Sorozatok. A számosság fogalma. A természetes számfogalom kialakítása.

5.1. Sorozatok

Legyen n∈ℕ⁺ egy természetes szám. Az s:{1,2,...,n}⊆ℕ⁺→B függvényt véges sorozatnak, az s:ℕ⁺→B függvényt pedig végtelen sorozatnak (vagy egyszerűen sorozatnak) nevezzük. Egy (végtelen) sorozatot
    s₁, s₂, ..., s_n, ... vagy
    (s₁, s₂, ..., s_n, ...)
módon szokás jelölni, ahol s_n=s(n) a sorozat ún. általános eleme (n∈ℕ⁺), az 'n' természetes szám pedig a sorozatelem indexe vagy sorszáma.

• A sorozatokat megadhatjuk a sorozat első néhány elemének felsorolásával vagy egy táblázattal, ahol a "hozzárendelési utasítás(oka)t a gyerek fedezi fel, illetve adja meg" (Vajda 1996: 51).
• Periodikusan ismétlődő elemeket tartalmazó sorozatokat pl. színes alakzatokból felépített ábrák (ún. "sorozatminták") segítségével is megadhatunk, amely rendkívül szemléletessé teheti a sorozatok képzési szabályát. (Egydimenziós mintára példa lehet egy gyöngysor, kétdimenziós mintára pedig egy hímzés.)

A véges sorozatok úgy is felfoghatók, mint a 'B' halmaz önmagával képzett direkt szorzatának az elemei (ahol a direkt szorzat annyi tényezőből áll, ahány elemből áll a sorozat). Például egy 'n' elemből álló véges sorozat egy rendezett szám n-esnek felel meg, amely a Bⁿ direkt szorzat egy meghatározott eleme. Ha a 'B' halmaz véges, és |B|=m, akkor mⁿ darab különböző 'n' elemű sorozatot alkothatunk a 'B' halmaz elemeiből.

Az s:ℕ⁺→B⊆ℝ függvényt számsorozatnak nevezzük. (Egyes esetekben az első sorozatelem indexe zérus, azaz egy számsorozatot s:ℕ→B⊆ℝ leképezéssel is megadhatunk.)

• A számsorozatok szokásos megadása általában képlettel történik, amely a sorozat általános elemének (s_n) kiszámítási módját adja meg.

Például az s_n=1/n sorozat első négy eleme s₁=1, s₂=1/2, s₃=1/3, s₄=1/4. A sorozat első 30 elemének ábrázolása grafikonon:

Egy másik példa: legyen

sn =	{	1/n	ha 'n' páratlan
		n	ha 'n' páros

Ekkor az s_n sorozat első négy eleme s₁=1, s₂=2, s₃=1/3, s₄=4.

Egy sorozat általános elemét sokszor a megelőző elem vagy elemek segítségével állítjuk elő. Ilyenkor rekurzív definícióról (vagy rekurzív megadásról) beszélünk.

• Rekurzív definíció esetén mindig meg kell adnunk a sorozat első elemét (s₁), ill. egyes esetekben a sorozat néhány további elemét (s₂, ...) is.

Például az
s₁ = 1
s₂ = 1
s_n = s_n−1 + s_n−2
rekurzív képlettel megadott ún. Fibonacci-sorozat^⇒ első néhány eleme s₁=1, s₂=1, s₃=2, s₄=3, s₅=5, s₆=8, ... (jegyezzük meg, hogy a Fibonacci-sorozat esetében szokás a sorozat nulladik eleméről is beszélni, amely s₀=0).

A sorozatok képlettel vagy rekurzív definícióval történő megadása egy algoritmust ad meg, amellyel a sorozat elemei előállíthatók.

