9.1. A természetes számfogalom. A Peano-axiómák

Egy matematikai elmélet megalapozásakor

• bizonyos fogalmakat alapfogalomként vezetünk be (azaz nem definiálunk, ismertnek tételezünk fel); ezután
• olyan alapvető állításokat, ún. axiómákat fogalmazunk meg és fogadunk el, amelyek a bevezetett fogalmakra mindig teljesülnek (ezeket tehát nem bizonyítjuk).
• Az elmélet kidolgozásakor a bevezetett alapfogalmakból kiindulva további fogalmakat hozunk létre (definiálunk), és
• a fogalmakkal olyan állításokat fogalmazunk meg, amelyeket az axiómákból már le tudunk logikailag vezetni, azaz meghatározott következtetések^⇒ segítségével be tudunk bizonyítani.

A természetes számok axiomatikus értelmezése Giuseppe Peano olasz matematikustól származik.

A természetes számok halmazát (ℕ), ezen belül a nulla (0) számot alapfogalomnak tekintjük.^⇒ Ezután bevezetünk egy
S : ℕ→ℕ
függvényt, amelyet

S(n) ⇋ "az 'n' természetes szám rákövetkezője"

módon értelmezünk. (Az S(n) függvénnyel a természetes számok képzésének legfontosabb tulajdonságát írjuk le.)

Elfogadjuk a következő axiómákat:

• A nulla természetes szám (azaz 0∈ℕ).
• Minden természetes számnak van egy egyértelműen meghatározott rákövetkezője (azaz értelmezünk egy S : ℕ→ℕ függvényt^⇒).
• Nincs olyan természetes szám, amelynek 0 a rákövetkezője lenne (azaz a nulla nem eleme az S(n) függvény értékkészletének).
  • Ez tömören úgy fogalmazható meg, hogy
    Rng(S)=ℕ∖{0}
    teljesül.
• Különböző természetes számok rákövetkezője is különböző (azaz az S(n) függvény injektív^⇒).
  • Ez tömören úgy fogalmazható meg, hogy
    ∀n∀m (S(n)=S(m)⊃.n=m), ill.
    ∀n∀m (n≠m⊃.S(n)≠S(m))
    teljesül.
• Érvényes a teljes indukció elve: legyen n∈ℕ egy természetes szám és T(n) egy adott tulajdonság ("indukciós" állítás, logikai formula), amely az 'n' természetes számtól függ. Ekkor
  1. ha T(k₀) igaz a k₀∈ℕ természetes számra (azaz |T(k₀)|=1), és
  2. ha minden minden k∈ℕ természetes számra teljesül, hogy ha T(k) igaz a k≥k₀ természetes számra, akkor T(k) igaz lesz a 'k' természetes szám S(k) rákövetkezőjére is (azaz |T(S(k))|=1),
     • Ez tömören úgy fogalmazható meg, hogy
       ∀k∈ℕ (k≥k₀∧T(k)⊃.T(S(k)))
       teljesül.
  3. akkor ebből az következik, hogy T(k) igaz lesz minden k≥k₀ természetes számra.
     • Ez tömören úgy fogalmazható meg, hogy
       |∀k∈ℕ (k≥k₀∧T(k)) |=1
       teljesül.

---

A teljes indukciós bizonyításnak a következő alakját is használhatjuk (vö. Szendrei 1975: 50):

• Legyen n∈ℕ egy természetes szám és T(n) egy adott tulajdonság, amely az 'n' természetes számtól függ. Ekkor
  1. ha T(k₀) igaz egy k₀∈ℕ természetes számra (azaz |T(k₀)|=1), és
  2. ha minden k∈ℕ természetes számra teljesül, hogy
     • ha T(x) igaz minden k≥x≥k₀ természetes számra, akkor T(k) igaz lesz a 'k' természetes szám S(k) rákövetkezőjére is, azaz T(S(k)) igaz lesz (vagyis ∀k∈ℕ (k≥k₀ ∧ ∀x (k≥x≥k₀∧T(x))⊃.T(S(k))) teljesül),
  3. akkor ebből az következik, hogy T(k) igaz lesz minden k≥k₀ természetes számra (azaz |∀k∈ℕ (k≥k₀∧T(k))|=1 teljesül).

