Alkalmazott matematika 1


Tartalom, témakörök

  1. Mátrixaritmetika (Krekó 1976: 9-37; Farkas-Farkasné 2001: 59-70; Obádovics-Szarka 2009: 364-370)
  2. Determinánsok (Fried 1968: 88-94; Gyapjas 1977: 133-150; 59-70; Obádovics 2001: 68-93; Obádovics-Szarka 2009: 375-379)
  3. Mátrixok rangja. Inverz mátrix (Obádovics 2001: 94-120, 131-143; Farkas-Farkasné 2001: 103-114)
    • Mátrixaritmetikai műveletek gyakorlása (3*3-as mátrixokon)
    • Mátrixaritmetikai műveletek gyakorlása (4*4-es mátrixokon)
  4. Lineáris egyenletrendszerek (Farkas-Farkasné 2001: 115-126; Obádovics 2001: 145-150; 156-165)
    • Lineáris egyenletrendszerek megoldásának gyakorlása
  5. Lineáris terek (Obádovics 2001: 169-190; Farkas-Farkasné 2001: 71-83; Scharnitzky 1989: 82-97; Bíró-Vincze 2010: 247-270)
    • elemi bázistranszformáció végrehajtása (1*3-as vektorokon)
    • elemi bázistranszformáció végrehajtása (1*4-es vektorokon)
  6. Euklideszi terek (Obádovics 2001: 203-227; Farkas-Farkasné 2001: 145-160)
  7.  további témakörök (7−10) ⇒ 

1.1. Mátrixok

A valós számok aritmetikáját általánosítani fogjuk arra az esetre, amikor a vizsgált mennyiségeket nem egyetlen számmal jellemezzük, hanem táblázatos formában felírt számokkal, mátrixokkal (vö. Krekó 1976: 9).

Egy 'p' sorból és 'q' oszlopból álló p*q típusú mátrix (p,q∈ℕ+) általános alakja

a11 a12 ... a1q
a21 a22 ... a2q
... ... ... ...
ap1 ap2 ... apq

ahol a mátrix elemei valós számok, azaz aij∈ℝ (1≤i≤p, 1≤j≤q). Az aij elemet a mátrix általános elemének nevezzük, ahol 'i' a sorindex, és 'j' az oszlopindex. A mátrix sorainak és oszlopainak a számát a mátrix dimenzióinak nevezzük.

Két mátrixot egyenlőnek nevezünk, ha azonos típusúak és az azonos indexű elemeik megegyeznek.

Azokat a p*q típusú mátrixokat, amelyeknek az egyik dimenziója 1, vektornak szokás nevezni. Ebben az értelemben beszélhetünk sorvektorokról (ahol p=1) és oszlopvektorokról (ahol q=1). Egy vektor elemeit a vektor komponenseinek szokás nevezni. Egy oszlopvektor komponenseinek sorszáma megegyezik az elemek sorindexével; hasonlóan egy sorvektor komponenseinek sorszáma pedig az elemek oszlopindexével egyezik meg. Egy vektor komponenseinek számát a vektor dimenziójának nevezzük.

A mátrixokat aláhúzott nagybetűkkel fogjuk jelölni, és egyes esetekben csak az általános elemet adjuk meg (szögletes zárójelek között). Ha szükséges, a mátrix dimenzióit a mátrixot jelölő betű után alsó indexben szerepeltetjük. Ennek megfelelően a fenti mátrix
A = [aij] vagy
Apq = [aij]
módon is jelölhető.

Vezessük be a p*q típusú (valós számokból álló) mátrixok halmazának jelölésére az
𝕄(p,q) ⇋ "a p*q típusú mátrixok halmaza"
jelölést. A fentiek miatt Apq∈𝕄(p,q) definíció szerint teljesül.

Ha egy mátrixban felcseréljük a sorokat és az oszlopokat, a mátrix transzponáltjához jutunk. Az A mátrix transzponáltját AT módon jelöljük.


Például tekintsük az alábbi 4*3 típusú A mátrixot és transzponáltját:
A = 
AT = 

A transzponált mátrixra teljesülnek a következők:

Az oszlopvektorokat aláhúzott kisbetűkkel fogjuk jelölni, és a vektor általános elemének megadásakor elhagyjuk az oszlopindexet (ami oszlopvektor esetén mindig 1). Egy oszlopvektort tehát a=[ai] módon jelölhetünk; egy tetszőleges A mátrix j-dik oszlopvektorát pedig aj módon jelölhetjük.

Egy 'p' dimenziós (azaz 'p' komponensből álló) oszlopvektor transzponáltja egy 'p' dimenziós sorvektor, amelynek az egyes komponensei megegyeznek az oszlopvektor azonos sorszámú komponenseivel.


Például tekintsük az alábbi 4*1 típusú a oszlopvektort és ennek 1*4 típusú aT transzponáltját:
a = 
aT = 

Egy sorvektort annak az oszlopvektornak a transzponáltjával jelölünk, amelynek az egyes komponensei megegyeznek a sorvektor azonos sorszámú komponenseivel. Emellett a sorvektor általános elemének megadásakor elhagyjuk a sorindexet (ami sorvektor esetén mindig 1). Egy sorvektort ennek megfelelően aT=[ai] módon jelölhetünk. (Jegyezzük meg, hogy az a oszlopvektor és az aT sorvektor azonos sorszámú komponensei megegyeznek.)

Egy mátrix esetében beszélhetünk a mátrix sorvektorairól, ill. a mátrix oszlopvektorairól. Ezek segítségével egy tetszőleges, p*q típusú A mátrix az alábbi két formában is felírható:

A = 
u1 u2 ... uq
A = 
v1T
v2T
...
vpT

ahol uj jelöli az A mátrix j-dik oszlopvektorát (1≤j≤q), és viT jelöli az A mátrix i-dik sorvektorát (1≤i≤p).

A fenti jelölésekkel a p*q típusú A mátrix
    A = [u1, u2, ..., uq]
módon is felírható, ahol uj az A mátrix 'p' dimenziós, j-dik oszlopvektora (1≤j≤q).


Például egy 3*4 típusú A mátrix oszlopvektorai és sorvektorai leolvashatóak az alábbi ábrából:
A = 

Vezessük be az alábbi elnevezéseket:

   • nullmátrix (vagy zérusmátrix): olyan mátrix, amelynek minden eleme 0. A nullmátrixot 0 módon jelöljük. (A nullmátrix tetszőleges dimenziójú lehet.)

példa 4*4 típusú nullmátrixra

   • kvadratikus (vagy négyzetes) mátrix : olyan mátrix, amelyben a sorok és oszlopok száma megegyezik. Egy n*n típusú A∈𝕄(n,n) kvadratikus mátrix rendje 'n'. Ezt egyszerűen An módon jelölhetjük.

példa 4*4 típusú kvadratikus mátrixra
   • diagonális mátrix: olyan kvadratikus mátrix, amelynek minden főátlón kívüli eleme zérus.
példa 4*4 típusú diagonális mátrixra
   • egységmátrix: olyan diagonális mátrix, amelynek minden diagonális eleme 1. Az egységmátrixot E módon jelöljük. (Az egységmátrix rendje tetszőleges lehet.)
példa 4*4 típusú egységmátrixra

   • szimmetrikus mátrix: olyan A=[aij] kvadratikus mátrix, amely megegyezik a transzponáltjával, azaz
    A=AT, vagyis [aij]=[aji]
teljesül.

példa 4*4 típusú szimmetrikus mátrixra

   • ferdén szimmetrikus (vagy antiszimmetrikus) mátrix: olyan A=[aij] kvadratikus mátrix, amely megegyezik a transzponáltjának a (−1)-szeresével vagy ellentettjével, azaz
    A=−AT, vagyis [aij]=[−aji]
teljesül.

példa 4*4 típusú ferdén szimmetrikus mátrixra

   • háromszögmátrix (vagy trianguláris mátrix): olyan kvadratikus mátrix, amelynek minden főátló feletti, vagy minden főátló alatti eleme zérus. Ennek megfelelően a háromszögmátrixok két típusát különböztetjük meg:
   – alsó háromszögmátrix esetében minden főátló feletti elem zérus;
   – felső háromszögmátrix esetében pedig minden főátló alatti elem zérus.

példa 4*4 típusú alsó háromszögmátrixra
példa 4*4 típusú felső háromszögmátrixra

1.2. Műveletek mátrixok között

Legyenek AB∈𝕄(p,q) azonos típusú mátrixok, amelyeket általános elemükkel A=[aij] és B=[bij] módon adunk meg. Az így megadott A és B mátrixok összege az a
C=A+B , C∈𝕄(p,q)
mátrix, amelynek általános eleme cij=aij+bij (1≤i≤p, 1≤j≤q), vagyis
C=[cij]=[aij+bij]
teljesül.


Például tekintsük az alábbi 4*3 típusú A és B mátrixot:
A = 
B = 
A+B = 

A mátrixok összeadására érvényesek az alábbiak:

Az összeadáshoz teljesen hasonlóan értelmezhető két mátrix között a kivonás művelete.

Legyenek AB∈𝕄(p,q) azonos típusú mátrixok, amelyeket általános elemükkel adunk meg, azaz A=[aij] és B=[bij]. Ekkor az A és B mátrixok különbsége alatt azt a
C=AB , C∈𝕄(p,q)
mátrixot értjük, amelynek általános eleme cij=aij−bij (1≤i≤p, 1≤j≤q), vagyis
C=[cij]=[aij−bij]
teljesül.

A mátrixok összeadására és kivonására érvényesek az alábbiak:

Legyen A∈𝕄(p,q) egy p*q típusú mátrix, amelyet általános elemével A=[aij] módon adunk meg. Legyen λ∈ℝ valós szám. Az A mátrix λ skalárral való szorzata alatt azt a
C=λ*A , C∈𝕄(p,q)
mátrixot értjük, amelynek általános eleme cij=λ*aij (1≤i≤p, 1≤j≤q), vagyis
C=[cij]=[λ*aij]
teljesül.

Hasonlóan értelmezhetjük a mátrixok skalárral való szorzását akkor, amikor a skalár a szorzat jobb oldalán áll.
Adjuk meg az A∈𝕄(p,q) mátrixot általános elemével A=[aij] módon. Legyen λ∈ℝ valós szám. Ekkor a
C=A, C∈𝕄(p,q)
mátrix alatt a
C=[cij]=[aij*λ]
mátrixot értjük. (A szorzás kommutativitásából nyilvánvalóan következik, hogy [aij*λ]=[λ*aij], vagyis A*λ=λ*A mindig teljesül.)


Például tekintsük az alábbi 4*3 típusú A mátrixot és λ skalárt (valós számot):
A = 
λ*A = A*λ = 

A mátrixok skalárral való szorzására érvényesek az alábbiak:

A mátrixok között értelmezett kivonás a skalárral való szorzás művelete segítségével visszavezethető mátrixok összeadására.

Legyenek A és B tetszőleges, de azonos típusú mátrixok, ekkor a műveletek definíciója alapján könnyen ellenőrizhető, hogy
    AB=A+(−1)*B
teljesül.

Vezessük be a
    B ⇋ (−1)*B
jelölést. Az így értelmezett −B mátrixot a B mátrix ellentettjének nevezzük.

A mátrixok összeadásának és skalárral való szorzásának segítségével definiálhatjuk a mátrixok lineáris kombinációját. Legyenek
A1, A2, ..., An (n∈ℕ+)
tetszőleges, azonos típusú mátrixok, és
λ1, λ2, ..., λn
tetszőleges valós számok. A fenti mátrixok és valós számok (skalárok) lineáris kombinációja alatt a
    λ1*A12*A2+...+λn*An
mátrixot értjük.


A lineáris kombináció fogalma különösen fontos szerepet játszik a vektorok körében. Például számítsuk ki az alábbi három
• 3*1 típusú, A1, A2 és A3 mátrix (oszlopvektor), valamint
• λ1, λ2 és λ3 skalár
lineáris kombinációját:
A1 = 
A2 = 
A3 = 
λ1*A12*A23*A3 = 

Mivel a 3*1 típusú A1, A2 és A3 mátrixok oszlopvektorok, ezeket a1, a2 és a3 módon is jelölhetjük. Ezekkel a jelölésekkel a fenti lineáris kombináció
    λ1*a1 + λ2a2 + λ3a3
módon is leírható.


1.3. További műveletek mátrixok között

Legyen aT=[ai] egy 'n' dimenziós sorvektor, és b=[bi] egy 'n' dimenziós oszlopvektor (n∈ℕ+). Ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata alatt az
    aT*b = a1*b1+a2*b2+...+an*bn
valós számot értjük. Mivel a skaláris szorzat csak a tényezők komponenseitől függ, ezért
    aT*b = bT*a
teljesül.

