9.1. A természetes számfogalom. A Peano-axiómák

Egy matematikai elmélet megalapozásakor

A természetes számok axiomatikus értelmezése Giuseppe Peano olasz matematikustól származik.

A természetes számok halmazát (ℕ), ezen belül a nulla (0) számot alapfogalomnak tekintjük. Ezután bevezetünk egy
S :ℕ→ℕ
függvényt, amelyet

S(n) ⇋ "az 'n' természetes szám rákövetkezője"

módon értelmezünk.

Az S :ℕ→ℕ függvénnyel a természetes számok képzésének legfontosabb tulajdonságát írjuk le. (Az S(n) függvény tetszőleges n∈ℕ természetes számra az S(n)=n+1 műveletet fejezi ki.)

Elfogadjuk a következő axiómákat:

A teljes indukció elve tömören úgy fogalmazható meg, hogy ha T(k0) igaz, továbbá ha minden k≥k0 természetes számra a T=T(k) állítás "öröklődik" k-ról S(k)-ra, azaz ha T(k) igaz, akkor T(S(k)) is igaz lesz, akkor a T=T(k) állítás (vagy logikai formula) igaz lesz minden k≥k0 természetes számra.

A teljes indukció a modus ponens alkalmazásán alapul:
T(k), T(k)⊃T(k+1) ⊨ T(k+1)
miatt ha T(k0) igaz, akkor T(k) minden k≥k0 természetes számra igaz.

A fenti axiómák tömören megfogalmazhatók logikai szimbólumokkal. Például


A teljes indukciós bizonyításnak a következő alakját is használhatjuk (vö. Szendrei 1975: 50):


A Peano-axiómák alapján a természetes számok közötti műveletek a következőképpen definiálhatók (vö. Szendrei 1975: 50):

Az összeadás műveletével kifejezve egy tetszőleges k∈ℕ természetes szám esetén S(k)=k+1 teljesül.


9.1.1. Példák teljes indukciós bizonyításokra

I. Adjuk meg az sn számtani sorozatot rekurzív módon
    s1=p
    sn=sn−1+d (n∈ℕ, n≥2)
formában, ahol a p∈ℤ egész szám a számtani sorozat első eleme, a d∈ℤ egész szám pedig a számtani sorozat differenciája. Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy
T(k) ⇋ sk= p+(k−1)*d
teljesül.

(1) k=1 esetén s1= p+(1−1)*d= p vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz lesz (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re igaz. Tegyük fel, hogy k≥1 esetén
    sk=p+(k−1)*d
teljesül, azaz T(k) igaz (indukciós feltevés). Bizonyítandó, hogy ebben az esetben
    sk+1= p+(k+1−1)*d= p+k*d
teljesül, azaz T(k+1) igaz lesz.

Az sn sorozat rekurzív definíciójából kiindulva és az indukciós feltevést felhasználva a következő levezetést kapjuk:
sk+1=
sk+d=
(p+(k−1)*d)+d=
p+(k−1+1)*d=
p+k*d

Ezzel bebizonyítottuk, hogy T(k+1) igaz.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődött" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra. Másképpen fogalmazva: az indukciós feltevés T(k)-ról "öröklődött" T(k+1)-re.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra.

Összegezve a feladatot:

Adott egy sorozat:
s1=p
sn=sn−1+d
Indukciós állítás:
T(k)⇋sk=p+(k−1)*d
k=1 esetén az állítás igaz:
s1=p+(1−1)*d=p
Bizonyítandó:
T(k+1)⇋sk+1=p+k*d

II. Határozzuk meg az előző példában szereplő sn számtani sorozat összegképletét p=1 és d=1 mellett (tehát ha a számtani sorozat első eleme 1, és differenciája is 1). A sorozat elemeinek összege szintén sorozatot alkot, amelynek rekurzív definíciója a következő:
    S1= s1= 1
    S2= s1+s2= S1+s2
    S3= s1+s2+s3= S2+s3
    ...
    Sn= s1+s2+...+sn= Sn−1+sn (n∈ℕ, n≥1)

Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy
T(k) ⇋ Sk= k*(k+1)/2
teljesül. Másképpen fogalmazva: a számtani sorozat első 'k' elemének összegét úgy kapjuk meg, hogy a számtani sorozat első és k-dik elemének összegét szorozzuk k/2-vel.

