Számorozatok
Gyakorló feladatok (vö. Veressné 1996: 35-39):
Adja meg az alábbi sorozatok elemeinek a kiszámítási módját. Próbálja meg mind rekurzívan, mind képlettel megadni a sorozat általános elemét. Írja fel a sorozatok első néhány tagját a megadott elemeken kívül.
Ismétlés:
Az s1=p kezdőtaggal rendelkező és 'd' differenciájú számtani sorozat általános tagja:
s1=p; sn=sn−1+d (n∈ℕ+, n≥2)
sn=p+(n−1)*d (n∈ℕ+)
A számtani sorozat első 'n' tagjának összege:
S1=s1;
Sn=Sn−1+sn (n∈ℕ+, n≥2)
Sn=s1+s2+...+sn=n*(s1+sn)/2
(a0) 1, 2, 3, 4, ... (állandó különbségű vagy számtani sorozat)
(a1) 2, 5, 8, 11, ...
(a2) 3, 6, 9, 12, ...
(a3) 1, 3, 6, 10, 15, ... (állandó különbségű vagy számtani sorozat elemeinek összege)
(b1) 1, 2, 4, 7, 11, ... (egyenletesen változó különbségű vagy többletes sorozat)
1. megoldás
Az 1, 2, 4, 7, 11, ... sorozat általános elemének rekurzív megadása:
s1=1;
sn=sn−1+(n−1) (n>1)
A sorozat általános elemének képlettel történő megadása:
s1=1
s2=s1+1
s3=
s2+2=
s1+(1+2)
s4= s3+3=
s1+(1+2+3)
...
sn=
sn−1+(n−1)=
s1+(1+2+3+...+n−1)
miatt (ld. a számtani sorozat összegképletét):
sn=
s1+(1+n−1)*(n−1)/2=
1+n*(n−1)/2
2. megoldás
Az 1, 2, 4, 7, 11, ... sorozat általános elemének rekurzív megadása:
s1=1;
sn=1+un (n>1), ahol
u1=0;
un=un−1+tn (n>1), és
t1=0, tn=tn−1+1 (n>1)
A sorozat általános elemének képlettel történő megadása (mivel az un sorozat a tn számtani sorozat első 'n' elemének összege):
un=
(0+n−1)*n/2=
(n−1)*n/2
sn=
1+un=
1+(n−1)*n/2
3. megoldás
Az 1, 2, 4, 7, 11, ... sorozat általános elemének képletét keressük
sn=a*n2+b*n+c
alakban, ahol a,b,c∈ℝ tetszőleges konstansok (azaz olyan valós számok, amelyek nem függnek 'n' értékétől).
Az sn sorozat rekurzív definíciója alapján
sn=sn−1+(n−1)
teljesül, tehát
a*n2+b*n+c=
a*(n−1)2+(n−1)b*+c+(n−1)
Ebből egyszerű átalakításokkal és egyszerűsítéssel
n*(2*a−1)=a−b−1
adódik. Az 'a' és 'b' konstansok csak akkor nem függnek 'n'-től, ha
(2*a−1)=0
teljesül, amiből
a=1/2 és b=−1/2
következik. Ezeket behelyettesítve az
sn=a*n2+b*n+c
alakba s1=1 miatt n=1 helyettesítés után
1/2−1/2+c=1
adódik, amiből c=1 következik. Tehát a sorozat általános elemének a képlete:
sn=n2/2−n/2*n+1=
n*(n−1)/2+1
(b2) 1, 4, 9, 16, 25, ...
Ismétlés:
Az 's1' kezdőtaggal rendelkező és 'q' kvóciensű mértani sorozat általános tagja:
sn=sn−1*q (n∈ℕ+, n≥2)
sn=s1*qn−1 (n∈ℕ+)
A mértani sorozat első 'n' tagjának összege (q≠1 esetén):
s1+s2+...+sn=s1*(qn−1)/(q−1)
(c1) 3, 6, 12, 24, ... (arányosan változó különbségű sorozat)
(1) megoldás a sorozat általános elemének rekurzív megadásával:
s1=3
s2=6
sn=sn−1+2*(sn−1−sn−2)= 3*sn−1−2*sn−2 (n>2)
(2) megoldás a sorozat általános elemének képlettel történő megadásával:
s1=3
s2=s1+3
s3=s2+2*3=s1+(3+2*3)
s4=
s3+2*2*3=
s1+(3+2*3+2*2*3)=
s1+(3+2*3+22*3)
...
sn=
sn−1+2(n−2)*3=
s1+(3+2*3+22*3+...+2n−2*3)
miatt (ld. a mértani sorozat összegképletét):
sn=
s1+3*(2n−1−1)/(2−1)=
3+3*(2n−1−1)=
3*2n−1
(c2) 1, 2, 4, 5, 7, 8, ... (periodikusan változó különbségű sorozat)
(d1) 1, 2, 4, 8, 16, ... (állandó hányadosú vagy mértani sorozat)
(d2) 1, 3, 7, 15, 31, ... (állandó hányadosú vagy mértani sorozat összege)
(d3) 1, 1/3, 1/9, 1/27, ...
