Alkalmazott matematika 2

Tartalom

• Valós függvények
•  
• Sorozatok, számsorozatok
• Függvények határértéke
• Függvények folytonossága
•  
• Differenciálszámítás
  • Függvényvizsgálat
• Integrálszámítás
•  
• Irodalom- és forrásjegyzék

Sorozatok

Ismétlés: Matematika 1, 5.1. Sorozatok

Az s : ℕ → ℝ függvényt (végtelen) számsorozatnak nevezzük. A sorozat szokásos jelölése:
   s₁, s₂, ..., s_n, ... (n∈ℕ⁺)
ahol az alsó indexként megadott 1,2,...,n,... értékeket a sorozatelemek indexének nevezzük.

Egyes esetekben a számsorozat elemeinek sorszámozását ("indexelését") 0-tól kezdjük, azaz a sorozatot egy s : ℕ → ℝ függvényként definiáljuk, és a sorozat tagjait
   s₀, s₁, ..., s_n, ... (n∈ℕ)
módon jelöljük.

Egy s : ℕ → B sorozat (s₁, s₂, ..., s_n, ...) ∈ B^∞ módon is ábrázolható. Jegyezzük meg, hogy a sorozat mint rendezett elemek sorozata és a sorozat elemeiből képzett { s_n | n∈ℕ } elemhalmaz különbözik egymástól (például azért, mert egy elemsorozatban az elemek sorrendje is számít; ha pedig az 's' leképezés nem injektív, akkor az s_n∈B (n∈ℕ) képelemek között ismétlődő elemek is vannak).

A számsorozatok szokásos megadása általában képlettel, a sorozat általános elemének (s_n) a megadásával történik az 'n' index függvényében. Az általános elemet egyes esetekben a megelőző elem vagy elemek segítségével állítjuk elő. Ilyenkor ún. rekurzív definícióról (vagy megadásról) beszélünk. A sorozatok megadásakor egyes esetekben (például rekurzív definíció esetében) szükséges az első elem (s₁), és esetleg további elemek megadása is. Jegyezzük meg, hogy a sorozatok képlettel történő megadása egy algoritmust ad meg, amellyel a sorozat elemei előállíthatók.

Ha a sorozat elemei pozitív számok (azaz s_n>0, n∈ℕ) pozitív definit sorozatról, ha pedig negatív számok (azaz s_n<0, n∈ℕ), negatív definit sorozatról beszélhetünk. Ha a sorozat elemeinek előjele váltakozik, oszcilláló sorozatról beszélhetünk.

Például adott s₁ és 'd' esetén az
    s_n=s₁+(n−1)*d (n∈ℕ)
sorozatot számtani sorozatnak nevezzük (ahol d∈ℝ a számtani sorozat ún. differenciája). A számtani sorozat elemei rekurzív szabállyal is megadhatók
    s_n=s_n−1+d (n>1)
módon. A számtani sorozat első 'n' elemének (tagjának) az összege szintén sorozat, amely megadható
    S_n=n*(s₁+s_n)/2= n*(2*s₁+(n-1)*d)/2= n*s₁+n*(n-1)*d/2
módon.

Bizonyítás (teljes indukcióval):
(1) Az S_n=n*(2*s₁+(n-1)*d)/2 összefüggés n=1-re (és n=2-re stb.) fennáll.
(2) Tegyük fel, hogy az összefüggés n-re fennáll, azaz S_n=n*(2*s₁+(n-1)*d)/2 teljesül.
(3) Ekkor S_n+1=S_n+s_n+1 és s_n+1=s₁+n*d miatt
   S_n+1=n*(2*s₁+(n-1)*d)/2+s_n+1=
   n*(2*s₁+(n-1)*d)/2+(s₁+n*d)=
   n*s₁+n*(n-1)*d/2+s₁+n*d=
   (n+1)*s₁+n*(n-1)*d/2+2*n*d/2=
   (n+1)*s₁+((n-1)+2)*n*d/2=
   (n+1)*2*s₁/2+(n+1)*n*d/2=
   (n+1)(2*s₁+n*d)/2
vagyis az indukciós feltétel öröklődött n→(n+1)-re, ezért minden természetes számra igaz.

