Polinomok


(1) A másodfokú egyenlet

A valós számok körében az a*x2+b*x+c=0 (a≠0) másodfokú egyenlet gyökeinek számát, azaz az
    f(x)=a*x2+b*x+c
másodfokú függvény zérushelyeinek számát a D=b2−4*a*c diszkrimináns határozza meg:

a valós gyökök száma { 2 ha D>0 x12=(−b±√D)/(2*a)
1 ha D=0 x1=x2=−b/(2*a)
0 ha D<0 (–)

Ha a másodfokú egyenletnek két gyöke van, és ezek x1 és x2, akkor
   f(x)=a*(x−x1)*(x−x2)
teljesül. Ha az egyenletnek egy gyöke van, azaz x1=x2, akkor
   f(x)=a*(x−x1)2 vagy f(x)=a*(x−x2)2
teljesül. Ha pedig az egyenletnek nincs gyöke a valós számok körében, akkor
   f(x)=a*(x2+b*x/a+c/a)
teljesül. Az utóbbi esetben az f(x) polinom nem bontható fel elsőfokú tényezők szorzatára (irreducibilis).

Ha a másodfokú egyenlet gyökei x1 és x2, akkor a gyökök és együtthatók közti összefüggések:

   x1+x2=−b/a
   x1*x2=c/a

Például az x2−4*x+3=0 másodfokú egyenlet (a=1, b=−4, c=3) diszkriminánsa D=4, gyökei x1=3, x2=1. Az f(x)=x2+2*x+1 másodfokú függvény zérushelyei pedig (a=1, b=2, c=1 és D=0 miatt) x1=x2=−1.


(2) Deriválás, deriváltfüggvény

Legyen f(x) egy tetszőleges n-ed fokú racionális egészfüggvény. Ekkor a függvény f ’(x) ún. deriváltfüggvényét a következő négy egyszerű szabály szerint képezhetjük:

összeg deriváltjának képzése: (c*xk+d*xm) = (c*xk)+(d*xm) (0≤k,m≤n; c,d∈ℝ)

konstans deriváltjának képzése: c = 0 (c∈ℝ)

konstans tényezős szorzat deriváltjának képzése: (c*xk) = c*(xk) (1≤k≤n; c∈ℝ)

hatványfüggvény deriváltjának képzése: (xk) = k*xk−1 (1≤k≤n; c∈ℝ)

Például az f(x)=x2−4*x+3 másodfokú racionális egészfüggvény deriváltját a következőképpen képezhetjük:
    f ’(x) =
    (x2−4*x+3) =
    (x2)−(4*x)+3 =
    2*x−4+0 =
    2*x−4

Egy másik példaként az f(x)=x3−36*x2−36*x+1296 harmadfokú racionális egészfüggvény deriváltját a következőképpen képezhetjük:
    f ’(x) =
    (x3−36*x2−36*x+1296) =
    (x3)−(36*x2)−(36*x)+(1296) =
    3*x2−36*2*x−36+0 =
    3*x2−72*x−36

A deriválás a matematikai analízis egyik legfontosabb művelete, amely polinomok esetén rendkívül egyszerűen elvégezhető.

Az f ’(x) deriváltfüggvény megadja az f(x) racionális egészfüggvény egy tetszőleges pontjában a görbe érintőjének a meredekségét.

Például az f(x)=x2 másodfokú függvény (1,1) pontjában az f ’(x)=2*x deriváltfüggvény értéke f ’(1)=2, tehát az y=m*x+b érintő meredeksége m=2. Mivel az (1,1) pont az érintőnek is pontja, ezért 1=2*1+b teljesül. Ebből b=−1 következik, vagyis az érintő egyenlete:
    y=2*x−1
Ellenőrzés: az y=x2 és y=2*x−1 görbék közös pontjait megkaphatjuk, ha az egyenletrendszert megoldjuk x és y-ra. Az x2=2*x−1 egyenletből x2−2*x+1= (x−1)2= 0 következik, vagyis az egyenletrendszernek csak az (1,1) pont a megoldása. Tehát az y=2*x−1 egyenes az y=x2 görbe érintője az (1,1) pontban.


(3) Függvényvizsgálat

Legyen f(x) egy tetszőleges n-ed fokú racionális egészfüggvény, és f ’(x) ennek a deriváltfüggvénye. Ekkor az f(x) jellemzőinek meghatározására felhasználhatjuk az alábbi tételeket:

(3.1) Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az f(x) függvény az I intervallumban monoton növekvő, ill. csökkenő legyen,
    f ’(x)≥0, ill.
    f ’(x)≤0
teljesülése minden x∈I-re.

