum, második variáció)

Egy lehetséges megoldás:
Az osztályba a Pál utcai fiúk és a Vörösingesek járnak. (P1)
A Pál utcai fiúk szeretik a matematikát. (P2)
Ács Feriék nem szeretik a matematikát. (P3)
Ács Feriék Vörösingesek. (Q)

Vegyük észre, hogy a megoldás első mondatában az és kötőszó logikai vagy értelemben szerepel. Átfogalmazva:
P1 ⇋ "Az osztály tanulói vagy Pál utcai fiúk, vagy Vörösingesek."
Jegyezzük meg, hogy azt, hogy egy mondatban megengedő vagy kizáró vagy szerepel, általában csak a tágabb szövegkörnyezetből tudjuk eldönteni.

A reductio ad absurdum alapján történő levezetés a következő lépésekből áll:
Tegyük fel ("indirekt feltevés"), hogy Ács Feriék Pál utcai fiúk.
Mivel a Pál utcai fiúk szeretik a matematikát (P2), ezért (a láncszabály miatt) Ács Feriék is szeretik a matematikát.
De mivel tudjuk, hogy Ács Feriék nem szeretik a matematikát (P3), az indirekt feltevés ellentmondásra vezetett, tehát Ács Feriék nem lehetnek Pál utcai fiúk.
Mivel az osztályba a Pál utcai fiúk és a Vörösingesek járnak (P1), és Ács Feriék nem Pál utcai fiúk, ezért (a modus tollendo ponens séma miatt) Ács Feriék Vörösingesek (Q).


8.2. Predikátumlogika. A logikai műveletek és a halmazműveletek kapcsolata.

A predikátumlogika esetében formulákkal foglalkozunk, és figyelembe vesszük a kijelentések "belső szerkezetét", amely "a predikátumok felhasználása révén tárul fel" (Szendrei-Tóth 1978: 63).

A logikai műveletek és a halmazműveletek között szoros kapcsolat van. Ennek leírására szükségünk van az igazsághalmaz fogalmára.

Legyen I egy alaphalmaz és F(x):I→{0,1} egy egyváltozós formula. Tekintsük az I alaphalmaznak azt a legbővebb részhalmazát, amelyben az F(x) formula minden értékelése igaz logikai értéket ad. Ezt a részhalmazt az F(x) formula igazsághalmazának nevezzük és IF(x) módon jelöljük.

Az F(x) formula IF(x)⊆I igazsághalmaza az I alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az F(x) formula igaz. Formálisan:
    IF(x) ⇋ {x∈I | |F(x)|=1}

Megjegyzések:


Példaként legyenek P(x) és Q(x) a tanulók I alaphalmazán értelmezett (atomi) formulák, amelyekben egyváltozós predikátumok fordulnak elő:

P(x) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló matematikából";
Q(x) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló énekből".

Tekintsük az I alaphalmaznak azokat a legbővebb részhalmazait, amelyekben a P(x), ill. Q(x) formulák minden értékelése igaz logikai értéket ad. Ekkor a P(x), ill. Q(x) formulák igazsághalmazait kapjuk:

IP = {x∈I | |P(x)|=1}⊆I (a matematikából kiváló tanulók halmaza)
IQ = {x∈I | |Q(x)|=1}⊆I (az énekből kiváló tanulók halmaza)

Határozzuk meg ezek után az I alaphalmaznak azokat a legbővebb részhalmazait, amelyekben a P(x), ill. Q(x) formulákból a fontosabb logikai műveletek segítségével képzett összetett formulák minden értékelése igaz logikai értéket ad. Ennek megfelelően értelmezzük a következő igazsághalmazokat:

Az összetett állítások és az igazsághalmazok kapcsolata úgy fejezhető ki, hogy egy F(x) összetett formula az 'x' individuumváltozó egy adott t∈I értékére akkor és csak akkor igaz (|F(t)|=1), ha t∈IF teljesül.