Például adott s₁ és 'q' esetén az
    s_n=s₁*q⁽ⁿ⁻¹⁾ (n∈ℕ)
sorozatot mértani sorozatnak nevezzük (ahol q∈ℝ a mértani sorozat ún. kvóciense). A mértani sorozat elemei rekurzív szabállyal is megadhatók
    s_n=s_n−1*q (n>1)
módon. A mértani sorozat első 'n' elemének (tagjának) az összege szintén sorozat, amely q≠1 esetén megadható
    S_n=s₁*(qⁿ−1)/(q−1)
módon.

Sorozatok tulajdonságai

Mivel a számsorozatok speciális függvények, értelmezhető rájuk a korábban definiált korlátosság és monotonitás fogalma.

korlátosság

(a) az s : ℕ → ℝ számsorozat alulról korlátos, ha van olyan K_a∈ℝ szám, amelyre ∀n∈ℕ (K_a≤s_n) teljesül.

(b) az s : ℕ → ℝ számsorozat felülről korlátos, ha van olyan K_f∈ℝ szám, amelyre ∀n∈ℕ (s_n≤K_f) teljesül.

(c) az s : ℕ → ℝ számsorozat korlátos, ha van olyan K szám, amelyre ∀n∈ℕ (∣s_n∣≤K) teljesül.

Például az s_n=(2*n−1)/(n+1) sorozat korlátos (vö. Obádovics-Szarka 2009: 268):
– mivel 0<s_n (n∈ℕ), ezért K_a=0 alsó korlát;
– Legyen k∈ℝ tetszőleges való szám. Ekkor
   s_n=(2*n−1)/(n+1)<k ⇔
   2*n−1<k*(n+1)=k*n+k ⇔
   2*n−k*n=n*(2−k)<k+1
teljesül. Ez k≥2 esetén nyilvánvalóan fennáll (k=2 esetén 0<3, k>2 esetén pedig n*(2−k)<0<k+1), vagyis K_f=2 felső korlát.

monotonitás

(a) az s : ℕ → ℝ számsorozat monoton növekedő, ha ∀i∈ℕ ∀j∈ℕ (i<j ⊃ s_i≤s_j) teljesül.
(b) az s : ℕ → ℝ számsorozat szigorúan monoton növekedő, ha ∀i∈ℕ ∀j∈ℕ (i<j ⊃ s_i<s_j) teljesül.
(c) az s : ℕ → ℝ számsorozat monoton csökkenő, ha ∀i∈ℕ ∀j∈ℕ (i<j  ⊃ s_i≥s_j) teljesül.
(d) az s : ℕ → ℝ számsorozat szigorúan monoton csökkenő, ha ∀i∈ℕ ∀j∈ℕ (i<j ⊃ s_i>s_j) teljesül.

Például az s_n=(2*n−1)/(n+1) vagy az s_n=(4*n−9)/(2*n+1) sorozatok szigorúan monoton növekvőek és korlátosak (vö. Obádovics-Szarka 2009: 269-270).

Sorozatok részsorozatai

Az r : ℕ → ℝ számsorozatot az s : ℕ → ℝ számsorozat részsorozatának nevezzük, ha van olyan t : ℕ → ℕ szigorúan monoton növekvő számsorozat (ún. indexsorozat), amelyre ∀n∈ℕ (r_n=s_tn) teljesül. (Vagyis az s_n sorozat egy részsorozata az s_n sorozat t_n indexű elemeiből áll.)

Tekintsük például az s_n=(−1)ⁿ(2*n−1)/(n+1) sorozatot. Legyen t_n=2*n (n∈ℕ), ekkor az s_n sorozatból n↔t_n helyettesítéssel kapott
   r_n=s_tn= (−1)^2*n(2*2*n−1)/(2*n+1)= (4*n−1)/(2*n+1)
sorozat szigorúan monoton növekvő és korlátos (K_f=2 felső korlát).

