Polinomok

(1) A másodfokú egyenlet

A valós számok körében az a*x²+b*x+c=0 (a≠0) másodfokú egyenlet gyökeinek számát, azaz az
    f(x)=a*x²+b*x+c
másodfokú függvény zérushelyeinek számát a D=b²−4*a*c diszkrimináns határozza meg:

Ha a másodfokú egyenletnek két gyöke van, és ezek x₁ és x₂, akkor
   f(x)=a*(x−x₁)*(x−x₂)
teljesül. Ha az egyenletnek egy gyöke van, azaz x₁=x₂, akkor
   f(x)=a*(x−x₁)² vagy f(x)=a*(x−x₂)²
teljesül. Ha pedig az egyenletnek nincs gyöke a valós számok körében, akkor
   f(x)=a*(x²+b*x/a+c/a)
teljesül. Az utóbbi esetben az f(x) polinom nem bontható fel elsőfokú tényezők szorzatára (irreducibilis).

Ha a másodfokú egyenlet gyökei x₁ és x₂, akkor a gyökök és együtthatók közti összefüggések:

   x₁+x₂=−b/a
   x₁*x₂=c/a

Például az x²−4*x+3=0 másodfokú egyenlet (a=1, b=−4, c=3) diszkriminánsa D=4, gyökei x₁=3, x₂=1. Az f(x)=x²+2*x+1 másodfokú függvény zérushelyei pedig (a=1, b=2, c=1 és D=0 miatt) x₁=x₂=−1.

(2) Deriválás, deriváltfüggvény

Legyen f(x) egy tetszőleges n-ed fokú racionális egészfüggvény. Ekkor a függvény f ^’(x) ún. deriváltfüggvényét a következő négy egyszerű szabály szerint képezhetjük:

összeg deriváltjának képzése: (c*x^k+d*x^m)^’ = (c*x^k)^’+(d*x^m)^’ (0≤k,m≤n; c,d∈ℝ)

konstans deriváltjának képzése: c^’ = 0 (c∈ℝ)

konstans tényezős szorzat deriváltjának képzése: (c*x^k)^’ = c*(x^k)^’ (1≤k≤n; c∈ℝ)

hatványfüggvény deriváltjának képzése: (x^k)^’ = k*x^k−1 (1≤k≤n; c∈ℝ)

Például az f(x)=x²−4*x+3 másodfokú racionális egészfüggvény deriváltját a következőképpen képezhetjük:
    f ^’(x) =
    (x²−4*x+3)^’ =
    (x²)^’−(4*x)^’+3^’ =
    2*x−4+0 =
    2*x−4

Egy másik példaként az f(x)=x³−36*x²−36*x+1296 harmadfokú racionális egészfüggvény deriváltját a következőképpen képezhetjük:
    f ^’(x) =
    (x³−36*x²−36*x+1296)^’ =
    (x³)^’−(36*x²)^’−(36*x)^’+(1296)^’ =
    3*x²−36*2*x−36+0 =
    3*x²−72*x−36

A deriválás a matematikai analízis egyik legfontosabb művelete, amely polinomok esetén rendkívül egyszerűen elvégezhető.

Az f ^’(x) deriváltfüggvény megadja az f(x) racionális egészfüggvény egy tetszőleges pontjában a görbe érintőjének a meredekségét.

Például az f(x)=x² másodfokú függvény (1,1) pontjában az f ^’(x)=2*x deriváltfüggvény értéke f ^’(1)=2, tehát az y=m*x+b érintő meredeksége m=2. Mivel az (1,1) pont az érintőnek is pontja, ezért 1=2*1+b teljesül. Ebből b=−1 következik, vagyis az érintő egyenlete:
    y=2*x−1
Ellenőrzés: az y=x² és y=2*x−1 görbék közös pontjait megkaphatjuk, ha az egyenletrendszert megoldjuk x és y-ra. Az x²=2*x−1 egyenletből x²−2*x+1= (x−1)²= 0 következik, vagyis az egyenletrendszernek csak az (1,1) pont a megoldása. Tehát az y=2*x−1 egyenes az y=x² görbe érintője az (1,1) pontban.