A Peano-axiómák alapján a természetes számok közötti műveletek a következőképpen definiálhatók (vö. Szendrei 1975: 50):

• k+0 ⇋ k (k∈ℕ)
• k+S(m) ⇋ S(k+m) (k, m∈ℕ)
  • A fenti két definícióból m=0 helyettesítéssel k+S(0)=S(k+0)=S(k) adódik, vagyis tetszőleges 'k' természetes szám rákövetkezője S(k)=k+S(0).
  • Jelöljük a '0' természetes szám rákövetkezőjét S⁽¹⁾=S(0) módon. (Jegyezzük meg, hogy az S⁽¹⁾=S(0) természetes számot azonosíthatjuk az '1' természetes számmal.)
  • A korábbi összefüggésből a k=S(0) természetes szám rákövetkezőjére S⁽²⁾=S(S(0))=S(0)+S(0) adódik.
  • Teljes indukcióval a '0' természetes szám n-dik rákövetkezőjére S⁽ⁿ⁾=S(0)+...+S(0) adódik, ahol a jobb oldalon 'n' darab S(0) szám összege szerepel. (Jegyezzük meg, hogy az S⁽ⁿ⁾ természetes számot azonosíthatjuk az 'n' természetes számmal.)
• k*0 ⇋ 0 (k∈ℕ)
• k*S(m) ⇋ k*m+m (k, m∈ℕ) (A szorzást mint ismételt összeadást értelmezzük.)
• k⁰ ⇋ 1 (k∈ℕ, k≠0)
• k^S(m) ⇋ k^m*m (k, m∈ℕ, k≠0) (A hatványozást mint ismételt szorzást értelmezzük.)
• 0^m ⇋ 0 (m∈ℕ, m≠0) (Jegyezzük meg, hogy 0⁰-t nem értelmezzük!)

Az összeadás műveletével kifejezve egy tetszőleges k∈ℕ természetes szám esetén S(k)=k+1 teljesül.

---

Lássunk egy példát teljes indukciós bizonyításra. Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon
    s₁=1
    s_n=2*s_n−1+1 (n∈ℕ, n≥2)
formában. Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy
T(k) ⇋ s_k=2^k−1
teljesül.

(1) k=1 esetén s_k=1 és 2¹−1=2−1=1 vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz lesz (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re igaz. Tegyük fel, hogy k≥1 esetén
    s_k=2^k−1
teljesül, azaz T(k) igaz. Bizonyítandó, hogy az indukciós feltevés mellett
    s_k+1=2^k+1−1
teljesül, azaz T(k+1) igaz.

Az s_n sorozat definíciójából kiindulva és az indukciós feltevéseket felhasználva a következő levezetést kapjuk:
s_k+1=
2*s_k+1=
2*(2^k−1)+1=
2*2^k−2+1=
2^k+1−1

Vagyis T(k+1) igaz (az indukciós állítás T(k)-ról "öröklődött" T(k+1)-re).

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) igaz) az következett, hogy k≥1 esetén
    T(k+1) ⇋ s_k+1=2^k+1−1
teljesül.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődik" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra, vagyis
    |∀k (T(k))|=1
teljesül (q.e.d.).

9.1.1. További példák teljes indukciós bizonyításokra

(a) Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy bármilyen k∈ℕ⁺ (k≥1) természetes számra teljesül a
T(k) ⇋ 1 + 2 + 3 + ... + k = k*(k+1)/2
állítás. Adjuk meg az s_n sorozatot rekurzív módon
    s₁=1
    s_n=s_n−1+n (n∈ℕ, n≥2)
alakban. Ekkor az állítás
T(k) ⇋ s_k=k*(k+1)/2
módon fogalmazható meg.

(1) k=1 esetén s_k=1 és k*(k+1)/2=1*2/2=1 vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz lesz (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re igaz. Tegyük fel, hogy k≥1 esetén
    s_k=k*(k+1)/2
teljesül, azaz T(k) igaz. Bizonyítandó, hogy az indukciós feltevés mellett
    s_k+1=(k+1)*(k+2)/2
teljesül, azaz T(k+1) igaz.

Az s_n sorozat definíciójából kiindulva és az indukciós feltevéseket felhasználva a következő levezetést kapjuk:
s_k+1=
s_k+(k+1)=
k*(k+1)/2+(k+1)
k*(k+1)/2+2*(k+1)/2
k*(k+1)/2+2*(k+1)/2
[k*(k+1)+2*(k+1)]/2
(k+1)*(k+2)/2

Vagyis T(k+1) igaz (az indukciós állítás T(k)-ról "öröklődött" T(k+1)-re).

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) igaz) az következett, hogy k≥1 esetén
    T(k+1) ⇋ s_k+1=(k+1)*(k+2)/2
teljesül.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődik" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra, vagyis
    |∀k (T(k))|=1
teljesül (q.e.d.).

