Matematika 1 - Gyakorló feladatok

Gyakorló feladatok (vö. Veress 1996: 26-29):

Bizonyítsa be, hogy bármely A, B és C halmazokra teljesülnek az alábbi azonosságok:

(a) AΧ(B∪C) = (AΧB)∪(AΧC) (a Descartes-szorzat az unióra nézve disztributív)

(b) AΧ(B∩C) = (AΧB)∩(AΧC) (a Descartes-szorzat a metszetre nézve disztributív)

Adja meg felsorolással és ábrázolja az alábbi halmazok direkt szorzatát!

(a) A={1, 2} és B={a, b, c}

(b) A={1, 2} és B={0, 3}

(c) A={3, 4, 5} és B={6, 8, 10, 12}

(d) A=B={a, b, c}

Legyen A={3, 4, 5} és B={6, 8, 10, 12}. Adja meg az alábbi megfeleltetéseket és inverzeiket az elemek felsorolásával! Ábrázolja őket nyíldiagrammal, ráccsal és mátrixos (táblázatos) formában!

(a) ω = {(a,b) | a∈A, b∈B, a<b}

(b) σ = {(a,b) | a∈A, b∈B, a|b}

(c) κ = {(a,b) | a∈A, b∈B, a≡b (mod 3)} (a≡b (mod 3) ⇋ "az 'a' és 'b' természetes számok 3-mal való osztási maradéka azonos")

(d) ν = {(a,b) | a∈A, b∈B, |a−b| páros}

Adja meg az alábbi binér relációkat felsorolással és ábrázolja őket! Ezután vizsgálja meg a tulajdonságaikat!

(a) A={"alma", "ceruza", "fa", "kréta"} és
     α = {(x,y) | x∈A, y∈A, "az 'x' szó több betűből áll, mint az 'y' szó"}

(b1) A={"alma", "fa", "kréta", "só"} és
     β = {(x,y) | x∈A, y∈A, "az 'x' szó kevesebb betűből áll, mint az 'y' szó"}

(b2) A={"alma", "fa", "banán", "kréta", "só"} és
     η = {(x,y) | x∈A, y∈A, "az 'x' szó kevesebb vagy ugyanannyi betűből áll, mint az 'y' szó"}

A feladat érdekessége, hogy bár a "kevesebb vagy ugyanannyi" (azaz ≤) reláció természetes számok esetén antiszimmetrikus, a fenti feladatban nem antiszimmetrikus, mivel a "banán" és a "kréta" szavak egyaránt öt betűből állnak, azaz hossz("banán")=hossz("kréta")=5 teljesül. A 'hossz' reláció antiszimmetriájából azonban az következne, hogy ha az a∈A és b∈A elemekre
    hossz(a)≤hossz(b) és hossz(b)≤hossz(a)
egyszerre teljesül, abból a=b következik (ami a="banán" és b="kréta" esetén nyilvánvalóan nem áll fenn). Ebből azonban az is következik, hogy az η reláció nem rendezési reláció.

(c) A={1, 2, 3, 4, 5, 6} és
     γ = {(1,2), (1,4), (2,4), (2,5), (3,6), (4,5), (5,4), (5,5)}^⇒

(d) A={1, 2, 3, 4, 5, 6} és
     δ = {(x,y) | x∈A, y∈A, x+y=7}

(e) A={2, 3, 5} és
     ε = {(x,y) | x∈A, y∈A, x≥y}

(f1) C={3, 4, 5}∪{6, 8, 10, 12} és
     σ = {(a,b) | a∈A, b∈B, a|b}

(f2) C={3, 4, 5}∪{6, 8, 10, 12} és
     κ = {(a,b) | a∈A, b∈B, a≡b (mod 3)}

(g) A={"áfonya", "kiwi", "málna", "banán", "szeder"} és
     θ = {(a,b) | a∈A, b∈A, "az 'a' és 'b' gyümölcsnevek hossza megegyezik"}^⇒

(h) I={1, 2} és
     φ = {(A,B) | A∈2^I, B∈2^I, A⊆B}

(i) I={a, b, c} és
     μ = {(A,B) | A∈2^I, B∈2^I, A⊂B}