Az f(x) függvény második deriváltja alatt az f ^’(x) deriváltfüggvény deriválásával kapható függvényt értjük (ha létezik). Az f(x) függvény második deriváltját f ^’’(x) módon jelöljük. Ha az f ^’’(x) második derivált is deriválható függvény, akkor a fentiekhez teljesen hasonlóan értelmezhetjük az f(x) függvény harmadik deriváltját (ill. magasabb rendű deriváltjait). A magasabb rendű deriváltak egyszerűbb jelölésére bevezethetjük az
    f ⁽ⁿ⁾(x)
jelölést, amely az f(x) függvény n-dik deriváltját jelöli, ahol n∈ℕ⁺ tetszőleges pozitív természetes szám. Érdemes kiterjeszteni ezt a jelölést az n=0 esetre is
    f ⁽⁰⁾(x)=f(x)
módon.

A következő tételben használni fogjuk a Σ ("szumma") jelet. A
    Σ _{(i=1; i≤n; i←i+1)} a_i
vagy egyszerűen a
    Σ _(1≤i≤n) a_i
jelölés azt fejezi ki, hogy az 'i' szimbólum ("ciklusváltozó")

• i=1-től indulva,
• az 'i' értékét minden lépésben eggyel növelve (i←i+1),
• egészen az i≤n feltétel teljesüléséig,

felveszi az összes egész számot. Az 'i' értékei az a_i sorozat elemeinek sorszámát adják meg, és a Σ jel ezek összegzését jelöli, vagyis az
    a₁+a₂+...+a_n
összeget.

Tételezzük fel, hogy egy (a,b) nyílt intervallumon értelmezett f(x) függvénynek léteznek az n-dik deriváltfüggvényei, és ezek korlátosak az (a,b) intervallumon, azaz van olyan K∈ℝ valós szám, amelyre
    |f ⁽ⁿ⁾(x)|<K
teljesül (minden n∈ℕ és minden x∈(a,b) esetén). Ekkor az f(x) függvény az (a,b) intervallumon felírható
    f(x)= Σ _(0≤k<∞) f ^(k)(x₀)*(x−x₀)^k / k!
alakban, ahol az x₀∈(a,b) az (a,b) intervallum egy tetszőleges pontja. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az x₀ pont körül Taylor-sorba fejthető. Adott (véges) 'k' esetén az egyenlőség jobb oldalán szereplő polinomot az f(x) függvény x₀ ponthoz tartozó k-dik Taylor-polinomjának nevezzük, amely felhasználható az f(x) függvény értékének közelítő kiszámítására az (a,b) intervallum egy tetszőleges x∈(a,b) pontjában.

Például az e^x exponenciális függvényt Taylor-sorba fejthetjük az x₀=0 pontban. Ekkor az e^x függvény értékét egy tetszőleges x∈ℝ pontban közelítőleg az
    e^x ≈ 1 + x¹/1! + x²/2! + x³/3! + ...
összeg adja meg, mivel e⁰=1 és tetszőleges k∈ℕ természetes szám esetén
    (e^x) ⁽ⁿ⁾=e^x
teljesül minden n∈ℕ természetes számra és minden x∈ℝ valós számra.

(3) Függvényvizsgálat

Legyen f(x) egy tetszőleges n-ed fokú racionális egészfüggvény, és f ^’(x) ennek a deriváltfüggvénye. Ekkor az f(x) jellemzőinek meghatározására felhasználhatjuk az alábbi tételeket:

(3.1) Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az f(x) függvény az I intervallumban monoton növekvő, ill. csökkenő legyen,
    f ^’(x)≥0, ill.
    f ^’(x)≤0
teljesülése minden x∈I-re.

(3.2) Ha f ^’(x)≥0, ill. f ^’(x)≤0 teljesül minden x∈I-re, és nincs I-nek olyan J⊆I részintervalluma, amelyben f ^’(x)=0 (x∈J) teljesül, akkor az f(x) függvény az I intervallumban szigorúan monoton növekedő, ill. csökkenő. Speciálisan, ha
    f ^’(x)>0, ill.
    f ^’(x)<0
teljesül minden x∈I-re, akkor az f(x) függvény az I intervallumban szigorúan monoton növekedő, ill. csökkenő.