---

(b) Bizonyítsuk be teljes indukció segítségével, hogy bármilyen k∈ℕ⁺ (k≥1) természetes számra teljesül a
T(k) ⇋ 1 + 3 + 5 + ... + (2*k−1) = k²
állítás. Szavakban megfogalmazva: az első 'k' páratlan természetes szám összege éppen k².

A 'k'-dik páratlan természetes számot a P(k)=2*k−1 sorozat állítja elő (k∈ℕ⁺):

• P(1)=1
• P(2)=2*2−1=3
• P(3)=3*3−1=5
• ...

Az első 'k' darab páratlan természetes szám összegét pedig a Q(k)=P(1)+P(2)+...+P(k) sorozat állítja elő (k∈ℕ⁺):

• Q(1)=1
• Q(2)=Q(1)+3=1+3=4
• Q(3)=Q(2)+5=4+5=9
• ...

A sorozat elemeinek képzéséből látszik, hogy a Q(k) sorozat k-dik elemének rekurzív definíciója^⇒
    Q(1)=1
    Q(k)= Q(k−1)+P(k)= Q(k−1)+(2*k−1) (k∈ℕ⁺, k≥2)

A bizonyítandó állítás a fenti jelölésekkel
    T(k) ⇋ Q(k)=k² (k∈ℕ⁺)
módon írható le.

(1) Az állítás k=1 esetén 1=1² miatt teljesül, vagyis T(1) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy az állítás teljesül egy tetszőleges k≥1 természetes számra, azaz T(k) igaz (ún. indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Tegyük fel, hogy T(k) ⇋ 1+3+5+...+(2*k−1) = k² teljesül.
Bizonyítandó, hogy T(k+1) ⇋ 1+3+5+...+(2*k−1)+(2*(k+1)−1) = (k+1)² teljesül.

Számoljunk:
1+3+5+...+(2*k−1)+(2*(k+1)−1)=
1+3+5+...+(2*k−1)+(2*k+1)=
k²+2*k+1=
(k+1)²

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) igaz) az következett, hogy k≥1 esetén T(k+1) teljesül.

Metaforikusan fogalmazva: a bizonyítandó állítás bármely k≥1 természetes számról "öröklődik" a 'k' szám rákövetkezőjére, azaz a (k+1) természetes számra.

(3) Ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra, vagyis
    |∀k (T(k))|=1
teljesül (q.e.d.).

---

(c) Bizonyítsuk be a teljes indukció második változata segítségével, hogy az
    s₁=0,
    s₂=1,
    s_n=(s_n−1+s_n−2)/2 (n≥3)
rekurzív definícióval meghatározott sorozat n-dik tagját
t_n=2/3+4/3*(−1/2)ⁿ
módon számíthatjuk ki, azaz
    T(n) ⇋ (s_n=t_n)
teljesül minden n∈ℕ természetes számra.

(1) Egyszerű behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhetjük, hogy

(1.1) a t_n-re vonatkozó képlet alapján
    t₁= 2/3+4/3*(−1/2)¹= 2/3−4/6= 4/6−4/6= 0
miatt T(1) igaz.

(1.2) a t_n-re vonatkozó képlet alapján
    t₂= 2/3+4/3*(−1/2)²= 2/3+4/3*(1/4)= 2/3+1/3= 1
miatt T(2) igaz.

(1.3) a rekurzív definíció alapján
    s₃= (1+0)/2= 1/2
teljesül, továbbá
    t₃= 2/3+4/3*(−1/2)³= 2/3+4/3*(−1/8)= 2/3−4/24= 2/3−1/6= 4/6−1/6= 3/6= 1/2
miatt T(3) igaz.

(1.4) a rekurzív definíció alapján
    s₄= (1/2+1)/2= 1/4+1/2= 1/4+2/4= 3/4
teljesül, továbbá
    t₄= 2/3+4/3*(−1/2)⁴= 2/3+4/3*(1/16)= 2/3+4/48= 2/3+1/12= 8/12+1/12= 9/12= 3/4
miatt T(4) igaz.

(2) Tegyük fel, hogy egy tetszőleges k≥1 természetes szám esetén az állítás teljesül, azaz T(x) igaz lesz minden olyan x∈ℕ természetes számra, amelyre k≥x≥1 teljesül (indukciós feltevés). Ekkor azonos algebrai átalakításokat végezve a következőt kapjuk:

Az állítás k=1-re és k=2-re igaz (valamint k=3 és k=4-re is). Tegyük fel, hogy k≥2 esetén
    s_k= t_k= 2/3+4/3*(−1/2)^k és
    s_k−1= t_k−1= 2/3+4/3*(−1/2)^k−1
teljesül, azaz T(k) és T(k−1) igaz.
Bizonyítandó, hogy
    t_k+1=2/3+4/3*(−1/2)^k+1
mellett s_k+1=t_k+1 teljesül, azaz T(k+1) igaz.