Két vektor skaláris szorzatának jelölésekor gyakran elhagyjuk az első tényezőben a transzponálást jelölő T betűt, és az aT és b vektorok skaláris szorzatát egyszerűen a*b módon jelöljük. Azonban skaláris szorzat képzésekor mindig feltételezzük, hogy az első tényező sorvektor, a második tényező pedig oszlopvektor.

A matematikában, amikor adott számú mennyiséget kell összegezünk, gyakran használjuk a Σ ("szumma") jelet. Ezzel a jellel az a és b vektorok skaláris szorzata
két vektor skaláris szorzata
módon írható fel.

A továbbiakban a fenti jelölés helyett a
    Σ (i=1; i≤n; i→i+1) ai*bi
vagy egyszerűen a
    Σ (1≤i≤n) ai*bi
jelölést fogjuk használni, amely kifejezi, hogy az 'i' szimbólum

  • 1-től indulva (i=1)
  • egészen 'n'-ig (i≤n)
  • egyenként (i→i+1)
felveszi az összes egész számot.

Ennek megfelelően a fenti képlet a következőképpen értelmezhető: adjuk össze ("szummázzuk") az ai*bi szorzatokat úgy, hogy
– először vesszük az a1*b1 szorzatot (i=1), majd
– ehhez hozzáadjuk az a2*b2 szorzatot (i=2),
– ehhez hozzáadjuk az a3*b3 szorzatot (i=3), és ezt mindaddig folytatjuk, amíg végül
– a kapott részösszeghez hozzáadjuk az an*bn szorzatot (i=n).


Például képezzük az aT 1*4 típusú sorvektor és a b 4*1 típusú oszlopvektor skaláris szorzatát:
aT = 
b = 
aT*b = 

Legyen A=[aij]∈𝕄(p,q) egy p*q típusú mátrix, és B=[bjk]∈𝕄(q,r) egy q*r típusú mátrix. (Emeljük ki, hogy az A mátrix oszlopainak száma (q) megegyezik a B mátrix sorainak a számával (q).)

Az A és B mátrixok a szorzata alatt azt a
    C=A*B, C=[cik]∈𝕄(p,r)
p*r típusú mátrixot értjük, amelynek általános elemére
    cik = ai1*b1k+ai2*b2k+...+aiq*bqk
teljesül (1≤i≤p, 1≤k≤r).

Jegyezzük meg a következőket:
  • Az Apq és Bqr mátrixok akkor összeszorozhatók, ha az A mátrix oszlopainak száma (q) megegyezik a B mátrix sorainak számával (q).
  • A Cpr=Apq*Bqr szorzatmátrix p*r típusú lesz.

Első példaként tekintsük a 4*3 típusú A és a 3*4 típusú B mátrixot:
A = 
B = 
C = A*B = 
Például a C=A*B=[cik] szorzatmátrix c23 eleme az A mátrix v2T 1*3 típusú sorvektorának és a B mátrix u3 3*1 típusú oszlopvektorának a skaláris szorzataként kapható meg:
v2T = 
u3 = 
c23 = v2T*u3 = 

Második példaként tekintsük az 1*3 típusú A és a 3*2 típusú B mátrixot:
(Megjegyzés: mivel A három dimenziós sorvektor, ezért aT módon is jelölhető. Ennek felhasználásával az A*B szorzat aT*B módon is jelölhető.)
A = 
B = 
A*B = 

Harmadik példaként tekintsük az 4*1 típusú A és az 1*3 típusú B mátrixot:
(Megjegyzés: mivel A négy dimenziós oszlopvektor, ezért a módon is jelölhető, mivel pedig B három dimenziós sorvektor, ezért bT módon is jelölhető. Az a*bT szorzatot, vagyis egy oszlopvektor és egy sorvektor szorzatát diadikus szorzatnak nevezzük.
Ha egy mátrix előállítható diadikus szorzatként, vagyis egy oszlopvektor és egy sorvektor szorzataként, akkor diádnak nevezzük.)
A = 
B = 
A*B = 

Negyedik példaként tekintsük az 1*3 típusú A és a 3*1 típusú B mátrixot:
(Megjegyzés: mivel A három dimenziós sorvektor, ezért aT módon is jelölhető, mivel pedig B három dimenziós oszlopvektor, ezért b módon is jelölhető. Az aT*b szorzat az aT és b vektorok korábban megismert skaláris szorzata.)
A = 
B = 
A*B = 

Ötödik példaként tekintsük a 3*3 típusú A és a 3*1 típusú B mátrixot:
(Megjegyzés: mivel B három dimenziós oszlopvektor, ezért b módon is jelölhető, ennek felhasználásával az A*B szorzat A*b módon is jelölhető.)
A = 
B = 
A*B = 

A mátrixok szorzására érvényesek az alábbiak:

Legyen A kvadratikus mátrix, n∈ℕ természetes szám. Ekkor az A kvadratikus mátrix hatványait a következő rekurzív sorozattal definiáljuk:

Mivel a mátrixok szorzása asszociatív, tetszőleges olyan n, p, q∈ℕ természetes számok esetén, amelyekre n=p+q teljesül, An=Ap*Aq teljesül.

Ha A=[aij] egy diagonális mátrix és n∈ℕ természetes szám, akkor az An=[hij] mátrix szintén diagonális, és főátlójában az A mátrix főátlájában szereplő elemek n-ik hatványai állnak, azaz
    – hij=0 (ha i≠j) és
    – hij=aijn (ha i=j)
teljesül.

Ha A egy szimmetrikus mátrix és n∈ℕ természetes szám, akkor az An mátrix szintén szimmetrikus.

Tegyük fel, hogy az A=[aij] n-ed rendű kvadratikus mátrix szimmetrikus, azaz bármely i, j indexű elemére aij=aji teljesül (1≤i,j≤n). Számítsuk ki például az A2=[aij'] mátrix tetszőleges aij' elemét:
aij'= Σ (1≤k≤n) aik*akj= Σ (1≤k≤n) aik*ajk= Σ (1≤k≤n) ajk*aik= Σ (1≤k≤n) ajk*aki= aji'
miatt aij'=aji' teljesül, vagyis az A2 mátrix valóban szimmetrikus.

Egy kvadratikus nullmátrix és az egységmátrix minden hatványa önmaga, azaz tetszőleges n∈ℕ természetes számra 0n=0 és En=E teljesül.

2.1. Permutációk, inverziók

Legyen H egy tetszőleges, 'n' elemű véges halmaz (n∈ℕ+, speciálisan megengedjük az n=1 esetet is). Ekkor az
(a1, a2, ..., an)
véges elemsorozatot ("rendezett elem n-est") az ai∈H elemek egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük, ha az ai elemek mind különbözőek, azaz ai≠aj teljesül (1≤i<j≤n).

Mivel tetszőleges 'n' elemű H halmaz esetén a halmaz elemeinek egy permutációja megfelel az {1,2,...,n}⊆ℕ+ halmazra való bijektív leképezésnek, a továbbiakban elég a H={1,2,...,n} természetes számokból álló halmaz lehetséges permutációival foglalkozunk. Ezeket a permutációkat a továbbiakban (i1, i2, ..., in) vagy (j1, j2, ..., jn) módon jelöljük, ahol ik∈{1,2,...,n} egymástól különböző természetes számok (1≤k≤n), és hasonlóan jm∈{1,2,...,n} egymástól különböző természetes számok (1≤m≤n).

Az (i1, i2, ..., in) és (j1, j2, ..., jn) permutációk megegyeznek, ha minden elemre ik=jk (1≤k≤n) teljesül.

Vezessük be a természetes számok halmazán értelmezett
    ! : ℕ→ℕ
műveletet, 'n' faktoriálisát (n!). Adott n∈ℕ természetes szám esetén az n! értéket az első 'n' természetes szám szorzataként definiáljuk a következőképpen:
   0!⇋1 (megállapodás szerint),
   1!⇋1
   2!⇋1*2
   3!⇋1*2*3
   ...
   n!⇋1*2*3*4*...*n.

Megjegyzés: n! a definíció szerint megegyezik az s0=0, s1=1, sn=n*sn−1 (n>1) rekurzív módon megadott számsorozat n-ik elemével (azaz sn=n!).

Adott n∈ℕ+ elemszám esetén az összes különböző ismétlés nélküli permutáció száma
Pn=n!
módon számítható ki.

A későbbiekben használni fogjuk a binomiális együttható fogalmát is. Adott k, n∈ℕ, k≤n természetes számok esetén az
    n alatt k (binomiális együttható)
formában felírt számot binomiális együtthatónak nevezzük.

Az (i1, i2, ..., in) permutációban az ik és im számok inverzióban állnak, ha
k<m és ik>im
teljesül (azaz a permutációban az előrébb álló ik elem nagyobb a nála hátrébb álló im elemnél, vagyis az ik és im elemek "a természetestől eltérő, fordított sorrendben állnak", Fried 1968: 88).

Például n=6, k=2, m=4 esetében

Egy permutáció inverzióinak számán azoknak az elempároknak a számát értjük, amelyek egymással inverzióban állnak. Egy adott p=(i1, i2, ..., in) permutáció inverzióinak számát I(p) módon jelöljük.

A 'p' permutáció szignuma alatt a
    sgn(p) ⇋ (−1)I(p)
számot értjük.

  • egy 'p' permutáció esetén sgn(p)=+1, ha I(p) páros
  • egy 'p' permutáció esetén sgn(p)=−1, ha I(p) páratlan

A permutációk inverzióira érvényesek az alábbiak:


2.2. Determinánsok

Legyen An=[aij] egy n-ed rendű kvadratikus mátrix, és legyen p=(j1, j2, ..., jn) az {1,2,...,n} természetes számok egy tetszőleges permutációja. Ekkor a 'p' permutációnak megfeleltethetjük a
σp=sgn(p)*a1j1*a2j2*...*anjn
szorzatot. (Vegyük észre, hogy a 'p' permutáció j1, j2, ..., jn komponensei a szorzatban szereplő aij elemek oszlopindexét adják meg.)

A fenti szorzatot úgy kapjuk, hogy sorrendben felülről lefelé haladva, a mátrix minden egyes sorából kiválasztjuk a 'p' permutáció alapján a megfelelő oszlopindexű elemet. Tehát kiválasztjuk
– az első sorból a j1-ik oszlopban szereplő elemet,
– a második sorból a j2-ik oszlopban szereplő elemet,
...
– az utolsó (n-ik) sorból pedig a jn-ik oszlopban szereplő elemet,
majd ezeket összeszorozzuk, és a szorzatot megszorozzuk a 'p' permutáció szignumával (amely attól függően +1 vagy −1, hogy a 'p' permutációban levő összes inverzió száma, azaz I(p) páros vagy páratlan).

Az An=[aij] egy n-ed rendű kvadratikus mátrix determinánsa alatt a
    Σ (az összes 'p' permutációra) σp
összeget értjük. A σp szorzatra vonatkozó képletet behelyettesítve a determinánsra
    Σ (az összes 'p' permutációra) (−1)I(p)*a1j1*a2j2*...*anjn
adódik (jegyezzük meg, hogy az összegzést az oszlopindexek összes lehetséges 'p' permutációjára el kell végezni).
Az An=[aij] n-ed rendű kvadratikus mátrix (n-ed rendű) determinánsát
    det An=|aij|n
módon jelöljük.

Például az

A2 = 
a11 a12
a21 a22

másodrendű kvadratikus mátrix determinánsa
det A2 = (−1)0a11*a22+(−1)1a12*a21 = a11*a22−a12*a21
módon számítható ki.

Szabályként megfogalmazva: egy másodrendű kvadratikus mátrix determinánsát úgy számítjuk ki, hogy a főátlóban levő elemek szorzatából kivonjuk a "mellékátlóban" (azaz a főátló vízszintes tükrözésével kapott átlóban) levő elemek szorzatát.

Egy másik példaként tekintsük az

A3 = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

harmadrendű kvadratikus mátrix determinánsát. Ez
det A3 = 
    a11*a22*a33 −a11*a23*a32 
    −a12*a21*a33 +a12*a23*a31 
    +a13*a21*a32 −a13*a22*a31

módon számítható ki. (Tekintsük például a második tagot. Mivel ez a11*a23*a32 alakú, a tényezők oszlopindexei az (1,3,2) permutációnak felelnek meg. Ebben egy inverzió szerepel, a (3,2), ezért a tag előjele negatív. Vizsgáljuk meg ezután a negyedik tagot. Mivel ez a12*a23*a31 alakú, a tényezők oszlopindexei az (2,3,1) permutációnak felelnek meg. Ebben két inverzió szerepel, a (2,1) és a (3,1), ezért a tag előjele pozitív.)

