4. Függvények fogalma, megadási módjai, tulajdonságai

4.1. Függvények

Legyenek 'A' és 'B' tetszőleges halmazok, ρ⊆AΧB az 'A' és 'B' halmazok közötti reláció. Ekkor a

• Dom(ρ) ⇋ {a∈A | van olyan b∈B, amelyre ρ(a,b) teljesül}
  halmazt a ρ reláció értelmezési tartományának ("indulási halmazának"), a
• Rng(ρ) ⇋ {b∈B | van olyan a∈A, amelyre ρ(a,b) teljesül}
  halmazt a ρ reláció értékkészletének ("érkezési halmazának") nevezzük.

A ρ relációt hozzárendelésnek nevezzük, ha értelmezési tartománya a teljes A halmaz, azaz Dom(ρ)=A teljesül.

A ρ relációt függvénynek vagy leképezésnek nevezzük, ha
(1) értelmezési tartománya a teljes A halmaz, vagyis ρ hozzárendelés, és
(2) az értelmezési tartomány minden eleméhez az értékkészlet pontosan egy eleme tartozik, vagyis az értelmezési tartomány minden a∈A elemére |{b∈B | ρ(a,b)}|=1 teljesül.

• Tömören az első és második feltételt így írhatjuk le:
  ∀a∈A ∃!b∈B (ρ(a,b))
  minden esetben teljesül.
• A második feltételt leírhatjuk úgy is, hogy
  ∀a∈A(ρ(a,b)∧ρ(a,b')⊃.b=b')
  minden esetben teljesül.

Ha a ρ reláció függvény, akkor megadására a továbbiakban az
f : A→B
jelölést (vagy ha nem okoz félreértést, egyszerűen az f(x) jelölést) fogjuk használni a következő értelemben:

• tetszőleges (a,b)∈ρ⊆AΧB elempár esetén
  f(a)=b ⇋ ρ(a,b)
  teljesül;
• az f(a)=b∈B értéket az f(x) függvény a∈A helyen vett függvényértékének (helyettesítési értékének) vagy az a∈A elem képének nevezzük.

Ha adott az értékkészlet egy b∈B képeleme, akkor az értelmezési tartománynak azokat az a∈A elemeit, amelyekre f(a)=b teljesül, az
    A_b = {a∈A | f(a)=b}
halmazzal adhatjuk meg. Ha a 'b' értéket az 'a' elem egy tulajdonságának tekintjük, akkor azt mondhatjuk, hogy az A_b⊆A halmaz elemei egy adott b∈B tulajdonsággal rendelkeznek. Az információkeresés terminológiáját átvéve az A_b halmazt a 'b' elem forráshalmazának, a halmaz elemeit pedig a 'b' elem forrásainak nevezhetjük.

---

Például tekintsük a valós számok között (pontosabban a valós számokból képzett ℝΧℝ halmazon) a
    ρ={(x,y) | x∈ℝ, y∈ℝ, x=y}
relációt. Mivel az '=' reláció szimmetrikus és tranzitív, (x,y₁)∈ρ és (x,y₂)∈ρ ⇒ (y₁,x)∈ρ és (x,y₂)∈ρ ⇒ (y₁,y₂)∈ρ ⇒ y₁=y₂ következik. Tehát a ρ reláció függvény, amit a szokásos módon
    f(x)=y ⇋ ρ(x,y)
vagy egyszerűen
    y=x
formában adhatunk meg. Az f(x)=y valós függvényt lineáris függvénynek nevezzük.

---

Egy másik példaként emlékezzünk vissza a természetes számok között értelmezett
    σ = {(a,b) | a∈ℕ, b∈ℕ, a|b} ⊆ ℕΧℕ
oszthatósági relációra.^⇒ Könnyen ellenőrizhető, hogy sem σ, sem σ⁻¹ nem függvény (pl. egyrészt 2|4 és 2|6, másrészt 3|12 és 4|12 teljesül). Azonban a σ oszthatósági reláció segítségével értelmezhetjük a
    p:ℕΧℕ→{0,1}
logikai függvényt a következőképpen:

p(x,y)	{	1 ha x∣y, vagyis (x,y)∈σ
		0 ha x∤y, vagyis (x,y)∉σ

A definíció alapján tetszőleges x,y∈ℕ valós számokra σ(x,y) pontosan akkor teljesül, ha p(x,y)=1 teljesül.