Az s_n sorozat definíciójából kiindulva és az indukciós feltevéseket felhasználva a következő levezetést kapjuk:
s_k+1=
(s_k+s_k−1)/2=
(2/3+4/3*(−1/2)^k+2/3+4/3*(−1/2)^k−1)/2=
2/3+2/3*(−1/2)^k+2/3*(−1/2)^k−1=
2/3+2/3*((−1/2)^k+(−1/2)^k−1)=
2/3+2/3*((−1/2)^k−2*(−1/2)^k)=
2/3+2/3*(−1/2)^k*(1−2)=
2/3+2/3*(−1/2)^k*(−1)=
2/3+4/3*(−1/2)^k*(−1/2)=
2/3+4/3*(−1/2)^k+1=
t_k+1

Jegyezzük meg, hogy elegendő lett volna azt feltételezni, hogy k≥2 esetén a T(x) indukciós feltevés igaz az x=k és x=k−1 természetes számokra (ti. nem használtuk ki azt, hogy T(x) igaz minden k≥x≥2 természetes számra).

Tehát az indukciós feltevésből (azaz abból, hogy T(k) és T(k−1) igaz) az következett, hogy k≥2 esetén
    T(k+1) ⇋ (s_k+1=t_k+1)
teljesül.

(3) Mivel az állítás igaz k=1-re, és az állítás igaz minden k≥2 természetes számra, ezért az állítás igaz minden k≥1 természetes számra, vagyis
    |∀k (T(k))|=1
teljesül (q.e.d.).

9.2. A számfogalom kialakításának lépései

A számfogalom kialakításakor a természetes számok fogalmának kialakítása után következhet a számfogalom bővítése: az egész számok, a racionális számok és a valós számok fogalmának kialakítása.

A számfogalom bővítésének alapja olyan számhalmazok kialakítása, amelyekben a számok között értelmezett aritmetikai műveletek korlátozás nélkül végrehajthatóak. Másképpen megfogalmazva: a számfogalom bővítésének célja az, hogy a számhalmazok legyenek zártak a számok között értelmezett műveletekre.

(1) A természetes számok halmazában értelmezett műveleteket halmazelméleti fogalmakkal a következőképpen értelmezhetjük:^⇒

• összeadás: ha A és B diszjunkt halmazok, amelyekre |A|=a és |B|=b teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok összegét a+b=|A∪B| módon értelmezzük
  • a természetes számok halmaza zárt az összeadásra nézve
• kivonás: az a, b∈ℕ természetes számok különbsége alatt azt az x=(a−b) természetes számot értjük, amelyet a 'b' számhoz adva az 'a' számot kapjuk eredményül (azaz amelyre a=b+x teljesül)
  • a természetes számok halmaza nem zárt a kivonásra nézve
  • annak a szükséges és elégséges feltétele, hogy az x=(a−b) különbség létezzen a természetes számok halmazában, a≥b teljesülése
• szorzás: ha A és B olyan halmazok, amelyekre |A|=a és |B|=b teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok szorzatát a*b=|AΧB| módon értelmezzük
  • a természetes számok halmaza zárt a szorzásra nézve
  • a szorzást értelmezhetjük ismételt összeadásként is
• osztás: az a, b∈ℕ, b≠0 természetes számok hányadosa alatt azt az x=a/b természetes számot értjük, amelyet a 'b' számmal szorozva az 'a' számot kapjuk eredményül (azaz amelyre a=b*x teljesül)
  • a természetes számok halmaza nem zárt az osztásra nézve
  • a nullával való osztást nem értelmezzük
  • az osztást ismételt kivonásként is értelmezhetjük
• hatványozás: ha A olyan halmaz, amelyre |A|=a teljesül, akkor az 'a' természetes szám 'n'-ik hatványát n≥1 esetén aⁿ= |AΧAΧ...ΧA|= |Aⁿ| módon értelmezzük
  • a természetes számok halmaza zárt a hatványozásra nézve
  • a hatványozást értelmezhetjük ismételt szorzásként is
  • a hatványozás értelmezését kiterjeszthetjük, ha az alap és a kitevő egyidejűleg nem zérus:
    • ha a=0 és n≠0, akkor legyen 0ⁿ=0
    • ha a≠0 és n=0, akkor legyen a⁰=1
    • a 0⁰ hatványt nem értelmezzük
• gyökvonás: legyenek a∈ℕ és n∈ℕ⁺ természetes számok; ekkor az 'a' szám 'n'-ik gyöke alatt azt az x=ⁿ√a természetes számot értjük, amelyre xⁿ=a teljesül, azaz az 'a' számot az 'n'-ik kitevőre emelve az 'a' számot kapjuk eredményül
  • a természetes számok halmaza nem zárt a gyökvonásra nézve

Ahhoz, hogy a kivonásra, az osztásra és a gyökvonásra a számok halmaza zárt legyen, a számfogalom bővítésére van szükség.