(1) k=1 esetén S1= 1*(1+1)/2= 1 vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz lesz (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re igaz. Tegyük fel, hogy k≥1 esetén
    Sk=k*(k+1)/2
teljesül, azaz T(k) igaz (indukciós feltevés). Bizonyítandó, hogy ebben az esetben
    Sk+1= (k+1)*(1+k+1)/2= (k+1)*(k+2)/2
teljesül, azaz T(k+1) igaz lesz. A bizonyításban felhasználjuk, hogy az sn számtani sorozat n-dik elemét p=1 és d=1 mellett
    sn= p+(n−1)*d= 1+(n−1)*1= n módon kaphatjuk meg.

Az Sn sorozat rekurzív definíciójából kiindulva és az indukciós feltevést felhasználva a következő levezetést kapjuk:
Sk+1=
Sk+sk+1=
(k*(k+1)/2)+sk+1=
(k*(k+1)/2)+(k+1)=
(k+1)*(k/2+1)=
(k+1)*(k/2+2/2)=
(k+1)*(k+2)/2

Ezzel bebizonyítottuk, hogy T(k+1) igaz.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődött" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra. Másképpen fogalmazva: az indukciós feltevés T(k)-ról "öröklődött" T(k+1)-re.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra.

Összegezve a feladatot:

Adott egy sorozat:
sn=n
S1=1
Sn=Sn−1+sn
Indukciós állítás:
T(k)⇋Sk=k*(k+1)/2
k=1 esetén az állítás igaz:
T(k)⇋S1=1*(1+1)/2=1
Bizonyítandó:
T(k+1)⇋Sk+1=(k+1)*(k+2)/2

III. Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon
    s1=1
    sn=2*sn−1+1 (n∈ℕ, n≥2)
formában. Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy
T(k) ⇋ sk=2k−1
teljesül.

(1) k=1 esetén sk=1 és 21−1=2−1=1 vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz lesz (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re igaz. Tegyük fel, hogy k≥1 esetén
    sk=2k−1
teljesül, azaz T(k) igaz. Bizonyítandó, hogy az indukciós feltevés mellett
    sk+1=2k+1−1
teljesül, azaz T(k+1) igaz.

Az sn sorozat definíciójából kiindulva és az indukciós feltevéseket felhasználva a következő levezetést kapjuk:
sk+1=
2*sk+1=
2*(2k−1)+1=
2*2k−2+1=
2k+1−1

Vagyis T(k+1) igaz (az indukciós állítás T(k)-ról "öröklődött" T(k+1)-re).

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) igaz) az következett, hogy k≥1 esetén
    T(k+1) ⇋ sk+1=2k+1−1
teljesül.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődött" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra. Másképpen fogalmazva: az indukciós feltevés T(k)-ról "öröklődött" T(k+1)-re.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra.

Összegezve a feladatot:

Adott egy sorozat:
s1=1
sn=2*sn−1+1
Indukciós állítás:
T(k)⇋sk=2k−1
k=1 esetén az állítás igaz:
s1=21−1=1
Bizonyítandó:
T(k+1)⇋sk+1=2(k+1)−1


9.1.2. További példák teljes indukciós bizonyításokra

(a) Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy bármilyen k∈ℕ+ (k≥1) természetes számra teljesül a
T(k) ⇋ 1 + 2 + 3 + ... + k = k*(k+1)/2
állítás. Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon
    s1=1
    sn=sn−1+n (n∈ℕ, n≥2)
alakban. Ekkor az állítás
T(k) ⇋ sk=k*(k+1)/2
módon fogalmazható meg.