Jegyezzük meg, hogy azon (x,y) számpárok halmaza, amelyekre p(x,y)=1, éppen a σ relációt adja meg, azaz
    I_p(x,y)={(x,y)∈ℕΧℕ | p(x,y)=1} = σ
teljesül.

Általánosan is igaz, hogy minden (kétváltozós) relációhoz hozzárendelhetünk egy logikai függvényt, amely pontosan azokra az elempárokra igaz, amelyek relációban vannak egymással.

---

Harmadik példaként állítsuk elő a 2 hatványaiból álló (1,2,4,8,16,...) végtelen számsorozatot^⇒ a pozitív természetes számok ℕ⁺ halmazán értelmezett
    s:ℕ⁺→ℝ
függvény segítségével, amelyre
    s(n)=2ⁿ⁻¹ (n∈ℕ⁺)
teljesül.

Jegyezzük meg, hogy egy s(n) számsorozatot többnyire az s_n ún. "általános elem" segítségével szokás megadni. A példában szereplő sorozatot ennek megfelelően
    s_n=2ⁿ⁻¹ (n=1,2,...)
módon adhatjuk meg.

Az s(n) számsorozat általános tagját megadhatjuk a megelőző elem segítségével is (ún. rekurzív módon). Ekkor a sorozat első elemét is meg kell adnunk:
    s₁=1
    s_n=2*s_n−1 (n=2,3,...)

Az első pár elem kiszámításával ellenőrizhetjük, hogy a sorozat kétféle megadása ugyanazokat a sorozatelemeket szolgáltatja. (Ha ezt általánosan szeretnénk bizonyítani, azt például teljes indukciós bizonyítással tehetjük meg.)

4.2. Függvények tulajdonságai

Legyen f : A→B egy tetszőleges függvény. Értelmezzük az alábbi tulajdonságokat:

• injektivitás: Az 'f' függvény injektív vagy kölcsönösen egyértelmű, ha különböző értelmezési tartománybeli elemekhez különböző képelemek tartoznak, vagyis bármely a∈A és a'∈A, a≠a' elemek esetén f(a)≠f(a') teljesül. (Másképpen megfogalmazva: az értékkészlet minden b∈Rng(f) eleméhez pontosan egy olyan a∈Dom(f) értelmezési tartománybeli elem tartozik, amelyre b=f(a) teljesül.)
  Például az f(x)=x lineáris függvény^⇒ injektív függvény. Ezzel szemben például az f(x)=x² másodfokú függvény^⇒ nem injektív függvény.
  • Ha az 'A' értelmezési tartomány véges halmaz, akkor injektív függvény esetében |A|=|Rng(f)| teljesül.
• szürjektivitás: Az f : A→B függvény szürjektív, ha a 'B' halmaz minden eleme legalább egy értelmezési tartománybeli elem képe, azaz bármely b∈B elem esetén létezik olyan a∈A elem, amelyre f(a)=b teljesül.
  Például az f(x)=x lineáris függvény^⇒ szürjektív függvény. Ezzel szemben például az f(x)=x² másodfokú függvény^⇒ nem szürktív függvény (csak nemnegatív értékeket vehet fel).
  • Szürjektív függvény esetében B=Rng(f) teljesül.
• bijektivitás: az 'f' függvény bijektív, ha injektív és szürjektív; ennek megfelelően
  • ha az 'A' értelmezési tartomány véges halmaz, akkor az injektivitás miatt |A|=|B| teljesül;
  • a szürjektivitás miatt B=Rng(f) teljesül.

Tömören a függvények fenti tulajdonságait így írhatjuk le:
– injektivitás: ∀a∈A ∀a'∈A (a≠a' ⊃ f(a)≠f(a'))
– szürjektivitás: ∀b∈B ∃a∈A (f(a)=b)
– bijektivitás: ∀b∈B ∃!a∈A (f(a)=b)
A tulajdonságok teljesülése esetén a megadott logikai kifejezések igazak.