Mivel a számsorozatok speciális függvények, esetükben is értelmezhetjük az alábbi tulajdonságokat:

• korlátosság:
  • a számsorozat alulról korlátos, ha van olyan K_a valós szám, amelyre K_a≤s_i teljesül (i∈ℕ⁺);
  • a számsorozat felülről korlátos, ha van olyan K_f valós szám, amelyre s_i≤K_f teljesül (i∈ℕ⁺);
  • a számsorozat korlátos, ha van olyan K valós szám, amelyre |s_i|≤K teljesül (i∈ℕ⁺) (a számsorozat akkor és csak akkor korlátos, ha alulról és felülről is korlátos).
• monotonitás:
  • ha a számsorozat elemeire s_i≤s_i+1 (i∈ℕ⁺) teljesül, a számsorozatot monoton növekvőnek nevezzük;
  • ha a számsorozat elemeire s_i<s_i+1 (i∈ℕ⁺) teljesül, a számsorozatot szigorúan monoton növekvőnek nevezzük;
  • ha a számsorozat elemeire s_i≥s_i+1 (i∈ℕ⁺) teljesül, a számsorozatot monoton csökkenőnek nevezzük;
  • ha a számsorozat elemeire s_i>s_i+1 (i∈ℕ⁺) teljesül, a számsorozatot szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük.

Például az s_n=1−1/n sorozat korlátos (K_a=0, K_f=1, K=1) és szigorúan monoton növekvő, mivel
s_n=1−1/n=n/n−1/n=(n−1)/n=[(n−1)*(n+1)]/[n*(n+1)]=[n*n−1]/[n*(n+1)] és
s_n+1=1−1/(n+1)=(n+1)/(n+1)−1/(n+1)=n/(n+1)=[n*n]/[n*(n+1)] miatt
s_n<s_n+1
teljesül minden n∈ℕ⁺ pozitív természetes számra. A sorozat első 30 elemének ábrázolása grafikonon:

Érdemes megfigyelnünk a következőket:
(1) Az s_n sorozat szomszédos elemeinek különbsége
    Δ_n=s_n+1−s_n=1/[n*(n+1)]>0
'n' növelésével egyre kisebb lesz, sőt "minden határon túl csökken". Másképpen megfogalmazva: a Δ_n különbségek maguk is számsorozatot alkotnak, és az "egyre nagyobb" sorszámú sorozatelemek a zérus számhoz "egyre közelebb" lesznek. Ezt Δ_n→0 (ha n→∞) módon jelölhetjük, és a Δ_n sorozatot nullsorozatnak nevezzük. (A "minden határon túl csökken" megfogalmazását később, a (3) pontban pontosítjuk.)

(2) Bármilyen kis 0<ε≪1 valós számot választunk, ha veszünk két s_k, s_m tetszőleges sorozatelemet (k≥m), amelyek mindegyike az N_ε=1/ε küszöbszámnál nagyobb indexű, akkor vannak olyan r≥t≥0 természetes számok, amelyekre k=N_ε+r és m=N_ε+t teljesül. Ekkor
    Δ=s_k−s_m= 1/m−1/k= (r−t)/[(N_ε+r)*(N_ε+t)]< 1/N_ε=ε
teljesül. (Vezessük be az x=N_ε változót, ekkor a fenti egyenlőtlenségből x>0 miatt egyszerű átszorzással x*(r−t)<(x+r)*(x+t) adódik. A zárójeleket felbontva és egyszerűsítve a 0<x²+2*t*x+r*t egyenlőtlenséget kapjuk, amely x>0, r≥t≥0 miatt nyilvánvalóan fennáll.)
Tehát bármilyen kis 0<ε≪1 valós számot választunk, ha az 'n' sorszám értékét elegendően nagyra választjuk, akkor két tetszőleges sorozatelem távolsága (abszolút értelemben vett különbsége) ε értékénél kisebb lesz. Szemléletesen megfogalmazva: egy adott sorszámtól kezdődően a sorozatelemek egy ε>0 szélességű intervallumban helyezkednek el (vagyis "összesűrűsödnek").

(3) A sorozat elemeinek eltérése az 1 számtól (másképpen megfogalmazva az u_n=1 konstans elemekből álló sorozat azonos indexű elemeitől)
    Δ_n=u_n−s_n=1−s_n=1−(1−1/n)=1/n>0
Ez a különbség az 'n' növelésével egyre kisebb lesz, sőt "minden határon túl csökken", vagyis Δ_n→0 (ha n→∞) teljesül. Ezt a következőképpen is megfogalmazhatjuk:

Bármilyen kis 0<ε≪1 valós számot választunk, ha 'n' értékét elegendően nagyra választjuk (pl. ha n>N_ε=1/ε teljesül), akkor a Δ_n különbség értéke ε értékénél kisebb lesz.