(d4) 1, −3, 9, −27, ... (váltakozó előjelű vagy alternáló sorozat)
(e) 1, 2, 6, 24, 120, ... (egyenletesen változó hányadosú sorozat)
(f1) 1, 2, 4, 1, 2, 4, ... (periodikus sorozat)
(f2) 1, 2, 4, 4, 2, 1, 1, 2, 4, ... (periodikus sorozat)
(g) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... (Fibonacci-sorozat)
(h1) 0, 1/2, 2/3, 3/4, ... (összetett sorozat)
(h2) 1, -10, 2, -8, 3, -6, ...
Számítsa ki és írja fel egy táblázatban az alábbi sorozatok első 10 tagját! Vizsgálja meg a megadott sorozatok tulajdonságait!⇒
(a1) sn=n/(n+3)
(a2) sn=−(n+1)/n
(b) sn=2−1/n
(c) sn=sin(n*π/2)
(d) s1=0, s2=1, sn+1=(sn−1+sn)/2 (n>1)
(e) s1=5, s2=−1, sn+1=(sn−1+sn)/2 (n>1)
A teljes indukció
Gyakorló feladatok (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 90; Veress 1996: 35; Szászné Virányi - Brindza 1996: 39-41):
Bizonyítsa be a megadott sorozatokra teljes indukcióval az alábbi állításokat!
(a) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=3
sn=sn−1+3 (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=3*n (n∈ℕ+)
teljesül.
(A szorzás ismételt összeadás!)
(b) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=5
sn=sn−1+4 (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=4*(n−1)+5 (n∈ℕ+)
teljesül.
(A számtani sorozat n-ik eleme.)
(c1) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=3
sn=3*sn−1 (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=3n (n∈ℕ+)
teljesül.
(A hatványozás ismételt szorzás!)
(c2) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=3
sn=2*sn−1 (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=3*2n−1 (n∈ℕ+)
teljesül.
(A mértani sorozat n-ik eleme.)
(d) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=2*sn−1+1 (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=2n−1 (n∈ℕ+)
teljesül.
(e) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=sn−1+(2*n−1) (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n2 (n∈ℕ+)
teljesül.
(1) Az állítás n=1-re igaz:
s1=
12=
1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
sk= k2
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki sk+1 értékét:
sk+1=
s(k+1)−1+[2*(k+1)−1]=
sk+(2*k+1)
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe sk értékét az indukciós feltevés alapján:
sk+1=
k2+(2*k+1)
Ezután számoljunk :)
sk+1=
k2+(2*k+1)=
k2+2*k+1=
(k+1)2
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott
sn=n2
összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.
(f) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=sn−1+n (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n*(n+1)/2 (n∈ℕ+)
teljesül.
(A számtani sorozat összege.)
(g) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=sn−1+n2 (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n*(n+1)*(2*n+1)/6 (n∈ℕ+)
teljesül.
(1) Az állítás n=1-re igaz:
s1=
1*(1+1)*(2*1+1)/6=
1*2*3/6=
1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
sk= k*(k+1)*(2*k+1)/6
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki sk+1 értékét:
sk+1=
s(k+1)−1+(k+1)2=
sk+(k+1)2
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe sk értékét az indukciós feltevés alapján:
sk+1=
k*(k+1)*(2*k+1)/6+(k+1)2
Ezután számoljunk :)
sk+1=
k*(k+1)*(2*k+1)/6+(k+1)2=
k*(k+1)*(2*k+1)/6+6*(k+1)2/6=
(k+1)*[k*(2*k+1)+6*(k+1)]/6=
(k+1)*(2*k2+k+6*k+6)/6=
(k+1)*(2*k2+7*k+6)/6=*
(k+1)*(k+2)*(2*k+3)/6
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott
sn=n*(n+1)*(2*n+1)/6
összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.
* kiegészítés:
2*k2+7*k+6=
(2*k2+4*k)+(3*k+6)=
(k+2)*2*k+(3*k+6)=
(k+2)*2*k+(k+2)*3=
(k+2)*(2*k+3)
(h) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=sn−1+(2*n−1)2 (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n*(4*n2−1)/3 (n∈ℕ+)
teljesül.
(1) Az állítás n=1-re igaz:
s1=
1*(4*12−1)/3=
(4−1)/3=
1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
sk= k*(4*k2−1)/3
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki sk+1 értékét:
sk+1=
s(k+1)−1+[2*(k+1)−1]2=
sk+(2k+1)2
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe sk értékét az indukciós feltevés alapján:
sk+1=
k*(4*k2−1)/3+(2*k+1)2
Ezután számoljunk :)
sk+1=
k*(4*k2−1)/3+(2*k+1)2=
k*(4*k2−1)/3+3*(2*k+1)2/3=
[k*(2*k+1)*(2*k−1)+3*(2*k+1)2]/3=
(2*k+1)*[k*(2*k−1)+3*(2*k+1)]/3=
(2*k+1)*(2*k2−k+6*k+3)/3=
(2*k+1)*(2*k2+5*k+3)/3=*
(2*k+1)*(k+1)*(2*k+3)/3=
(k+1)*(2*k+1)*(2*k+3)/3=
(k+1)*(2*k+2−1)*(2*k+2+1)/3=
(k+1)*[2*(k+1)−1]*[2*(k+1)+1]/3=
(k+1)*[4*(k+1)2−1]/3
Megjegyzés: a levezetéskor felhasználtuk az
(a2−b2)=(a−b)*(a+b)
algebrai azonosságot.
