9.1. A természetes számfogalom. A Peano-axiómák

Egy matematikai elmélet megalapozásakor

A természetes számok axiomatikus értelmezése Giuseppe Peano olasz matematikustól származik.

A természetes számok halmazát (ℕ), ezen belül a nulla (0) számot alapfogalomnak tekintjük. Ezután bevezetünk egy
S : ℕ→ℕ
függvényt, amelyet

S(n) ⇋ "az 'n' természetes szám rákövetkezője"

módon értelmezünk. (Az S(n) függvénnyel a természetes számok képzésének legfontosabb tulajdonságát írjuk le.)

Elfogadjuk a következő axiómákat:

A teljes indukciós bizonyításnak a következő alakját is használhatjuk (vö. Szendrei 1975: 50):

A Peano-axiómák alapján a természetes számok közötti műveletek a következőképpen definiálhatók (vö. Szendrei 1975: 50):

Az összeadás műveletével kifejezve egy tetszőleges k∈ℕ természetes szám esetén S(k)=k+1 teljesül.

Példák teljes indukciós bizonyításokra.

(a) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon
    s1=1
    sn=2*sn−1+1 (n∈ℕ, n≥2)
formában. Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy
T(k) ⇋ sk=2k−1
teljesül.

(1) k=1 esetén sk=1 és 21−1=2−1=1 vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz lesz (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re igaz. Tegyük fel, hogy k≥1 esetén
    sk=2k−1
teljesül, azaz T(k) igaz. Bizonyítandó, hogy az indukciós feltevés mellett
    sk+1=2k+1−1
teljesül, azaz T(k+1) igaz.

Az sn sorozat definíciójából kiindulva és az indukciós feltevéseket felhasználva a következő levezetést kapjuk:
sk+1=
2*sk+1=
2*(2k−1)+1=
2*2k−2+1=
2k+1−1

Vagyis T(k+1) igaz (az indukciós állítás T(k)-ról "öröklődött" T(k+1)-re).

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) igaz) az következett, hogy k≥1 esetén
    T(k+1) ⇋ sk+1=2k+1−1
teljesül.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődik" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra, vagyis
    |∀k (T(k))|=1
teljesül (q.e.d.).


(b) Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy bármilyen k∈ℕ+ (k≥1) természetes számra teljesül a
T(k) ⇋ 1 + 2 + 3 + ... + k = k*(k+1)/2
állítás. Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon
    s1=1
    sn=sn−1+n (n∈ℕ, n≥2)
alakban. Ekkor az állítás
T(k) ⇋ sk=k*(k+1)/2
módon fogalmazható meg.

(1) k=1 esetén sk=1 és k*(k+1)/2=1*2/2=1 vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz lesz (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re igaz. Tegyük fel, hogy k≥1 esetén
    sk=k*(k+1)/2
teljesül, azaz T(k) igaz. Bizonyítandó, hogy az indukciós feltevés mellett
    sk+1=(k+1)*(k+2)/2
teljesül, azaz T(k+1) igaz.

Az sn sorozat definíciójából kiindulva és az indukciós feltevéseket felhasználva a következő levezetést kapjuk:
sk+1=
sk+(k+1)=
k*(k+1)/2+(k+1)
k*(k+1)/2+2*(k+1)/2
k*(k+1)/2+2*(k+1)/2
[k*(k+1)+2*(k+1)]/2
(k+1)*(k+2)/2

Vagyis T(k+1) igaz (az indukciós állítás T(k)-ról "öröklődött" T(k+1)-re).

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) igaz) az következett, hogy k≥1 esetén
    T(k+1) ⇋ sk+1=(k+1)*(k+2)/2
teljesül.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődik" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra, vagyis
    |∀k (T(k))|=1
teljesül (q.e.d.).


(c) Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy bármilyen k∈ℕ+ (k≥1) természetes számra teljesül a
T(k) ⇋ 1 + 3 + 5 + ... + (2*k−1) = k2
állítás. Szavakban megfogalmazva: az első 'k' páratlan természetes szám összege éppen k2.

A 'k'-dik páratlan természetes számot a P(k)=2*k−1 sorozat állítja elő (k∈ℕ+):

Az első 'k' darab páratlan természetes szám összegét pedig a Q(k)=P(1)+P(2)+...+P(k) sorozat állítja elő (k∈ℕ+):

A sorozat elemeinek képzéséből látszik, hogy a Q(k) sorozat k-dik elemének rekurzív definíciója
    Q(1)=1
    Q(k)= Q(k−1)+P(k)= Q(k−1)+(2*k−1) (k∈ℕ+, k≥2)

A bizonyítandó állítás a fenti jelölésekkel
    T(k) ⇋ Q(k)=k2 (k∈ℕ+)
módon írható le.

(1) Az állítás k=1 esetén 1=12 miatt teljesül, vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz (ún. indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Tegyük fel, hogy T(k)1+3+5+...+(2*k−1) = k2 teljesül.
Bizonyítandó, hogy T(k+1) ⇋ 1+3+5+...+(2*k−1)+(2*(k+1)−1) = (k+1)2 teljesül.

Számoljunk:
1+3+5+...+(2*k−1)+(2*(k+1)−1)=
1+3+5+...+(2*k−1)+(2*k+1)=
k2+2*k+1=
(k+1)2

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) igaz) az következett, hogy k≥1 esetén
    T(k+1) ⇋ Q(k+1)=(k+1)2
teljesül.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődik" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra, vagyis
    |∀k (T(k))|=1
teljesül (q.e.d.).


(d) Bizonyítsuk be a teljes indukció második változata segítségével, hogy az
    s1=0,
    s2=1,
    sn=(sn−1+sn−2)/2 (n≥3)
rekurzív definícióval meghatározott sorozat n-dik tagját
tn=2/3+4/3*(−1/2)n
módon számíthatjuk ki, azaz
    T(n) ⇋ (sn=tn)
teljesül minden n∈ℕ természetes számra.

(1) Egyszerű behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhetjük, hogy

(1.1) a tn-re vonatkozó képlet alapján
    t1= 2/3+4/3*(−1/2)1= 2/3−4/6= 4/6−4/6= 0
miatt T(1) igaz.

(1.2) a tn-re vonatkozó képlet alapján
    t2= 2/3+4/3*(−1/2)2= 2/3+4/3*(1/4)= 2/3+1/3= 1
miatt T(2) igaz.

(1.3) a rekurzív definíció alapján
    s3= (1+0)/2= 1/2
teljesül, továbbá
    t3= 2/3+4/3*(−1/2)3= 2/3+4/3*(−1/8)= 2/3−4/24= 2/3−1/6= 4/6−1/6= 3/6= 1/2
miatt T(3) igaz.

(1.4) a rekurzív definíció alapján
    s4= (1/2+1)/2= 1/4+1/2= 1/4+2/4= 3/4
teljesül, továbbá
    t4= 2/3+4/3*(−1/2)4= 2/3+4/3*(1/16)= 2/3+4/48= 2/3+1/12= 8/12+1/12= 9/12= 3/4
miatt T(4) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy egy tetszőleges k≥1 természetes szám esetén az állítás teljesül, azaz T(x) igaz lesz minden olyan x∈ℕ természetes számra, amelyre k≥x≥1 teljesül (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re és k=2-re igaz (valamint k=3 és k=4-re is). Tegyük fel, hogy k≥2 esetén
    sk= tk= 2/3+4/3*(−1/2)k és
    sk−1= tk−1= 2/3+4/3*(−1/2)k−1
teljesül, azaz T(k) és T(k−1) igaz.
Bizonyítandó, hogy
    tk+1=2/3+4/3*(−1/2)k+1
mellett sk+1=tk+1 teljesül, azaz T(k+1) igaz.

Az sn sorozat definíciójából kiindulva és az indukciós feltevéseket felhasználva a következő levezetést kapjuk:
sk+1=
(sk+sk−1)/2=
(2/3+4/3*(−1/2)k+2/3+4/3*(−1/2)k−1)/2=
2/3+2/3*(−1/2)k+2/3*(−1/2)k−1=
2/3+2/3*((−1/2)k+(−1/2)k−1)=
2/3+2/3*((−1/2)k−2*(−1/2)k)=
2/3+2/3*(−1/2)k*(1−2)=
2/3+2/3*(−1/2)k*(−1)=
2/3+4/3*(−1/2)k*(−1/2)=
2/3+4/3*(−1/2)k+1=
tk+1

Jegyezzük meg, hogy elegendő lett volna azt feltételezni, hogy k≥2 esetén a T(x) indukciós feltevés igaz az x=k és x=k−1 természetes számokra (ti. nem használtuk ki azt, hogy T(x) igaz minden k≥x≥2 természetes számra).

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) és T(k−1) igaz) az következett, hogy k≥2 esetén
    T(k+1) ⇋ (sk+1=tk+1)
teljesül.

(3) Mivel az állítás igaz k=1-re, és az állítás igaz minden k≥2 természetes számra, ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra, vagyis
    |∀k (T(k))|=1
teljesül (q.e.d.).