Például legyen az I osztály tanulóinak halmaza:
    I = {"Tercsi", "Fercsi", "Kata", "Klára", "Anett", "Peti", "Mari", "Pisti", "Zoli", "Zsuzsa"},
továbbá legyen
    B = {"A", "B", ..., "Z"}
a nagybetűk halmaza. Értelmezzük az f : I→B függvényt bármely x∈I tanuló esetén a következőképpen:

f(x) ⇋ "az 'x' tanuló nevének kezdőbetűje"

Az f(x) függvény tulajdonságai:

• az f(x) függvény nem injektív, mivel pl. f("Kata") = f("Klára") = "K";
• az f(x) függvény nem szürjektív, mivel pl. "C" betűvel nem kezdődik egyik tanuló neve sem;
• az f(x) függvény tehát nem bijektív.

Válasszunk ki tanulókat az I osztályból, és legyen a kiválasztott tanulók halmaza
    I' = {"Tercsi", "Fercsi", "Kata", "Anett", "Zsuzsa"}.
Ekkor az előbb definiált f(x) függvény leszűkítése I'-re, azaz az
    f | I' : I'→B
függvény már injektív, mert minden x∈I' kiválasztott tanuló nevének kezdőbetűje különböző.

Jegyezzük meg, hogy az f(x) függvény létrehozza az értelmezési tartományának (azaz a Dom(f)=I halmaznak) egy osztályozását.^⇒ Legyen például I_k={x∈I | f(x)=k} (k∈B) azoknak a tanulóknak a halmaza, akiknek a neve k='A' (k='B', ..., k='Z') betűvel kezdődik:

• I_A={"Anett"}
• I_B=∅
• ...
• I_K={"Kata", "Klára"}
• ...
• I_Z={"Zoli", "Zsuzsa"}

Ekkor I_k∩I_j=∅ (k, j∈B, k≠j) és I_A∪I_B∪...∪I_Z=I teljesülése miatt
    Η={I_k | k∈B, I_k≠∅}⊆2^I
az 'I' halmaz egy osztályozása. Jegyezzük meg, hogy ha k∈B helyett csak azokat a betűket vesszük figyelembe, amelyek az f(x) függvény értékkészletének elemei (azaz ha a Η halmazrendszer fenti megadásában k∈B helyett k∈Rng(f) szerepel), akkor
    Η={I_k | k∈Rng(f)}
pontosan az 'I' halmaz fenti osztályozását adja meg. (Jegyezzük meg, hogy az I_A, I_B, ..., I_Z osztályok a nagybetűkből álló B halmaz egyes elemeinek a forráshalmazai.^⇒)

4.3. Inverz függvény, összetett függvény

Az f : A→B injektív függvény inverz függvénye alatt azt az
f⁻¹ : Rng(f)⊆B→A
függvényt értjük, amelyre teljesül, hogy az értelmezési tartományának minden y∈Rng(f) elemére f⁻¹(y)=x akkor és csak akkor teljesül, ha f(x)=y teljesül. (Ha az f : A→B függvény bijektív, akkor Rng(f)=B miatt inverz függvénye f⁻¹ : B→A.)

Legyen f(x):A→B injektív függvény; ekkor
– ha az f(x):A→B függvény szerint az (x,f(x)=y) elempárok állnak egymással relációban (ahol x∈A és y∈B),
– akkor az f⁻¹(x):Rng(f)⊆B→A inverz függvény szerint az (y,f⁻¹(y)=x) elempárok lesznek egymással relációban.

Adott y=f(x) valós függvény esetében a következő kérdésre keressük a választ: mi az az y∈ℝ szám, amelyet az f(x) függvény az x∈ℝ érték mellett felvesz?
Az y=f(x) valós függvény x=f⁻¹(y) inverz függvénye esetében pedig az alábbi kérdésre keressük a választ: melyik az az x∈ℝ szám, amelyre az f(x) függvény éppen az y∈ℝ értéket veszi fel?
Vegyük észre, hogy az inverz függvény meghatározása formálisan az f(x)=y egyenlet megoldását jelenti x-re. (A megoldással kapott x=f⁻¹(y) függvényen még az x↔y és y↔x helyettesítést is végre kell hajtanunk, hogy az f⁻¹(x) függvényt megkapjuk.)

Az inverz függvényt injektív függvények esetén értelmezzük, ezért az injektív függvényeket invertálható függvényeknek is nevezzük.

Legyen az f(x) függvény invertálható, és inverze az f⁻¹(x) függvény. Ekkor az f⁻¹(x) függvény is invertálható, és inverz függvénye az f(x) függvény.