(1) k=1 esetén sk=1 és k*(k+1)/2=1*2/2=1 vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz lesz (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re igaz. Tegyük fel, hogy k≥1 esetén
    sk=k*(k+1)/2
teljesül, azaz T(k) igaz. Bizonyítandó, hogy az indukciós feltevés mellett
    sk+1=(k+1)*(k+2)/2
teljesül, azaz T(k+1) igaz.

Az sn sorozat definíciójából kiindulva és az indukciós feltevéseket felhasználva a következő levezetést kapjuk:
sk+1=
sk+(k+1)=
k*(k+1)/2+(k+1)
k*(k+1)/2+2*(k+1)/2
k*(k+1)/2+2*(k+1)/2
[k*(k+1)+2*(k+1)]/2
(k+1)*(k+2)/2

Vagyis T(k+1) igaz (az indukciós állítás T(k)-ról "öröklődött" T(k+1)-re).

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) igaz) az következett, hogy k≥1 esetén
    T(k+1) ⇋ sk+1=(k+1)*(k+2)/2
teljesül.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődik" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra.


(b) Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy bármilyen k∈ℕ+ (k≥1) természetes számra teljesül a
T(k) ⇋ 1 + 3 + 5 + ... + (2*k−1) = k2
állítás. Szavakban megfogalmazva: az első 'k' páratlan természetes szám összege éppen k2.

A 'k'-dik páratlan természetes számot a P(k)=2*k−1 sorozat állítja elő (k∈ℕ+):

Az első 'k' darab páratlan természetes szám összegét pedig a Q(k)=P(1)+P(2)+...+P(k) sorozat állítja elő (k∈ℕ+):

A sorozat elemeinek képzéséből látszik, hogy a Q(k) sorozat k-dik elemének rekurzív definíciója
    Q(1)=1
    Q(k)= Q(k−1)+P(k)= Q(k−1)+(2*k−1) (k∈ℕ+, k≥2)

A bizonyítandó állítás a fenti jelölésekkel
    T(k) ⇋ Q(k)=k2 (k∈ℕ+)
módon írható le.

(1) Az állítás k=1 esetén 1=12 miatt teljesül, vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz (ún. indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Tegyük fel, hogy T(k)1+3+5+...+(2*k−1) = k2 teljesül.
Bizonyítandó, hogy T(k+1) ⇋ 1+3+5+...+(2*k−1)+(2*(k+1)−1) = (k+1)2 teljesül.

Számoljunk:
1+3+5+...+(2*k−1)+(2*(k+1)−1)=
1+3+5+...+(2*k−1)+(2*k+1)=
k2+2*k+1=
(k+1)2

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) igaz) az következett, hogy k≥1 esetén T(k+1) teljesül.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődik" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra.


(c) Bizonyítsuk be a teljes indukció második változata segítségével, hogy az
    s1=0,
    s2=1,
    sn=(sn−1+sn−2)/2 (n≥3)
rekurzív definícióval meghatározott sorozat n-dik tagját
tn=2/3+4/3*(−1/2)n
módon számíthatjuk ki, azaz
    T(n) ⇋ (sn=tn)
teljesül minden n∈ℕ természetes számra.

(1) Egyszerű behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhetjük, hogy

(1.1) a tn-re vonatkozó képlet alapján
    t1= 2/3+4/3*(−1/2)1= 2/3−4/6= 4/6−4/6= 0
miatt T(1) igaz.

(1.2) a tn-re vonatkozó képlet alapján
    t2= 2/3+4/3*(−1/2)2= 2/3+4/3*(1/4)= 2/3+1/3= 1
miatt T(2) igaz.

(1.3) a rekurzív definíció alapján
    s3= (1+0)/2= 1/2
teljesül, továbbá
    t3= 2/3+4/3*(−1/2)3= 2/3+4/3*(−1/8)= 2/3−4/24= 2/3−1/6= 4/6−1/6= 3/6= 1/2
miatt T(3) igaz.