Gyakorló feladatok


10.1. Műveletek a természetes számok halmazában. A négy alapművelet elméleti megalapozása

Korábban láttuk, hogy a természetes számok értelmezhetők úgy, mint véges halmazok számosságai. Ennek megfelelően értelmezhetjük a természetes számok közötti műveleteket is. Jelöljük most is Σ-val a természetes számok értelmezésekor korábban bevezetett halmazrendszert.

Számunkra a Σ halmazrendszer legfontosabb tulajdonságai:

A természetes számok közötti alapműveletek értelmezésekor 'halmaz' alatt mindig a Σ halmazrendszer egy elemét értjük.

A természetes számok halmazán a következő alapműveleteket értelmezzük:

(1) összeadás:

Az a, b∈ℕ természetes számok összege alatt azt az a+b∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú diszjunkt halmazok uniójának számosságával egyezik meg.

Vagyis ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és A∩B=∅ teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok összegét
a+b ⇋ |A∪B|
módon értelmezzük.

Az összeadás egy f(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvény. Az f(a,b) számot 'a+b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "összeadjuk"). Az 'a+b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok összegének, az 'a' és 'b' számokat pedig összeadandóknak vagy tagoknak nevezzük.

Legyenek a, b és c∈ℕ tetszőleges természetes számok. Az összeadás fontosabb tulajdonságai:

  • kommutativitás: a+b = b+a
  • asszociativitás: (a+b)+c = a+(b+c)
  • zéruselem (0) létezése: a+0 = a
  • ha a+b = a ⇒ b = 0
  • ha a+b = 0 ⇒ a = 0 és b = 0
  • a+b = a+c ⇔ b = c

(2) szorzás:

Az a, b∈ℕ természetes számok szorzata alatt azt az a*b∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú halmazok direkt szorzatának számosságával egyezik meg.

Vagyis ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok szorzatát
a*b ⇋ |AΧB|
módon értelmezzük.

A szorzás egy g(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvény. A g(a,b) számot 'a*b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "összeszorozzuk"). Az 'a*b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok szorzatának, az 'a' és 'b' számokat pedig szorzandónak és szorzónak, ill. mindkettőt tényezőnek nevezzük.

Legyenek a, b és c∈ℕ tetszőleges természetes számok. A szorzás fontosabb tulajdonságai:

  • kommutativitás: a*b = b*a
  • asszociativitás: (a*b)*c = a*(b*c)
  • egységelem (1) létezése: a*1 = a
  • disztributivitás az összeadásra nézve: a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
  • a*0 = 0
  • ha a*b = 0 ⇒ a = 0 vagy b = 0 (a tulajdonságban "megengedő" vagy szerepel!)
    • ha a≠0 és b≠0 ⇒ a*b≠0 (két zérustól különböző természetes szám szorzata nem lehet zérus; ún. zérusosztómentesség)
  • ha a*b = a és a≠0 ⇒ b = 1
  • ha a*b = 1 ⇒ a = 1 és b = 1
  • a≠0 esetén a*b = a*c ⇔ b = c

A szorzást értelmezhetjük ismételt összeadásként is. Ha a, b∈ℕ természetes számok, akkor
    ha b=0 akkor legyen a*b ⇋ 0;
    ha b=1 akkor legyen a*b ⇋ a;
    ha b>1 akkor legyen a*b ⇋ a1+a2+...+ab, ahol ai=a (i=1,2,...,b).


(3) hatványozás:

Legyenek a, n∈ℕ+ pozitív természetes számok. Ekkor az 'a' természetes szám 'n'-edik hatványa alatt azt az an∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' számosságú halmaz önmagával vett n-szeres direkt szorzatának (az 'A' halmaz "n-edik hatványának") számosságával egyezik meg.

Vagyis ha A∈Σ olyan halmaz, amelyre |A|=a teljesül, akkor az 'a' természetes szám n-ik hatványát
an ⇋ |AΧAΧ...ΧA|=|An|
módon értelmezzük.

A hatványozás egy h(a,n) : ℕ+Χ+→ℕ+ függvény. A h(a,n) számot an módon jelöljük, és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' számot 'n'-edik hatványra emeljük ("hatványozzuk"). Az an természetes számot az 'a' természetes szám 'n'-edik hatványának, az 'a' számot a hatvány alapjának, az 'n' számot pedig a hatvány kitevőjének nevezzük (a>0, n>0).

Legyenek a, b∈ℕ+, valamint m, n∈ℕ+ tetszőleges pozitív természetes számok. A hatványozás fontosabb tulajdonságai:

  • am*an = am+n
  • (a*b)n = an*bn
  • (am)n = am*n
  • a1 = a
  • 1n = 1

A hatványozás értelmezését kiterjeszthetjük tetszőleges a, n∈ℕ természetes számokra, ha a számok egyidejűleg nem zérusok (vö. Szendrei 1975: 47).

A hatványozás kiterjesztése során az ún. permanenciaelvet alkalmazzuk: az eddig nem értelmezett hatványokat úgy definiáljuk, hogy a hatványozás eddigi tulajdonságai zérus alapra, ill. zérus kitevőre is érvényesek maradjanak. Ennek megfelelően definíció szerint legyen
a0 = 1 (a≠0) és
0n = 0 (n≠0).

Jegyezzük meg, hogy a 00 kifejezés nem értelmezhető ellentmondásmentesen.

Végül emeljük ki, hogy a hatványozást értelmezhetjük ismételt szorzásként is. Ha a, n∈ℕ természetes számok, akkor
    ha n=0 és a=0 akkor az an értéket nem értelmezzük;
    ha n≠0 és a=0 akkor legyen an ⇋ 0;
    ha n=0 és a≠0 akkor legyen an ⇋ 1;
    ha n=1 akkor legyen an ⇋ a;
    ha n>1 akkor legyen an ⇋ a1*a2*...*an, ahol ai=a (i=1,2,...,n).

Jegyezzük meg, hogy ha az alapműveleteket a Peano-axiómák alapján vezetjük be, az összeadást számlálásként, a szorzást ismételt összeadásként, a hatványozást pedig ismételt szorzásként értelmezhetjük.


(4) kivonás:

Az a, b∈ℕ természetes számok különbsége alatt azt az a−b∈ℕ természetes számot értjük, amelyet a 'b' számhoz adva az 'a' számot kapjuk eredményül. (Míg az összeadáskor az a+b=? kérdésre keressük a választ, kivonáskor a b+?=a kérdésre. A kivonást az összeadás inverz műveletének szokás nevezni, vö. Brindza 1996: 70.)

A kivonás egy u(a,b) : A⊆ℕΧℕ→ℕ függvény, amelynek az értelmezési tartománya
    A={(a,b) | a,b∈ℕ, a≥b}
módon adható meg. Koordináta-rendszerben az 'a' értékeket az 'y' tengelyen, a 'b' értékeket az 'x' tengelyen ábrázolva az 'A' halmaz az y=x (x≥0) félegyenesen fekvő, ill. az egyenes feletti tartományban levő pontoknak megfeleltethető természetes számpárokat tartalmazza. Ebben az ábrázolásban az (a-b) különbséget a (b,a) pontnak és az y=x egyenesen fekvő (b,b) pontnak a távolsága adja meg.
Az u(a,b) számot 'a−b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "kivonjuk egymásból"). Az 'a−b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok különbségének, az 'a' számot kisebbítendőnek, a 'b' számot kivonandónak nevezzük.

Formálisan a különbség meghatározása
    a= u(a,b)+b= (a−b)+b
módon írható le. ("Keressük azt az u=a−b természetes számot, amelyet a 'b' számhoz adva az 'a' számot kapjuk eredményül.")
Ha az összeadást az f(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvénnyel adjuk meg, akkor a fenti összefüggés
    a= f(u(a,b),b)
alakú lesz, vagy u(x,b)=f−1(x,b) jelöléssel
    a= f(f−1(a,b),b)
formában írható fel.


Két természetes szám különbségét halmazelméletileg is értelmezhetjük. Az a, b∈ℕ, a≥b természetes számok különbsége alatt azt az (a−b)∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú, egymással részhalmaz relációban álló halmazok különbségének vagy differenciájának számosságával egyezik meg. Vagyis ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és B⊆A teljesül, akkor két természetes szám különbségét (a−b) ⇋ |AB| módon értelmezhetjük.

Ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és B⊆A teljesül, akkor a kivonást például úgy végezhetjük el, hogy az 'A' halmazból pontosan annyi elemet veszünk ki, ahány elemből a 'B' halmaz áll. Ha az 'A' és a 'B' halmaz (más-más színű) zsetonokból áll, akkor ezt megvalósíthatjuk úgy, hogy minden 'A'-ból kivett zsetont egy 'B' beli zseton fölé helyezünk.


(5) osztás:

Az a, b∈ℕ természetes számok hányadosa alatt azt az a/b∈ℕ (vagy a:b∈ℕ) zérustól különböző természetes számot értjük, amelyet a 'b' számmal szorozva az 'a' számot kapjuk eredményül. (Míg a szorzáskor az a*b=? kérdésre keressük a választ, osztáskor a b*?=a (b≠0) kérdésre. Az osztást a szorzás inverz műveletének szokás nevezni, vö. Brindza 1996: 72.)