A fentiek alapján a Δ_n sorozatot nullsorozatnak nevezzük, ha bármilyen kis 0<ε≪1 valós szám esetében, ha 'n' értékét elegendően nagyra választjuk, akkor onnantól kezdve minden 'n'-nél nagyobb sorszámú sorozatelemre 0≤|Δ_n|<ε teljesül.

(4) A fenti tulajdonságok fennállása esetén beszélünk a sorozatok határértékéről. Esetünkben az s_n sorozat határértéke 1, amit s_n→1 (n→∞) módon jelölünk. Vegyük észre, hogy ha képezzük az s_n sorozat elemeinek a határértéktől való eltéréseit (azaz esetünkben a Δ_n=|s_n−1| sorozatot), az így kapott Δ_n sorozat nullsorozat.

Értelmezzük végül a sorozatokra a periodicitás fogalmát.

• periodicitás: az s_n számsorozat esetében létezik olyan k∈ℕ⁺ szám, hogy minden n∈ℕ számra s_n+k=s_n teljesül. A fenti tulajdonságú számsorozatot periodikusnak, a legkisebb ilyen tulajdonságú 'k' számot pedig az s_n számsorozat periódusának nevezzük. (Ilyenkor szokásos a k-periodikus sorozat elnevezés is.)

Például ha div jelöli az egész osztás és mod a maradékképzés műveletét, akkor a q=7/13≈0.538461538461538... szám tizedesjegyeit az alábbi két sorozat állítja elő:
    s₁=7
    d_n=(10*s_n) div 13 (n∈ℕ⁺)
    s_n+1=(10*s_n) mod 13 (n∈ℕ⁺)
Például
    7=0*13+7 (d₀=0, s₁=7; "7-ben a 13 megvan 0-szor, maradt a 7")
    70=5*13+5 (d₁=5, s₂=5; "70-ben a 13 megvan 5-ször, maradt az 5")
    50=3*13+11 (d₂=3, s₃=11; "50-ben a 13 megvan 3-szor, maradt a 11")
...

Vegyük észre, hogy a d_n és s_n sorozatok előállítása megfelel a jól ismert osztási algoritmusnak, ahol
– a d_n sorozat elemei a hányados tizedesjegyeinek (0≤d_n<10),
– az s_n sorozat elemei az osztási maradékoknak (0≤s_n<13)
felelnek meg.
A rekurzív módon megadott s_n és d_n sorozatok periodikusak:

Például számoljuk ki az alábbi sorozatelemeket:
d₁=(10*s₁) div 13=10*7 div 13=70 div 13=5 (mivel 70/13≈5.384615...)
s₂=(10*s₁) mod 13=10*7 mod 13=70 mod 13=5 (mivel 5*13=65, a maradék pedig 70-65=5)
d₂=(10*s₂) div 13=10*5 div 13=50 div 13=3 (mivel 50/13≈3.846153...)
s₃=(10*s₂) mod 13=10*5 mod 13=50 mod 13=11 (mivel 3*13=39, a maradék pedig 50-39=11)
és így tovább...

Általános esetben (pl. q=5/4 esetén stb.) előfordulhat, hogy egy adott m∈ℕ⁺ esetén s_m=0 teljesül. Ettől az 'm' számtól kezdődően a maradék minden m'>m természetes szám esetén zérus lesz.

Az előző feladat megfordítása az, hogy egy végtelen szakasos tizedes tört esetén keressük meg azt a racionális törtszámot, amely az adott tizedestörtet állítja elő. Például vizsgáljuk meg az algoritmust az előzőekben használt q=0.538461538461538... végtelen szakaszos tizedes törtre.^⇒ Ha a kapott racionális törtszám számlálójában és nevezőjében nagy egész számok fordulnak elő, érdemes megvizsgálnunk azt, hogy a tört egyszerűsíthető-e, azaz a számláló és nevező legnagyobb közös osztója egynél nagyobb-e. Az előző példában a számlálóra 538461 és a nevezőre 999999 adódik, amelyek legnagyobb közös osztója egyszerűen meghatározható.^⇒

5.2. A számosság fogalma

Legyenek H₁ és H₂ tetszőleges halmazok. A két halmazt egyenlő számosságúnak ("számosságilag ekvivalensnek") nevezzük, ha létezik φ : H₁→H₂ bijektív leképezés^⇒ a két halmaz között.