A fenti képlet általánosításához vezessük be az ún. részmátrix vagy minor mátrix fogalmát. Egy A mátrix minor mátrixa alatt azt a mátrixot értjük, amelyet az A mátrix meghatározott sorainak és oszlopainak elhagyásával, törlésével állítunk elő. (Speciálisan minor mátrixnak tekinthetjük azokat a mátrixokat is, amelyekben nem hagyunk el sorokat és/vagy oszlopokat.)

Az A3 harmadrendű kvadratikus mátrix determinánsának kiszámítására vonatkozó képletben emeljük ki a mátrix első sorában álló a11, a12 és a13 elemeket. A kapott képletből látszik, hogy a det A3 determináns kiszámítása visszavezethető az A3 kvadratikus mátrixból alkotott másodrendű minor mátrixok determinánsainak a kiszámítására:

det A3 = 
a11*det 
a22 a23
a32 a33
−a12*det 
a21 a23
a31 a33
+a13*det 
a21 a22
a31 a32

Az algebrai aldeterminánsok segítségével ez a képlet
det A3 = a11*D11 + a12*D12 + a13*D13
módon írható fel.

Figyeljük meg, hogy a determináns kiszámításakor
– először kiszámítjuk az első sor egyes elemeinek, és ezeknek az elemeknek a sorát, ill. oszlopát nem tartalmazó minor mátrixok determinánsainak a szorzatát;
– majd ezeket a szorzatokat különböző előjelekkel összeadjuk. (Az előjelet az első sor egyes elemeinek a sorindexe (1) és oszlopindexe (j) határozza meg a (−1)1+j képlet alapján.)
Az eljárást a determináns első sor szerinti kifejtésének nevezzük.


Tekintsük először a 2*2 típusú A mátrixot, és számítsuk ki a determinánsát:
A = 
det A = 

Tekintsük ezután a 3*3 típusú A mátrixot, és számítsuk ki a determinánsát először közvetlenül, a megfelelő képlet alapján:
A = 
det A = 
Ezután számoljuk ki a determináns értékét az A mátrix másodrendű (minor) determinánsainak kiszámításával:
det A = 
+
 = 
A determináns kétféleképpen kiszámított értéke megegyezik.

Ha az első sor elemeit nem a hozzájuk tartozó algebrai aldeterminánssal szorozzuk, hanem például a második sorhoz tartozó algebrai aldeterminánsokkal, akkor az összeg zérus lesz:

a11*D21+a12*D22+a13*D23=


Most általánosítsuk a determináns kiszámítására vonatkozó tételt egy tetszőleges n-ed rendű kvadratikus mátrixra.

Az An=[aij] n-ed rendű kvadratikus mátrix determinánsának i-dik sor szerinti kifejtése
    det A = Σ (j=1; j≤n; j→j+1) aij*Dij
ahol Dij az A mátrix i-dik sorához és j-dik oszlopához tartozó előjeles vagy algebrai aldetermináns.

Jegyezzük meg, hogy a fenti tétel bármelyik sorra érvényes, azaz a fenti összeg bármely i-re ugyanazt az értéket adja (ahol 1≤i≤n teljesül).


Érvényes továbbá az alábbi tétel:

Ha a fenti összegben szereplő algebrai aldeterminánsok nem az i-dik sorhoz, hanem egy tőle különböző a k≠i sorhoz tartoznak, akkor az összeg mindig zérus, azaz a fenti jelölésekkel
    Σ (j=1; j≤n; j→j+1) aij*Dkj = 0
teljesül bármely k-dik oszlopra (1≤k≤n, k≠i).


Legyenek An=[aij] és Bn=[bij] n-ed rendű kvadratikus mátrixok, továbbá (det A) és (det B) ezek determinánsai. Legyen továbbá a λ skalár tetszőleges valós szám. Ekkor teljesülnek a következő tulajdonságok:

Érvényesek tehát az alábbi tételek:

(1) Ha a mátrix egy sorához hozzáadjuk egy másik, tőle különböző sora λ-szorosát, a mátrix determinánsa nem változik.

(2) Ha a mátrix egy sorához hozzáadjuk a többi, tőle különböző sor egy tetszőleges lineáris kombinációját, a mátrix determinánsa nem változik.

(3) Ha An n-edrendű reguláris kvadratikus mátrix, akkor nincs olyan sora, amely előállítható a többi, tőle különböző sor lineáris kombinációjaként.


Legyen A tetszőleges kvadratikus mátrix. Ekkor az A mátrix és transzponáltjának a determinánsa megegyezik, azaz
det A=det AT
teljesül.

Az A és B n-ed rendű kvadratikus mátrixok szorzatának determinánsa egyenlő a mátrixok determinánsainak szorzatával, azaz
det (A*B)=det A*det B
teljesül.


2.3. Determinánsok értékének kiszámítása

I. Számítsuk ki a determináns definíciója alapján az alábbi mátrix determinánsát:

A = 
0 -2 10
-5 2 0
-10 -9 1

Mivel az A=[aij] mátrix 3*3 típusú, az oszlopindexekre az (1,2,3) számok alábbi 6 permutációját kell figyelembe vennünk:

A permutációknak megfelelő a σp szorzatok a következők:

pi σpi
(1,2,3) +a11*a22*a33 +0*2*1 =0
(1,3,2) −a11*a23*a32 −0*0*(-9) =0
(2,1,3) −a12*a21*a33 −(-2)*(-5)*1 =−10
(2,3,1) +a12*a23*a31 +(-2)*0*2*(-10) =0
(3,1,2) +a13*a21*a32 +10*(-5)*(-9) =450
(3,2,1) −a13*a22*a31 −10*2*(-10) =200

Az A mátrix determinánsa a fenti σp szorzatok összege, vagyis
    det A=−10+450+200=640


II. Az alábbiakban egy algoritmust adunk meg egy determináns értékének kiszámítására. Ehhez a következő két tételt fogjuk felhasználni:

– Egy tetszőleges A kvadratikus mátrix determinánsa nem változik, ha egy sorához hozzáadjuk egy másik (tőle különböző) sorának tetszőleges λ számszorosát.
– Egy tetszőleges A kvadratikus mátrix determinánsa nem változik, ha egy oszlopához hozzáadjuk egy másik (tőle különböző) oszlopának tetszőleges μ számszorosát.

Induljunk ki egy 4-ed rendű A kvadratikus mátrixból (vö. Fried 1968: 92). Célunk, hogy az A mátrixot diagonális alakra hozzuk, amelynek a determinánsa a fődiagonálisban levő elemek szorzataként egyszerűen meghatározható.

Az alábbiakban csak olyan átalakításokat fogunk a mátrixon végezni, amelyek nem változtatják meg a determináns értékét.

A = 
1 0 -1 3
2 5 3 -1
-1 2 2 -2
-3 1 2 1

(1) A mátrix első sorát (1,0,0,0) formára fogjuk hozni úgy, hogy
– a mátrix első oszlopát hozzáadjuk a mátrix harmadik oszlopához,
– a mátrix első oszlopának (-3)-szorosát hozzáadjuk a mátrix negyedik oszlopához.

Eredményül a következő mátrixot kapjuk (jegyezzük meg, hogy az így kapott mátrix determinánsa megegyezik az eredeti mátrix determinánsával, azaz det B=det A teljesül):

B = 
1 0 0 0
2 5 5 -7
-1 2 1 1
-3 1 -1 10

(2) A mátrix első oszlopát fogjuk (1,0,0,0)T formára hozni úgy, hogy
– a mátrix első sorának (-2)-szeresét hozzáadjuk a mátrix második sorához,
– a mátrix első sorát hozzáadjuk a mátrix harmadik sorához,
– a mátrix első sorának 3-szorosát hozzáadjuk a mátrix negyedik sorához.

Eredményül a következő mátrixot kapjuk (jegyezzük meg, hogy az így kapott mátrix determinánsa megegyezik az előző mátrix determinánsával, azaz det C=det B=det A teljesül):

C = 
1 0 0 0
0 5 5 -7
0 2 1 1
0 1 -1 10

(3) A mátrix második sorát fogjuk (0,5,0,0) formára fogjuk hozni úgy, hogy
– a mátrix második oszlopának (-1)-szeresét hozzáadjuk a mátrix harmadik oszlopához,
– a mátrix második oszlopának 7/5-szeresét hozzáadjuk a mátrix negyedik oszlopához.
Eredményül a következő mátrixot kapjuk:

D = 
1 0 0 0
0 5 0 0
0 2 -1 19/5
0 1 -2 57/5

(4) A mátrix második oszlopát fogjuk (0,5,0,0)T formára hozni úgy, hogy
– a mátrix második sorának (-2/5)-szeresét hozzáadjuk a mátrix harmadik sorához,
– a mátrix második sorának (-1/5)-szeresét hozzáadjuk a mátrix negyedik sorához.
Eredményül a következő mátrixot kapjuk:

E = 
1 0 0 0
0 5 0 0
0 0 -1 19/5
0 0 -2 57/5

(5) A mátrix harmadik sorát fogjuk (0,0,-1,0) formára hozni úgy, hogy
– a mátrix harmadik oszlopának 19/5-szeresét hozzáadjuk a mátrix negyedik oszlopához.
Eredményül a következő mátrixot kapjuk:

F = 
1 0 0 0
0 5 0 0
0 0 -1 0
0 0 -2 19/5

(6) Végül a mátrix harmadik oszlopát fogjuk (0,0,-1,0)T formára hozni úgy, hogy
– a a mátrix harmadik sorának (-2)-szeresét hozzáadjuk a mátrix negyedik sorához.
Eredményül a következő mátrixot kapjuk:

G = 
1 0 0 0
0 5 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 19/5

A H mátrix diagonális, tehát determinánsa
    det H=1*5*(−1)*19/5=−19
módon könnyen meghatározható.

Mivel csak olyan átalakításokat hajtottunk végre az A mátrixon, amelyek nem változtatták meg a determináns értékét, az átalakítások után kapott H mátrix determinánsa megegyezik az eredeti A mátrix determinánsával. Ezért az A mátrix determinánsának értéke
    det A=det H=−19.

Megjegyzések:


III. A determináns értékének meghatározásához elegendő az is, ha a mátrixot háromszögmátrixszá alakítjuk. Ehhez most csak a mátrix oszlopain fogunk végrehajtani olyan átalakító műveleteket (ún. transzformációkat), amelyek a determináns értékét nem változtatják meg. (Vagyis az egyes lépések során egy adott oszlophoz mindig hozzáadjuk a többi oszlop egy meghatározott lineáris kombinációját).

Az átalakítások tömör formában történő megadásához a továbbiakban
    – uj-vel fogjuk jelölni az átalakítandó mátrix j-dik oszlopát;
    – uj'-vel fogjuk jelölni az átalakított mátrix j-dik oszlopát.

Az előző algoritmus első lépését megismételjük. A kiinduló mátrix:

A = 
1 0 -1 3
2 5 3 -1
-1 2 2 -2
-3 1 2 1

(1')

u1+u3u3'
−3*u1+u4u4'

Eredményül a következő mátrixot kapjuk:

B' = 
1 0 0 0
2 5 5 -7
-1 2 1 1
-3 1 -1 10

(2')

u3u2u3'
u4+u2*7/5 → u4'

C' = 
1 0 0 0
2 5 0 0
-1 2 -1 19/5
-3 1 -2 57/5

(3')

u4+u3*19/5 → u4'

D' = 
1 0 0 0
2 5 0 0
-1 2 -1 0
-3 1 -2 19/5

Mivel a mátrixot alsó háromszögmátrixszá alakítottuk, a determinánsa közvetlenül meghatározható a fődiagonálisban szereplő elemek szorzataként:
    det A=det D'=1*5*(−1)*19/5=−19


3.1. Mátrixok rangja

Különböztessük meg a kvadratikus mátrixokat aszerint, hogy determinánsuk értéke zérus vagy attól különböző:

Legyen A tetszőleges p*q típusú mátrix. Képezzük az A mátrixból az összes lehetséges k-adrendű kvadratikus minor mátrixot (1≤k≤min(p,q)).

Például
– a 2.3. pont I. részében szereplő A 3*3-as kvadratikus mátrix rangja r(A)=3, mert det A=640 (vagyis a determinánsa nem zérus, tehát a mátrix önmagának a legmagasabb rendű reguláris kvadratikus minor mátrixának tekinthető).
– a 2.3. pont II. részében szereplő A 4*4-es kvadratikus mátrix rangja pedig r(A)=4, mert det A=−19 (az előző példához teljesen hasonló módon indokolva).
Jegyezzük meg, hogy ha egy kvadratikus mátrix reguláris, akkor rangja megegyezik a rendjével.