(3.2) Ha f ’(x)≥0, ill. f ’(x)≤0 teljesül minden x∈I-re, és nincs I-nek olyan J⊆I részintervalluma, amelyben f ’(x)=0 (x∈J) teljesül, akkor az f(x) függvény az I intervallumban szigorúan monoton növekedő, ill. csökkenő. Speciálisan, ha
    f ’(x)>0, ill.
    f ’(x)<0
teljesül minden x∈I-re, akkor az f(x) függvény az I intervallumban szigorúan monoton növekedő, ill. csökkenő.

(3.3) Ha egy a∈I pontban f ’(a)=0, és az a∈I pontban f ’(x) előjelet vált, akkor az a∈I pontban f(x)-nek szélsőértéke van:
– ha az a∈I pontban az f ’(x) deriváltfüggvény negatívból pozitívba megy át, akkor az f(x) függvény szigorúan monoton csökkenőből szigorúan monoton növekedőbe megy át, és az f(x) függvénynek az a∈I pontban minimuma van;
– ha az a∈I pontban az f ’(x) deriváltfüggvény pozitívból negatívba megy át, akkor az f(x) függvény szigorúan monoton növekedőből szigorúan monoton csökkenőbe megy át, és az f(x) függvénynek az a∈I pontban maximuma van.

(3.4) Ha egy a∈I pontban f ’(a)=0, és az a∈I pontban
    f ’’(a)>0, akkor f ’(x) szigorúan monoton növekedő x=a egy környezetében, tehát f ’(a)=0 miatt az 'a' pontban az f ’(x) deriváltfüggvény negatívból pozitívba megy át. Ezért az a∈I pontban f(x)-nek minimuma van.
    f ’’(a)<0 , akkor f ’(x) szigorúan monoton csökkenő x=a egy környezetében, tehát f ’(a)=0 miatt az 'a' pontban az f ’(x) deriváltfüggvény pozitívból negatívba megy át. Ezért az a∈I pontban f(x)-nek maximuma van.

Például az f(x)=x2 másodfokú függvény deriváltja f ’(x)=2*x és második deriváltja f ’’(x)=2. Mivel x<0 esetén f ’(x)=2*x<0 és x>0 esetén f ’(x)=2*x>0 teljesül, ezért az f(x) függvény x<0 esetén szigorúan monoton csökkenő és x<0 esetén szigorúan monoton növekvő.
Mivel x=0-ban f ’(x)=0 teljesül, és a deriváltfüggvény negatívból pozitívba megy át, az f(x) függvénynek az x=0 pontban minimuma van. Ezt abből is megkaphatjuk, hogy a második deriváltfüggvényre az x=0 pontban f ’’(0)=2>0 teljesül.

(3.5) Ha egy a∈I pontban
– f ’’(a)>0 teljesül, akkor az 'a' pont egy környezetében az f ’(x) függvény szigorúan monoton nő, és az f(x) függvény konvex jellegű;
– f ’’(a)<0 teljesül, akkor az 'a' pont egy környezetében az f ’(x) függvény szigorúan monoton csökken, és az f(x) függvény konkáv jellegű;
f ’’(a)=0 teljesül és az 'a' pontban az f ’’(x) függvény előjelet vált, akkor az 'a' pontban az f ’(x) függvénynek szélsőértéke van. Ekkor
    • ha az f ’’(x) függvény negatívból pozitívba megy át, akkor az f ’(x) függvénynek minimuma van, és az 'a' pont egy környezetében az f(x) függvény konkávból konvexbe megy át;
    • ha az f ’’(x) függvény pozitívból negatívba megy át, akkor az f ’(x) függvénynek maximuma van, és az 'a' pont egy környezetében az f(x) függvény konvexből konkávba megy át.

Ha egy a∈I pontban f ’’(a)=0 teljesül és az f ’’(x) függvény előjelet vált, akkor az 'a' pont egy környezetében az f(x) függvény görbületet vált. Ebben az esetben az 'a' pontot az f(x) függvény inflexiós pontjának nevezzük.

Például az f(x)=x3 harmadfokú függvény deriváltja f ’(x)=3*x2 és második deriváltja f ’’(x)=6*x. Az x=0 pontban f ’’(0)=0 és az f ’’(x) negatívból pozitívba megy át, vagyis x=0 az f(x)=x3 harmadfokú függvény inflexiós pontja, és a '0' pontban az f(x) függvény konkávból konvexbe megy át. Hasonló meggondolások alapján az f(x)=−x3 függvény esetén pontosan fordított a helyzet: a '0' pontban az f(x) függvény konvexből konkávba megy át (ld. az ábrát).