Minden s : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatból kiválasztható egy monoton növekedő vagy monoton csökkenő részsorozat. (Farkas 2001: 51-52)

Sorozatok határértéke

(1) Az s : ℕ → ℝ számsorozat határértéke az l∈ℝ szám, ha

   ∀ε∈ℝ⁺ ∃n_ε∈ℕ ∀n∈ℕ ( n≥n_ε ⊃ ∣s_n-l∣<ε )

teljesül. Egyszerűen megfogalmazva: a sorozat elemei egy bizonyos n_ε indextől kezdődően tetszőlegesen kis ε távolságra megközelítik a sorozat l határértékét.

Az ε értéket küszöbértéknek, az n_ε számot az ε küszöbértékhez tartozó küszöbindexnek nevezzük. Ha az s : ℕ → ℝ számsorozatnak létezik az l határértéke, akkor konvergensnek nevezzük. Szemléletesen kifejezve: az l határérték tetszőlegesen kis ε sugarú környezetében az s : ℕ → ℝ számsorozat "majdnem minden" eleme megtalálható (azaz véges sok elem kivételével a sorozat összes eleme).

Technikailag a fenti definíció azt jelenti, hogy ha adott s_n sorozat esetén megoldjuk 'n'-re az ∣s_n-l∣<ε egyenlőtlenséget, és a megoldásra n≥f(ε) adódik, akkor az s_n sorozat konvergens és határértéke l.

Jegyezzük meg, hogy az egyenlőtlenség megoldása az abszolút érték definíciója miatt két esetre bontható:
    I. ha s_n>l akkor s_n-l<ε és
    II. ha s_n<l, akkor pedig l-s_n<ε

Például az s_n=(1−2*n)/n sorozat és l=−2 esetén (1−2*n)/n>−2 könnyen ellenőrizhetően mindig teljesül, tehát csak az első esettel kell foglalkoznunk. Az (1−2*n)/n+2<ε egyenlőtlenséget megoldva n>1/ε adódik, tehát az s_n sorozat konvergens és határértéke l=−2.

Azt, hogy az s : ℕ → ℝ számsorozat határértéke az l∈ℝ szám,

    lim s_n = l n→∞ (egyszerűbben lim s_n = l)

módon jelöljük. Szokásos még az

    s_n → l (n → ∞) (egyszerűbben s_n → l)

jelölés is.

Például tekintsük azokat az s_n sorozatokat, amelyekre teljesül, hogy tetszőleges t∈ℕ⁺ számhoz hozzá tudunk rendelni egy olyan n_t természetes számot, hogy bármilyen n∈ℕ⁺, n>n_t természetes számra |s_n|<1/t teljesül. Ekkor s_n→0 (n→∞) teljesül, azaz az így definiált s_n sorozatok a 0-hoz konvergálnak. Az ilyen tulajdonságú sorozatokat nullasorozatnak nevezzük (vö. Szendrei 1975: 432). Például az s_n=1/n sorozat nyilvánvalóan nullasorozat, mivel a szigorúan monoton csökkenés miatt bármely t∈ℕ⁺ számra n_t=t+1 megfelelő lesz küszöbindexnek (ha n>t+1, akkor ebből s_n<1/t következik).

A nullasorozat fogalma segítségével azt, hogy egy s_n sorozat konvergál egy tetszőleges r∈ℝ számhoz, úgy is kifejezhetjük, hogy az s_n sorozat és az r_n=r konstans sorozat q_n=|s_n−r_n| különbsége nullasorozat (azaz q_n→0 teljesül). Ekkor az s_n sorozat határértékére s_n→r (n→∞) teljesül.

Ha egy sorozatnak nincs (véges) határértéke, akkor a sorozat divergens.