A mátrix rangjára érvényesek az alábbiak:

Jegyezzük meg, hogy a fenti tulajdonságok ugyanúgy teljesülnek, ha bennük sorok helyett oszlopokat írunk. (Ekkor az oszlopokra vonatkozó átalakításokat a Sij, Si(λ) és Sij(λ) jelölések helyett Kij, Ki(λ) és Kij(λ) módon jelöljük, ahol értelemszerűen 'i' és 'j' a mátrix két oszlopának az indexét jelöli.)

A fenti tulajdonságokban olyan átalakítások szerepeltek, amelyek nem változtatták meg a mátrix rangját. Ezeket az átalakításokat ekvivalens transzformációknak nevezzük.

Azokat az ekvivalens transzformációkat, amelyek nem változtatják meg sem a mátrix rangját, sem a mátrix rendjét (ill. nem kvadratikus mátrix esetén a mátrix típusát), elemi transzformációknak nevezzük.

A fenti átalakítások közül egy csupa zérus sor vagy oszlop elhagyása nem elemi transzformáció. A mátrixok transzponálása, mivel az nem kvadratikus mátrixok esetén megváltoztatja a mátrix típusát, szintén nem elemi transzformáció.

A későbbiekben alapvető fontosságú elemi transzformációk két típusát különböztetjük meg:

Egy mátrix normálalakban van, ha a mátrix bal felső minora egy r-ed rendű Er egységmátrix, és a mátrix ezen kívül csak csupa zérusból álló sort, ill. oszlopot tartalmaz.

Például az alábbi 5*4 típusú A mátrix normálalakban van (r=3):

A = 
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0

A normálalakban levő A mátrix rangja megegyezik az r-ed rendű Er minor egységmátrix rangjával, vagyis r(A)=r(Er)=r teljesül.

Minden mátrix normálalakra hozható elemi transzformációk (elemi sortranszformációk és elemi oszloptranszformációk) segítségével.
  • Elemi sor- és oszloptranszformációkkal elérhető, hogy egy kvadratikus mátrix oszlopvektorai csak 0 és 1 értéket tartalmazzanak úgy, hogy
    • egy oszlopvektor legfeljebb egy 1 értéket tartalmazhat;
    • az 1 értékek az oszlopvektorok különböző soraiban szerepelnek.
  • A mátrix normálalakjában szereplő 1 értékek száma megadja a mátrix rangját.

Legyen A=[aij] egy p*q típusú mátrix. Az A mátrixot elemi transzformációk alkalmazásával "kvázi-háromszögmátrix" formára hozhatjuk az alábbi algoritmus segítségével (ún. Gauss-eliminációs algoritmus, vö. Farkas-Farkasné 2001: 118-120, ill. ld. a megfelelő Wikipédia szócikket):

  1. i→1, j→1
  2. ha aij zérus (aij=0), akkor keressük meg az i+1-dik sortól kezdődően azt a k-dik sort (k→i+1, k→i+2, ..., k→p), amelyikben akj≠0 teljesül;
    • ha nincs ilyen, keressünk egy olyan akl elemet (k→i+1, k→i+2, ..., k→p; l→j+1, l→j+2, ..., l→q), amelyre akl≠0 teljesül;
      • ha nincs ilyen, az eljárás befejeződött (minden további elem zérus);
      • ha van ilyen, cseréljük meg a j-dik és az l-dik oszlopokat (ez megfelel a Kjl transzformációnak)
    • cseréljük meg az i-dik és a k-dik sorokat (ez megfelel az Sik transzformációnak)
  3. az i+1-dik sortól kezdődően egészen a p-dik sorig haladva (k→i+1, k→i+2, ..., k→p), vonjuk le a k-dik sorból az i-dik sor
        akj/aij-szorosát (ez megfelel az Ski(akj /aij) transzformációnak)
    ennek eredményeképpen az i+1-dik sortól kezdődően a j-dik oszlopban levő elemek értéke zérus lesz;
  4. i→i+1, j→j+1;
  5. folytassuk az algoritmust a 2. lépéstől addig, amíg i<p és j≤q fennáll.

Példaként tekintsük az alábbi A mátrixot:
A = 
A = 

Az átalakított mátrix tovább alakítható:


Az E egységmátrixból az elemi transzformációk segítségével kapott mátrixokat elemi mátrixoknak nevezzük.

Legyen A egy p*q típusú mátrix. Ekkor

Minden A mátrixhoz találhatók olyan P és Q mátrixok, amelyekre igaz, hogy
– a P mátrix elemi sortranszformációknak megfelelő elemi mátrixok szorzata (azaz P=S*S'*S''*... teljesül),
– a Q mátrix elemi oszloptranszformációknak megfelelő elemi mátrixok szorzata (azaz Q=K*K'*K''*... teljesül), és
– a P*A*Q mátrix normálalakban van.

Speciálisan, ha An n-edrendű reguláris kvadratikus mátrix, akkor léteznek olyan Pn, ill. Qn reguláris mátrixok, amelyek
    – elemi sortranszformációknak (Pn), ill.
    – elemi oszloptranszformációknak (Qn)
megfelelő elemi mátrixok szorzataként állíthatók elő, és
    Pn*An*Qn=En
teljesül. (A későbbiekben erre a tételre majd visszatérünk.)


3.2. Inverz mátrix

Legyen A egy n-ed rendű kvadratikus mátrix. Ha létezik olyan B n-ed rendű kvadratikus mátrix, amelyre
    A*B=B*A=E
teljesül, akkor

Egy A=[aij] n-ed rendű reguláris kvadratikus mátrix mindig invertálható, és inverze az a B=A−1, B=[bij] n-ed rendű reguláris kvadratikus mátrix, amelynek általános elemére
bij=Dji /det A
teljesül, ahol Dji az A kvadratikus mátrix j-dik sorához és i-dik oszlopához tartozó algebrai aldetermináns.


Határozzuk meg az alábbi 3-ad rendű A kvadratikus mátrix B=A−1 inverz mátrixát! (vö. Obádovics 2001: 117).

A = 
1 3 4
1 4 3
1 3 3

Ehhez a B=[bij] inverz mátrix minden egyes bij eleméhez meg kell határoznunk

Az A mátrix determinánsa könnyen meghatározható az első sor szerinti kifejtéssel
    det A=1*(4*3−3*3)−3(1*3−3*1)+4*(1*3−4*1)=3−0−4=−1

A Dji algebrai aldetermináns meghatározásához szükségünk van az Aji minorra. Ez például a b11 elem esetén a következő:

A11 = 
4 3
3 3

Ebből D11=(−1)(1+1)*(4*3−3*3)=3, vagyis
    b11=D11 /det A=3/(−1)=−3
adódik.

Hasonlóan járunk el például a b21 elem esetén. Az A12 minor mátrix a következő:

A12 = 
1 3
1 3

Ebből D21=(−1)(2+1)*(1*3−3*1)=0, vagyis
    b21=D21 /det A=0/(−1)=0
adódik.

A fenti módon egyenként kiszámolva a B=A−1 inverz mátrix minden elemét, a következő mátrixot kapjuk:

B=A−1 = 
-3 -3 7
0 1 -1
1 0 -1

Az A és B mátrixokat összeszorozva könnyen ellenőrizhető, hogy
    A*B=B*A=E
teljesül, vagyis B valóban a keresett inverz mátrix.


Jegyezzük meg:
  • Egy A kvadratikus mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha reguláris.
  • Egy A reguláris kvadratikus mátrixnak mindig egyértelműen meghatározható a B=A−1 inverz mátrixa.

Legyenek A és B azonos rendű reguláris kvadratikus mátrixok. Ekkor az inverz mátrixokra teljesülnek az alábbiak:

Korábban már megismertük, most azonban ismételjük át az alábbi tételt:

Speciálisan, ha An n-edrendű reguláris kvadratikus mátrix, akkor léteznek olyan Pn, ill. Qn reguláris mátrixok, amelyek
    – elemi sortranszformációknak (Pn), ill.
    – elemi oszloptranszformációknak (Qn)
megfelelő elemi mátrixok szorzataként állíthatók elő, és
    Pn*An*Qn=En
teljesül.

A tétel két fontos következménye:

A tételek lehetőséget adnak bármely A reguláris kvadratikus mátrix A−1 inverz mátrixának elemi sortranszformációk és elemi oszloptranszformációk segítségével történő meghatározására (vö. Obádovics 2001: 116-118).

Tegyük fel, hogy az A reguláris kvadratikus mátrixra a fenti jelölésekkel
    P*A=E
teljesül, vagyis az A mátrix pusztán elemi sortranszformációk (P) segítségével egységmátrixszá alakítható. Mivel P*E=P nyilvánvalóan teljesül, ezért ha az A mátrixon végrehajtott minden elemi sortranszformációt az E egységmátrixon is egyenként végrehajtjuk, akkor amikor az A mátrix elemi mátrixszá alakul (azaz a P "sortranszformációs" mátrix az inverz mátrixot adja), az egységmátrixon végrehajtott sortranszformációk éppen az inverz mátrixot fogják eredményezni.

De nagyon vigyázzunk:
A fenti módszer csak akkor alkalmazható, ha az A mátrixot kizárólag sortranszformációk (vagy kizárólag oszloptranszformációk) segítségével alakítjuk egységmátrixszá!

Próbáljuk ki a fenti algoritmust 3*3-as és 4*4-es reguláris kvadratikus mátrixok esetén.


3.3. Vektorok lineáris függetlensége és függősége

Az alábbiakban csak oszlopvektorokkal foglalkozunk, de minden fogalom és összefüggés teljesen hasonlóan érvényes sorvektorok esetén is.

A mátrixok lineáris kombinációját fogalmazzuk meg abban a speciális esetben, amikor a lineáris kombinációban szereplő mátrixok oszlopvektorok:

Legyenek
    u1, u2, ..., uq
tetszőleges, 'p'-dimenziójú oszlopvektorok, és
    λ1, λ2, ..., λq
tetszőleges valós számok (q∈ℕ+). A fenti oszlopvektorok és valós számok (skalárok) lineáris kombinációja alatt a
    λ1*u12*u2+...+λq*uq
'p'-dimenziójú oszlopvektort értjük. A λ1, λ2, ..., λq skalárokat a lineáris kombináció együtthatóinak nevezzük.

A 'q' darab u1, u2, ..., uq 'p'-dimenziójú oszlopvektort lineárisan függetlennek nevezzük, ha a belőlük képezhető
    λ1*u12*u2+...+λq*uq
lineáris kombináció akkor és csak akkor zérusvektor, ha a lineáris kombináció együtthatóinak mindegyike zérus, azaz
    λ1=0, λ2=0, ..., λq=0
teljesül. (A fenti jelölések mellett, ha az uj (1≤j≤q) oszlopvektorok lineárisan függetlenek, akkor ebből
    λ1*u12*u2+...+λq*uq=0 λ1=0, λ2=0, ..., λq=0
következik.)

Az oszlopvektorok egy tetszőleges rendszerét lineárisan függetlennek nevezzük, ha a vektorrendszert alkotó oszlopvektorok lineárisan függetlenek.

A 'q' darab u1, u2, ..., uq 'p'-dimenziójú oszlopvektor lineárisan összefüggő (röviden lineárisan függő), ha az oszlopvektorok nem lineárisan függetlenek. (A fenti jelölések mellett, ha az uj (1≤j≤q) oszlopvektorok lineárisan összefüggők, akkor léteznek olyan λ1, λ2, ..., λq skalárok, amelyek közül legalább az egyik nem 0, és amelyekre λ1*u12*u2+...+λq*uq=0 teljesül.)

Az oszlopvektorok egy tetszőleges rendszerét lineárisan összefüggőnek nevezzük, ha a vektorrendszert alkotó oszlopvektorok lineárisan összefüggők.

A 'q' darab u1, u2, ..., uq 'p'-dimenziójú oszlopvektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha van közöttük olyan uk oszlopvektor, amely kifejezhető a többi oszlopvektor lineáris kombinációjaként, azaz
    uk = Σ(j=1; j≤q; j→j+1,j≠k) ξj*uj
teljesül adott ξj∈ℝ (1≤j≤q, jk) valós számok esetén.

Az oszlopvektorok egy rendszerének lineáris függősége, ill. függetlensége szoros kapcsolatban áll az oszlopvektorokból képezhető mátrix rangjával és determinánsával.

Például érvényesek a következő állítások:

Ezek után fogalmazzuk meg 'n' dimenziós oszlopvektorok egy 'n' elemből álló rendszerére a vektorok lineáris függetlenségének (és függőségének) a feltételét.