Egy H halmaz számosságát |H| módon jelöljük. Ha a H₁ és H₂ halmazok egyenlő számosságúak, akkor ezt H₁ ~ H₂ vagy |H₁| = |H₂| módon jelöljük. (Előfordul a H₁≅H₂ jelölés is, pl. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 56 et passim.)

Ha két véges halmaz között létezik bijektív leképezés, akkor a halmazok elemszáma megegyezik. Másrészt ha két véges halmaz elemszáma megegyezik, akkor mindig létesíthetünk köztük bijektív leképezést (például úgy, hogy a halmazok elemeit sorszámmal látjuk el, és az azonos sorszámú elemeket rendeljük egymáshoz). Emiatt véges halmazok esetében a számosságot a halmaz elemeinek a számával adjuk meg.

Például legyen egy osztályban a tanulók I halmaza

I = {"Tercsi", "Fercsi", "Kata", "Klára", "Anett", "Peti", "Mari", "Pisti", "Zoli", "Zsuzsa"}.

Az 'I' halmaz 10 elemből áll (|I|=10), és bijektív módon leképezhető a természetes számok {1,2,...,10} halmazára például úgy, hogy névsorba szedjük a tanulók neveit, és minden tanulóhoz hozzárendeljük a tanuló sorszámát. (Megjegyzés: ha két azonos név szerepel, ezeket pl. római számokkal megkülönböztetjük.)

Vegyük észre, hogy az 'I' halmaz elemszámát (azaz az 'I' véges halmaz számosságát) az utolsó elem sorszáma adja.

Ha egy tetszőleges véges 'H' halmaz elemeihez sorszámot rendelünk, akkor bijektív módon leképezzük a 'H' halmazt a természetes számok {1,2,...,n}⊂ℕ részhalmazára (ahol n=|H| a 'H' halmaz elemeinek a száma). Ez lehetőséget ad a természetes szám fogalmának az értelmezésére.^⇒

Amikor egy 'n' elemű 'H' halmaz elemeihez sorszámot rendelünk, akkor egy bijektív
    ψ:H→S⊆ℕ⁺
leképezést hozunk létre (ahol S={1,2,...,n} a sorszámok halmaza). A ψ leképezés bijektivitása miatt létezik a φ=ψ⁻¹ inverz függvény. Mivel
    φ:S⊆ℕ⁺→H
ezért a φ leképezés létrehozásával a 'H' halmaz elemeit lényegében "sorozatba rendezzük", vagyis egy (véges) sorozatot^⇒ definiálunk.

---

Legyen ℋ tetszőlegesen választott halmazokból álló halmaz (ún. halmazrendszer). (ℋ elemei egyaránt lehetnek véges és végtelen^⇒ halmazok.)

A ℋ halmazrendszeren értelmezett  ~  reláció ekvivalenciareláció.^⇒ Tetszőleges H₁, H₂, H₃∈ℋ halmazokra teljesülnek ugyanis az alábbi tulajdonságok:

• reflexivitás: H₁ ~ H₁ (bármely x∈H₁ esetén legyen φ(x)=x; az így értelmezett φ(x) : H₁→H₁ függvény a H₁ halmaz bijektív leképezése önmagára);
• szimmetria: H₁ ~ H₂ akkor és csak akkor teljesül, ha H₂ ~ H₁ (ha φ(x) : H₁→H₂ bijektív leképezés, akkor a φ⁻¹(x) : H₂→H₁ inverz függvény^⇒ szintén bijektív leképezés);
• tranzitivitás: H₁ ~ H₂ és H₂ ~ H₃ teljesüléséből H₁ ~ H₃ következik (ha φ(x) : H₁→H₂ és ψ(x) : H₂→H₃ bijektív leképezések, akkor az η(x)=(ψ∘φ)(x) : H₁→H₃ összetett függvény^⇒ szintén bijektív leképezés).