Az osztás egy v(a,b) : B⊆ℕΧℕ→ℕ függvény, amelynek Dom(v)=B értelmezési tartománya
    B={(a,b) | a,b∈ℕ, b≠0, ∃k∈ℕ (a=k*b)}
módon adható meg (azaz a 'b' szám osztója az 'a' számnak). Ha az 'A' halmaz elemeit koordináta-rendszerben ábrázoljuk úgy, hogy az 'a' értékeket az 'y' tengelyen, a 'b' értékeket pedig az 'x' tengelyen vesszük fel, két esetet kell megkülönböztetnünk:
– az y=0 (x≥1) félegyenesen fekvő pontoknak megfeleltethető természetes számpárok elemei az 'A' halmaznak (ti. az y=0 természetes szám minden pozitív természetes számmal osztható);
– az y=x (x≥1) félegyenesen fekvő, ill. az egyenes feletti tartományban levő pontoknak megfeleltethető természetes számpárok közül azok, amelyek esetén y/x természetes szám, szintén elemei az 'A' halmaznak.
Ebben az ábrázolásban az (a/b) hányadost az adja meg, hogy a (b,a) pontnak és az y=x egyenesen fekvő (b,0) pontnak a távolsága hányszorosa a (b,b) pont és a (b,0) pont távolságának (azaz az x=b egyenesen hányszor tudjuk "felmérni" a (b,b) és (b,0) közötti 'b' hosszúságú szakaszt a (b,a) és (b,0) közötti szakaszra).
A v(a,b) számot 'a/b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' számot "elosztjuk" a 'b' számmal). Az 'a/b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok hányadosának, az 'a' számot osztandónak, a 'b' számot osztónak nevezzük.

Formálisan az osztás meghatározása
    a= v(a,b)*b= (a/b)*b
módon írható le (azokra az (a,b) értékekre, amelyre (a,b)∈Dom(v) teljesül).
Ha a szorzást a g(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvénnyel adjuk meg, akkor a fenti összefüggés
    a= g(v(a,b),b)
alakú lesz, vagy v(x,b)=g−1(x,b) jelöléssel
    a= g(g−1(a,b),b)
formában írható fel.

Korábban említettük, hogy a szorzást ismételt összeadásként is értelmezhetjük. Ennek megfelelően az osztást pedig ismételt kivonásként értelmezhetjük. Az algoritmus a következő:

  1. Legyen y=a (osztandó) és x=b (osztó).
  2. Legyen k=0.
  3. Ha y<x akkor az algoritmus befejeződött, ugrás a 6. pontra.
  4. Legyen y=y−x és k=k+1.
  5. Lépjünk vissza a 3. pontra.
  6. A hányados értéke a 'k' változó értéke.

Ha az algoritmus végeztével az 'y' változó értéke nem zérus (azaz az osztandó nem osztható az osztóval), akkor maradékos osztást végeztünk. A hányadost 'k', az osztás maradékát az 'y' változó szolgáltatja. Ennek megfelelően az algoritmus végrehajtása után
    a=k*b+y
teljesül.


Két természetes szám hányadosát halmazelméletileg is értelmezhetjük. (vö. Brindza 1996: 72)

(1) részekre osztás: legyenek a, b∈ℕ+, a≥b természetes számok, és legyen A∈Σ olyan halmaz, amelynek számossága 'a' (azaz |A|=a teljesül). Próbáljuk meg az 'A' halmazt felbontani 'b' darab egyenlő számosságú diszjunkt részhalmazra. Ha ez lehetséges, azaz
    A=B1∪B2∪...∪Bb,
    Bi∩Bj=∅ (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤b) és
    |Bi|=|Bj|=k (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤b)
teljesül, akkor a Bi halmazok közös számosságát, azaz a k∈ℕ természetes számot az 'a' és 'b' számok hányadosának nevezzük és a/b-vel jelöljük.

Egy lehetséges algoritmus: válasszunk ki 'b' darab elemet az 'A' halmazból, és helyezzük el őket külön-külön csoportokba, egymástól távol ("válasszuk el" egymástól őket). Utána próbáljunk meg az 'A' halmaz maradék elemeiből ismét 'b' darab elemet kiválasztani, és ezeket egyenként tegyük a már kiválasztott elemek mellé, az egyes elemeknek megfelelő csoportokba (ha ez nem lehetséges, a/b nem természetes szám). Ha az 'A' halmaz elemei elfogynak, a kialakított csoportok elemszáma éppen az a/b hányadost adja. (Ha a/b természetes szám, akkor minden csoportnak azonos az elemszáma).

(2) "bennfoglaló" osztás: legyenek a, b∈ℕ+, a≥b természetes számok, és legyen A∈Σ olyan halmaz, amelynek számossága 'a' (azaz |A|=a teljesül). Hozzunk létre ("foglaljunk le") az 'A' halmazban a lehető legtöbb, 'b' számosságú diszjunkt részhalmazt. Ha a létrehozott részhalmazok teljesen "lefedik" az 'A' halmazt (azaz 'A' osztályozását valósítják meg), azaz
    A=B1∪B2∪...∪Bk,
    Bi∩Bj=∅ (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤k) és
    |Bi|=|Bj|=b (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤k)
teljesül, akkor a Bi részhalmazok (osztályok) számát, azaz a k∈ℕ természetes számot az 'a' és 'b' számok hányadosának nevezzük és a/b-vel jelöljük.

Megjegyzés: a kétfajta módszer ekvivalens, mivel ha a/b=k természetes szám (és k≠0), akkor a/k=b is teljesül. Vegyük észre, hogy
– az első módszernél az 'A' halmazt 'k' elemszámú csoportokra bontottuk fel (ekkor 'b' darab csoport létezik);
– a második módszernél az 'A' halmazt 'b' elemszámú csoportokra bontottuk fel (ekkor 'k' darab csoport létezik).

Ha az osztást ismételt kivonásként értelmezzük, a korábban leírt, maradékos osztást megvalósító algoritmus és a második módszer ("bennfoglaló" osztás) lényegében ekvivalens. Amikor ugyanis egy 'b' elemszámú csoportot elkülönítünk, akkor az elemeket tulajdonképpen kivonjuk az 'A' halmazból.


11.1. A számfogalom bővítése. Az egész számok halmaza

A természetes számok körében az összeadás és a szorzás tetszőleges két számra mindig elvégezhető, azaz a természetes számok halmaza zárt az összeadás és a szorzás műveletére. A természetes számok körében azonban a kivonás és az osztás nem mindig végezhető el. Ezért a természetes számok halmazát bővíteni fogjuk, és elsőként bevezetjük az egész számok halmazát (ℤ).

Az egész számok halmazát úgy alakítjuk ki, hogy

A számkörbővítés az egész számok (majd a későbbiekben a racionális és valós számok) bevezetésekor a permanenciaelv alapján történik (Pappné Ádám 1996: 73). Ez négy feltétel teljesülését kívánja meg az eredeti és a bővített halmazra:

Legyenek a, b, c tetszőleges számok. A számkörbővítés során az összeadás és a szorzás alábbi alaptulajdonságai maradnak érvényben:

  • kommutativitás: a+b=b+a
  • asszociativitás: (a+b)+c=a+(b+c)
  • zéruselem (0) létezése: a+0=a
  • kommutativitás: a*b=b*a
  • asszociativitás: (a*b)*c=a*(b*c)
  • egységelem (1) létezése: a*1=a
  • disztributivitás: a*(b+c)=a*b+a*c

Kiindulásként vegyük észre, hogy bármely természetes szám (végtelen sok módon) előállítható két természetes szám különbségeként.

Legyen n∈ℕ tetszőleges természetes szám. Ekkor nyilvánvalóan fennállnak az n= n−0= (n+1)−1= (n+2)−2= (n+3)−3= ... összefüggések.

Legyenek a, b, c, d∈ℕ, a≥b, c≥d természetes számok. Ezekre a számokra
    (a−b)=(c−d) ⇔ (a+d)=(b+c)
teljesül.

Ha az a≥b, c≥d természetes számok, akkor a különbség definíciója alapján b+(a−b)=a és d+(c−d)=c teljesül. Ezeket az a+c kifejezésben egyszer az 'a', egyszer pedig a 'c' szám helyére helyettesítve
    a+c= b+(a−b)+c= a+d+(c−d)
adódik. Ezt átrendezve az
    a+d+(c−d)= b+c+(a−b)
egyenlőséget kapjuk. Mivel az összeadás egyik fontos tulajdonsága az, hogy tetszőleges x, y, z∈ℕ számokra x+z=y+z ⇔ x=y teljesül,
(a−b)=(c−d) teljesüléséből (a+d)=(b+c) teljesülése,
– (a+d)=(b+c) teljesüléséből pedig (a−b)=(c−d) teljesülése
következik.