Legyen u1, u2, ..., un 'n'-dimenziós oszlopvektorok egy 'n' elemből álló rendszere és
An = 
u1 u2 ... un
az u1, u2, ..., un oszlopvektorokból képezhető n-ed rendű kvadratikus mátrix. Ekkor
  • az u1, u2, ..., un oszlopvektorok akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük képezhető A mátrix rangja 'n', vagyis az A mátrix reguláris (azaz det A≠0 teljesül). (vö. Selényi-Szendrei 1969: 148-149; Farkas-Farkasné 2001: 113)
  • az u1, u2, ..., un oszlopvektorok akkor és csak akkor lineárisan összefüggők, ha a belőlük képezhető A mátrix rangja kisebb, mint 'n', vagyis az A mátrix szinguláris (azaz det A=0 teljesül). (vö. Obádovics 2001: 142)

A fentieket általánosíthatjuk az oszlopvektorok egy olyan rendszerére, amely 'q' darab 'p' dimenziós vektorból áll.

Legyenek
    u1, u2, ..., uq
'p'-dimenziós oszlopvektorok, és képezzük belőlük az
    A=[u1, u2, ..., uq]
p*q típusú mátrixot. Ekkor teljesülnek az alábbiak:

(1) Az uj (1≤j≤q) oszlopvektorok akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük képezhető A mátrix rangja megegyezik az oszlopvektorok számával (q), vagyis r(A)=q teljesül (vö. Obádovics 2001: 138-139; Farkas-Farkasné 2001: 111).

Az uj (1≤j≤q) oszlopvektorok akkor és csak akkor lineárisan összefüggők, ha a belőlük képezhető A mátrix rangja kisebb, mint az oszlopvektorok száma (q), vagyis r(A)<q teljesül (vö. Obádovics 2001: 175).

(2) A 'p' dimenziós uj (1≤j≤q) vektorokból álló vektorrendszerben legfeljebb 'p' darab lineárisan független vektor lehet.

A fenti jelölésekkel r(A)≤min(p,q) ⇒ r(A)≤p mindig teljesül. Ezért ha az uj (1≤j≤q) 'p'-dimenziós oszlopvektorok lineárisan függetlenek, akkor ebből r(A)=q ⇒ q≤p következik (vagyis a lineárisan független vektorok száma nem lehet nagyobb, mint a vektorok dimenziója).

Definiáljuk ezek után a p-dimenziós oszlopvektorok egy 'q' elemből álló rendszerének a rangját.

Az u1, u2, ..., uq p-dimenziós oszlopvektorokból álló vektorrendszer rangja alatt a vektorrendszerből kiválasztható lineárisan független vektorok maximális számát értjük.

Egy mátrix rangja megegyezik a mátrix oszlopvektoraiból álló vektorrendszer rangjával (Obádovics 2001: 138-139).


Végezetül foglaljuk össze a fontosabb összefüggéseket abban az esetben, ha An egy n-edrendű kvadratikus mátrix.

(1) Ha A reguláris, az alábbi feltételek ekvivalensek (vö. Freud 2014: 48-49):
A reguláris.
– det A≠0.
A invertálható, azaz létezik az A−1 inverz mátrix.
– r(A)=n.
A oszlopvektorai lineárisan függetlenek.
A sorvektorai lineárisan függetlenek.

(2) Ha A szinguláris, alábbi feltételek ekvivalensek:
A szinguláris.
– det A=0.
– az A mátrix nem invertálható.
– r(A)<n.
A oszlopvektorai lineárisan összefüggők.
A sorvektorai lineárisan összefüggők.


4. Lineáris egyenletrendszerek

Egy lineáris egyenletrendszer általános alakja a következő:

a11*x1+a12*x2+...+a1q*xq=b1

a21*x1+a22*x2+...+a2q*xq=b2

.....

ap1*x1+ap2*x2+...+apq*xq=bp

A fenti lineáris egyenletrendszer 'p' darab egyenletből áll, és 'q' darab ismeretlent tartalmaz.

Az egyenletekben szereplő

Egy lineáris egyenletrendszer esetén képezzünk

Ezekkel a jelölésekkel egy lineáris egyenletrendszert mátrixalakban
A*x=b
módon jelölhetünk.

Ha az Apq együtthatómátrixot az uj (1≤j≤q) p-dimenziós oszlopvektorok segítségével adjuk meg, azaz
    A=[u1, u2, ..., uq]
teljesül, akkor az A*x=b alakú lineáris egyenletrendszer
Σ(j=1; j≤q; j→j+1)uj*xj = u1*x1+u2*x2+...+uq*xq=b
alakban is megadható, ahol az
    x1, x2, ..., xq
skalárok a lineáris egyenletrendszer ismeretlenei, és
    b=[bi]
a lineáris egyenletrendszer p-dimenziós konstans oszlopvektora.

Vegyük észre, hogy ebben az alakban az uj oszlopvektoroknak az xj ismeretlenekkel képzett lineáris kombinációja megegyezik a konstans tagokból képzett b konstans vektorral. Tehát a lineáris egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy adott γj (1≤j≤q) valós számokkal (skalárokkal) elő kell állítani a b konstans vektort mint az uj (1≤j≤q) oszlopvektorok lineáris kombinációját.

Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha a konstans vektor kifejezhető az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként.

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixának a
    C=[Ab]=[u1u2, ..., uqb]
p*(q+1) típusú mátrixot nevezzük. A kibővített mátrix segítségével megfogalmazhatjuk a lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának a feltételét, ha 'q' ismeretlenünk van és 'p' egyenletünk:

  1. A lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha r(A)=r(C) teljesül.
    • A fenti állítás ekvivalens azzal, hogy a b konstansvektor lineárisan függ az A együtthatómátrix oszlopvektorainak {u1u2, ..., uq} rendszerétől.
    • Gyakorlati szempontból r(A)=r(C) azt jelenti, hogy ha az A együtthatómátrixot elemi sortranszformációkkal (és szükség esetén oszlopcserékkel) normálalakra hozzuk, és ezzel párhuzamosan a C kibővített mátrixon is végrehajtjuk ugyanezeket az elemi transzformációkat, akkor azokban a sorokban, ahol az A mátrixban nullvektorok szerepelnek, a C mátrix jobb szélső oszlopában is zérus érték szerepel.
  2. A lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van egyértelmű (azaz pontosan egy) megoldása, ha r(A)=r(C)=q teljesül, vagyis az A együtthatómátrix és a C kibővített mátrix független oszlopvektorainak száma megegyezik az ismeretlenek számával.

Megjegyzések:

(1) Mivel az A együtthatómátrix rangja megegyezik az A mátrix oszlopvektorainak rendszerében levő lineárisan független vektorok maximális számával, a lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának feltétele, hogy a konstans vektort hozzávéve az A együtthatómátrix oszlopvektorainak rendszeréhez, a vektorrendszerben levő független vektorok száma (a vektorrendszer rangja) ne változzon, azaz a konstansvektor kifejezhető legyen az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként. A lineáris egyenletrendszer megoldása ezeknek a lineáris kombináció(k)nak a megkeresését jelenti.

(2) Mivel r(A)≤min(p,q)≤p teljesül, ezért r(A)=q teljesülése miatt egy lineáris egyenletrendszernek csak akkor lehet pontosan egy megoldása, ha q≤p teljesül, azaz legalább annyi egyenletünk (p) van, mint ahány ismeretlenünk (q). Ha r(A)=r(C)=r-t a "független" egyenletek számával azonosítjuk (r≤p), akkor a lineáris egyenletrendszer egyértelmű megoldásának feltételét úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a "független" egyenletek száma (r) megegyezik az ismeretlenek (változók) számával (q). Ha minden egyenlet független, akkor ez azt jelenti, hogy az ismeretlenek 'q' száma megegyezik az egyenletek 'p' számával, azaz pontosan annyi független egyenletünk van, ahány változónk. (Azok az egyenletek, amelyek a többi egyenletből levezethetők, egyszerűen elhagyhatók.)

A lineáris egyenletrendszer általános megoldása például az ún. Gauss-eliminációs algoritmus segítségével lehetséges:

Az algoritmus végrehajtása után elhagyjuk az A' transzformált mátrixnak azokat a sorait, amelyek csupa zérusból állnak, majd az egyenleteket "alulról felfelé" megoldjuk úgy, hogy a kapott megoldásokat mindig behelyettesítjük a felsőbb egyenletekbe.

Jegyezzük meg, hogy ha az A együtthatómátrixot "kvázi-egységmátrix" alakra hozzuk (ami a "kvázi-háromszögmátrix" alakból könnyen megtehető), a behelyettesítések jelentősen leegyszerűsödnek, ugyanis a C kibővített mátrix jobb szélső oszlopa az ismeretlenek "alapértékét" tartalmazza (amely pontosan egy megoldás esetén az ismeretlenek értékét, végtelen sok megoldás esetén pedig a kifejezett ismeretlenek értékét adja a határozatlan ismeretlenek zérus értéke mellett).

Az algoritmus egyes lépéseit érdemes a C kibővített mátrixon végezni, amely tartalmazza mind az A együtthatómátrixot, mind a b konstans vektort. Jegyezzük meg, hogy az A mátrixon végrehajtott esetleges oszlopcserék miatt érdemes az x ismeretlen vektort is feltüntetni. A különböző típusú lineáris egyenletrendszerek megoldásának fenti technikáját egy egyszerű webes felületen tetszőleges értékek mellett gyakorolhatjuk.


Például tekintsük az A*x=b mátrixalakban felírt lineáris egyenletrendszert, ahol az együtthatómátrix

A = 
1 1 3
2 5 9
3 2 -4
2 2 6

a konstans mátrix pedig

b = 
5
13
2
10

Az átalakításokhoz készítsük el a C kibővített mátrixot, és írjuk mellé az x ismeretlen vektort:

C = 
1 1 3 5
2 5 9 13
3 2 -4 2
2 2 6 10
x = 
x
y
z

1. lépés: S21(-2), S31(-3), S41(-2) sortranszformációk végrehajtása

C = 
1 1 3 5
0 3 3 3
0 -1 -13 -13
0 0 0 0
x = 
x
y
z

2. lépés: S2(1/3) sortranszformáció végrehajtása

C = 
1 1 3 5
0 1 1 1
0 -1 -13 -13
0 0 0 0
x = 
x
y
z

3. lépés: S32(1) sortranszformáció végrehajtása

C = 
1 1 3 5
0 1 1 1
0 0 -12 -12
0 0 0 0
x = 
x
y
z

4. lépés: S3(-1/12) sortranszformáció végrehajtása

C = 
1 1 3 5
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0
x = 
x
y
z

5. lépés:
– elhagyjuk a 4. sort, mert csupa zérust tartalmaz;
– a 3. egyenletből z=1 következik;
– a 2. egyenletből y+z=1 következik, tehát z=1 miatt y=0 teljesül;
– az 1. egyenletből x+y+3*z=5 következik, tehát y=0 és z=1 miatt x=2 teljesül.

Ha 6. lépésként a harmadik sort kivonjuk a második sorból, y=0 azonnal adódik; ha ezután 7. lépésként a második sort kivonjuk az első sorból és a harmadik sor 3-szorosát kivonjuk az első sorból, x=2 adódik. Jegyezzük meg, hogy miután a 6. és 7. lépéssel a C mátrix C44 minormátrixát egységmátrixszá alakítottuk, a C kibővített mátrix "hozzáadott" oszlopában éppen a lineáris egyenletrendszer megoldásait kaptuk.

Korábban már szó volt arról hogy egy tetszőleges mátrixot sor- és oszloptranszformációk segítségével mindig normálalakra tudunk hozni. A fenti példában figyeljük meg, hogy ha a 4. lépés után kapott C mátrix C44 minormátrixát egységmátrixszá alakítjuk, akkor a C mátrixot innentől már csak oszloptranszformációkkal tudnánk normálalakra hozni, mivel a mátrix negyedik sora zérusvektor. Ha viszont a C mátrix reguláris, akkor a normálalakra hozáshoz elegendő a megfelelő sortranszformációk végrehajtása.

Ellenőrizzük a kapott megoldást:

1 1 3
2 5 9
3 2 -4
2 2 6
 *  
2
0
1
 =  
5
13
2
10

Vagyis a kapott x=2, y=0 és z=1 értékek valóban megoldásai a kiinduló lineáris egyenletrendszernek.


Ha egy lineáris egyenletrendszer konstans vektora zérusvektor, akkor a lineáris egyenletrendszert homogén lineáris egyenletrendszernek nevezzük. (Ennek megfelelően, ha egy lineáris egyenletrendszer konstans vektora nem zérusvektor (azaz b0), inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.)