(3.3) Ha egy a∈I pontban f ^’(a)=0, és az a∈I pontban f ^’(x) előjelet vált, akkor az a∈I pontban f(x)-nek szélsőértéke van:
– ha az a∈I pontban az f ^’(x) deriváltfüggvény negatívból pozitívba megy át, akkor az f(x) függvény szigorúan monoton csökkenőből szigorúan monoton növekedőbe megy át, és az f(x) függvénynek az a∈I pontban minimuma van;
– ha az a∈I pontban az f ^’(x) deriváltfüggvény pozitívból negatívba megy át, akkor az f(x) függvény szigorúan monoton növekedőből szigorúan monoton csökkenőbe megy át, és az f(x) függvénynek az a∈I pontban maximuma van.

(3.4) Ha egy a∈I pontban f ^’(a)=0, és az a∈I pontban
    f ^’’(a)>0, akkor f ^’(x) szigorúan monoton növekedő x=a egy környezetében, tehát f ^’(a)=0 miatt az 'a' pontban az f ^’(x) deriváltfüggvény negatívból pozitívba megy át. Ezért az a∈I pontban f(x)-nek minimuma van.
    f ^’’(a)<0 , akkor f ^’(x) szigorúan monoton csökkenő x=a egy környezetében, tehát f ^’(a)=0 miatt az 'a' pontban az f ^’(x) deriváltfüggvény pozitívból negatívba megy át. Ezért az a∈I pontban f(x)-nek maximuma van.

Például az f(x)=x² másodfokú függvény deriváltja f ^’(x)=2*x és második deriváltja f ^’’(x)=2. Mivel x<0 esetén f ^’(x)=2*x<0 és x>0 esetén f ^’(x)=2*x>0 teljesül, ezért az f(x) függvény x<0 esetén szigorúan monoton csökkenő és x<0 esetén szigorúan monoton növekvő.
Mivel x=0-ban f ^’(x)=0 teljesül, és a deriváltfüggvény negatívból pozitívba megy át, az f(x) függvénynek az x=0 pontban minimuma van. Ezt abből is megkaphatjuk, hogy a második deriváltfüggvényre az x=0 pontban f ^’’(0)=2>0 teljesül.

Foglaljuk össze a függvényvizsgálat fontosabb szempontjait a megadott példán keresztül:

(3.5) Ha egy a∈I pontban
– f ^’’(a)>0 teljesül, akkor az 'a' pont egy környezetében az f ^’(x) függvény szigorúan monoton nő, és az f(x) függvény konvex jellegű;
– f ^’’(a)<0 teljesül, akkor az 'a' pont egy környezetében az f ^’(x) függvény szigorúan monoton csökken, és az f(x) függvény konkáv jellegű;
– f ^’’(a)=0 teljesül és az 'a' pontban az f ^’’(x) függvény előjelet vált, akkor az 'a' pontban az f ^’(x) függvénynek szélsőértéke van. Ekkor
    • ha az f ^’’(x) függvény negatívból pozitívba megy át, akkor az f ^’(x) függvénynek minimuma van, és az 'a' pont egy környezetében az f(x) függvény konkávból konvexbe megy át;
    • ha az f ^’’(x) függvény pozitívból negatívba megy át, akkor az f ^’(x) függvénynek maximuma van, és az 'a' pont egy környezetében az f(x) függvény konvexből konkávba megy át.

Ha egy a∈I pontban f ^’’(a)=0 teljesül és az f ^’’(x) függvény előjelet vált, akkor az 'a' pont egy környezetében az f(x) függvény görbületet vált. Ebben az esetben az 'a' pontot az f(x) függvény inflexiós pontjának nevezzük.

Például az f(x)=x³ harmadfokú függvény deriváltja f ^’(x)=3*x² és második deriváltja f ^’’(x)=6*x. Az x=0 pontban f ^’’(0)=0 és az f ^’’(x) negatívból pozitívba megy át, vagyis x=0 az f(x)=x³ harmadfokú függvény inflexiós pontja, és a '0' pontban az f(x) függvény konkávból konvexbe megy át. Hasonló meggondolások alapján az f(x)=−x³ függvény esetén pontosan fordított a helyzet: a '0' pontban az f(x) függvény konvexből konkávba megy át (ld. az ábrát).