Vegyük észre, hogy az (a+d)=(b+c) kifejezésben szereplő műveletek tetszőleges 'a', 'b', 'c' és 'd' természetes számok esetén kiszámíthatók (ugyanis az összeadás korlátozás nélkül elvégezhető a természetes számok körében).

Definiáljuk az ℕΧℕ halmazon a
ψ = {((a,b),(c,d)) | (a,b)∈ℕΧℕ, (c,d)∈ℕΧℕ, a+d=b+c}
relációt. A ψ reláció ekvivalenciareláció, mivel

A ψ ekvivalenciareláció létrehozza az ℕΧℕ halmaz, azaz a természetes számokból alkotott számpárok halmazának egy osztályozását.

Tetszőleges a, b∈ℕ esetén jelöljük az egyes osztályokat
(a,b) ⇋ {(x,y)∈ℕΧℕ | ψ(x,y)=ψ(a,b)}
módon (ahol az (a,b) számpár az adott osztály egy osztály­reprezentánsa).

Állapítsuk meg a következőket:

(1) Tetszőleges a≥b természetes számok esetén az (a,b) osztály az összes olyan természetes számokból álló (ψ szerint ekvivalens) számpárt tartalmazza, amelyek különbsége megegyezik, és értéke éppen k=(a−b). Például a=1, b=0 és k=a−b=1 esetén
(1,0)={(1,0), (2,1), (3,2), ...}, és
(1,0)=(2,1)=(3,2)=...
teljesül. Ebben az értelemben beszélhetünk "a természetes számokból alkotott különbségek ekvivalenciaosztályairól" (Pappné Ádám 1996: 75).

(2) Másrészt minden k∈ℕ természetes számhoz található pontosan egy olyan (a,b) ekvivalenciaosztály, amelyben a számpárok különbsége éppen 'k'-val egyezik meg (pl. k=8 esetén ez (8,0)=(9,1)=... stb.). Jelöljük ezt az ekvivalenciaosztályt ψ(k)-val.

(3) A természetes számok halmaza a k→ψ(k) (k∈ℕ) leképezéssel kölcsönösen egyértelmű (injektív) módon leképezhető a ψ szerint ekvivalens elempárokat tartalmazó osztályok halmazába.

(4) Egy tetszőleges (a,b), a>b természetes számpár esetén a k=(a−b) különbséghez a ψ(k)=(a,b) ekvivalenciaosztály tartozik. Mivel azonban a (b−a) művelet nem végezhető el a természetes számok körében, a (b,a) természetes számpárhoz tartozó (b,a) ekvivalenciaosztály ugyan létezik, de nincs benne a k→ψ(k) leképezés értékkészletében. Tehát a k→ψ(k) leképezés nem szürjektív.

(5) Legyenek (a,b), a>b és (c,d), c>d olyan számpárok, amelyek különbsége megegyezik, azaz a−b=c−d=k∈ℕ+ teljesül. Ekkor
– az (a,b) és (c,d) számpárok ψ szerint ekvivalensek, és a nekik megfelelő ekvivalenciaosztály ψ(k);
a (b,a) és (d,c) számpárok is ekvivalensek. Jelöljük a (b,a) és (d,c) számpárok ekvivalenciaosztályát ψ(−k)-val.

(6) Mivel tetszőleges 'a' és 'b' természetes számokra a>b szigorúan trichotóm reláció, vagyis az a>b, b>a és a=b relációk közül pontosan egy teljesül, fennáll a
(0,0)∪ {ψ(k) | k∈ℕ+}∪ {ψ(−k) | k∈ℕ+}= ℕΧ
összefüggés.

A ψ ekvivalenciareláció által létrehozott osztályokból álló
ℤ={(a,b) | a, b∈ℕ}
halmaz elemeit egész számoknak nevezzük.

Legyenek a, b, c, d∈ℕ tetszőleges természetes számok. Értelmezzük az (a,b) és (c,d) ekvivalenciaosztályok között az alábbi műveleteket:

Bizonyítható, hogy
(1) a fenti definíciók valóban osztályok közötti műveleteket adnak meg (azaz a műveletek függetlenek a bennük szereplő osztályok választott reprezentánsaitól);
(2) a fent definiált műveletekre teljesülnek az összeadásra és a szorzásra megkövetelt alaptulajdonságok.

Legyenek a, b∈ℕ természetes számok és

k = {  a−b  ha a≥b
 b−a  ha a<b

Vezessük be a következő jelöléseket:
    k ⇋ (a,b) ha a≥b
    −k ⇋ (a,b) ha a<b
A természetes számoknak azok az (a,b) ekvivalenciaosztályok felelnek meg, amelyekre a≥b teljesül. Az egész számokat ennek megfelelően a természetes számok és a természetes számok "ellentettjei" alkotják; előbbieket nemnegatív egész számoknak (ezen belül 0-nak és pozitív egész számoknak), utóbbiakat negatív egész számoknak nevezzük. Ha 'k' pozitív egész szám, akkor ezt k>0 módon, ha pedig 'k' negatív egész szám, akkor ezt k<0 módon jelöljük.

Legyen tetszőleges a, b∈ℕ esetén k=a−b. Ekkor az (a,b) osztályba tartozó bármely (x,y)∈(a,b) számpár esetében k=x−y, vagyis y=x−k teljesül. Ábrázoljuk Descartes-féle koordináta rendszerben az y=x−k lineáris függvényt különböző k∈ℤ értékekre:
természetes számokból alkotott különbségek ekvivalenciaosztályai
A piros pontok a természetes számok rendezett párjait mutatják (vö. Wikipédia). A kék pontozott vonallal összekötött piros pontok az egész számokat reprezentáló ekvivalenciaosztályok, amelyekben a komponensek különbsége megegyezik. A koordináta-rendszerben egy (n1,n2) osztályreprezentáns koordinátáira x=n1 és y=n2 teljesül.
A reprezentált egész számok a kék pontozott vonal végén kék színnel vannak megadva. Az egyes ekvivalenciaosztályoknak megfelelő "pontozott" egyenesek és az 'x' tengely metszéspontja éppen az egyenesek által reprezentált egész számokat adja. (Például a (3,0) ekvivalenciaosztályt reprezentáló egyenes az 'x' tengelyt a '3' pontban metszi.) Jegyezzük meg, hogy az ábrán a tengelyek "beosztása" félrevezető, nem világos, hogy az ábra készítője mire gondolt.

Két fontos megállapítás:
(1)Az 'x' tengelyt (y=0) számegyenesnek tekintve a negatív egész számok a 0 ponttól balra, a pozitív egész számok pedig a 0 ponttól jobbra helyezkednek el.
(2) Abból, hogy az egész számokat leképeztük a számegyenesre, világosan látszik, hogy az egész számok halmaza teljesen rendezett halmaz.

Legyenek p, q∈ℤ tetszőleges egész számok, amelyekre
    p=(a,b) és
    q=(c,d)
teljesül. Akkor mondjuk, hogy a 'p' egész szám nagyobb, a 'q' egész számnál (p>q), ha (p−q)>0 teljesül, azaz
(a+d)>(b+c)
teljesül. (Ennek megfelelően értelmezhetjük a p≥q, p<q és p≤q relációkat is.)

Értelmezzük az f(x)=∣x∣ : ℤ → ℕ abszolút érték függvényt a következőképpen:

∣x∣ = { x ha x≥0
−x ha x<0

Összefoglalva: az egész számok halmaza zárt az összeadás és a szorzás műveletére. Ezért az egész számok halmaza (ℤ) a rajta értelmezett összeadás (+) és szorzás (*) műveletekkel ún. (kétműveletes) algebrai struktúrát alkot, amit (ℤ; +, *) módon jelölünk.

Legyenek a, b, c∈ℤ tetszőleges egész számok. Az összeadás és a szorzás műveletére teljesülnek az alábbi alaptulajdonságok:

  • kommutativitás: a+b=b+a
  • asszociativitás: (a+b)+c=a+(b+c)
  • zéruselem (0) létezése: a+0=a
  • kommutativitás: a*b=b*a
  • asszociativitás: (a*b)*c=a*(b*c)
  • egységelem (1) létezése: a*1=a
  • disztributivitás: (a+b)*c=a*c+b*c

Az egész számok halmazában minden egész számnak létezik az additív inverze. Emiatt az egész számok halmaza zárt a kivonás műveletére is, vagyis az összeadás mint művelet invertálható.

Az egész számok halmazában két zérustól különböző egész szám szorzata nem lehet zérus. Emiatt az egész számok között értelmezett szorzást zérusosztómentesnek nevezzük.


Végül általánosítsuk a fentieket. Ha egy nem üres 'S' halmazon értelmezünk egy vagy több 'f', 'g' stb. algebrai műveletet (például összeadást, szorzást stb.), akkor algebrai struktúráról beszélünk, és ezt (S; f, g, ...) módon jelöljük. (vö. Szendrei 1975: 102)

A műveletek fenti tulajdonságai alapján (ℤ; +, *) esetében a következő algebrai struktúrákról beszélhetünk:


12.1. A számfogalom bővítése. A racionális számok halmaza

Az egész számok körében az osztás nem mindig végezhető el. Ezért az egész számok halmazát bővíteni fogjuk, és bevezetjük a racionális számok halmazát (ℚ). A racionális számok halmazát úgy alakítjuk ki, hogy

A számkörbővítés a racionális számok bevezetésekor is a permanenciaelv alapján történik (Pappné Ádám 1996: 73). Ez négy feltétel teljesülését kívánja meg az eredeti és a bővített halmazra:

Kiindulásként vegyük észre, hogy bármely egész szám (végtelen sok módon) előállítható két egész szám hányadosaként.