Például tekintsük az A*x=b mátrixalakban felírt lineáris egyenletrendszert, ahol az együtthatómátrix

A = 
1 1 3
2 5 9

a konstans mátrix pedig

b = 
0
0

Az átalakításokhoz készítsük el a C kibővített mátrixot, és írjuk mellé az x ismeretlen vektort:

C = 
1 1 3 0
2 5 9 0
x = 
x
y
z

1. lépés: S21(-2) sortranszformáció végrehajtása

C = 
1 1 3 0
0 3 3 0
x = 
x
y
z

2. lépés: S2(1/3) sortranszformáció végrehajtása

C = 
1 1 3 0
0 1 1 0
x = 
x
y
z

3. lépés:
– a 2. egyenletből y+z=0 ⇒ y=0−z következik, vagyis ha 'z' tetszőleges valós szám, akkor y=−z teljesül;

– az 1. egyenletből x+y+3*z=0 ⇒ x+y=0−3*z következik; ebbe behelyettesítve az előző egyenletből kapott y=−z összefüggést, x=−2*z adódik.

Ha a 2. lépés után kapott C mátrixot kibővítjük egy [0, 0, 1, z] sorral (ami megfelel egy z=z "triviális" egyenlet hozzáadásának az egyenletrendszerhez), akkor az így kapott 3*4-es mátrix C04 minormátrixát már egységmátrixszá alakíthatjuk:
– ha 4. lépésként a harmadik sort kivonjuk a második sorból, y=−z azonnal adódik;
– ha ezután 5. lépésként a második sort kivonjuk az első sorból és a harmadik sor 3-szorosát kivonjuk az első sorból, x=−2*z adódik.

Ellenőrizzük a kapott megoldást:

1 1 3
2 5 9
 *  
−2*z
−z
z
 =  
0
0

Vagyis a kapott [x=−2*z, y=−z, z=z] értékek megoldásai a kiinduló lineáris egyenletrendszernek (ahol 'z' tetszőleges valós szám, vagyis a lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van).


Végezetül vizsgáljuk meg a lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságát abban a speciális esetben, ha a lineáris egyenletrendszer A együtthatómátrixa n-ed rendű kvadratikus mátrix (vagyis az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik).

(1) Ha egy lineáris egyenletrendszer A együtthatómátrixa kvadratikus mátrix, akkor a lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van egyértelmű (pontosan egy) megoldása, ha az A mátrix reguláris.

Ha a lineáris egyenletrendszer A együtthatómátrixa reguláris, akkor a lineáris egyenletrendszer megoldása
    x=A−1b
módon kapható meg.

Ha felhasználjuk az inverz mátrix kiszámítására vonatkozó korábban megismert képletet, valamint a determináns sorai, ill. (esetünkben) oszlopai szerinti kifejtésének szabályát, akkor a lineáris egyenletrendszer megoldására vonatkozó x=A−1b képlet
    xi=det Bi /det A (1≤i≤n)
módon is felírható, ahol a

a Cramer-szabály képlete

mátrix az A együtthatómátrixból kapható úgy, hogy a mátrix i-dik oszlopát a b konstans vektorral helyettesítjük (vö. Obádovics 2001: 158-159). Ezt a képletet a lineáris egyenletrendszerek megoldására vonatkozó Cramer-szabálynak nevezzük.

Ha a b konstans vektor zérusvektor, vagyis b=0 teljesül (azaz a lineáris egyenletrendszer homogén), és az A együtthatómátrix reguláris, akkor a lineáris egyenletrendszer egyetlen megoldása a triviális megoldás, amikor x=0 teljesül (azaz az ismeretlen vektor zérusvektor).

(2) Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer A együtthatómátrixa kvadratikus mátrix, akkor a homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van a triviálistól különböző megoldása, ha az A mátrix szinguláris.


5.1. Lineáris terek

Az előzőekben megismertük az oszlopvektorok (és sorvektorok) fogalmát és legfontosabb tulajdonságait. Foglaljuk össze ezeket.

Most általánosítsuk az eddig tanultakat. A továbbiakban a vektorokra a következő jelöléseket fogjuk használni:

'n' dimenziós oszlopvektorok x=[x1, x2, ..., xn]T
'n' dimenziós sorvektorok xT=[x1, x2, ..., xn]
'n' dimenziós vektorok
"ha a sor- vagy oszlopvektor megkülönböztetésnek nincs jelentősége" (vö. Obádovics 2001: 170)
x=(x1, x2, ..., xn)
A valós számtest felett értelmezett 'n' dimenziós vektorokat definiálhatjuk úgy is, mint az xi∈ℝ (1≤i≤n) valós számokból képzett rendezett elem n-eseket (vagy szám n-eseket). Ebben az értelemben a vektorok a valós számok halmazának önmagával képzett ℝn direkt vagy Descartes-szorzatának az elemei.
  • Ha a vektorokat szám n-esekként értelmezzük, a vektorok komponenseit koordinátáknak is nevezzük.
  • Ha n=2, akkor síkbeli vektorokról, ha n=3, akkor térbeli vektorokról beszélhetünk, és ezeket Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázolhatjuk.

A valós számok ℝ teste felett értelmezett n-komponensű (n-dimenziós) vektorok V halmazát valós lineáris vektortérnek (vagy egyszerűen lineáris térnek, ill. vektortérnek) nevezzük. (A valós lineáris vektortérre használhatjuk az ℝn jelölést is.)

A valós számok ℝ teste felett értelmezett V lineáris vektortéren értelmezünk két műveletet, a vektorok összeadását és a vektorok skalárral való szorzását. Ezekre a műveletekre teljesülnek az alábbi tulajdonságok.

Legyenek uvw∈V tetszőleges vektorok és a, b, c∈ℝ tetszőleges valós számok.

I. az összeadás tulajdonságai

  • kommutativitás: u+v=v+u
  • asszociativitás: (u+v)+w=u+(v+w)
  • zéruselem vagy nullelem (0) létezése: létezik egy olyan 0∈V elem, amelyre u+0=u teljesül
  • additív inverz létezése: létezik olyan (−u)∈V elem, amelyre u+(−u)=0 teljesül

II. a skalárral való szorzás tulajdonságai

  • asszociativitás: a*(b*u)=(a*b)*u
  • egységelem (1) létezése: létezik egy olyan 1∈ℝ elem, amelyre 1*u=u teljesül
  • disztributivitás:
        a*(u+v)=a*u+a*v
        (a+b)*u=a*u+b*u

Megjegyzés: ha 0∈ℝ az ℝ zéruseleme, továbbá −1∈ℝ az egységelem (1) additív inverze, akkor tetszőleges u∈V vektor esetén 0*u=0, valamint (−u)=(−1)*u teljesül.

A valós számok ℝ teste felett értelmezett V lineáris teret n-dimenziósnak nevezzük, ha
– létezik benne 'n' darab lineárisan független vektor, de
– minden olyan V-beli vektorrendszer, amelyben 'n'-nél több vektor van, lineárisan összefüggő.

A valós számok ℝ teste felett értelmezett n-dimenziós V lineáris teret Vn(ℝ) módon jelöljük.

A Vn(ℝ) lineáris tér bázisának nevezünk bármely 'n' elemű Vn(ℝ)-beli lineárisan független vektorokból álló vektorrendszert. (Mivel egy 'n' elemű lineárisan független vektorrendszer rangja 'n', ezért bármely Vn(ℝ)-beli bázis rangja 'n'.)

Az 'n' dimenziós
    e1=[1, 0, ..., 0]T
    e2=[0, 1, ..., 0]T
    ...
    en=[0, 0, ..., 1]T
egységvektorok a Vn(ℝ) lineáris tér egy bázisát alkotják (ez az ún. természetes bázis.)
Jegyezzük meg, hogy az egységvektorokból mint oszlopvektorokból alkotott
    E=[e1, e2, ..., en]
mátrix az n*n típusú (n-ed rendű) En egységmátrix.

A Vn(ℝ) lineáris tér egy H⊆Vn(ℝ) részhalmazát a Vn(ℝ) lineáris tér alterének nevezzük, ha a H halmaz a Vn(ℝ) lineáris téren értelmezett műveletekre nézve maga is vektorteret alkot.

Ha H⊆Vn(ℝ) a Vn(ℝ) lineáris tér egy altere, akkor 0∈H nyilvánvalóan teljesül.

Legyenek u1, u2, ..., uq tetszőleges Vn(ℝ)-beli vektorok, és legyen
<u1, u2, ..., uq> ⇋ {λ1*u12*u2+...+λq*uq | λ1, λ2, ..., λq∈ℝ}
az uj (1≤j≤q) vektorok összes lineáris kombinációjának halmaza.

Legyen az u1u2, ..., un vektorrendszer a Vn(ℝ) lineáris tér egy bázisa. Ekkor a Vn(ℝ) lineáris tér bármely vektora egyértelműen előállítható az uj (1≤j≤n) bázisvektorok lineáris kombinációjaként. Az előző jelöléssel ez <u1u2, ..., un>=Vn(ℝ) módon írható le. Általánosan megfogalmazva, a Vn(ℝ) lineáris tér megegyezik egy tetszőleges bázisa által generált altérrel.

Legyen az u1u2, ..., un∈Vn(ℝ) vektorokból álló vektorrendszer a Vn(ℝ) lineáris tér egy bázisa, és
    U=[u1, u2, ..., un]
az uj (1≤j≤n) bázisvektorokból mint oszlopvektorokból álló mátrix. (Mivel a bázisvektorok lineárisan függetlenek, az U mátrix reguláris, vagyis létezik az U−1 inverz mátrix.)
Legyen továbbá x∈Vn(ℝ) egy tetszőleges vektor, ami az uj (1≤j≤n) bázisvektorokkal
    x=Σ(j=1;j≤n;j→j+1)λj*uj1*u12*u2+...+λn*un
módon állítható elő.

Ha egy természetes bázisban adott egy x vektor és egy n-edrendű reguláris U mátrix, akkor a megadott x vektor U-bázisra vonatkozó koordinátái az
xU=U−1*x
összefüggés alapján kaphatók meg.

Jegyezzük meg, hogy

(1) egy tetszőleges Vn(ℝ)-beli
    x=[x1, x2, ..., xn]T
vektor az ej (1≤j≤n) egységvektorokkal
    x=Σ(j=1;j≤n;j→j+1)xj*ej=x1*e1+x2*e2+...+xn*en
módon állítható elő. Tehát az x vektor komponensei megegyeznek az egységvektorokból álló természetes bázisra (az előző jelölésekkel az E-bázisra) vonatkozó koordinátáival, vagyis
    xE=[x1, x2, ..., xn]T
teljesül.

(2) az U bázis uj (1≤j≤n) bázisvektorai
    u1=1*u1+0*u2+...+0*un
    u2=0*u1+1*u2+...+0*un
    ...
    un=0*u1+0*u2+...+1*un
módon állíthatók elő. Tehát az U bázis uj (1≤j≤n) bázisvektorainak koordinátái az U bázisban az egységvektoroknak felelnek meg, vagyis
    u1U=[1, 0, ..., 0]T
    u2U=[0, 1, ..., 0]T
    ...
    unU=[0, 0, ..., 1]T
teljesül.

(3) Ha a Vn(ℝ) lineáris tér minden vektorát előállítjuk egy U bázisban, akkor ún. bázistranszformációt hajtunk végre.

A fenti fogalmakat és összefüggéseket alkalmazhatjuk például a lineáris egyenletrendszerek megoldása során. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az együtthatómátrix (A) n-edrendű reguláris mátrix.

A feladat tehát a következő: ha adott egy n-edrendű reguláris (A) mátrix, akkor a természetes E bázisról az A bázisra áttérve (azaz egy bázistranszformációt elvégezve) határozzuk meg egy tetszőleges (a) vektor A-bázisra vonatkozó kooordinátáit.


Tekintsük példaként azt az U bázistranszformációt, amikor a három dimenziós V3(ℝ) lineáris térben a természetes E bázis első vektorát (e1) kicseréljük egy
    c=[c1, c2, c3]T
vektorra (ahol c1≠0), miközben az E bázis másik két bázisvektora változatlan marad. Az ilyen típusú bázistranszformációt ún. elemi bázistranszformációnak nevezzük, és azt mondjuk, hogy a c vektort "bevonjuk" a bázisba.