Második példaként tekintsük az I (véges) alaphalmazt, és legyen A⊆I, B⊆I ennek két tetszőleges részhalmaza. Értelmezzük a P(x) és Q(x) (atomi) formulákat a következőképpen:
P(x) ⇋ "x∈A"
Q(x) ⇋ "x∈B"

Ekkor a P(x), ill. Q(x) formulák igazsághalmazai:

IP = {x∈I | |P(x)|=1} = {x∈I | x∈A} = A⊆I
IQ = {x∈I | |Q(x)|=1} = {x∈I | x∈B} = B⊆I

A fontosabb logikai műveletek igazsághalmazai a halmazműveletek definíciói alapján könnyen meghatározhatók:

logikai kifejezés igazsághalmaz
⌝P(x) (negáció) A
P(x)∧Q(x) (konjunkció) A∩B
P(x)∨Q(x) (diszjunkció) AB
P(x)⊃Q(x) (implikáció) (A∩B)A
AB
P(x)≡Q(x) (ekvivalencia) (A∩B)(AB)
(AB)∩(BA)

Emeljük ki, hogy ha a P(x)⊃Q(x) implikáció minden x∈I elem esetén teljesül, az a részhalmaz reláció meghatározása alapján pontosan azt fejezi ki, hogy A⊆B teljesül (azaz az A⊆I halmaz részhalmaza a B⊆I halmaznak).


8.3. Kvantifikáció

Legyen A(x) tetszőleges formula a H alaphalmazon. Vezessük be a következő két logikai szimbólumot, ún. kvantort:

Az univerzális kvantor szoros kapcsolatban áll a konjunkcióval. Ha a 'H' alaphalmaz véges, akkor úgy tekinthetjük, mint az alábbi konjunkciók sorozatát:
   ∀x A(x) = A(x1)∧A(x2)∧...∧A(xn)
ahol az x1, x2, ..., xn elemek az x∈H változó összes lehetséges értékét jelentik.

Emiatt "az univerzális kvantifikáció a konjunkció általánosításaként is felfogható" (Szendrei-Tóth 1978: 70), vagyis ∀x A(x) ≃ A(x1)∧A(x2)∧...∧A(xn)∧...

Az egzisztenciális kvantor szoros kapcsolatban áll a diszjunkcióval. Ha a 'H' alaphalmaz véges, akkor úgy tekinthetjük, mint az alábbi diszjunkciók sorozatát:
   ∃x A(x) = A(x1)∨A(x2)∨...∨A(xn)
ahol az x1, x2, ..., xn elemek az x∈H változó összes lehetséges értékét jelentik.

Emiatt "az egzisztenciális kvantifikáció a diszjunkció általánosításának is tekinthető" (Szendrei-Tóth 1978: 72), vagyis ∃x A(x) ≃ A(x1)∨A(x2)∨...∨A(xn)∨...


Példaként legyenek ismét P(x) és Q(x) a tanulók I alaphalmazán értelmezett alábbi formulák:

P(x) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló matematikából";
Q(x) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló énekből".

Ekkor az univerzális és egzisztenciális kvantorok segítségével zárt formulákat képezhetünk:

Nézzünk néhány példát összetett logikai kifejezések kvantifikációjára is:


A kvantorok segítségével ún. kategorikus állítások fogalmazhatóak meg. A kategorikus állításokat tartalmazó, két premisszával rendelkező következtetési szabályok az ún. kategorikus szillogizmusok. Például a modus ponens szabály megfelelője a következő:

A(x0) , ∀x (A(x)⊃B(x)) ⊨ B(x0)

Ezt a következtetési sémát "ha az A(x)⊃B(x) implikáció minden x∈H elem esetén teljesül és egy adott x0∈H elemre A(x0) igaz, akkor erre az x0∈H elemre B(x0) is igaz lesz" módon olvashatjuk.

Például ha egy adott 'I' osztályban teljesül a |∀x (P(x)⊃Q(x))|=1 törvény, és ha az osztályban |P("Pisti")|=1 is teljesül, akkor a

    P("Pisti") , ∀x (P(x)⊃Q(x)) ⊨ Q("Pisti")

következtetés premisszái teljesülnek. Tehát mivel Pisti kiváló matematikából, ebben az 'I' osztályban biztosan teljesül, hogy kiváló énekből is. (Jegyezzük meg, hogy |∀x (P(x)⊃Q(x))|=1 nem logikai törvény, mivel biztosan létezik olyan osztály, amelyben van olyan tanuló (x0∈I), aki kiváló matematikából ((P(x0)|=1), de énekből már nem kiváló ((Q(x0))|=0).


8.4. Alkalmazások

Az alábbi táblázat egy naplórészlet, amely a tanulók jegyeit tartalmazza matematikából, énekből és testnevelésből.

sorszám dátum név tárgy jegy

Értelmezzük a 'datum', 'nev', 'targy' és 'jegy' függvényeket a következőképpen:

datum(i) ⇋ "az 'i'-dik sorban szereplő dátum"
nev(i) ⇋ "az 'i'-dik sorban levő tanuló neve"
targy(i) ⇋ "az 'i'-dik sorban levő tárgy neve"
jegy(i) ⇋ "az 'i'-dik sorban szereplő jegy"

(1) A tanult logikai műveletekkel és a fent definiált függvényekkel olyan logikai kifejezéseket ("nyitott mondatokat") hozhatunk létre, amelyek alapján különböző szempontok szerint információkat kereshetünk a naplóban.