(2) Egy sorozat konvergenciájára a határérték ismerete nélkül is megadhatunk egy kritériumot. Az s : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha

   ∀ε∈ℝ⁺ ∃n_ε∈ℕ ∀m∈ℕ ∀n∈ℕ ( m≥n_ε ∧ n≥n_ε ⊃. ∣s_m−s_n∣<ε )

teljesül (Cauchy-féle kritérium). Szemléletesen megfogalmazva: a sorozat majdnem minden eleme egymástól tetszőlegesen kis távolságra helyezkedik el, "összetorlódik" (vagyis ezek az elemek benne vannak egy közülük választott tetszőleges elem ε sugarú környezetében).

A nullasorozat fogalma segítségével azt, hogy egy s_n sorozat Cauchy-sorozat (a fenti értelemben), úgy is kifejezhetjük, hogy az s_n sorozat és a sorozat egy tetszőleges r_n részsorozatának a q_n=|s_n−r_n| különbsége nullasorozat (azaz q_n→0 teljesül).

(3) Ha az s : ℕ → ℝ számsorozatra teljesül, hogy

   ∀p∈ℝ ∃n_p∈ℕ ∀n∈ℕ ( n≥n_p ⊃ s_n>p ),

akkor a sorozat a végtelenhez divergál, amit sokszor úgy fejezünk ki, hogy (általánosított értelemben) a határértéke ∞. Ezt s_n → ∞ vagy lim s_n=∞ módon jelöljük. Ebben az értelemben beszélhetünk egy divergens sorozat −∞ határértékéről is.

Sorozatok torlódási pontja

A határérték fogalmának általánosítása a torlódási pont (torlódási hely, sűrűsödési hely) fogalma. Az s : ℕ → ℝ számsorozat torlódási pontja az a τ∈ℝ szám, amelynek bármilyen ε>0 sugarú környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza.

A határérték definíciójából következik, hogy
   (a) egy sorozat határértéke mindig torlódási pont,

és mivel a határérték tetszőleges környezetében benne van a sorozat majdnem minden eleme,
   (b) konvergens sorozatnak csak egy torlódási pontja (és egy határértéke) lehet, és
   (c) egy konvergens sorozat mindig korlátos.

(b) Tegyük fel, hogy egy számsorozat határértéke (és ezáltal torlódási pontja) l, és létezik egy ettől különböző τ≠l torlódási pontja is. Legyen 0<ε<∣τ−l∣/2, ekkor τ és l ε sugarú környezete diszjunkt, és mivel l ε sugarú környezete a sorozat majdnem minden elemét tartalmazza, τ ε sugarú környezete csak véges elemet tartalmazhat. Emiatt τ nem lehet torlódási pont, ami ellentmondás, tehát nem lehetséges, hogy a sorozatnak van l-től különböző torlódási pontja.

Ha egy sorozatnak egynél több torlódási pontja van, ill. ha nincs torlódási pontja, akkor divergens. Másrészt ha egy sorozatnak csak egy torlódási pontja van, akkor még nem biztos, hogy konvergens. Tekintsük például az

Egy (végtelen) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha minden részsorozata konvergens, és a részsorozatok határértéke megegyezik. A konvergens részsorozatok közös határértéke ekkor megegyezik a sorozat határértékével.

Ha egy sorozat nem korlátos, akkor biztosan divergens.

Korlátos sorozatok konvergenciája

(1) Ha az s : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozat monoton növekedő és felülről korlátos, vagy monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor az s_n sorozat konvergens.

Az A⊂ℝ (valós) számhalmaz felülről korlátos, ha
   ∃K_f∈ℝ ∀x∈A ( x≤K_f )
teljesül. A K_f számot az A⊂ℝ halmaz felső korlátjának nevezzük.
Az A⊂ℝ felülről korlátos, nem üres valós számhalmaz legkisebb felső korlátja az a sup A∈ℝ valós szám, amelyre
   ∀x∈A ( x≤sup A ) (azaz sup A felső korlát) és
   ∀ε∈ℝ⁺ ∃x∈A ( sup A−ε<x )
teljesül. (Megjegyzés: az utóbbi állítás azt fejezi ki, hogy bármilyen kis ε>0 számot veszünk, sup A−ε már nem felső korlát, azaz nem létezik sup A-nál kisebb felső korlát.)
Hasonlóan definiálható egy valós A⊂ℝ számhalmaz alsó korlátja és inf A∈ℝ legnagyobb alsó korlátja.