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott
sn=n*(4*n2−1)/3
összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.
* kiegészítés:
2*k2+5*k+3=
(2*k2+2*k)+(3*k+3)=
(k+1)*2*k+(k+1)*3=
(k+1)*(2*k+3)
(i) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=2
sn=sn−1+n*(n+1) (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n*(n+1)*(n+2)/3 (n∈ℕ+)
teljesül.
(j) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=4
sn=sn−1+n*(3*n+1) (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n*(n+1)2 (n∈ℕ+)
teljesül.
(k) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1/2
sn=sn−1+1/[n*(n+1)] (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n/(n+1) (n∈ℕ+)
teljesül.
(l) Adjuk meg az sn sorozatot rekurzív módon:
s1=1
sn=sn−1+n3 (n∈ℕ, n≥2)
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat általános elemére
sn=n2*(n+1)2/4 (n∈ℕ+)
teljesül.
(1) Az állítás n=1-re igaz:
s1=
12*(1+1)2/4=
22/4=
1
(2) Tegyük fel, hogy az állítás n=k-ra igaz, azaz
sk= k2*(k+1)2/4
teljesül (indukciós feltevés). A sorozat rekurzív definíciója alapján számoljuk ki sk+1 értékét:
sk+1=
sk+1−1+(k+1)3=
sk+(k+1)3
Helyettesítsük be ebbe a kifejezésbe sk értékét az indukciós feltevés alapján:
sk+1=
(k2*(k+1)2/4)+(k+1)3
Ezután számoljunk :)
sk+1=
(k2*(k+1)2/4)+(k+1)3=
k2*(k+1)2/4+4*(k+1)3/4=
(k+1)2*[k2+4*(k+1)]/4=
(k+1)2*[k2+4*k+4)]/4=
(k+1)2*(k+2)2/4
Tehát az állítás öröklődött k-ról (k+1)-re.
(3) A sorozat általános elemére megadott
sn=n2*(n+1)2/4
összefüggés tehát minden pozitív természetes számra igaz.
[kieg.] Bizonyítsa be teljes indukcióval az alábbi állításokat!
(a1) 6|n3−n (n∈ℕ)
A bizonyításhoz szükségünk van az oszthatóság fogalmára:
Egy tetszőleges 'n' szám akkor és csak akkor osztható egy 'k' természetes számmal, ha létezik olyan 'p' természetes szám, hogy
n=p*k
teljesül.
(Például n=12 osztható k=3-mal, mert p=4 esetén 12=4*3 teljesül.)
Ezek után a teljes indukciós bizonyítás a következő:
(1) n=1-re az állítás fennáll, mert
13−1=0
nyilvánvalóan osztható 3-mal (0=0*3 teljesül).
(2.1) Tegyük fel (indukciós feltevés), hogy n=k-ra az állítás fennáll, azaz létezik olyan 'q' természetes szám, amelyre
k3−k=q*6
teljesül.
(2.2) Számoljuk ki n=k+1-re a vizsgált kifejezés, azaz n3−n értékét:
(k+1)3−(k+1)=
(k3+3*k2+3*k+1)−(k+1)=
k3−k+3*k2+3*k+1−1=
(k3−k)+(3*k2+3*k)=
(k3−k)+3*k*(k+1)=
6*q+3*k*(k+1)
Mivel két egymást követő természetes szám közül az egyik biztosan páros, ezért k*(k+1) biztosan osztható 2-vel, azaz van olyan 'r' természetes szám, amelyre k*(k+1)=r*2 teljesül. Ezt helyettesítsük be a fenti eredménybe:
(k+1)3−(k+1)=
6*q+3*2*r=
6*q+6*r=
6*(q+r)
Mivel (q+r) természetes szám, (k+1)3−(k+1) osztható 6-tal, vagyis az állítás a 'k' természetes számról öröklődött a 'k+1' természetes számra.
(3) A bizonyítandó állítás tehát minden természetes számra teljesül.
(a2) 6|(n2+5)*n (n∈ℕ)
(b1) 5|7n−2n (n∈ℕ)
(b2) 5|24*n+1+3 (n∈ℕ)
(c1) 3|7n−1 (n∈ℕ)
(c2) 4|9n−5n (n∈ℕ)
(d) 33|46n−13n (n∈ℕ)
[kieg.] Bizonyítsa be teljes indukcióval az alábbi állításokat!
(a.1) n+1≤2n (n∈ℕ, n≥4)
(a.2) 3*n<2n (n∈ℕ, n≥4)
(a.3) 2*n+1≤2n (n∈ℕ, n≥3)