Legyen k∈ℤ tetszőleges egész szám. Ekkor nyilvánvalóan fennállnak a k= k/1= (2*k)/2= (3*k)/3= (4*k)/4= ... összefüggések.

Legyenek a, b, c, d∈ℤ egész számok, amelyekre b≠0 és d≠0, valamint b|a, d|c teljesül. Ezekre
    a/b=c/d ⇔ a*d=b*c
teljesül.

Ha a=0 vagy c=0, a tétel triviális. Ezért a továbbiakban tegyük fel, hogy a≠0 és c≠0 teljesül.
Az oszthatóság definíciója alapján b|a és d|c esetén vannak olyan p, q∈ℤ egész számok, amelyekre a=p*b és c=q*d teljesül. (Jegyezzük meg, hogy mivel b≠0 és d≠0, az osztás definíciója szerint p⇌a/b és q⇌c/d.) Ezeket az a*c kifejezésben egyszer az 'a', egyszer pedig a 'c' szám helyére helyettesítve
    a*c= p*b*c= a*q*d
adódik. Ezt átrendezve az
    (a*d)*q= (b*c)*p
egyenlőséget kapjuk. A szorzás egyik alapvető tulajdonsága az, hogy tetszőleges x, y, z∈ℤ egész számok és x≠0 esetén x*y=x*z ⇔ y=z teljesül. Mivel esetünkben b≠0 és d≠0 fennáll, ezért
– p=a/b=c/d=q teljesüléséből a*d=b*c következik;
– a*d=b*c teljesüléséből pedig p=a/b=c/d=q következik.

Vegyük észre, hogy az a*d=b*c kifejezésben szereplő műveletek tetszőleges 'a', 'b', 'c' és 'd' egész számok esetén kiszámíthatók (ugyanis a szorzás korlátozás nélkül elvégezhető az egész számok körében).

Definiáljuk az Y=ℤΧ{0} halmazon a
φ = {((a,b),(c,d)) | (a,b)∈Y, (c,d)∈Y, a*d=b*c}
relációt. A φ reláció ekvivalenciareláció, mivel

A φ ekvivalenciareláció létrehozza az Y=ℤΧ{0} halmaz, azaz az egész számokból alkotott számpárok halmazának egy osztályozását.

Tetszőleges a, b≠0∈ℤ esetén jelöljük az egyes osztályokat
(a,b) ⇋ {(x,y)∈Y | φ(x,y)=φ(a,b)}
módon (ahol az (a,b) számpár az adott osztály egy osztály­reprezentánsa).

Jegyezzük meg, hogy b|a esetén, mivel az oszthatóság definíciója miatt
    b|a ⇔ ∃k∈ℤ (a=k*b) teljesül,
a k=a/b hányados létezik az egész számok halmazában. Ekkor egyrészt (a,b) azokat az egész számokból álló (φ szerint ekvivalens) számpárokat tartalmazza, amelyek hányadosa megegyezik (pl. (2,1)={(4,2), (6,3), (8,4), ...}, ahol (2,1)=(4,2)=(6,3)=... teljesül). Másrészt tetszőleges k∈ℤ egész számhoz található olyan (a,b) ekvivalenciaosztály, amelyben a számpárok hányadosa éppen 'k'-val egyezik meg (pl. k=3 esetén (3,1)={(6,2), (9,3), (12,4), ...} stb.). Tehát az egész számok egyértelműen hozzárendelhetők azokhoz ekvivalenciaosztályokhoz, amelyekben a számpárok hányadosa éppen a 'k' számmal egyezik meg. Jelöljük ezeket az ekvivalenciaosztályokat φ(k)-val.

Tudjuk azonban, hogy vannak olyan a, b∈ℤ egész számok, amelyekre az a/b hányados nem egész szám (azaz az a:b osztás nem végezhető el az egész számok körében). Az ilyen számpárokhoz tartozó (a,b) ekvivalenciaosztályok esetében az egész számpárokhoz rendelt törtszámok ekvivalenciaosztályairól beszélhetünk. Jelöljük ezeket az ekvivalenciaosztályokat φ(a/b)-vel.

Megállapíthatjuk a következőket:
– a φ(a/b) ekvivalenciaosztályok különböznek az egész számokhoz rendelt φ(k) ekvivalenciaosztályoktól;
– tetszőleges (a,b) egész számokból álló számpár beletartozik vagy a φ(k), vagy a φ(a/b) ekvivalenciaosztályok valamelyikébe.

A φ ekvivalenciareláció által létrehozott osztályokból álló
ℚ={(a,b) | a, b∈ℤ, b≠0}
halmaz elemeit racionális számoknak nevezzük.
(Később látni fogjuk, hogy az (a,b) ekvivalenciaosztály "természetes" osztályreprezentánsa (ún. alapalakja) az a, b≠0∈ℤ relatív prim egész számokból képzett a/b törtszám.)

Legyenek a, b, c, d∈ℕ tetszőleges természetes számok. Értelmezzük az (a,b) és (c,d) ekvivalenciaosztályok között az alábbi műveleteket:

Bizonyítható, hogy
(1) a fenti definíciók valóban osztályok közötti műveleteket adnak meg (azaz a műveletek függetlenek a bennük szereplő osztályok választott reprezentánsaitól);
(2) a fent definiált műveletekre teljesülnek az összeadásra és a szorzásra megkövetelt alaptulajdonságok.

Legyen p∈ℚ tetszőleges racionális szám, amelyre p=(a,b) teljesül. Akkor mondjuk, hogy
– a 'p' racionális szám pozitív (p>0), ha a*b>0 teljesül; és
– a 'p' racionális szám negatív (p<0), ha a*b<0 teljesül.

Legyenek a, b∈ℤ (b≠0) egész számok. Vezessük be a következő jelöléseket:
    a ⇋ (a,1)
    a/b (vagy a:b)(a,b)

Az a/b alakú racionális számok esetében az 'a' egész számot számlálónak, a 'b' egész számot pedig nevezőnek nevezzük. Az a:b alakú racionális számok esetében az 'a' egész számot osztandónak, a 'b' egész számot pedig osztónak nevezzük. (Mivel a két jelölés ekvivalens, az elnevezéseket az a/b alakú racionális számokra is használhatjuk.)

A fentiek alapján a racionális számokat az egész számok és a racionális törtszámok alkotják.

Legyen tetszőleges a, b∈ℤ (b≠0) esetén r=a/b. Ekkor az (a,b) osztályba tartozó bármely (x,y)∈(a,b) számpár esetében r=x/y=a/b, vagyis
    r≠0 esetén x≠0 és y=x/r (ahol x∈ℤ{0} tetszőleges), és
    r=0 esetén x=0 (ahol y∈ℤ{0} tetszőleges)
teljesül. Ábrázoljuk Descartes-féle koordináta rendszerben r≠0 esetén az y=x/r lineáris függvényt, ill. r=0 esetén az x=0 egyenest az alábbi r∈ℚ értékekre:
r=0 (y tengely, fekete vonal); r=1/2 (rózsaszín vonal); r=1 (piros vonal); r=3/2 (narancsszínű vonal); r=2 (zöld vonal); r=3 (kék vonal); r=6 (magenta vonal).

A fekete, ill. színes pontok az egész számok rendezett párjait mutatják (pl. az 'y' tengelyen levő fekete pontok a ..., (0,−1), (0,0), (0,1), (0,2), ... számpárokat, az y=x egyenesen levő piros pontok a ..., (−1,−1), (1,1), (2,2), ... számpárokat stb.). A fekete, ill. színes pontokat összekötő egyenesek a racionális számokat reprezentáló ekvivalenciaosztályokat jelölik ki.

Vegyük észre, hogy az egyes ekvivalenciaosztályoknak megfelelő egyenesek és az ábrán világosszürke vonallal ábrázolt y=1 egyenes metszéspontjának az 'x' koordinátája (x/r=1 miatt) éppen az egyenesek által reprezentált 'r' racionális számokat adja. Abból, hogy a racionális számokat íly módon leképezzük a számegyenesre, világosan látszik, hogy a racionális számok halmaza rendezett halmaz.

Legyenek p, q∈ℚ tetszőleges racionális számok, amelyekre
    p=(a,b) és
    q=(c,d)
teljesül. Akkor mondjuk, hogy a 'p' racionális szám nagyobb a q racionális számnál (p>q), ha (p−q)>0 teljesül.

Mivel definíció szerint
    (p−q) = (a*d−b*c,b*d),
ezért p>q akkor és csak akkor teljesül, ha
    (a*d−bc)*(b*d)>0
teljesül.