Legyenek f : A→B és g : B→C tetszőleges függvények (valójában elegendő annyit megkövetelni, hogy g : Rng(f)⊆B→C teljesüljön). Ekkor azt a h : A→C függvényt, amelyre teljesül, hogy az értelmezési tartományának minden x∈A elemére
    h(x)=z akkor és csak akkor teljesül, ha
    az f(x)=y elemre g(y)=z teljesül,
a g(x) és f(x) függvények összetett függvényének (vagy közvetett függvényének, összetételének, kompozíciójának) nevezzük, és h(x)=(g∘f)(x), vagy egyszerűbben h(x)=g(f(x)) módon jelöljük.

Például tekintsük az alábbi függvényeket:

• f(x)=3*x+4
• g(x)=x²

A g(x) függvény képletében az x↔3*x+4 helyettesítést végrehajtva a h(x)=g(f(x)) összetett függvényre
    h(x)=g(f(x))=(3*x+4)²=9*x²+24*x+16
adódik.

Legyen f(x) invertálható függvény. Ekkor
    (1) az f(x):A→B invertálható függvényre és ennek f⁻¹(x):B→A inverz függvényére (f⁻¹∘f)(x)=x teljesül;
    (2) mivel ebben az esetben az f⁻¹(x) függvény is invertálható, és inverz függvénye f(x), ezért (f∘f⁻¹)(x)=x szintén teljesül.

Például tekintsük az alábbi valós függvényeket^⇒ és inverz függvényeiket:

f(x)	Dom(f)	Rng(f)	f−1(x)	Dom(f−1)	Rng(f−1)
x	ℝ	ℝ	x	ℝ	ℝ
2*x	ℝ	ℝ	x/2	ℝ	ℝ
1/x	ℝ∖{0}	ℝ∖{0}	1/x	ℝ∖{0}	ℝ∖{0}
x2	[0,+∞)	[0,+∞)	√x	[0,+∞)	[0,+∞)
	(−∞,0]	[0,+∞)	−√x	[0,+∞)	(−∞,0]
ex	ℝ	(0,+∞)	ln(x)	(0,+∞)	ℝ

Jegyezzük meg, hogy ha Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázoljuk a fenti valós függvényeket, az egyes függvények görbéjét az y=x egyenesre mint tengelyre tükrözve a megfelelő inverz függvény görbéjét kapjuk. (Speciálisan, ha a függvény görbéje szimmetrikus az y=x egyenesre, akkor inverz függvénye önmaga.)

Például f(x)=2*x esetében az y=2*x alakból x=y/2 adódik. Az y=f(x) függvény inverz függvénye tehát
    x=f⁻¹(y)=y/2.
Ebből az y↔x helyettesítést elvégezve
    f⁻¹(x)=x/2
adódik. Könnyen ellenőrizhető, hogy
   (f⁻¹∘f)(x) = f⁻¹(f(x)) = f⁻¹(2*x) = (2*x)/2 = x
és
   (f∘f⁻¹)(x) = f(f⁻¹(x)) = f(x/2) = 2*(x/2) = x
teljesül.

Az inverz függvényt az (f∘f⁻¹)(x)=x összefüggés alapján kiszámíthatjuk.

Például legyen f(x)=4x+3. Ekkor (f∘f⁻¹)(x)=f(f⁻¹(x))=x, tehát f(f⁻¹(x))=4*f⁻¹(x)+3=x miatt egyszerű átrendezéssel f⁻¹(x)=(x−3)/4 adódik.

---

Néhány fontosabb valós függvény

Az f(x)=∣x∣ : ℝ → ℝ abszolút érték függvény görbéje:

---

Az f(x)=m*x+c (m,c ∈ ℝ) : ℝ → ℝ lineáris függvény görbéi, ha
f(x) = x, f(x) = 2*x−40 és g(x) = −3*x+60:

---

Az f(x)=x² : ℝ → ℝ, ill. f(x)=−x² : ℝ → ℝ hatványfüggvény (másodfokú függvény) görbéje:

---

Az f(x)=√x : [0,+∞) → ℝ és
g(x)=−√x : [0,+∞) → ℝ négyzetgyökfüggvények görbéi:

---

Az f(x)=x³ : ℝ → ℝ hatványfüggvény görbéje:

---

Az f(x)=4*x³−16*x²+2*x+20: ℝ → ℝ harmadfokú polinom^⇒ görbéje:

---

Az f(x)=1/x : ℝ∖{0} → ℝ∖{0} függvény görbéje:

---

Az f(x)=e^x : ℝ → ℝ és
g(x)=e^−x : ℝ → ℝ exponenciális függvények görbéi (ahol e≈2,718281828 az ún. Euler-féle szám):

---

Az f(x)=ln(x)=log_e(x) : (0,+∞) → ℝ természetes alapú logaritmusfüggvény görbéje (ahol e≈2,718281828 az ún. Euler-féle szám):

---

Az f(x)=sin(x) : ℝ → [−1,1] szinuszfüggvény görbéje:

---

Az f(x)=|sin(x)| : ℝ → [0,1] abszolút szinuszfüggvény görbéje:

4.4. Valós függvények tulajdonságai

Legyen f : A⊆ℝ→B⊆ℝ valós függvény. Értelmezzük az alábbi tulajdonságokat:

• értelmezési tartomány: Dom(f)=A
• értékkészlet: Rng(f)⊆B; az értékkészlet definíciója^⇒ alapján
  Rng(f) = {f(x) | x∈A}
  • szürjektivitás^⇒
• invertálhatóság: az f(x) valós függvénynek létezik az f⁻¹(x) inverz függvénye^⇒ (ha Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázoljuk az f(x) függvényt, az inverz függvény létezésének feltétele, hogy az 'x' tengellyel párhuzamos bármelyik egyenesnek az f(x) függvény grafikonjával legfeljebb egy közös pontja legyen).
  • injektivitás^⇒
  • bijektivitás^⇒
• zérushely: Azt az x₀∈A értéket, amelyre f(x₀)=0 teljesül, az f(x) függvény zérushelyének nevezzük. A zérushely(ek)ben a függvény grafikonja metszi a koordináta-rendszer 'x' tengelyét.
• korlátosság:
  • az f valós függvény alulról korlátos, ha van olyan K_a∈ℝ valós szám, amelyre K_a≤f(x) teljesül az értelmezési tartomány minden x∈A elemére (a K_a számot alsó korlátnak nevezzük; azt az alsó korlátot, amely minden lehetséges alsó korlátnál nagyobb, legnagyobb alsó korlátnak (infimumnak) nevezzük, és Inf Rng(f) módon jelöljük);
  • az f valós függvény felülről korlátos, ha van olyan K_f∈ℝ valós szám, amelyre f(x)≤K_f teljesül az értelmezési tartomány minden x∈A elemére (a K_f számot felső korlátnak nevezzük; azt a felső korlátot, amely minden lehetséges felső korlátnál kisebb, legkisebb felső korlátnak (szuprémumnak) nevezzük, és Sup Rng(f) módon jelöljük);
  • az f valós függvény korlátos, ha van olyan K∈ℝ valós szám, amelyre |f(x)|≤K teljesül az értelmezési tartomány minden x∈A elemére. (Ha az f(x) valós függvény korlátos, és korlátja K, akkor alulról és felülről is korlátos. Az f(x) valós függvény egy lehetséges alsó korlátja K_a=−K, egy lehetséges felső korlátja pedig K_f=K.)
• monotonitás:
  • az f valós függvény az értelmezési tartomány egy A_m⊆A részhalmazán monoton növekedő, ha minden x₁∈A_m, x₂∈A_m, x₁<x₂ szám esetén f(x₁)≤f(x₂) teljesül;
  • az f valós függvény az értelmezési tartomány egy A_m⊆A részhalmazán szigorúan monoton növekedő, ha minden x₁∈A_m, x₂∈A_m, x₁<x₂ szám esetén f(x₁)<f(x₂) teljesül;
  • az f valós függvény az értelmezési tartomány egy A_m⊆A részhalmazán monoton csökkenő, ha minden x₁∈A_m, x₂∈A_m, x₁<x₂ szám esetén f(x₁)≥f(x₂) teljesül;
  • az f valós függvény az értelmezési tartomány egy A_m⊆A részhalmazán szigorúan monoton csökkenő, ha minden x₁∈A_m, x₂∈A_m, x₁<x₂ szám esetén f(x₁)>f(x₂) teljesül.
• konvexitás, görbület:
  • az f valós függvényt egy intervallumon konvexnek ("felfelé görbülőnek") nevezzük, ha az intervallum bármely x₁ és x₂ helyén teljesül a
        f((x₁+x₂)/2)≤(f(x₁)+f(x₂))/2
    egyenlőtlenség. (Reiman 1992: 492)