(1.4) a rekurzív definíció alapján
    s4= (1/2+1)/2= 1/4+1/2= 1/4+2/4= 3/4
teljesül, továbbá
    t4= 2/3+4/3*(−1/2)4= 2/3+4/3*(1/16)= 2/3+4/48= 2/3+1/12= 8/12+1/12= 9/12= 3/4
miatt T(4) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy egy tetszőleges k≥1 természetes szám esetén az állítás teljesül, azaz T(x) igaz lesz minden olyan x∈ℕ természetes számra, amelyre k≥x≥1 teljesül (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re és k=2-re igaz (valamint k=3 és k=4-re is). Tegyük fel, hogy k≥2 esetén
    sk= tk= 2/3+4/3*(−1/2)k és
    sk−1= tk−1= 2/3+4/3*(−1/2)k−1
teljesül, azaz T(k) és T(k−1) igaz.
Bizonyítandó, hogy
    tk+1=2/3+4/3*(−1/2)k+1
mellett sk+1=tk+1 teljesül, azaz T(k+1) igaz.

Az sn sorozat definíciójából kiindulva és az indukciós feltevéseket felhasználva a következő levezetést kapjuk:
sk+1=
(sk+sk−1)/2=
(2/3+4/3*(−1/2)k+2/3+4/3*(−1/2)k−1)/2=
2/3+2/3*(−1/2)k+2/3*(−1/2)k−1=
2/3+2/3*((−1/2)k+(−1/2)k−1)=
2/3+2/3*((−1/2)k−2*(−1/2)k)=
2/3+2/3*(−1/2)k*(1−2)=
2/3+2/3*(−1/2)k*(−1)=
2/3+4/3*(−1/2)k*(−1/2)=
2/3+4/3*(−1/2)k+1=
tk+1

Jegyezzük meg, hogy elegendő lett volna azt feltételezni, hogy k≥2 esetén a T(x) indukciós feltevés igaz az x=k és x=k−1 természetes számokra (ti. nem használtuk ki azt, hogy T(x) igaz minden k≥x≥2 természetes számra).

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) és T(k−1) igaz) az következett, hogy k≥2 esetén
    T(k+1) ⇋ (sk+1=tk+1)
teljesül.

(3) Mivel az állítás igaz k=1-re, és az állítás igaz minden k≥2 természetes számra, ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra.

Gyakorló feladatok



9.2. A számfogalom kialakításának lépései

A számfogalom kialakításakor a természetes számok fogalmának kialakítása után következhet a számfogalom bővítése: az egész számok, a racionális számok és a valós számok fogalmának kialakítása.

A számfogalom bővítésének alapja olyan számhalmazok kialakítása, amelyekben a számok között értelmezett aritmetikai műveletek korlátozás nélkül végrehajthatóak. Másképpen megfogalmazva: a számfogalom bővítésének célja az, hogy a számhalmazok legyenek zártak a számok között értelmezett műveletekre.

(1) A természetes számok halmazában értelmezett műveleteket halmazelméleti fogalmakkal a következőképpen értelmezhetjük:

Ahhoz, hogy a kivonásra, az osztásra és a gyökvonásra a számok halmaza zárt legyen, a számfogalom bővítésére van szükség.



10.1. Műveletek a természetes számok halmazában. A négy alapművelet elméleti megalapozása

Korábban láttuk, hogy a természetes számok értelmezhetők úgy, mint véges halmazok számosságai. Ennek megfelelően értelmezhetjük a természetes számok közötti műveleteket is. Jelöljük most is Σ-val a természetes számok értelmezésekor korábban bevezetett halmazrendszert ("világhalmazt").

Számunkra a Σ halmazrendszer legfontosabb tulajdonságai:

A természetes számok közötti alapműveletek értelmezésekor 'halmaz' alatt mindig a Σ halmazrendszer egy elemét értjük.