A legkisebb felső korlát (ill. legnagyobb alsó korlát) korlátos és nem üres valós számhalmazok esetében mindig létezik (vö. Farkas 2001: 34-35).

Ha az s:ℕ→ℝ (végtelen) számsorozat monoton növekedő és felülről korlátos, akkor a sorozat konvergens, és határértéke megegyezik a sorozat elemeiből képzett halmaz legkisebb felső korlátjával, azaz
   lim s_n=sup { s_n | n∈ℕ }
teljesül (vö. Farkas 2001: 61).

Ha az s:ℕ→ℝ (végtelen) számsorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor a sorozat konvergens, és határértéke megegyezik a sorozat elemeiből képzett halmaz legnagyobb alsó korlátjával, azaz
   lim s_n=inf { s_n | n∈ℕ }
teljesül (vö. Farkas 2001: 61).

Bizonyíthatóak az alábbi tételek:

(a) Korlátos (végtelen) számsorozatnak mindig van konvergens részsorozata (Bolzano-Weierstrass tétel; vö. Farkas 2001: 63).

(b) Az s : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatnak a τ∈ℝ valós szám akkor és csak akkor torlódási pontja, ha létezik az s_n sorozatnak τ-hez konvergáló részsorozata (vö. Farkas 2001: 68).

(c) Korlátos (végtelen) számsorozatnak mindig van torlódási pontja (vö. Farkas 2001: 69).

(2) Egy korlátos (végtelen) számsorozat pontosan akkor konvergens, ha egyetlen torlódási pontja van.

Tegyük fel, hogy egy τ torlódási pont van és a (korlátos) sorozat nem konvergens. Ekkor a τ torlódási pontnak van olyan környezete, amelyen kívül a sorozatnak végtelen sok eleme van. A kimaradó elemek a sorozat egy korlátos részsorozatát alkotják, amelynek a BW tétel szerint van konvergens, és nem τ-hez konvergáló részsorozata. Emiatt a sorozatnak van τ-től különböző torlódási pontja, ami ellentmondás, mert csak egy torlódási pont lehet.

Műveletek sorozatok között

Legyenek s : ℕ → ℝ, t : ℕ → ℝ és u : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatok. Értelmezzük a sorozatok között az alábbi műveleteket:
(a) Az s_n és t_n számsorozat összegének nevezzük azt az u_n számsorozatot, amelynek elemeire u_n=s_n+t_n (n∈ℕ) teljesül.
(b) Az s_n és t_n számsorozat különbségének nevezzük azt az u_n számsorozatot, amelynek elemeire u_n=s_n−t_n (n∈ℕ) teljesül.
(c) Az s_n és t_n számsorozat szorzatának nevezzük azt az u_n számsorozatot, amelynek elemeire u_n=s_n*t_n (n∈ℕ) teljesül.
(d) Legyen t : ℕ → ℝ olyan számsorozat, amelyre t_n≠0 (n∈ℕ) teljesül. Ekkor az s_n és t_n számsorozat hányadosának nevezzük azt az u_n számsorozatot, amelynek elemeire u_n=s_n/t_n (n∈ℕ) teljesül.

Sorozatok határértékére vonatkozó fontosabb tételek

(I) Konvergens sorozatokra vonatkozó tételek

Legyenek s : ℕ → ℝ és t : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatok. Ekkor teljesülnek az alábbi állítások:

(a.1) Ha az s_n sorozat konvergens, akkor az ∣s_n∣ sorozat is konvergens, és lim ∣s_n∣=∣lim s_n∣.