A racionális számok a számegyenesen "sűrűn" helyezkednek el. Ezen azt értjük, hogy bármely két a, b∈ℚ, a<b racionális számhoz találhatunk olyan c∈ℚ racionális számot, amely az 'a' és 'b' számok között helyezkedik el, azaz a<c<b teljesül.

Legyen c=(a+b)/2.
(1) Mivel a<b, ezért 0<(b−a) teljesül. Átalakítva c-t
c=(a+b−a+a)/2=(2*a+(b−a))/2=a+(b−a)/2
adódik. Mivel 0<(b−a) ⇒ 0<(b−a)/2, ezért a<a+(b−a)/2 ⇒ a<c teljesül.
(2) Mivel a<b, ezért 0<(b−a) teljesül. Átalakítva c-t
c=(a+b−b+b)/2=(2*b−(b−a))/2=b−(b−a)/2
adódik. Mivel 0<(b−a) ⇒ 0<(b−a)/2, ezért b−(b−a)/2<b ⇒ c<b teljesül.

Összefoglalva: a racionális számok halmaza zárt az összeadás és a szorzás műveletére. Ezért a racionális számok halmaza (ℚ) a rajta értelmezett összeadás (+) és szorzás (*) műveletekkel kétműveletes algebrai struktúrát alkot, amit (ℚ; +, *) módon jelölünk.

Legyenek a, b, c∈ℚ tetszőleges racionális számok. Az összeadás és a szorzás műveletére teljesülnek az alábbi alaptulajdonságok:

  • kommutativitás: a+b=b+a
  • asszociativitás: (a+b)+c=a+(b+c)
  • zéruselem (0) létezése: a+0=a
  • kommutativitás: a*b=b*a
  • asszociativitás: (a*b)*c=a*(b*c)
  • egységelem (1) létezése: a*1=a
  • disztributivitás: (a+b)*c=a*c+b*c

A racionális számok halmazában minden számnak létezik az additív inverze. Emiatt a racionális számok halmaza zárt a kivonás műveletére, vagyis az összeadás mint művelet invertálható.

A zéruselem (0) kivételével a racionális számok halmazában minden számnak létezik a multiplikatív inverze. Emiatt a racionális számok halmaza zárt az osztás műveletére, vagyis a szorzás mint művelet invertálható.

A racionális számok halmazában két zérustól különböző szám szorzata nem lehet zérus. Emiatt a racionális számok között értelmezett szorzás zérusosztómentes. (Megjegyzés: ez következik abból, hogy a szorzás nem zérus elemek esetében invertálható.)

A műveletek fenti tulajdonságai alapján (ℚ; +, *) esetében a következő algebrai struktúrákról beszélhetünk:


12.2. A racionális számok tizedestört-alakja

Tizedes törtnek nevezzük az a/b alapalakú racionális törtszámot (a, b∈ℤ, a≠0, b≠0), ha b=10k alakú (ahol k∈ℕ+). A továbbiakban az egyszerűség kedvéért legyen a>0 és b>0.

Általánosítva a fentieket, véges tizedes törtről beszélünk, ha az a/b (a≠0, b≠0) racionális törtszám
a/b=s*(dn*10n+dn−1*10n−1+... +d1*101+d0*100+d−1*10−1+... +d−k+1*10−k+1+d−k*10−k)
alakú, ahol

Azokat a dj decimális számjegyeket (0>j≥−k, k∈ℕ, k>0), amelyek szorzója (helyi értéke) 10 negatív hatványa, a tört tizedesjegyeinek nevezzük.

Tovább általánosítva a tizedes tört fogalmát, végtelen tizedes törtről beszélünk, ha az a/b (a≠0, b≠0) racionális törtszámban végtelen számú tizedesjegy fordul elő, azaz a szám
a/b=s*(dn*10n+dn−1*10n−1+... +d1*10+d0+d−1*10−1+... +d−j*10−j+...)
alakú, ahol

A végtelen tizedes törtek szakaszosak, ha a tizedespont (.) után egy adott helyiértéktől kezdődően azonos számjegycsoportok ismétlődnek.
Racionális törtszámok esetében csupa 9-ből álló (0....999999...) végtelen számjegysorozat nem fordulhat elő, vagyis a 9 nem fordulhat elő végtelen tizedestört ismétlődő szakaszaként (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 215), ill. "a csupa 9-esből álló szakaszt a továbbiakban nem használjuk" (vö. Pappné Ádám 1996: 95).

Minden racionális törtszám felírható véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört alakban.

Ha egy q=a/b (a≠0, b≠0) alapalakú racionális törtszám nevezője
    |b|=2k*5m (k, m∈ℕ, b≠1)
alakú, akkor a 'q' racionális szám véges tizedes tört alakra hozható. Ha ez nem teljesül, akkor a 'q' racionális szám végtelen szakaszos tizedes tört alakban fejezhető ki.

Példák:
2/3≈0.666666...
5/6≈0.8333333...
7/13≈0.538461538461538... (a tizedestört számjegyei egy periodikus sorozattal állíthatók elő; ennek a sorozatnak a rekurzív megadását korábban már megismertük).

Egy végtelen szakaszos tizedestörtet egy egyszerű algoritmus segítségével mindig elő tudunk állítani a/b (b≠0) alakú racionális törtszámként.

(1) Például tekintsük a q=0.666666... végtelen szakaszos tizedes törtet. Szorozzuk be q-t 10-zel, majd vonjuk ki q-t a kapott szorzatból, hogy eltűnjenek a tizedesjegyek:
10*q=6.666666...
10*q−q=6.666666...−0.666666...=6
Ebből már egyszerű átalakítással
9*q=6 ⇒ q=6/9=2/3
adódik, ami éppen a keresett alak.

(2) Egy másik példaként tekintsük a q=0.8333333... végtelen szakaszos tizedes törtet. Szorozzuk be q-t 100-zal, majd 10-zel, és vonjuk ki a kapott szorzatokat egymásból, hogy eltűnjenek a tizedesjegyek:
100*q=83.333333...
10*q=8.3333333...
100*q−10*q=83.333333...−8.3333333...=83−8=75
Ebből már egyszerű átalakítással
90*q=75 ⇒ q=75/90=5/6
adódik, ami éppen a keresett alak.

(3) Utolsó példaként tekintsük a q=0.538461538461538... végtelen szakaszos tizedes törtet. Szorozzuk be q-t 106-nal (ahol '6' az ismétlődő szakasz hossza!), és vonjuk ki q-t a kapott szorzatból, hogy eltűnjenek a tizedesjegyek:
106*q=538461.538461538461538...
106*q−q=538461.538461538461538...−0.538461538461538...=538461
Ebből már egyszerű átalakítással
(106−1)*q=538461 ⇒ q=538461/999999=7/13
adódik, ami éppen a keresett alak (megjegyzés: 538461/76923=7 és 999999/76923=13).

Gyakorló feladat:

Írja be a keresztnevét az alábbi adatbeviteli mezőbe, és kattintson az OK gombra! A megjelenő végtelen szakaszos tizedes tizedes törtek közül válasszon ki négy olyat, amelyekben az ismétlődő szakaszok különbözők, és határozza meg a kiválasztott tizedestörteknek megfelelő racionális törtszámokat!
(A végtelen szakaszos tizedes törték átalakítására az előző szakaszban számos példát adtunk. Mielőtt a feladat elvégzésébe fogna, tanulmányozza át alaposan ezeket a példákat!)

Keresztnév:

Az átalakítandó tizedestörtek:


13.1. A számfogalom bővítése. A valós számok halmaza

A racionális számok "sűrűn" töltik ki a számegyenest, azaz tetszőleges két racionális szám között van racionális szám. A számegyenesen azonban vannak olyan pontok, amelyekhez nem rendelhető racionális szám.

Tekintsük például azt a 'C' pontot, amely a számegyenesre fektetett egységnyi oldalú oldalú derékszögű háromszög átfogója jelöl ki, ha a háromszög bal oldali csúcsa az origóban van. Jelöljük az OC szakasz hosszát 'c'-vel. Az ábrán levő egybevágó és egységnyi befogójú derékszögű háromszögek területe megegyezik (1/2), és a számegyenes alatt elhelyezkedő négy egymáshoz illeszkedő derékszögű háromszög pontosan lefedi a 'c' oldalhosszúságú négyzet területét (c*c). Ezért
    c2=4*1/2=2
teljesül. Jelöljük a 'c' számot (ti. azt a számot, amelynek négyzete 2) 2 módon.

Pitagorasz-tétel egységnyi befogójú derékszögű háromszögre

Tegyük fel, hogy 'c' racionális. Ekkor léteznek olyan p, q∈ℤ (q≠0) egész számok, amelyek előállítják 'c' alapalakját, azaz
    c=√2=p/q és
    (p,q)=1
teljesül. Azonos átalakításokkal
2=p/q ⇒ 2=p2/q2 ⇒ 2*q2=p22|p adódik; az oszthatóság definíciója alapján
2|p ⇒ ∃n∈ℕ (p=2*n), ezt felhasználva pedig
p=2*n ∧ 2*q2=p2 ⇒ 2*q2=(2*n)2=4*n2 ⇒ 2*n2=q22|q adódik.
Mivel egyrészt feltettük, hogy (p,q)=1 (ti. a 'c' racionális szám alapalakjában szereplő egész számok relatív primek), másrészt viszont azt kaptuk, hogy 2 a 'p' és 'q' egész számok közös osztója, ellentmondásra jutottunk. Tehát 'c' nem lehet racionális szám, mert ez a feltevés ellentmondásra vezet. (Vegyük észre a reductio ad absurdum következtetési séma használatát!)