• a számfogalom bővítése
  • az egész számok halmaza^⇒
  • a racionális számok halmaza^⇒
  • a valós számok halmaza^⇒
  • a komplex számok halmaza

10.1. Műveletek a természetes számok halmazában. A négy alapművelet elméleti megalapozása

Korábban láttuk, hogy a természetes számok értelmezhetők úgy, mint véges halmazok számosságai.^⇒ Ennek megfelelően értelmezhetjük a természetes számok közötti műveleteket is. Jelöljük most is Σ-val a természetes számok értelmezésekor korábban bevezetett halmazrendszert.^⇒

Számunkra a Σ halmazrendszer legfontosabb tulajdonságai:

• Σ végtelen sok véges halmazt tartalmaz,
• Σ elemei között minden lehetséges számosság előfordul, és
• a Σ halmazrendszer zárt a halmazok között korábban értelmezett műveletekre (vagyis például két Σ-beli halmaz uniója, metszete stb. szintén eleme a Σ halmazrendszernek).

A természetes számok közötti alapműveletek értelmezésekor 'halmaz' alatt mindig a Σ halmazrendszer egy elemét értjük.

A természetes számok halmazán a következő alapműveleteket értelmezzük:

(1) összeadás:

Az a, b∈ℕ természetes számok összege alatt azt az a+b∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú diszjunkt halmazok uniójának számosságával egyezik meg.

Vagyis ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és A∩B=∅ teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok összegét
a+b ⇋ |A∪B|
módon értelmezzük.

Az összeadás egy f(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvény. Az f(a,b) számot 'a+b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "összeadjuk"). Az 'a+b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok összegének, az 'a' és 'b' számokat pedig összeadandóknak vagy tagoknak nevezzük.

Legyenek a, b és c∈ℕ tetszőleges természetes számok. Az összeadás fontosabb tulajdonságai:

• kommutativitás: a+b = b+a
• asszociativitás: (a+b)+c = a+(b+c)
• zéruselem (0) létezése: a+0 = a
• ha a+b = a ⇒ b = 0
• ha a+b = 0 ⇒ a = 0 és b = 0
• a+b = a+c ⇔ b = c

---

(2) szorzás:

Az a, b∈ℕ természetes számok szorzata alatt azt az a*b∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú halmazok direkt szorzatának számosságával egyezik meg.

Szemléletesen kifejezve ez azt jelenti, hogy az |A|=a számosságú véges halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a |B|=b számosságú véges halmaz minden elemét (annyiszor "megsokszorozva" a B halmaz elemeit, ahány eleme van az A halmaznak), majd az így kapott halmaz elemeit összeszámoljuk. Ebben az értelemben a szorzást ismételt összeadásként is értelmezhetjük.

Ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok szorzatát
a*b ⇋ |AΧB|
módon értelmezzük.

A szorzás egy g(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvény. A g(a,b) számot 'a*b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "összeszorozzuk"). Az 'a*b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok szorzatának, az 'a' és 'b' számokat pedig szorzandónak és szorzónak, ill. mindkettőt tényezőnek nevezzük.

Legyenek a, b és c∈ℕ tetszőleges természetes számok. A szorzás fontosabb tulajdonságai:

• kommutativitás: a*b = b*a
• asszociativitás: (a*b)*c = a*(b*c)
• egységelem (1) létezése: a*1 = a
• disztributivitás az összeadásra nézve: a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
• a*0 = 0
• ha a*b = 0 ⇒ a = 0 vagy b = 0 (a tulajdonságban "megengedő" vagy szerepel!)
  • ha a≠0 és b≠0 ⇒ a*b≠0 (két zérustól különböző természetes szám szorzata nem lehet zérus; ún. zérusosztómentesség)
• ha a*b = a és a≠0 ⇒ b = 1
• ha a*b = 1 ⇒ a = 1 és b = 1
• a≠0 esetén a*b = a*c ⇔ b = c

A szorzást értelmezhetjük ismételt összeadásként is. Ha a, b∈ℕ természetes számok, akkor
    ha b=0 akkor legyen a*b ⇋ 0;
    ha b=1 akkor legyen a*b ⇋ a;
    ha b>1 akkor legyen a*b ⇋ a₁+a₂+...+a_b, ahol a_i=a (i=1,2,...,b).