(a.2) Ha az s_n és t_n sorozatok konvergensek, akkor összegük is konvergens, és lim (s_n+t_n)=(lim s_n)+(lim t_n).
(a.3) Ha az s_n és t_n sorozatok konvergensek, akkor különbségük is konvergens, és lim (s_n−t_n)=(lim s_n)−(lim t_n).

(a.4) Ha az s_n sorozat konvergens és c∈ℝ tetszőleges valós szám, akkor a c*s_n sorozat is konvergens, és lim (c*s_n)=c*lim s_n.

(a.5) Ha az s_n és t_n sorozatok konvergensek, akkor szorzatuk is konvergens, és lim (s_n*t_n)=(lim s_n)*(lim t_n).
(a.6) Ha az s_n és t_n sorozatok konvergensek, t_n≠0 (n∈ℕ) és lim t_n≠0, akkor hányadosuk is konvergens, és lim (s_n/t_n)=(lim s_n)/(lim t_n).

(a.7) Legyenek s : ℕ → ℝ, t : ℕ → ℝ és u : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatok. Ekkor ha az s_n és t_n sorozatok konvergensek és határértékük megegyezik, azaz lim s_n=lim t_n=l, valamint s_n<u_n<t_n (n∈ℕ) teljesül, akkor az u_n sorozat is konvergens, és lim u_n=l. (Ez az ún. csendőrszabály.)

(II) Divergens sorozatokra vonatkozó tételek

Legyenek s : ℕ → ℝ, t : ℕ → ℝ és u : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatok. Ekkor teljesülnek az alábbi állítások:

(b.1) ha lim s_n=∞, akkor lim ∣s_n∣=∞ teljesül.

(b.2) ha lim s_n=∞ és c>0 valós szám, akkor lim c*s_n=∞ teljesül.
(b.3) ha lim s_n=∞ és c<0 valós szám, akkor lim c*s_n=−∞ teljesül.

(b.4) ha lim s_n=∞ és a t_n sorozat alulról korlátos, és van olyan K_a>0 valós szám, amelyre t_n>K_a (n∈ℕ) teljesül, akkor lim s_n*t_n=∞ teljesül.

(b.5) ha az s_n sorozat alulról korlátos, és van olyan K_a>0 valós szám, amelyre s_n>K_a (n∈ℕ), valamint lim t_n=0 és t_n≠0 (n∈ℕ) teljesül, akkor lim ∣s_n/t_n∣=∞ teljesül.

(b.6) ha az s_n sorozat korlátos, azaz van olyan K≥0 valós szám, amelyre ∣s_n∣≤K (n∈ℕ), valamint lim t_n=∞ teljesül, akkor lim s_n/t_n=0 teljesül.

Például határozzuk meg az s_n=(2*n−1)/(n+1) sorozat határértékét. Azonos átalakítással s_n=(2−1/n)/(1+1/n) adódik. Mivel (b.6) miatt t_n=1/n → 0 (n → ∞), (a.2), (a.3) és (a.6) miatt

   lim s_n=2/1=2 n→∞

teljesül, vagyis a sorozat konvergens és határértéke 2.

writeln("s(n) = 3*n");
writeln();

for(var n=1;n<=10;n++) {
 var s=3*n;
 writeln(n+". elem: "+s); 
 }

writeln("-----");

writeln("s(n) = (n-1)/n");
writeln();

for(var n=1;n<=10;n++) {
 var s=(n-1)/n;
 writeln(n+". elem: "+s.toFixed(8)); 
 }

writeln("-----");

writeln("s(n) = (n-1)/n");
writeln();

writeln("1. elem: 0"); 
for(var n=2;n<=10;n++) {
 var s=(n-1)/n;
 writeln(n+". elem: "+(n-1)+"/"+n); 
 }

writeln("-----");

writeln("s(n) = s(n-2)+s(n-1)");
writeln();

var s1=1;
var s2=1;
writeln("1. elem: "+s1); 
writeln("2. elem: "+s2); 
for(var n=3;n<=10;n++) {
 var s=s1+s2;
 writeln(n+". elem: "+s); 
 s2=s1;
 s1=s;
 }

writeln("-----");