A számegyenes egyes pontjaihoz tehát nem rendelhetőek racionális számok (pl. az előbb láttuk, hogy √2 nem lehet racionális szám). Vezessük be ezért az alábbi fogalmakat:

A valós számok, vagyis a racionális és az irracionális számok együtt lefedik a számegyenes minden pontját.

Bevezetve az összemérhetőség fogalmát, egy gyakorlati szempontból is fontos különbséget tehetünk a racionális és irracionális számok között.


Az irracionális számok két fontos tulajdonsága:


Például az x=7 szám esetében keressük azt az y=√x számot, amelyre y2=x teljesül. Az
y=√7≈2.645751311...
irracionális számnak (végtelen, nem szakaszos tizedestörtnek) feleltessük meg az alábbi an sorozatot (amelynek előállításához szükségünk van a bn segédsorozatra is):

y=√x közelítő előállítása (x=7)
a1=1 (a1=2 is jó, mert 2*2<x)
b1=7 (b1=3 is jó, mert x<3*3)
an+1 = {  an  ha [(an+bn)/2]2>x  (n∈ℕ+)
 (an+bn)/2  ha [(an+bn)/2]2≤x
bn+1 = {  (an+bn)/2  ha [(an+bn)/2]2>x  (n∈ℕ+)
 bn  ha [(an+bn)/2]2≤x

Vegyük észre, hogy az an és bn sorozatok elemeinek távolsága (azaz a |bn−an| különbség) az 'n' növekedésével egyre kisebb lesz:
– mind an+1=an és bn+1(an+bn)/2 esetén (felső sor),
– mind an+1=(an+bn)/2 és bn+1=bn esetén (alsó sor)
mindig a felére csökken.

A sorozatelemeket úgy állítjuk elő, hogy an2≤ x<bn2 mindig teljesüljön, amiből az f(x)=√x : [0,+∞)→[0,+∞) (pozitív) négyzetgyök függvény szigorú monoton növekedése miatt
an ≤ y < bn vagy y∈[an, bn)
következik minden n∈ℕ természetes számra (a követett módszert "intervallum-skatulyázásnak" is nevezzük).
Az alábbi táblázat 7 négyzetgyökét állítja elő 5 tizedesjegy pontossággal:


Jegyezzük meg, hogy az előző, a √7 szám kiszámítására megadott algoritmus jelentősen javítható az alábbi módon (vö. Pappné Ádám 1996: 97):

c1=2
d1=3.5 (=x/2) (b1=3 is jó, mert x<3*3)
cn+1 = {  2*x/(cn+dn)  ha [(cn+dn)/2]2>x  (n∈ℕ+)
 (cn+dn)/2  ha [(cn+dn)/2]2≤x
dn+1 = {  (cn+dn)/2  ha [(cn+dn)/2]2>x  (n∈ℕ+)
 2*x/(cn+dn)  ha [(cn+dn)/2]2≤x

Az 'y' érték (y2=x, a konkrét példa esetében x=7) gyorsabb megtalálására vonatkozó javítás azon alapul, hogy ha az 'a' és 'b' értékekre 0<a≤y<b teljesül és m=(a+b)/2, akkor
(1) ha m2>x, akkor m>y és m>x/m teljesül; mivel pedig m>y ⇒ y/m<1, ezért x/m=y*y/m<y teljesül, tehát
a < x/m < y < m < b
(2) ha m2≤x, akkor m≤y és m≤x/m teljesül; mivel pedig m≤y ⇒ y/m≥1, ezért x/m=y*y/m≥y teljesül, tehát
a < m ≤ y ≤ x/m < b

A rekurzív módon megadott an és bn (továbbá a javított cn és dn) sorozatok első néhány eleme:

A negyedik oszlopban szereplő Δ=|bn−an| különbség a kapott értékek pontosságát jellemzi, mivel a keresett 'y' értékre minden sorban y∈[an;bn) teljesül, ahol Δ éppen az [an;bn) intervallum hosszát adja meg.
Vegyük észre, hogy a javított cn és dn sorozatok esetében már az ötödik lépésben eljutottunk y=√7≈2.645751311... közelítő értékéhez (9 tizedesjegy pontossággal).


Egy valós szám négyzetgyökét közelítőleg kiszámíthatjuk az alábbi algoritmus szerint is (vö. Obádovics 1972: 105):

Próbáljuk ki az algoritmust különböző értékekre:

Négyzetgyök alapja (p):
Kiindulásnak választott közelítő érték (a1):
Közelítő lépések száma (2≤n≤20):

A számítás lépései:


Az irracionális számok halmaza két részre osztható:
– az algebrai irracionális számok halmazára, és
– a nem algebrai irracionális számok vagy transzcendens számok halmazára,

  • Az algebrai számokat az egész együtthatós polinomok (racionális vagy irracionális) gyökei alkotják. Vagyis minden az algebrai szám esetén létezik egy olyan egész együtthatós polinom, amelybe behelyettesítve a számot, a polinom értéke nulla lesz.
    • Minden racionális szám egyszersmind algebrai szám.
    • Az algebrai számok között vannak irracionális számok is. (Például az x2−2 polinom gyökei az x1=√2 és x2=−√2 irracionális számok.)
    • Az algebrai számok halmaza megszámlálható számosságú.
  • A transzcendens számok halmaza az algebrai számok komplementer halmaza (vagyis nem létezik olyan egész együtthatós polinom, amelynek a gyöke transzcendens szám lenne). A legismertebb transzcendens számok a π (...) és az 'e' szám (...).
    • Minden transzcendens szám irracionális.
    • A transzcendens számok halmaza kontinuum számosságú.

13.2. A hatványozás általánosítása

Ha a kitevő pozitív természetes szám, a hatványozást a valós számok körében is értelmezhetjük ismételt szorzásként.

A hatványozásnak két különböző inverz művelete van, a gyökvonás és a logaritmálás. (A gyökvonás esetében adott kitevő (n) esetén az alapot keressük, azaz az y=xn egyenlet megoldását; a logaritmálás esetében pedig adott alap (a) esetén a kitevőt keressük, azaz az y=ax egyenlet megoldását.)

A továbbiakban csak a gyökvonással foglalkozunk.

Legyen n∈ℕ+ tetszőleges pozitív természetes szám és a∈ℝ tetszőleges valós szám. Vezessük be a gyökvonásra az
x=na ⇋ "az az x∈ℝ valós szám, amelyre xn=a teljesül"
definíciót.

  • "A gyökvonásnál már sok probléma lép fel" (Fried 1968: 27). A gyökvönást egyes esetekben nem tudjuk elvégezni. Például √−1 értelmetlen kifejezés a valós számok körében. Ahhoz, hogy a gyökvonás korlátozás nélkül elvégezhető legyen, további számkörbővítésre van szükség. A komplex számok körében azonban a gyökvonás már korlátozás nélkül elvégezhető.

A valós számok ℝ halmazán a hatványozás művelete egyes esetekben invertálható az alábbi értelemben:

  • ha n∈ℕ+ tetszőleges pozitív természetes szám (n>0) és a∈ℝ+ tetszőleges pozitív valós szám (a>0), akkor létezik olyan x∈ℝ valós szám, amelyre xn=a teljesül.

Például az x2=4 egyenlet megoldása x=+2 és x=−2; az x3=8 egyenlet megoldása pedig x=2.

A hatványozásra és a gyökvonásra teljesül a monotonitás elve. Ha a, b∈ℝ+ tetszőleges pozitív valós számok (ahol ℝ+ ⇋ ℝ∩(0,+∞) a pozitív valós számok halmaza) és n∈ℕ+ tetszőleges pozitív természetes szám, akkor
    a<b ⇒ an<bn és
    a<b ⇒ na<nb
teljesül (Fried 1968: 27).

Például az f(x)=x2 és g(x)=√x függvények görbéi:


A hatványozást úgy általánosítjuk, hogy a hatványozásnak a természetes számok körében megismert tulajdonságai továbbra is érvényben maradjanak.

(1) Legyen a∈ℝ tetszőleges, nullától különböző valós szám (a≠0). A hatványozást a következőképpen definiáljuk, ha a kitevő negatív egész szám:

  • ha n∈ℕ+ tetszőleges természetes szám, akkor legyen
    a−n = 1/an

(2) Legyen a∈ℝ tetszőleges, pozitív valós szám (a>0). A hatványozást racionális kitevő esetén a következőképpen definiáljuk:

  • ha p∈ℤ tetszőleges egész szám, q∈ℕ+ tetszőleges pozitív természetes szám, akkor legyen
    ap/q = qap
    (A negatív alapot egyebek közt a definíció egyértelműsége miatt kell kizárni. Például a=−1 esetén a definícióból egyrészt (−1)1/3=−1, másrészt (−1)2/6=+1 következne, ami nyilvánvaló ellentmondás, vö. Fried 1968: 31.)