---

(3) hatványozás:

Legyenek a, n∈ℕ⁺ pozitív természetes számok. Ekkor az 'a' természetes szám 'n'-edik hatványa alatt azt az aⁿ∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' számosságú halmaz önmagával vett n-szeres direkt szorzatának (az 'A' halmaz "n-edik hatványának"^⇒) számosságával egyezik meg.

Vagyis ha A∈Σ olyan halmaz, amelyre |A|=a teljesül, akkor az 'a' természetes szám n-ik hatványát
aⁿ ⇋ |AΧAΧ...ΧA|=|Aⁿ|
módon értelmezzük.

A hatványozás egy h(a,n) : ℕ⁺Χℕ⁺→ℕ⁺ függvény. A h(a,n) számot aⁿ módon jelöljük, és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' számot 'n'-edik hatványra emeljük ("hatványozzuk"). Az aⁿ természetes számot az 'a' természetes szám 'n'-edik hatványának, az 'a' számot a hatvány alapjának, az 'n' számot pedig a hatvány kitevőjének nevezzük (a>0, n>0).

Legyenek a, b∈ℕ⁺, valamint m, n∈ℕ⁺ tetszőleges pozitív természetes számok. A hatványozás fontosabb tulajdonságai:

• a^m*aⁿ = a^m+n
• (a*b)ⁿ = aⁿ*bⁿ
• (a^m)ⁿ = a^m*n
• a¹ = a
• 1ⁿ = 1

A hatványozás értelmezését kiterjeszthetjük tetszőleges a, n∈ℕ természetes számokra, ha a számok egyidejűleg nem zérusok (vö. Szendrei 1975: 47).

A hatványozás kiterjesztése során az ún. permanenciaelvet^⇒ alkalmazzuk: az eddig nem értelmezett hatványokat úgy definiáljuk, hogy a hatványozás eddigi tulajdonságai zérus alapra, ill. zérus kitevőre is érvényesek maradjanak. Ennek megfelelően definíció szerint legyen
a⁰ = 1 (a≠0) és
0ⁿ = 0 (n≠0).

Jegyezzük meg, hogy a 0⁰ kifejezés nem értelmezhető ellentmondásmentesen.^⇒

Végül emeljük ki, hogy a hatványozást értelmezhetjük ismételt szorzásként is. Ha a, n∈ℕ természetes számok, akkor
    ha n=0 és a=0 akkor az aⁿ értéket nem értelmezzük;
    ha n≠0 és a=0 akkor legyen aⁿ ⇋ 0;
    ha n=0 és a≠0 akkor legyen aⁿ ⇋ 1;
    ha n=1 akkor legyen aⁿ ⇋ a;
    ha n>1 akkor legyen aⁿ ⇋ a₁*a₂*...*a_n, ahol a_i=a (i=1,2,...,n).

Jegyezzük meg, hogy ha az alapműveleteket a Peano-axiómák alapján^⇒ vezetjük be, az összeadást számlálásként, a szorzást ismételt összeadásként, a hatványozást pedig ismételt szorzásként értelmezhetjük.

---

(4) kivonás:

Az a, b∈ℕ természetes számok különbsége alatt azt az a−b∈ℕ természetes számot értjük, amelyet a 'b' számhoz adva az 'a' számot kapjuk eredményül. (Míg az összeadáskor az a+b=? kérdésre keressük a választ, kivonáskor a b+?=a kérdésre. A kivonást az összeadás inverz műveletének szokás nevezni, vö. Brindza 1996: 70.)

• Vannak olyan a, b∈ℕ természetes számok, amelyekre a−b∉ℕ (pl. 3−5). A kivonás művelete tehát nem végezhető el korlátozás nélkül a természetes számok körében, azaz a természetes számok halmaza nem zárt a kivonásra nézve.
• A kivonás azokra az a, b∈ℕ természetes számokra végezhető el, amelyekre a≥b teljesül.