A természetes számok halmazán a következő alapműveleteket értelmezzük:

(1) összeadás:

Az a, b∈ℕ természetes számok összege alatt azt az a+b∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú diszjunkt halmazok uniójának számosságával egyezik meg.

Vagyis ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és A∩B=∅ teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok összegét
a+b ⇋ |A∪B|
módon értelmezzük.

Az összeadás egy f(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvény. Az f(a,b) számot 'a+b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "összeadjuk"). Az 'a+b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok összegének, az 'a' és 'b' számokat pedig összeadandóknak vagy tagoknak nevezzük.

Legyenek a, b és c∈ℕ tetszőleges természetes számok. Az összeadás fontosabb tulajdonságai:

  • kommutativitás: a+b = b+a
  • asszociativitás: (a+b)+c = a+(b+c)
  • zéruselem (0) létezése: a+0 = a
  • ha a+b = a ⇒ b = 0
  • ha a+b = 0 ⇒ a = 0 és b = 0
  • a+b = a+c ⇔ b = c

(2) szorzás:

Az a, b∈ℕ természetes számok szorzata alatt azt az a*b∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú halmazok direkt szorzatának számosságával egyezik meg.

Szemléletesen kifejezve ez azt jelenti, hogy az |A|=a számosságú véges halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a |B|=b számosságú véges halmaz minden elemét (annyiszor "megsokszorozva" a B halmaz elemeit, ahány eleme van az A halmaznak), majd az így kapott halmaz elemeit összeszámoljuk. Ebben az értelemben a szorzást ismételt összeadásként is értelmezhetjük.

Ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok szorzatát
a*b ⇋ |AΧB|
módon értelmezzük.

A szorzás egy g(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvény. A g(a,b) számot 'a*b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "összeszorozzuk"). Az 'a*b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok szorzatának, az 'a' és 'b' számokat pedig szorzandónak és szorzónak, ill. mindkettőt tényezőnek nevezzük.

Legyenek a, b és c∈ℕ tetszőleges természetes számok. A szorzás fontosabb tulajdonságai:

  • kommutativitás: a*b = b*a
  • asszociativitás: (a*b)*c = a*(b*c)
  • egységelem (1) létezése: a*1 = a
  • disztributivitás az összeadásra nézve: a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
  • a*0 = 0
  • ha a*b = 0 ⇒ a = 0 vagy b = 0 (a tulajdonságban "megengedő" vagy szerepel!)
    • ha a≠0 és b≠0 ⇒ a*b≠0 (két zérustól különböző természetes szám szorzata nem lehet zérus; ún. zérusosztómentesség)
  • ha a*b = a és a≠0 ⇒ b = 1
  • ha a*b = 1 ⇒ a = 1 és b = 1
  • a≠0 esetén a*b = a*c ⇔ b = c

A szorzást a szorzóra vonatkozó teljes indukcióval értelmezhetjük ismételt összeadásként is. Ha a, b∈ℕ természetes számok, akkor
    ha b=0 akkor legyen a*b ⇋ 0;
    ha b=1 akkor legyen a*b ⇋ a;
    ha b>1 és ismert a*b, akkor legyen a*(b+1) ⇋ a*b+a

Az utolsó lépést megfogalmazhatjuk a következőképpen is:
    ha b>1 akkor legyen a*b ⇋ a1+a2+...+ab, ahol ai=a (i=1,2,...,b).


(3) hatványozás:

Legyenek a, n∈ℕ+ pozitív természetes számok. Ekkor az 'a' természetes szám 'n'-edik hatványa alatt azt az an∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' számosságú halmaz önmagával vett n-szeres direkt szorzatának (az 'A' halmaz "n-edik hatványának") számosságával egyezik meg.

Vagyis ha A∈Σ olyan halmaz, amelyre |A|=a teljesül, akkor az 'a' természetes szám n-ik hatványát
an ⇋ |AΧAΧ...ΧA|=|An|
módon értelmezzük.