    Például az f(x)=x² másodfokú függvény^⇒ esetében könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti egyenlőtlenség az értelmezési tartomány bármely x₁ és x₂ pontjában teljesül. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a másodfokú függvény bármely pontjában a görbe érintője a görbe alatt helyezkedik el, a függvény "felfelé görbül".
  • az f valós függvényt egy intervallumon konkávnak ("lefelé görbülőnek") nevezzük, ha az intervallum bármely x₁ és x₂ helyén teljesül a
        f((x₁+x₂)/2)≥(f(x₁)+f(x₂))/2
    egyenlőtlenség. (Reiman 1992: 492)
    Például az f(x)=−x² másodfokú függvény^⇒ esetében könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti egyenlőtlenség az értelmezési tartomány bármely x₁ és x₂ pontjában teljesül. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a másodfokú függvény bármely pontjában a görbe érintője a görbe felett helyezkedik el, a függvény "lefelé görbül".
• szélsőérték (minimum- és maximumhelyek):
  • az f valós függvénynek az értelmezési tartomány egy A_s⊆A részhalmazán lokális minimuma van, ha létezik olyan x_min∈A_s érték, amelyre teljesül, hogy minden x∈A_s szám esetén f(x_min)≤f(x) teljesül (az x_min számot ilyen esetben lokális minimumhelynek, az f(x_min) függvényértéket pedig lokális minimumértéknek nevezzük);
    • ha A_s azonos a függvény teljes értelmezési tartományával (A_s=A), akkor abszolút minimumról beszélünk (továbbá abszolút minimumhelyről és abszolút minimumértékről);
  • az f valós függvénynek az értelmezési tartomány egy A_s⊆A részhalmazán lokális maximuma van, ha létezik olyan x_max∈A_s érték, amelyre teljesül, hogy minden x∈A_s szám esetén f(x)≤f(x_max) teljesül (az x_max számot ilyen esetben lokális maximumhelynek, az f(x_max) függvényértéket pedig lokális maximumértéknek nevezzük);
    • ha A_s azonos a függvény teljes értelmezési tartományával (A_s=A), akkor abszolút maximumról beszélünk (továbbá abszolút maxumumhelyről és abszolút maximumértékről).
• paritás:
  • az f valós függvény páros, ha minden olyan x∈A számra, amelyre −x∈A, f(−x)=f(x) teljesül (a páros függvények grafikonja tengelyesen szimmetrikus a koordináta-rendszer 'y' tengelyére);
  • az f valós függvény páratlan, minden olyan x∈A számra, amelyre −x∈A, f(−x)=−f(x) teljesül (a páratlan függvények grafikonja középpontosan vagy centrálisan szimmetrikus a koordináta-rendszer origójára).
• periodicitás: létezik olyan p∈ℝ, p≠0 szám, hogy minden x∈A számra (x−p)∈A és (x+p)∈A, valamint f(x)=f(x+p) teljesül. A fenti tulajdonságú függvényt periodikusnak, a 'p' számot pedig az f(x) függvény (egyik) periódusának nevezzük (vö. Farkas-Fritzné-Kissné 2000: 13). (Szemléletesen ez azt jelenti, hogy ha a függvény görbéjét az 'x' tengely mentén 'p' értékkel (bármilyen irányban) vízszintesen eltoljuk, a görbe önmagába megy át.)
  • Ha létezik a fenti tulajdonságú p>0 periódusok között legkisebb, akkor ezt a p_τ>0 számot a függvény (legkisebb) periódusának nevezzük.
  • Ha a 'p' szám egy periódus, akkor annak minden egész számú többszöröse is egy periódus.
  • Ha a 'p' és 'q' szám egy-egy periódus, akkor a p+q szám, valamint a p−q szám is egy-egy periódus.

Figyeljük meg, hogy a valós függvények számos tulajdonságát értelmezhetjük
– lokálisan, az értelmezési tartomány egy meghatározott A'⊆A részhalmazán, és
– globálisan, a függvény teljes 'A' értelmezési tartományán.

Vizsgáljuk meg a fenti tulajdonságok teljesülését a korábban ábrázolt valós függvények^⇒ esetében!