A kivonás egy u(a,b) : A⊆ℕΧℕ→ℕ függvény, amelynek az értelmezési tartománya
    A={(a,b) | a,b∈ℕ, a≥b}
módon adható meg. Koordináta-rendszerben az 'a' értékeket az 'y' tengelyen, a 'b' értékeket az 'x' tengelyen ábrázolva az 'A' halmaz az y=x (x≥0) félegyenesen fekvő, ill. az egyenes feletti tartományban levő pontoknak megfeleltethető természetes számpárokat tartalmazza. Ebben az ábrázolásban az (a-b) különbséget a (b,a) pontnak és az y=x egyenesen fekvő (b,b) pontnak a távolsága adja meg.
Az u(a,b) számot 'a−b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "kivonjuk egymásból"). Az 'a−b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok különbségének, az 'a' számot kisebbítendőnek, a 'b' számot kivonandónak nevezzük.

Formálisan a különbség meghatározása
    a= u(a,b)+b= (a−b)+b
módon írható le. ("Keressük azt az u=a−b természetes számot, amelyet a 'b' számhoz adva az 'a' számot kapjuk eredményül.")
Ha az összeadást az f(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvénnyel adjuk meg, akkor a fenti összefüggés
    a= f(u(a,b),b)
alakú lesz, vagy u(x,b)=f⁻¹(x,b) jelöléssel
    a= f(f⁻¹(a,b),b)
formában írható fel.

---

Két természetes szám különbségét halmazelméletileg is értelmezhetjük. Az a, b∈ℕ, a≥b természetes számok különbsége alatt azt az (a−b)∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú, egymással részhalmaz relációban álló halmazok különbségének vagy differenciájának^⇒ számosságával egyezik meg. Vagyis ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és B⊆A teljesül, akkor két természetes szám különbségét (a−b) ⇋ |A∖B| módon értelmezhetjük.

Ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és B⊆A teljesül, akkor a kivonást például úgy végezhetjük el, hogy az 'A' halmazból pontosan annyi elemet veszünk ki, ahány elemből a 'B' halmaz áll. Ha az 'A' és a 'B' halmaz (más-más színű) zsetonokból áll, akkor ezt megvalósíthatjuk úgy, hogy minden 'A'-ból kivett zsetont egy 'B' beli zseton fölé helyezünk.

---

(5) osztás:

Az a, b∈ℕ, b≠0 természetes számok hányadosa alatt azt az a/b∈ℕ (vagy a:b∈ℕ) természetes számot értjük, amelyet a 'b' számmal szorozva az 'a' számot kapjuk eredményül. (Míg a szorzáskor az a*b=? kérdésre keressük a választ, osztáskor a b*?=a (b≠0) kérdésre. Az osztást a szorzás inverz műveletének szokás nevezni, vö. Brindza 1996: 72.)

• Vannak olyan a, b∈ℕ természetes számok, amelyekre a/b∉ℕ (pl. 3/5). Az osztás művelete tehát nem végezhető el korlátozás nélkül a természetes számok körében, azaz a természetes számok halmaza nem zárt az osztásra nézve.
• Nagyon fontos szabály az, hogy a nullával való osztást nem értelmezzük, vagyis ha képezzük az a/b hányadost, mindig kizárjuk a b=0 esetet.

Az osztás egy v(a,b) : B⊆ℕΧℕ→ℕ függvény, amelynek Dom(v)=B értelmezési tartománya
    B={(a,b) | a,b∈ℕ, b≠0, ∃k∈ℕ (a=k*b)}
módon adható meg (azaz a 'b' szám osztója az 'a' számnak). Ha az 'A' halmaz elemeit koordináta-rendszerben ábrázoljuk úgy, hogy az 'a' értékeket az 'y' tengelyen, a 'b' értékeket pedig az 'x' tengelyen vesszük fel, két esetet kell megkülönböztetnünk:
– az y=0 (x≥1) félegyenesen fekvő pontoknak megfeleltethető természetes számpárok elemei az 'A' halmaznak (ti. az y=0 természetes szám minden pozitív természetes számmal osztható);
– az y=x (x≥1) félegyenesen fekvő, ill. az egyenes feletti tartományban levő pontoknak megfeleltethető természetes számpárok közül azok, amelyek esetén y/x természetes szám, szintén elemei az 'A' halmaznak.
Ebben az ábrázolásban az (a/b) hányadost az adja meg, hogy a (b,a) pontnak és az y=x egyenesen fekvő (b,0) pontnak a távolsága hányszorosa a (b,b) pont és a (b,0) pont távolságának (azaz az x=b egyenesen hányszor tudjuk "felmérni" a (b,b) és (b,0) közötti 'b' hosszúságú szakaszt a (b,a) és (b,0) közötti szakaszra).
A v(a,b) számot 'a/b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' számot "elosztjuk" a 'b' számmal). Az 'a/b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok hányadosának, az 'a' számot osztandónak, a 'b' számot osztónak nevezzük.