A hatványozás egy h(a,n) : ℕ+Χ+→ℕ+ függvény. A h(a,n) számot an módon jelöljük, és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' számot 'n'-edik hatványra emeljük ("hatványozzuk"). Az an természetes számot az 'a' természetes szám 'n'-edik hatványának, az 'a' számot a hatvány alapjának, az 'n' számot pedig a hatvány kitevőjének nevezzük (a>0, n>0).

Legyenek a, b∈ℕ+, valamint m, n∈ℕ+ tetszőleges pozitív természetes számok. A hatványozás fontosabb tulajdonságai:

  • am*an = am+n
  • (a*b)n = an*bn
  • (am)n = am*n
  • a1 = a
  • 1n = 1

A hatványozás értelmezését kiterjeszthetjük tetszőleges a, n∈ℕ természetes számokra, ha a számok egyidejűleg nem zérusok (vö. Szendrei 1975: 47).

A hatványozás kiterjesztése során az ún. permanenciaelvet alkalmazzuk: az eddig nem értelmezett hatványokat úgy definiáljuk, hogy a hatványozás eddigi tulajdonságai zérus alapra, ill. zérus kitevőre is érvényesek maradjanak. Ennek megfelelően definíció szerint legyen
a0 = 1 (a≠0) és
0n = 0 (n≠0).

Jegyezzük meg, hogy a 00 kifejezés nem értelmezhető ellentmondásmentesen.

Végül emeljük ki, hogy a hatványozást értelmezhetjük a kitevőre vonatkozó teljes indukcióval ismételt szorzásként is. Ha a, n∈ℕ természetes számok, akkor
    ha n=0 és a=0 akkor az an értéket nem értelmezzük;
    ha n≠0 és a=0 akkor legyen an ⇋ 0;
    ha n=0 és a≠0 akkor legyen an ⇋ 1;
    ha n=1 akkor legyen an ⇋ a;
    ha n>1 és ismert an, akkor legyen an+1 ⇋ a*an

Az utolsó lépés megfogalmazható a következőképpen is:
    ha n>1 akkor legyen an ⇋ a1*a2*...*an, ahol ai=a (i=1,2,...,n).

Ha az alapműveleteket a Peano-axiómák alapján vezetjük be, az összeadást számlálásként, a szorzást ismételt összeadásként, a hatványozást pedig ismételt szorzásként értelmezhetjük.


(4) kivonás:

Az a, b∈ℕ természetes számok különbsége alatt azt az a−b∈ℕ természetes számot értjük, amelyet a 'b' számhoz adva az 'a' számot kapjuk eredményül. (Míg az összeadáskor az a+b=? kérdésre keressük a választ, kivonáskor a b+?=a kérdésre. A kivonást az összeadás inverz műveletének szokás nevezni, vö. Brindza 1996: 70.)

A kivonás egy u(a,b) : A⊆ℕΧℕ→ℕ függvény, amelynek az értelmezési tartománya
    A={(a,b) | a,b∈ℕ, a≥b}
módon adható meg.
Koordináta-rendszerben az 'a' értékeket az 'y' tengelyen, a 'b' értékeket az 'x' tengelyen ábrázolva az 'A' halmaz az y=x (x≥0) félegyenesen fekvő, ill. az egyenes feletti tartományban levő pontoknak megfeleltethető természetes számpárokat tartalmazza. Ebben az ábrázolásban az (a-b) különbséget a (b,a) pontnak és az y=x egyenesen fekvő (b,b) pontnak a távolsága adja meg.
Az u(a,b) számot 'a−b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "kivonjuk egymásból"). Az 'a−b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok különbségének, az 'a' számot kisebbítendőnek, a 'b' számot kivonandónak nevezzük.

Formálisan a különbség meghatározása
    a= u(a,b)+b= (a−b)+b
módon írható le. ("Keressük azt az u=a−b természetes számot, amelyet a 'b' számhoz adva az 'a' számot kapjuk eredményül.")
Ha az összeadást az f(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvénnyel adjuk meg, akkor a fenti összefüggés
    a= f(u(a,b),b)
alakú lesz, vagy u(x,b)=f−1(x,b) jelöléssel
    a= f(f−1(a,b),b)
formában írható fel.