(3) Legyen a∈ℝ tetszőleges, pozitív valós szám (a>0) és x∈ℝ tetszőleges valós szám. A hatványozást valós kitevő esetén a következőképpen definiáljuk:

  • ha a=1 akkor legyen ax=1;
  • ha a>1 akkor ax alatt azt a valós számot értjük, amelyre bármely olyan két r, s∈ℚ racionális szám esetén, amelyekre
    r<x<s
    teljesül,
    ar<ax<as
    is teljesül. (Jegyezzük meg, hogy az f(x)=ax exponenciális függvény a>1 esetén a teljes értelmezési tartományon szigorúan monoton növekvő.)
    • Bizonyítható, hogy ilyen valós szám egyértelműen létezik (vö. Farkas-Fritzné-Kissné 2000: 64-65).
  • ha 0<a<1 akkor legyen ax ⇋ (1/a)−x (ugyanis ha a<1, akkor 1/a>1 teljesül; másrészt 1/a ⇋ a−1, és a hatványozás azonosságai alapján (a−1)−x=a(−1)*(−x)=ax teljesül).

13.3. A valós számok axiomatikus tulajdonságai (kiegészítő anyag)

A valós számok ℝ halmazán értelmezzük az összeadás (+) és a szorzás (*) műveletét, valamint egy rendezési relációt (≤). Az így kapott (ℝ; +, *) kétműveletes algebrai struktúra egy rendezett test, amelyben az értelmezett műveletekre, ill. rendezési relációra az alábbi alaptulajdonságok teljesülnek (vö. Dringó-Kátai 1986: 51-58):

Legyenek a, b, c∈ℝ tetszőleges valós számok.

I. a műveletek tulajdonságai

  • kommutativitás: a+b=b+a
  • asszociativitás: (a+b)+c=a+(b+c)
  • zéruselem (0) létezése: létezik egy olyan 0∈ℝ elem, amelyre a+0=a teljesül
  • additív inverz létezése: létezik olyan (−a)∈ℝ elem, amelyre a+(−a)=0 teljesül
  • kommutativitás: a*b=b*a
  • asszociativitás: (a*b)*c=a*(b*c)
  • egységelem (1) létezése: létezik egy olyan 1∈ℝ (1≠0) elem, amelyre a*1=a teljesül
  • multiplikatív inverz létezése: a≠0 esetén létezik olyan (1/a)∈ℝ elem, amelyre a*(1/a)=1 teljesül (az a∈ℝ elem multiplikatív inverzét a−1 módon is jelöljük)
  • disztributivitás: (a+b)*c=a*c+b*c

II. a rendezési reláció tulajdonságai

  • reflexivitás: a≤a
  • antiszimmetria: a≤b és b≤a egyidejű teljesüléséből a=b következik
  • tranzitivitás: a≤b és b≤c teljesüléséből a≤c következik
  • trichotómia: az a≤b és b≤a relációk közül az egyik biztosan fennáll
  • ha a≤b teljesül, akkor a+c ≤ b+c is fennáll
  • ha 0≤a és 0≤b teljesül, akkor 0 ≤ a*b is fennáll (ebből következik, hogy ha a≤b és 0≤c teljesül, akkor a*c ≤ b*c is fennáll)

A fenti alaptulajdonságokon kívül a valós számok ℝ halmazának még két nagyon fontos sajátsága is van. Ezeket a tulajdonságokat
– az ún. arkhimédészi axióma, és
– az ún. intervallumskatulyázási axióma (vagy Cantor-axióma)
írja le. (Ezek együttes teljesülése különbözteti meg a valós számok halmazát a racionális számok halmazától.)

(I.) arkhimédészi rendezés vagy axióma: Tetszőleges x, y∈ℝ (x>0, y≥0) nemnegatív valós számok esetén van olyan n∈ℕ természetes szám, amelyre y≤n*x teljesül.

  • Az arkhimédészi axióma egy másik megfogalmazása az, hogy minden valós számnál van nagyobb természetes szám (vö. Gémes-Szentmiklóssy 2015). (Megjegyzés: az egyenlőtlenség y/x≤n alakjából n<(n+1) miatt következik, hogy az egyenlőtlenségben ≤ helyett < is írható.)

Az arkhimédészi axióma fontos következménye az, hogy bármely két valós szám között van racionális szám.

Legyen y=1 és x=ε>0 tetszőleges valós szám. Ekkor létezik olyan n∈ℕ (n≠0) természetes szám, amelyre
1<n*ε ⇒ 1/n<ε
teljesül. Legyenek a, b∈ℝ nemnegatív valós számok (0≤a<b). Ekkor ε=(b−a)>0 miatt egyrészt létezik olyan n∈ℕ természetes szám, amelyre 1/n<(b−a); teljesül; másrészt y=a≥0 és x=1/n>0 miatt létezik olyan p∈ℕ természetes szám, amelyre a<p/n teljesül; harmadrészt van olyan q∈ℕ természetes szám, amelyre q/n≤a teljesül (pl. q=0 biztosan ilyen). Mivel q<(q+1)<...<(p−1)<p, 'q' növelésével és 'p' csökkentésével elérhetjük, hogy q'=p'−1 teljesüljön, miközben q'≤n*a<p' fennáll. Tehát létezik olyan k=p' természetes szám, amelyre (k−1)≤n*a<k teljesül.
Legyen k∈ℕ az a legkisebb természetes szám, amelyre (k−1)/n≤a<k/n teljesül; ebből egyszerű átalakításokkal 1/n<(b−a) ⇒ a+1/n<b ⇒ k/n≤a+1/n<b miatt
a<k/n<b
adódik. Mivel k/n∈ℚ, ezért találtunk olyan racionális számot, amely az 'a' és 'b' valós számok között helyezkedik el. (Nempozitív valós számokra a bizonyítás hasonlóan végezhető el; különböző előjelű valós számokra pedig az állítás triviális, mert 0∈ℚ racionális szám.) (vö. Csizmadia 2009: 8-9)

A fenti tétel általánosítható úgy, hogy bármely két valós szám között végtelen sok racionális szám van. Emellett teljesül az is, hogy bármely két valós szám között végtelen sok irracionális szám van (vö. Farkas 2001: 46-47).

A korábbi bizonyításban használt jelölésekkel legyen r=k/n, ezzel a<r<b teljesül. Az archimédészi axióma miatt y=√2 és x=(b−r) választással létezik olyan m∈ℕ természetes szám, amelyre
2<m*(b−r) ⇒ √2/m<(b−r) ⇒ r+√2/m<b
teljesül. Legyen s=r+√2/m, ekkor s<b és 0<√2/m miatt r<s; emiatt viszont
a<s<b
teljesül. Mivel 'r' és 'm' racionális számok, és √2 irracionális szám, ezért √2/m irracionális szám, és emiatt 's' is irracionális szám (egy racionális és egy irracionális szám szorzata, ill. összege irracionális!). Tehát találtunk az 'a' és 'b' valós számok között egy 's' irracionális számot (vö. Farkas 2001: 47).

(II.) intervallumskatulyázási axióma (vagy Cantor-axióma): Legyenek an és bn olyan valós számsorozatok, amelyekre
    (1) an≤an+1 (n∈ℕ),
    (2) bn≥bn+1 (n∈ℕ), és
    (3) an≤bn (n∈ℕ)
teljesül. A számsorozatok fenti tulajdonságai miatt
[an,bn]⊇[an+1,bn+1]
teljesül minden n∈ℕ természetes számra. Az intervallum­skatulyázási axióma kimondja, hogy a fenti módon "egymásba skatulyázott" (ti. egymást tartalmazó) intervallumok metszete nem üres, azaz
[a1,b1] ∩ [a2,b2] ∩ ... ∩ [an,bn] ∩ ... ≠∅
teljesül.

  • Az intervallumskatulyázási axióma következménye, hogy van olyan p∈ℝ valós szám, amelyre an≤p≤bn teljesül minden n∈ℕ természetes szám és minden ágyazott, zárt, racionális számokból álló intervallum-sorozat esetén (ha a racionális számokból álló an és bn sorozatok különbsége, |bn−an| 'n' növekedésével "minden határon túl" csökken, akkor a p∈ℝ valós szám (mint a sorozatok "határértéke") egyértelműen létezik; a valós számokhoz úgy is eljuthatunk, hogy a valós számokat racionális számokból álló konvergens számsorozatok határértékeiként képzeljük el, vö. Fried-Korándi-Török 2013: 146-148).

Az intervallumskatulyázást jól szemlélteti a √7 irracionális szám (elvileg tetszőleges pontossággal történő) kiszámításának korábban megismert algoritmusa. Az algoritmus révén a keresett valós szám tetszőlegesen közelíthető racionális számokkal.


Boda István, 2020.