Foglaljuk össze a függvényvizsgálat fontosabb szempontjait a megadott példán keresztül:

(4) Primitív függvény, határozott integrál

Legyen f(x) egy tetszőleges n-ed fokú racionális egészfüggvény. Ekkor azt az F(x) differenciálható függvényt, amelyre F ^’(x)=f(x) teljesül, az f(x) függvény primitív függvényének nevezzük. A deriválás szabályaiból következik, hogy ha F(x) primitív függvény, akkor tetszőleges r∈ℝ valós szám mellett F(x)+r szintén primitív függvény.

Az f(x) n-ed fokú racionális egészfüggvény tetszőleges primitív függvényét az f(x) függvény határozatlan integráljának nevezzük. Jelölése:
    ⎰f(x)dx=F(x)+r
ahol r∈ℝ tetszőleges valós szám.

Az f(x) n-ed fokú racionális egészfüggvény ⎰f(x)dx határozatlan integrálját a következő négy egyszerű szabály szerint képezhetjük:

összeg integráljának képzése: ⎰(c*x^k+d*x^m)dx = ⎰(c*x^k)dx+⎰(d*x^m)dx (0≤k,m≤n; c,d∈ℝ)

konstans integráljának képzése: ⎰cdx = c*x+r (c∈ℝ; r∈ℝ tetszőleges valós szám)

konstans tényezős szorzat integráljának képzése: ⎰(c*x^k)dx = c*⎰x^kdx (1≤k≤n; c∈ℝ)

hatványfüggvény integráljának képzése: ⎰x^kdx = x^k+1/(k+1)+r (1≤k≤n; c∈ℝ; r∈ℝ tetszőleges valós szám)

Például az f(x)=x²−4*x+3 másodfokú racionális egészfüggvény integrálját a következőképpen képezhetjük:
    ⎰f(x)dx =
    ⎰(x²−4*x+3)dx =
    ⎰x²dx−⎰(4*x)dx+⎰3dx =
    x³/3−4*⎰xdx+3*x =
    x³/3−4*x²/2+3*x+r =
    x³/3−2*x²+3*x+r
ahol r∈ℝ tetszőleges valós szám.

Legyen az f(x) n-ed fokú racionális egészfüggvény egy tetszőleges primitív függvénye az F(x) függvény (amelyre tehát F ^’(x)=f(x) teljesül). Legyen továbbá a,b∈ℝ két tetszőleges valós szám, amelyekre a<b teljesül. Ekkor az f(x) függvény görbéje alatti terület az [a,b] intervallum felett

b ⎰ a f(x)dx = F(b)−F(a)

módon számítható ki (Newton-Leibniz szabály). A képletben szereplő

b ⎰ a f(x)dx

szimbólumot az [a,b] intervallumra vonatkozó határozott integrálnak nevezzük.

Például az f(x)=−x²+1 függvény esetén F(x)=−x³/3+x egy megfelelő primitív függvény. Ezzel a [−1,1] intervallum felett az f(x) függvény görbéje alatti terület

T = 1 ⎰ −1 (−x²+1)dx = F(1)−F(−1)

módon számítható ki. Ennek alapján a görbe alatti területre egyszerű behelyettesítéssel
    T=
    (−1³/3+1)−(−(−1)³/3−1)=
    (−1/3+1)−(−(−1)/3−1)=
    (−1/3+1)−(1/3−1)=
    2−2/3=
    4/3
adódik.

Második példaként tekintsük az f(x)=−4*x/3+4 lineáris függvényt, amely az 'x' tengelyt a (3,0), az 'y' tengelyt pedig a (0,4) pontban metszi. Könnyen belátható, hogy F(x)=−2*x²/3+4*x egy megfelelő primitív függvény. Ezzel a [0,3] intervallum felett az f(x) függvény görbéje alatti terület

T = 3 ⎰ 0 (−4*x/3+4)dx = F(3)−F(0)

módon számítható ki. Mivel F(0)=0, ezért a görbe alatti területre egyszerű behelyettesítéssel
    T=
    −2*3²/3+4*3=
    −2*9/3+12=
    −2*3+12=
    6
adódik. Ellenőrzés: mivel a görbe alatti terület egy 3 és 4 befogójú derékszögű háromszög, ezért a háromszög területe könnyen kiszámítható. A terület T=3*4/2=12/2=6 ami megegyezik a határozott integrál értékével.