Két természetes szám különbségét halmazelméletileg is értelmezhetjük. Az a, b∈ℕ, a≥b természetes számok különbsége alatt azt az (a−b)∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú, egymással részhalmaz relációban álló halmazok különbségének vagy differenciájának számosságával egyezik meg. Vagyis ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és B⊆A teljesül, akkor két természetes szám különbségét (a−b) ⇋ |AB| módon értelmezhetjük.

Ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és B⊆A teljesül, akkor a kivonást például úgy végezhetjük el, hogy az 'A' halmazból pontosan annyi elemet veszünk ki, ahány elemből a 'B' halmaz áll. Ha az 'A' és a 'B' halmaz (más-más színű) zsetonokból áll, akkor ezt megvalósíthatjuk úgy, hogy minden 'A'-ból kivett zsetont egy 'B' beli zseton fölé helyezünk.


(5) osztás:

Az a, b∈ℕ, b≠0 természetes számok hányadosa alatt azt az a/b∈ℕ (vagy a:b∈ℕ) természetes számot értjük, amelyet a 'b' számmal szorozva az 'a' számot kapjuk eredményül. (Míg a szorzáskor az a*b=? kérdésre keressük a választ, osztáskor a b*?=a (b≠0) kérdésre. Az osztást a szorzás inverz műveletének szokás nevezni, vö. Brindza 1996: 72.)

Az osztás egy v(a,b) : A⊆ℕΧℕ→ℕ függvény, amelynek Dom(v)=A értelmezési tartománya
    A={(a,b) | a,b∈ℕ, b≠0, ∃k∈ℕ (a=k*b)}
módon adható meg (azaz a 'b' szám osztója az 'a' számnak).
Ábrázoljuk az 'A' halmaz elemeit koordináta-rendszerben úgy, hogy az 'a' értékeket (osztandók) az 'y' tengelyen, a 'b' értékeket (osztók) pedig az 'x' tengelyen vesszük fel (x≥1). Ekkor két esetet kell megkülönböztetnünk:
– az y=0 (x≥1) félegyenesen fekvő pontoknak megfeleltethető természetes számpárok elemei az 'A' halmaznak (ti. az y=0 természetes szám minden pozitív természetes számmal osztható);
– az y=x (x≥1) félegyenesen fekvő, ill. az egyenes feletti tartományban levő pontoknak megfeleltethető természetes számpárok közül azok, amelyek esetén y/x természetes szám, szintén elemei az 'A' halmaznak.

Ebben az ábrázolásban az (a/b) hányadost az adja meg, hogy a (b,a) pontnak és az y=x egyenesen fekvő (b,0) pontnak a távolsága hányszorosa a (b,b) pont és a (b,0) pont távolságának (azaz az x=b egyenesen hányszor tudjuk "felmérni" a (b,b) és (b,0) közötti 'b' hosszúságú szakaszt a (b,a) és (b,0) közötti szakaszra).

A v(a,b) számot 'a/b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' számot "elosztjuk" a 'b' számmal). Az 'a/b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok hányadosának, az 'a' számot osztandónak, a 'b' számot osztónak nevezzük.

Formálisan az osztás meghatározása
    a= v(a,b)*b= (a/b)*b
módon írható le (azokra az (a,b) értékekre, amelyre (a,b)∈Dom(v) teljesül).
Ha a szorzást a g(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvénnyel adjuk meg, akkor a fenti összefüggés
    a= g(v(a,b),b)
alakú lesz, vagy v(x,b)=g−1(x,b) jelöléssel
    a= g(g−1(a,b),b)
formában írható fel.