Például az az 'I' igazsághalmaz, amely Kata jegyeit tartalmazza az összes tárgyból, az alábbi logikai kifejezéshez tartozik:
A(j) ⇋ ∃i (nev(i)="Kata" ∧ jegy(i)=j))
IA(j) ⇋ {j∈{1,2,3,4,5} | |A(j)|=1}

Az IA(j) igazsághalmaz elemeit alkotó jegyek és a naplónak azok a sorai, amelyekben a keresett jegyek szerepelnek, az alábbi lekérdezéssel kiírathatók:

sorszám dátum név tárgy jegy

A lekérdezés ... sort eredményezett.

(2) A tanult logikai műveletekkel és a fent definiált függvényekkel olyan összefüggéseket kereshetünk, amelyek alapján adott feltételek (premisszák) fennállásából meghatározott információkra következtethetünk a naplóban.

Például tegyük fel, hogy ha egy tanuló matematikából csak jelest vagy jót kap, akkor mind énekből, mind tesiből csak jelesnél rosszabb jegyet kap (azaz nem jelest).

Ezt az összefüggést a következőképpen fejezhetjük ki:

(a) Először keressük meg azokat a tanulókat, akik matematikából csak jelest vagy jót kaptak:
    A(x) ⇋ ∀i (nev(i)=x ∧ targy(i)="matematika" ⊃. jegy(i)=5 ∨ jegy(i)=4)
A fenti formula igazságértéke egy adott tanuló (x0∈I) és egy adott sor (i0) esetén:

előtag
nev(i0)=x0 ∧ targy(i0)="matematika"
utótag
jegy(i0)=5 ∨ jegy(i0)=4
⊃. A(x0)
0
(az adott sorban vagy nem az adott tanuló szerepel, vagy nem matematika jegy)
0 vagy 1
(bármilyen lehet)
1 lehet 1
1
(az adott sorban a tanuló matematika jegye szerepel)
0
(a tanuló matematika jegye 4-nél rosszabb)
0 0
1
(a tanuló matematika jegye vagy 4, vagy 5)
1 lehet 1

Az A(x) formula igazsághalmaza a "jó matekes" tanulókat adja meg (ti. akik csak jeles vagy jó osztályzatot kaptak matematikából).

Jegyezzük meg, hogy így azokat a tanulókat is megkapjuk, akik matematikából még nem kaptak semmilyen jegyet (és azokat is, akik egy tárgyból sem kaptak még semmilyen jegyet). Ha őket ki akarjuk zárni, akkor a fenti formulát tovább kell szűkítenünk:
A'(x) ⇋ A(x) ∧ ∃i (nev(i)=x ∧ targy(i)="matematika")
Ezzel megköveteljük, hogy legalább egy sorban (∃i) az adott tanulónak (x) szerepeljen valamilyen jegye matematikából.

(b) Ezután keressük meg azokat a tanulókat, akik sem énekből, sem testnevelésből nem kaptak jelest:
        B(x) ⇋ ∀i (nev(i)=x ∧ (targy(i)="ének" ∨ targy(i)="testnevelés") ⊃. ⌝jegy(i)=5)
A fenti formula igazságértéke egy adott tanuló (x0∈I) és egy adott sor (i0) esetén:

előtag
nev(i0)=x0 ∧ (targy(i0)="ének" ∨ targy(i0)="testnevelés")
utótag
⌝jegy(i0)=5
⊃. B(x0)
0
(az adott sorban vagy nem az adott tanuló szerepel, vagy sem ének, sem testnevelés jegy)
0 vagy 1
(bármilyen lehet)
1 lehet 1
1
(az adott sorban a tanuló ének vagy testnevelés jegye szerepel)
0
(a tanuló ének vagy testnevelés jegye jeles)
0 0
1
(a tanuló ének vagy testnevelés jegye rosszabb, mint jeles)
1 lehet 1

A B(x) formula igazsághalmaza a "nem kiváló énekes és tesis" tanulókat adja meg (ti. akik nem kaptak jeles osztályzatot sem énekből, sem testnevelésből).