A bázistranszformáció mátrixa:

U = 
c1 0 0
c2 1 0
c3 0 1

Az U mátrix inverz mátrixa:

U−1 = 
1/c1 0 0
−c2/c1 1 0
−c3/c1 0 1

Igazoljuk, hogy a fenti mátrixok szorzata egységmátrix (a 0-val való szorzást nem jelöljük):

U*U−1 = 
c1 0 0
c2 1 0
c3 0 1
1/c1 0 0
−c2/c1 1 0
−c3/c1 0 1
c1*(1/c1)=1  0 0
(c2/c1)−(c2/c1)=0  1*1=1  0
(c3/c1)−(c3/c1)=0  0 1*1=1 

Ha egy tetszőleges a=[a1, a2, a3]T vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáit szeretnénk megkapni, akkor aU=U−1*a miatt
    aU1=(1/c1)*a1=a1/c1
    aU2=(−c2/c1)*a1+a2=(c1*a2−c2*a1)/c1
    aU3=(−c3/c1)*a1+a3=(c1*a3−c3*a1)/c1
teljesül.

Vegyük észre, hogy ha a c és a vektorokat (és esetleg még további vektorokat) oszlopvektorokként egymás mellé írjuk, a korábban már megismert elemi sortranszformációkat hajtjuk végre.

Ha a c vektort a második bázisvektor (e2) helyett vonjuk be a bázisba, akkor az inverz mátrix

U−1 = 
1 −c1/c2 0
0 1/c2 0
0 −c3/c2 1

alakú, tehát a fenti képletek a következők lesznek:
    aU1=a1+(−c1/c2)*a2=(c2*a1−c1*a2)/c2
    aU2=(1/c2)*a2=a2/c2
    aU3=(−c3/c2)*a2+a3=(c2*a3−c3*a2)/c2
Hasonló képletekhez jutunk, ha a c vektort a harmadik bázisvektor (e3) helyett vonjuk be a bázisba stb.

Egy adott c vektor bevonása után egy tetszőleges a vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáit kaphatjuk meg
– 3 elemű bázis esetén az alábbi program segítségével,
– 4 elemű bázis esetén pedig az alábbi program segítségével.

Például legyen
    c=[c1, c2, c3]T=[1, −2, 1]T
és határozzuk meg az
    a=[−3, 0, 2]T
vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáit.

c a cU aU sortranszformáció
c 1 -3 1 -3 S1(1)
e2 -2 0 0 -6 S21(2)
e3 1 2 0 5 S31(-1)

Igazoljuk a fentieket az aU=U−1*a összefüggés alapján:

aU = 
1 0 0
2 1 0
−1 0 1
−3
0
2
−3
−6
5

Ha egy adott vektorrendszer minden vektorának meghatározzuk az U-bázisra vonatkozó koordinátáit, az eljárást tovább folytathatjuk további bázisvektorok egyenként történő bevonásával a bázisba (feltéve, hogy a bevont vektornak a "kicserélendő" bázisvektorra vonatkozó koordinátája, az ún. generáló elem nem zérus). Vonjuk be például egy 'n' elemű 'A' bázis bázisvektorait egyenként a bázisba. Ezzel a módszerrel bármilyen bázistranszformáció 'n' lépésben végrehajtható elemi bázistranszformációk egymás utáni végrehajtásával. (vö. Bíró-Vincze 2010: 261-270)


Például legyen A*x=b egy inhomogén lineáris egyenletrendszer (b0), amelynek együtthatómátrixa reguláris kvadratikus mátrix. Ekkor az egyenletrendszer megoldását a b konstans vektor A-bázisra vonatkozó koordinátái adják, amelyek
    x=bA=A−1*b
módon számíthatók ki. Ezt elemi bázistranszformációk segítségével úgy kaphatjuk meg, hogy egymás után bevonjuk az együtthatómátrix a1, a2, ..., an oszlopvektorait a bázisba.

Legyen az A együtthatómátrix és a b konstans vektor a következő (vö. Bíró-Vincze 2010: 267-268):

A = 
1 1 -1 0
-1 0 1 1
0 2 -3 -2
2 -1 0 2
b = 
7
-2
8
5

1. lépés: az a3 vektor bevonása a bázisba a második bázisvektor helyett (S2(1), S12(1), S22(3) sortranszformációk végrehajtása)

A(1) = 
0 1 0 1
-1 0 1 1
-3 2 0 1
2 -1 0 2
b(1) = 
5
-2
2
5

2. lépés: az a2 vektor bevonása a bázisba az első bázisvektor helyett (S1(1), S31(-2), S41(1) sortranszformációk végrehajtása)

A(2) = 
0 1 0 1
-1 0 1 1
-3 0 0 -1
2 0 0 3
b(2) = 
5
-2
-8
10

3. lépés: az a4 vektor bevonása a bázisba a harmadik bázisvektor helyett (S3(-1), S13(-1), S23(-1), S43(-3) sortranszformációk végrehajtása)

A(3) = 
-3 1 0 0
-4 0 1 0
3 0 0 1
-7 0 0 0
b(3) = 
-3
-10
8
-14

4. lépés: az a1 vektor bevonása a bázisba a negyedik bázisvektor helyett (S4(-7), S14(3), S24(4), S34(-3) sortranszformációk végrehajtása)

A(4) = 
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
b(4) = 
3
-2
2
2

5. lépés: Mivel a bázisvektorok sorrendje az utolsó lépés után
    A(4)=[a2a3a4a1]
ezért a b konstans vektor előállítása az A bázisban
x=bA=3*a2+(-2)*a3+2*a4+2*a1
vagyis az egyenletrendszer megoldása
x1=2
x2=3
x3=-2
x4=2
amit az eredeti egyenletbe helyettesítve könnyen ellenőrizhetünk.

Az egyenletrendszer fenti megoldását közvetlenül megkaphatjuk az egyenletrendszer A(4)*x=b(4) alakjából, ha az A(4) mátrix soraival egymás után skalárisan megszorozzuk az x=[x1, x2, x3, x4]T oszlopvektort.


6.1. Bázistranszformációk

(1) Legyen az u1u2, ..., un∈Vn(ℝ) vektorokból álló vektorrendszer a Vn(ℝ) lineáris tér egy bázisa, és
    U=[u1, u2, ..., un]
az uj (1≤j≤n) bázisvektorokból mint oszlopvektorokból álló mátrix.

A Vn(ℝ) lineáris tér minden x∈Vn(ℝ) vektora egyértelműen előállítható egy U bázisban a bázisvektorok lineáris kombinációjaként. (A bázisvektorok lineáris kombinációinak együtthatói adják az x vektor U-bázisra vonatkozó xU koordinátáit.)

A Vn(ℝ)-beli vektorok előállítása az U bázisban az uj (1≤j≤n) bázisvektorok lineáris kombinációjaként minden vektorhoz egyértelműen hozzárendeli a vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáit. Ez leképezi a vektorok Vn(ℝ) lineáris terét a valós számokból álló szám n-esek ℝn lineáris terére. Erre a
    φU : Vn(ℝ)→ℝn
leképezésre teljesülnek a következők:

  • A φU leképezés bijektív, vagyis φU injektív (kölcsönösen egyértelmű) és szürjektív leképezést valósít meg a Vn(ℝ)-beli vektorok, és a valós szám n-esek mint a vektorok U-bázisra vonatkozó kooordinátái között.
  • A φU leképezés a vektorok összeadására, és a vektorok skalárral való szorzására nézve művelettartó, azaz ha xy∈Vn(ℝ) tetszőleges vektorok és λ∈ℝ tetszőleges valós szám, akkor
        φU(x+y)=φU(x)+φU(y) (a φU leképezés additív) és
        φU(λ*x)=λ*φU(x) (a φU leképezés homogén)
    teljesül. Az ilyen tulajdonságú leképezéseket lineáris leképezéseknek nevezzük.
  • A φU leképezés tehát bijektív és művelettartó (lineáris). Az ilyen tulajdonságú leképezéseket izomorf leképezéseknek nevezzük.

A Vn(ℝ) lineáris tér egy tetszőleges x∈Vn(ℝ) vektorának U-bázisra vonatkozó koordinátái xU=U−1*x módon kaphatóak meg. (A fentebb megadott φU leképezéssel ez xUU(x) formában adható meg.)

A fenti előállításban az x vektort, az uj (1≤j≤n) bázisvektorokat, valamint a bázisvektorokból mint oszlopvektorokból álló U mátrixot a Vn(ℝ) lineáris tér természetes E bázisára vonatkozó koordinátákkal adtuk meg, és így tértünk át az U bázisra vonatkozó xU koordinátákra (és ezáltal egy E→U bázistranszformációt hajtottunk végre). Ennek megfelelően a természetes E bázisban megadott x vektort x=xE módon, a bázisvektorokat uj=ujE (1≤j≤n) módon, a bázsitranszformáció mátrixát pedig U=UE módon is jelölhetjük. Ebben a formában az E→U bázistranszformáció végrehajtása után az xE vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáit megadó képlet xU=UE−1*xE formában is írható.

Ezek után vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az U bázisról a W bázisra térünk át, vagyis egy U→W bázistranszformációt hajtunk végre.

(2) Legyen WU a W bázis wj (1≤j≤n) bázisvektorainak mint oszlopvektoroknak az U-bázisra vonatkozó wjU koordinátáiból képzett mátrix. Ekkor a következő szabály alkalmazható:

Vegyük észre hogy az E→U és az U→W bázistramszformációkra vonatkozó képletek formailag ugyanolyan szerkezetűek.

Egy bázistranszformációt végrehajtva egy tetszőleges vektor koordinátái az "új" bázisban úgy számíthatók ki, hogy a vektor "régi" bázisban megadott koordinátáit balról szorozzuk a bázistranszformáció "régi" bázisban megadott mátrixának az inverzével.

Mivel egy tetszőleges kvadratikus mátrixot jobbról a j-dik egységvektorral (mint oszlopvektorral) szorozva a mátrix j-dik oszlopvektorát kapjuk, a bázistranszformációra vonatkozó képlet alapján megállapíthatjuk egy U→W bázistranszformáció esetén a bázistranszformáció mátrixának (W) és a mátrix inverzének (W−1) az értelmezését:


(1) Legyen például az U mátrix és az x vektor a következő:

U = 
1 1 -1 0
-1 0 1 1
0 2 -3 -2
2 -1 0 2
x = 
7
-2
8
5

Az u1u2, ..., un∈Vn(ℝ) oszlopvektorok lineárisan függetlenek, mert az U mátrix determinánsa nem zérus (det U=−7).

Az U mátrix inverz mátrixa:

U−1 = 1/7 * 
5 -4 -3 -1
8 2 -2 -3
6 -2 -5 -4
-1 5 2 3

Az U mátrix inverz mátrixa és az x vektor U-bázisra vonatkozó xU koordinátái az xU=U−1*x képlet alapján:

xU= 1/7 * 
5 -4 -3 -1
8 2 -2 -3
6 -2 -5 -4
-1 5 2 3
7
-2
8
5
14/7=2
21/7=3
-14/7=-2
14/7=2

Jegyezzük meg, hogy a fenti módon előállított xU oszlopvektor éppen az U*xU=x inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldása.


(2) Oldjuk meg az előző feladatot elemi bázistranszformációk egymás utáni végrehajtásával.

E, U=UE , x=xE
 E  u1 u2 u3 u4 xU x
e1 1 1 -1 0 7
e2 -1 0 1 1 -2
e3 0 2 -3 -2 8
e4 2 -1 0 2 5
xU1*u1+ xU2*u2+ xU3*u3+ xU4*u4= x

Most áttérünk a W bázisra (E→W).

W = 
1 0 0 0
-1 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1
W−1 = 
1 0 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
-2 0 0 1

A transzformációs képletek az előzőeknek megfelelően:

E→W, UW , xW
 W  u1W u2W u3W u4W xU xW
u1 1 1 -1 0 7
e2 0 1 0 1 5
e3 0 2 -3 -2 8
e4 0 -3 2 2 -9
 

Most áttérünk az S bázisra (W→S).

SW = 
1 1 0 0
0 1 0 0
0 2 1 0
0 -3 0 1
SW−1 = 
1 -1 0 0
0 1 0 0
0 -2 1 0
0 3 0 1

A transzformációs képletek az előzőeknek megfelelően:

W→S, US , xS
 S  u1S u2S u3S u4S xU xS
u1 1 0 -1 -1 2
u2 0 1 0 1 5
e3 0 0 -3 -4 -2
e4 0 0 2 5 6
 

Most áttérünk a T bázisra (S→T).

TS = 
1 0 -1 0
0 1 0 0
0 0 -3 0
0 0 2 1
TS−1 = 1/3* 
3 0 -1 0
0 3 0 0
0 0 -1 0
0 0 2 3

A transzformációs képletek az előzőeknek megfelelően:

S→T, UT , xT
 T  u1T u2T u3T u4T xU xT
u1 1 0 0 1/3 8/3
u2 0 1 0 3/3 15/3
u3 0 0 1 4/3 2/3
e4 0 0 0 7/3 14/3
 

Végül áttérünk az U bázisra (T→U).