Korábban említettük, hogy a szorzást ismételt összeadásként is értelmezhetjük. Ennek megfelelően az osztást pedig ismételt kivonásként értelmezhetjük. Az algoritmus a következő:

  1. Legyen y=a (osztandó) és x=b (osztó).
  2. Legyen k=0.
  3. Ha y<x akkor az algoritmus befejeződött, ugrás a 6. pontra.
  4. Legyen y=y−x és k=k+1.
  5. Lépjünk vissza a 3. pontra.
  6. A hányados értéke a 'k' változó értéke.

Ha az algoritmus végeztével az 'y' változó értéke nem zérus (azaz az osztandó nem osztható az osztóval), akkor maradékos osztást végeztünk. A hányadost 'k', az osztás maradékát az 'y' változó szolgáltatja. Ennek megfelelően az algoritmus végrehajtása után
    a=k*b+y
teljesül.


Két természetes szám hányadosát halmazelméletileg is értelmezhetjük. (vö. Brindza 1996: 72)

(1) részekre osztás: legyenek a, b∈ℕ+, a≥b természetes számok, és legyen A∈Σ olyan halmaz, amelynek számossága 'a' (azaz |A|=a teljesül). Próbáljuk meg az 'A' halmazt felbontani 'b' darab egyenlő számosságú diszjunkt részhalmazra. Ha ez lehetséges, azaz
    A=B1∪B2∪...∪Bb,
    Bi∩Bj=∅ (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤b) és
    |Bi|=|Bj|=k (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤b)
teljesül, akkor a Bi halmazok közös számosságát, azaz a k∈ℕ természetes számot az 'a' és 'b' számok hányadosának nevezzük és a/b-vel jelöljük.

Egy lehetséges algoritmus: válasszunk ki 'b' darab elemet az 'A' halmazból, és helyezzük el őket külön-külön csoportokba, egymástól távol ("válasszuk el" egymástól őket). Utána próbáljunk meg az 'A' halmaz maradék elemeiből ismét 'b' darab elemet kiválasztani, és ezeket egyenként tegyük a már kiválasztott elemek mellé, az egyes elemeknek megfelelő csoportokba (ha ez nem lehetséges, a/b nem természetes szám). Ha az 'A' halmaz elemei elfogynak, a kialakított csoportok elemszáma éppen az a/b hányadost adja. (Ha a/b természetes szám, akkor minden csoportnak azonos az elemszáma).

(2) "bennfoglaló" osztás: legyenek a, b∈ℕ+, a≥b természetes számok, és legyen A∈Σ olyan halmaz, amelynek számossága 'a' (azaz |A|=a teljesül). Hozzunk létre ("foglaljunk le") az 'A' halmazban a lehető legtöbb, 'b' számosságú diszjunkt részhalmazt. Ha a létrehozott részhalmazok teljesen "lefedik" az 'A' halmazt (azaz 'A' osztályozását valósítják meg), azaz
    A=B1∪B2∪...∪Bk,
    Bi∩Bj=∅ (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤k) és
    |Bi|=|Bj|=b (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤k)
teljesül, akkor a Bi részhalmazok (osztályok) számát, azaz a k∈ℕ természetes számot az 'a' és 'b' számok hányadosának nevezzük és a/b-vel jelöljük.

Megjegyzés: a kétfajta módszer ekvivalens, mivel ha a/b=k természetes szám (és k≠0), akkor a/k=b is teljesül. Vegyük észre, hogy
– az első módszernél az 'A' halmazt 'k' elemszámú csoportokra bontottuk fel (ekkor 'b' darab csoport létezik);
– a második módszernél az 'A' halmazt 'b' elemszámú csoportokra bontottuk fel (ekkor 'k' darab csoport létezik).

Ha az osztást ismételt kivonásként értelmezzük, a korábban leírt, maradékos osztást megvalósító algoritmus és a második módszer ("bennfoglaló" osztás) lényegében ekvivalens. Amikor ugyanis egy 'b' elemszámú csoportot elkülönítünk, akkor az elemeket tulajdonképpen kivonjuk az 'A' halmazból.

(→ következő témakörök)



Boda István, 2020-2023.