Jegyezzük meg, hogy így megkapjuk azokat a tanulókat is, akik sem énekből, sem testnevelésből (vagy semmilyen tárgyból) nem kaptak még jegyet. Ha őket ki akarjuk zárni, akkor a fenti formulát tovább kell szűkítenünk:
B'(x) ⇋ B(x) ∧ ∃i (nev(i)=x ∧ (targy(i)="ének" ∨ targy(i)="testnevelés"))
Ezzel megköveteljük, hogy legalább egy sorban (∃i) az adott tanulónak (x) szerepeljen valamilyen jegye vagy énekből, vagy testnevelésből.

(c) Ezután az adott naplórészlet alapján határozzuk meg azokat a tanulókat, akikre A(x), A'(x), ill. B(x), B'(x) teljesül:
IA(x) ⇋ {x∈{Tercsi, Fercsi, ...} | |A(x)|=1}
IA'(x) ⇋ {x∈{Tercsi, Fercsi, ...} | |A'(x)|=1}
IA'(x)⊆IA(x)

IB(x) ⇋ {x∈{Tercsi, Fercsi, ...} | |B(x)|=1}
IB'(x) ⇋ {x∈{Tercsi, Fercsi, ...} | |B'(x)|=1}
IB'(x)⊆IB(x)

sorszám dátum név tárgy jegy

A lekérdezés ... sort eredményezett.

A lekérdezések eredményeinek összesítése:

Matematikából még nem kaptak jegyet (|A(x)|=1, |A'(x)|=0): {...}⊆IA(x)
Matematikából csak jelest vagy jót kaptak (|A(x)|=1, |A'(x)|=1): {...}⊆IA(x)∩IA'(x)
Matematikából nem csak jelest vagy jót kaptak (|A(x)|=0, |A'(x)|=0): {...}

Sem énekből, sem testnevelésből még nem kaptak jegyet (|B(x)|=1, |B'(x)|=0): {...}⊆IB(x)
Énekből és testnevelésből csak jelesnél rosszabbat kaptak (|B(x)|=1, |B'(x)|=1): {...}⊆IB(x)∩IB'(x)
Énekből vagy testnevelésből kaptak jelest (|B(x)|=0, |B'(x)|=0): {...}

(d) Ha a feladatban vizsgált összefüggés igaz, akkor az alábbi következtetések közül legalább az egyik teljesül:
    |∀x (A'(x) ⊃ B'(x))|=1 ⇔ IA'(x)⊆IB'(x)
    |∀x (A'(x) ⊃ B(x))|=1 ⇔ IA'(x)⊆IB(x)
    |∀x (A(x) ⊃ B'(x))|=1 ⇔ IA(x)⊆IB'(x)
    |∀x (A(x) ⊃ B(x))|=1 ⇔ IA(x)⊆IB(x)
A lekérdezések eredménye alapján a fenti következtetések egyértelműen eldönthetők: a megadott naplórészletben ... következtetés teljesül.
(Megjegyzés: érdemes többször frissíteni az oldalt (CTRL R vagy F5), utána újra lefuttatni a lekérdezéseket, és ellenőrizni a kapott következtetéseket!)

A legáltalánosabb eset az, amikor |∀x (A(x) ⊃ B'(x))|=1 teljesül. Ekkor fennállnak az alábbi összefüggések:
IA'(x)⊆ IA(x)⊆ IB'(x)⊆ IB(x)
Vegyük észre, hogy ebben az esetben mind a négy lehetséges következtetés igaz.
Ezzel szemben a legspeciálisabb eset az, amikor kizárólag a |∀x (A'(x) ⊃ B(x))|=1 következtetés teljesül (és a többi összefüggés nem áll fenn).

Fogalmazzuk meg végül természetes nyelven is a fentieket. Ha a feladatban vizsgált összefüggés igaz, akkor minden olyan 'x' tanulóra,
– akire A'(x) teljesül (azaz csak jelest vagy jót kapott matematikából) és/vagy akire A(x) teljesül (azaz csak jelest vagy jót kapott matematikából, vagy matematikából még nem kapott osztályzatot),
– egyszersmind B'(x) is teljesül (azaz csak jelesnél rosszabb jegyet kapott mind énekből, mind testnevelésből), és/vagy B(x) is teljesül (azaz csak jelesnél rosszabb jegyet kapott mind énekből, mind testnevelésből, vagy énekből, ill. testnevelésből még nem kapott jegyet).
Leegyszerűsítve: Ha a vizsgált összefüggés igaz, akkor az adott osztályban a "jó matekes" (vagy matekből még nem értékelt) tanulók nem kiválók sem énekből, sem testnevelésből (vagy esetleg még nem értékelték őket egyikből vagy másikból).

Gyakorló feladatok


Boda István, 2021.