Formálisan az osztás meghatározása
    a= v(a,b)*b= (a/b)*b
módon írható le (azokra az (a,b) értékekre, amelyre (a,b)∈Dom(v) teljesül).
Ha a szorzást a g(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvénnyel adjuk meg, akkor a fenti összefüggés
    a= g(v(a,b),b)
alakú lesz, vagy v(x,b)=g⁻¹(x,b) jelöléssel
    a= g(g⁻¹(a,b),b)
formában írható fel.

Korábban említettük, hogy a szorzást ismételt összeadásként is értelmezhetjük. Ennek megfelelően az osztást pedig ismételt kivonásként értelmezhetjük. Az algoritmus a következő:

1. Legyen y=a (osztandó) és x=b (osztó).
2. Legyen k=0.
3. Ha y<x akkor az algoritmus befejeződött, ugrás a 6. pontra.
4. Legyen y=y−x és k=k+1.
5. Lépjünk vissza a 3. pontra.
6. A hányados értéke a 'k' változó értéke.

Ha az algoritmus végeztével az 'y' változó értéke nem zérus (azaz az osztandó nem osztható az osztóval), akkor maradékos osztást végeztünk. A hányadost 'k', az osztás maradékát az 'y' változó szolgáltatja. Ennek megfelelően az algoritmus végrehajtása után
    a=k*b+y
teljesül.

---

Két természetes szám hányadosát halmazelméletileg is értelmezhetjük. (vö. Brindza 1996: 72)

(1) részekre osztás: legyenek a, b∈ℕ⁺, a≥b természetes számok, és legyen A∈Σ olyan halmaz, amelynek számossága 'a' (azaz |A|=a teljesül). Próbáljuk meg az 'A' halmazt felbontani 'b' darab egyenlő számosságú diszjunkt részhalmazra. Ha ez lehetséges, azaz
    A=B₁∪B₂∪...∪B_b,
    B_i∩B_j=∅ (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤b) és
    |B_i|=|B_j|=k (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤b)
teljesül, akkor a B_i halmazok közös számosságát, azaz a k∈ℕ természetes számot az 'a' és 'b' számok hányadosának nevezzük és a/b-vel jelöljük.

Egy lehetséges algoritmus: válasszunk ki 'b' darab elemet az 'A' halmazból, és helyezzük el őket külön-külön csoportokba, egymástól távol ("válasszuk el" egymástól őket). Utána próbáljunk meg az 'A' halmaz maradék elemeiből ismét 'b' darab elemet kiválasztani, és ezeket egyenként tegyük a már kiválasztott elemek mellé, az egyes elemeknek megfelelő csoportokba (ha ez nem lehetséges, a/b nem természetes szám). Ha az 'A' halmaz elemei elfogynak, a kialakított csoportok elemszáma éppen az a/b hányadost adja. (Ha a/b természetes szám, akkor minden csoportnak azonos az elemszáma).

(2) "bennfoglaló" osztás: legyenek a, b∈ℕ⁺, a≥b természetes számok, és legyen A∈Σ olyan halmaz, amelynek számossága 'a' (azaz |A|=a teljesül). Hozzunk létre ("foglaljunk le") az 'A' halmazban a lehető legtöbb, 'b' számosságú diszjunkt részhalmazt. Ha a létrehozott részhalmazok teljesen "lefedik" az 'A' halmazt (azaz 'A' osztályozását valósítják meg), azaz
    A=B₁∪B₂∪...∪B_k,
    B_i∩B_j=∅ (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤k) és
    |B_i|=|B_j|=b (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤k)
teljesül, akkor a B_i részhalmazok (osztályok) számát, azaz a k∈ℕ természetes számot az 'a' és 'b' számok hányadosának nevezzük és a/b-vel jelöljük.

Megjegyzés: a kétfajta módszer ekvivalens, mivel ha a/b=k természetes szám (és k≠0), akkor a/k=b is teljesül. Vegyük észre, hogy
– az első módszernél az 'A' halmazt 'k' elemszámú csoportokra bontottuk fel (ekkor 'b' darab csoport létezik);
– a második módszernél az 'A' halmazt 'b' elemszámú csoportokra bontottuk fel (ekkor 'k' darab csoport létezik).

Ha az osztást ismételt kivonásként értelmezzük, a korábban leírt, maradékos osztást megvalósító algoritmus és a második módszer ("bennfoglaló" osztás) lényegében ekvivalens. Amikor ugyanis egy 'b' elemszámú csoportot elkülönítünk, akkor az elemeket tulajdonképpen kivonjuk az 'A' halmazból.