(4) Primitív függvény, határozott integrál

Legyen f(x) egy tetszőleges n-ed fokú racionális egészfüggvény. Ekkor azt az F(x) differenciálható függvényt, amelyre F ’(x)=f(x) teljesül, az f(x) függvény primitív függvényének nevezzük. A deriválás szabályaiból következik, hogy ha F(x) primitív függvény, akkor tetszőleges r∈ℝ valós szám mellett F(x)+r szintén primitív függvény.

Az f(x) n-ed fokú racionális egészfüggvény tetszőleges primitív függvényét az f(x) függvény határozatlan integráljának nevezzük. Jelölése:
    ⎰f(x)dx=F(x)+r
ahol r∈ℝ tetszőleges valós szám.

Az f(x) n-ed fokú racionális egészfüggvény ⎰f(x)dx határozatlan integrálját a következő négy egyszerű szabály szerint képezhetjük:

összeg integráljának képzése: ⎰(c*xk+d*xm)dx = ⎰(c*xk)dx+⎰(d*xm)dx (0≤k,m≤n; c,d∈ℝ)

konstans integráljának képzése: ⎰cdx = c*x+r (c∈ℝ; r∈ℝ tetszőleges valós szám)

konstans tényezős szorzat integráljának képzése: ⎰(c*xk)dx = c*⎰xkdx (1≤k≤n; c∈ℝ)

hatványfüggvény integráljának képzése: ⎰xkdx = xk+1/(k+1)+r (1≤k≤n; c∈ℝ; r∈ℝ tetszőleges valós szám)

Például az f(x)=x2−4*x+3 másodfokú racionális egészfüggvény integrálját a következőképpen képezhetjük:
    ⎰f(x)dx =
    ⎰(x2−4*x+3)dx =
    ⎰x2dx−⎰(4*x)dx+⎰3dx =
    x3/3−4*⎰xdx+3*x =
    x3/3−4*x2/2+3*x+r =
    x3/3−2*x2+3*x+r
ahol r∈ℝ tetszőleges valós szám.


Legyen az f(x) n-ed fokú racionális egészfüggvény egy tetszőleges primitív függvénye az F(x) függvény (amelyre tehát F ’(x)=f(x) teljesül). Legyen továbbá a,b∈ℝ két tetszőleges valós szám, amelyekre a<b teljesül. Ekkor az f(x) függvény görbéje alatti terület az [a,b] intervallum felett

b a f(x)dx = F(b)−F(a)

módon számítható ki (Newton-Leibniz szabály). A képletben szereplő

b a f(x)dx

szimbólumot az [a,b] intervallumra vonatkozó határozott integrálnak nevezzük.

Például az f(x)=−x2+1 függvény esetén F(x)=−x3/3+x egy megfelelő primitív függvény. Ezzel a [−1,1] intervallum felett az f(x) függvény görbéje alatti terület

T = 1 −1 (−x2+1)dx = F(1)−F(−1)

módon számítható ki. Ennek alapján a görbe alatti területre egyszerű behelyettesítéssel
    T=
    (−13/3+1)−(−(−1)3/3−1)=
    (−1/3+1)−(−(−1)/3−1)=
    (−1/3+1)−(1/3−1)=
    2−2/3=
    4/3
adódik.

Második példaként tekintsük az f(x)=−4*x/3+4 lineáris függvényt, amely az 'x' tengelyt a (3,0), az 'y' tengelyt pedig a (0,4) pontban metszi. Könnyen belátható, hogy F(x)=−2*x2/3+4*x egy megfelelő primitív függvény. Ezzel a [0,3] intervallum felett az f(x) függvény görbéje alatti terület

T = 3 0 (−4*x/3+4)dx = F(3)−F(0)

módon számítható ki. Mivel F(0)=0, ezért a görbe alatti területre egyszerű behelyettesítéssel
    T=
    −2*32/3+4*3=
    −2*9/3+12=
    −2*3+12=
    6
adódik. Ellenőrzés: mivel a görbe alatti terület egy 3 és 4 befogójú derékszögű háromszög, ezért a háromszög területe könnyen kiszámítható. A terület T=3*4/2=12/2=6 ami megegyezik a határozott integrál értékével.


Boda István, 2023.