UT = 
1 0 0 1/3
0 1 0 3/3
0 0 1 4/3
0 0 0 7/3
UT−1 = 1/21* 
21 0 0 -3
0 21 0 -9
0 0 21 -12
0 0 0 9

A transzformációs képletek az előzőeknek megfelelően:

T→U, UU , xU
 U  u1U u2U u3U u4U xU xU
u1 1 0 0 0 2 126/63=2
u2 0 1 0 0 3 189/63=3
u3 0 0 1 0 -2 -126/63=-2
u4 0 0 0 1 2 126/63=2
2*u1+ 3*u2+ (-2)*u3+ 2*u4= x

Megjegyzések:
– az inverz mátrixok kiszámításakor a korábban már megismert mátrixtranszformáló és szorzó program 4*4-es mátrixokkal elkészített változatát használtuk;
tipp: az elemi sortranszformációk kiválasztásakor próbáljuk meg az osztásokat lehetőleg elkerülni a megfelelő sorok adott számmal való szorzásával;
tipp: ha az átalakítandó A mátrix főátlójában ugyanazok a számok (pl. 'n') állnak, a transzformált B mátrixban a mátrix inverzének 1/n szeresét kapjuk;
– az utolsó oszlop kiszámításakor a korábban már megismert elemi bázistranszformációkat kiszámító program 4*1-es mátrixokkal elkészített változatát használtuk.


6.2. Euklideszi terek

Legyen Vn(ℝ) n-dimenziós valós lineáris vektortér. Ha a Vn(ℝ)-beli vektorok közt értelmezzük a skaláris szorzás műveletét, a lineáris teret n-dimenziós valós euklideszi térnek nevezzük és En(ℝ) módon jelöljük.

Az n-dimenziós valós En(ℝ) euklideszi téren a vektorok összeadása és a vektorok skalárral való szorzása mellett harmadik műveletként értelmezzük a vektorok skaláris szorzatát. Erre teljesülnek az alábbi tulajdonságok.

Legyenek uvw∈En(ℝ) tetszőleges vektorok és a, b, c∈ℝ tetszőleges valós számok.

III. a skaláris szorzás tulajdonságai

  • kommutativitás: u*v=v*u
  • skalárral való szorzás: a*(u*v)=(a*u)*v=u*(a*v)
  • disztributivitás: u*(v+w)=u*v+u*w
  • szorzás nullvektorral: ha u=0, akkor u*v=0
  • vektor skaláris szorzata önmagával: ha u0, akkor u*u>0

Legyen x∈En(ℝ) egy tetszőleges vektor. Az x vektor hossza (vagy normája, abszolút értéke) alatt az
|x|=√x*x
valós számot értjük. Ha a természetes E bázisban x=(x1, x2, ..., xn), akkor az x vektor hossza
|x|=√(x12+x22+...+xn2)
módon számítható ki.

Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy En(ℝ) elemei nem feltétlenül vektorok (például szám n-esek stb.), akkor egy tetszőleges x∈En(ℝ) elem normáját ‖x‖ módon jelöljük.

Azokat az x∈En(ℝ) vektorokat, amelyek hossza 1 (azaz |x|=1 teljesül) egységvektoroknak nevezzük.

Legyenek xy∈En(ℝ) tetszőleges vektorok. Ekkor teljesülnek a következő egyenlőtlenségek:

(1) Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz (CBS) egyenlőtlenség:

    |x*y| ≤ |x|*|y|

(2) háromszög-egyenlőtlenség:

    |x+y| ≤ |x|+|y|

Az xy∈En(ℝ) vektorok távolsága alatt a d=|xy| nemnegatív valós számot értjük. Ha a természetes E bázisban
    x=(x1, x2, ..., xn) és
    y=(y1, y2, ..., yn),
akkor az x és y vektorok távolsága
|xy|=√(x1−y1)2+(x2−y2)2+...+(xn−yn2)
módon számítható ki.

Legyen az u1u2, ..., un∈Vn(ℝ) vektorokból álló vektorrendszer az En(ℝ) euklideszi tér egy bázisa, és
    U=[u1, u2, ..., un]
az uj (1≤j≤n) bázisvektorokból mint oszlopvektorokból álló mátrix.

Képezzük a G=[gij] n*n-es mátrix általános elemét
    gij=ui*uj (1≤i,j≤n)
módon. Az így kapott G mátrixot Gram-féle mátrixnak nevezzük.

Mivel a skaláris szorzat esetében mindig feltételezzük, hogy az első tényező sormátrix, a másik tényező pedig oszlopmátrix, a Gram-féle mátrix általános eleme
    gij=uiT*uj= Σ(1≤k≤n)ukiT*ukj= Σ(1≤k≤n)uik*ukj (1≤i,j≤n)
módon is írható (mivel az uj vektor az U mátrix oszlopvektora, ennek k-dik komponense az U mátrix ukj eleme). A G=[gij] mátrix tehát a mátrixok szorzásának definíciója miatt
    G=UT*U
alakban is felírható.

Az En(ℝ) valós euklideszi térben a Gram-féle mátrix a skaláris szorzás kommutativitása miatt mindig szimmetrikus mátrix. Mivel az uj (1≤j≤n) bázisvektorok lineárisan független vektorrendszert alkotnak, a belőlük képzett Gram-féle mátrix determinánsa zérustól különböző, azaz det G≠0 teljesül (vö. Obádovics 2001: 216).

Legyenek az xy∈En(ℝ) tetszőleges vektorok U-bázisra vonatkozó koordinátái
    xU=(x1, x2, ..., xn) és
    yU=(y1, y2, ..., yn).
Ekkor az x és y vektorok skaláris szorzata
x*y = Σ(1≤i,j≤n) gij*xi*yj
módon számítható ki, ahol G=[gij] a Gram-féle mátrix általános eleme.

A fentieknek megfelelően az U bázisban két vektor skaláris szorzata mátrixos alakban
    x*y=xT*G*y
módon, az x vektor hossza pedig
    |x|2=xT*G*x
módon adható meg.

Az xy∈En(ℝ) vektorokat ortogonális ("merőleges") vektoroknak nevezzük, ha skaláris szorzatuk zérus, azaz
    x*y=y*x=0
teljesül.

Vezessük be az ún. Kronecker-féle δij (1≤i,j≤n) szimbólumot a következőképpen:

δij = { 1 ha i=j
0 ha i≠j

Az En(ℝ) euklideszi térben különösen fontosak azok a bázisok, amelyeknek a bázisvektorai páronként ortogonálisak.

Legyen az ε1ε2, ..., εn∈En(ℝ) bázisvektorokból álló Θ vektorrendszer a En(ℝ) euklideszi tér egy tetszőleges ortonormált bázisa, továbbá xy∈En(ℝ) tetszőleges vektorok, amelyek Θ-bázisra vonatkozó koordinátái
    xΘ=(x1, x2, ..., xn) és
    yΘ=(y1, y2, ..., yn).

Ekkor teljesülnek az alábbiak:

Legyen az ε1ε2, ..., εn∈En(ℝ) bázisvektorokból álló Θ vektorrendszer a En(ℝ) euklideszi tér egy tetszőleges ortonormált bázisa. Ekkor az εj (1≤j≤n) bázisvektorokból mint oszlopvektorokból képzett
    Θ = [ε1ε2, ..., εn]
mátrixra teljesül, hogy
    ΘT*Θ = En
ahol En az n-ed rendű egységmátrix. Az ilyen tulajdonságú mátrixokat ortogonális mátrixoknak nevezzük.

A gyakorlatban különösen fontosak azok a bázistranszformációk, amikor egy ortonormált bázisról egy másik ortonormált bázisra térünk át. Ilyen esetben ortogonális bázistranszformációkról beszélünk.

Másképpen megfogalmazva: ha az x és y vektoroknak az U-bázisra vonatkozó koordinátái xU és yU, akkor x*y=xU*yU (és ebből következően x*x=xU*xU) pontosan akkor teljesül, ha az U bázis ortonormált bázis, vagyis a bázistranszformáció U mátrixa ortogonális.


(→ következő témakörök)


Irodalom- és forrásjegyzék

Bíró Fatime – Vincze Szilvia 2010. A gazdasági matematika alapjai. Debrecen: Debreceni Egyetemi K.

Farkas Miklós – Fritz Józsefné – Kiss Ernőné 2000. Matematika. II. kötet. Egyváltozós valós függvények. (szerk. Farkas Miklós.) Budapest: Műegyetemi K.

Farkas Miklós – Farkas Miklósné 2001. Matematika. III. kötet. Lineáris algebra. (szerk. Farkas Miklós.) Budapest: Műegyetemi K.

Freud Róbert 2014. Lineáris algebra. Budapest: ELTE Eötvös K.

Fried Ervin 1968. Algebra. In: Lukács Ernőné – Tarján Rezsőné (szerk.) 1968. 5-132.

Gaál István – Kozma László 2007. Lineáris algebra. Debrecen: Debreceni Egyetem Matematikai Intézet.

Gyapjas Ferenc 1977. Lineáris algebra és geometria. Budapest: Tankönyvk.

Juhász Tibor 2013. Lineáris algebra. Eger: Eszterházy Károly Főiskola.
https://regi.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop412A/2011-0098_linearis_algebra/adatok.html (2021-04-26)

Krekó Béla 1976. Lineáris algebra. Budapest: Közgazdasági és Jogi K.

Obádovics J. Gyula 1972. Matematika. Budapest: Műszaki K.

Obádovics J. Gyula 2001. Lineáris algebra példákkal. Budapest: Scolar K.

Obádovics J. Gyula – Szarka Zoltán 2009. Felsőbb matematika. Budapest: Scolar K.

Reiman István 1992. Matematika. Budapest: Műszaki K.
Reiman István 2014. Matematika. Budapest: Typotex K.
https://regi.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011-0001-526_reimann_matematika/adatok.html (2021-05-02)

Rózsa Pál 1976. Lineáris algebra és alkalmazásai. Budapest: Műszaki K.

Scharnitzky Viktor 1989. Vektorgeometria és lineáris algebra. Budapest: Tankönyvk.

Selényi Géza – Szendrei János 1969. Analitikus geometria és lineáris algebra. Budapest: Tankönyvk.

Thomas, George B. et al. 2007. Thomas-féle kalkulus. III. köt. Budapest: Typotex K.
https://regi.tankonyvtar.hu/... (2021-05-09)

Internetes források:

Czinder Péter [2021]: A trigonometria alapjai.
https://www.berze.hu/wp-content/plugins/download-attachments/includes/download.php?id=4329 (2021-04-20)

Kiss György 2004. Amit jó tudni a kúpszeletekről. 1-2. rész. | Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (Informatika rovattal)
https://www.komal.hu/..., 2021-05-09.
https://www.komal.hu/..., 2021-05-09.

Kupcsikné Fitus Ilona 2009. Lineáris algebra. Centroszet Szakképzés-szervezési Nonprofit Kft.
http://centroszet.hu/..., 2021-02-15.

A trigonometria alkalmazásai | Sulinet Tudásbázis.
http://tudasbazis.sulinet.hu/..., 2021-04-20.

Wettl Ferenc 2016. Felsőbb matematika villamosmérnököknek - Haladó lineáris algebra (BMETE90MX54).
https://math.bme.hu/~wettl/..., 2021-03-28.

Wettl Ferenc 2016. Lineáris algebra. Jegyzet.
https://math.bme.hu/~wettl/..., 2021-03-28.

Wikipédia / Wikipedia szócikkek:

Binomiális együttható. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-02-14.

Cramer-szabály. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-01-29.

Direction cosine [iránykoszinusz]. Wikipédia.
https://en.wikipedia.org/..., 2021-04-26.

Egyenes | mathreference.org.
https://www.mathreference.org/..., 2021-04-26.

Ellipse. Wikipedia.
https://en.wikipedia.org/..., 2021-05-09.

Gauss-elimináció. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-01-29.

Hiperbola (matematika). Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-01-29.

Hyperbola. Wikipedia.
https://en.wikipedia.org/..., 2021-05-09.

Jobbkéz-szabály (geometria). Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-04-21.

Koordinátageometria. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-05-02.

Kúpszelet. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-05-09.

Lineáris leképezés. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-03-28.

Mátrix (matematika). Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-01-29.

Parabola (görbe). Wikipedia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-05-10.

Parabola. Wikipedia.
https://en.wikipedia.org/..., 2021-05-09.

Skaláris szorzat. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-02-08.

Statika. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-04-08.

Szögfüggvények. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-04-19.

Radián. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-04-13.

Trigonometrikus azonosságok. Wikipédia.
https://hu.wikipedia.org/..., 2021-04-19.


Boda István, 2021.