A ℋ halmazrendszeren értelmezett  ~  ekvivalenciareláció létrehozza a ℋ halmazrendszer egy osztályozását,^⇒ ahol az egyes ekvivalenciaosztályokba egyenlő számosságú halmazok tartoznak. Az egyes ekvivalenciaosztályokba tartozó halmazok számosságát kardinális számnak nevezzük (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 73). Véges halmazok esetén egy halmaz kardinális száma megegyezik a halmaz elemeinek a számával.

Összefoglalva: egy tetszőleges ℋ halmazrendszer esetén az egyenlő számosság alapján képzett ekvivalenciaosztályokba azok a (számosságilag ekvivalens) halmazok tartoznak, amelyek között bijektív leképezés valósítható meg (vagyis "ugyanannyi elemük van"). A kardinális szám ezeknek a halmazoknak a (közös) számossága, így a számosságilag ekvivalens halmazok kardinális száma megegyezik.

Ha egy ekvivalenciaosztályból kiválasztunk egy tetszőleges halmazt, azt az ekvivalenciaosztály osztályreprezentánsának nevezzük.

• Az azonos ekvivalenciaosztályokból választott osztályreprezentánsok kardinális száma megegyezik.
• A különböző ekvivalenciaosztályokból választott osztályreprezentánsok kardinális száma különböző.

Mivel véges halmazok esetén egy halmaz számossága megegyezik a halmaz elemszámával, egy véges halmazokból álló ekvivalenciaosztály bármelyik osztályreprezentánsának az elemszáma megegyezik az ekvivalenciaosztályba tartozó halmazok közös elemszámával (ti. ebben az esetben minden ekvivalens halmaz elemszáma ugyanaz).

A természetes számok értelmezésekor^⇒ ℋ helyett egy olyan Σ halmazrendszert használunk, amelynek az elemei véges halmazok (de a Σ halmazrendszer végtelen sok véges halmazt tartalmaz).

A Σ halmazrendszernek az alábbi tulajdonságokkal kell rendelkeznie (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 81-82; Brindza 1996: 61-62):

• a Σ halmazrendszer véges halmazokat tartalmaz;
• az üres halmaz a Σ halmazrendszer eleme, azaz ∅∈Σ;
• a különböző tulajdonságú objektumokat (pl. almák, kockák, virágcserepek stb.) tartalmazó minden véges H∈Σ alaphalmaz esetén teljesül, hogy H-val együtt H minden részhalmaza is eleme Σ-nak (azaz 2^H⊆Σ teljesül). Vagyis
  • bármely x∈H elemre {x}∈Σ (feltéve, hogy H legalább egy elemű);
  • bármely két különböző x, y∈H elemre {x,y}∈Σ (feltéve, hogy H legalább két elemű);
  • bármely három különböző x, y, z∈H elemre {x,y,z}∈Σ (feltéve, hogy H legalább három elemű);
  • ...

Ha megengedjük egy tetszőleges K∈Σ halmazon belül különböző típusú (különböző alaphalmazokba tartozó) elemek előfordulását ("keveredését"), akkor azt kell feltennünk, hogy

• bármilyen K∈Σ halmaz,
• bármilyen H∈Σ alaphalmaz,
• és ennek bármilyen x∈H, x∉K eleme esetén

a K'=K∪{x} halmaz szintén eleme a Σ halmazrendszernek, azaz K'∈Σ teljesül. Ez megfelel annak, hogy a Σ halmazrendszerbeli alaphalmazok uniójának hatványhalmaza szintén része a Σ halmazrendszernek, azaz 2^{H₁∪H₂∪...}⊆Σ teljesül. (Mivel az alaphalmazok hatványhalmaza része a Σ halmazrendszernek, ezért tetszőlegesen választott alaphalmazok metszetének hatványhalmaza is része a Σ halmazrendszernek.)

Másképpen megfogalmazva: tetszőlegesen választott H₁, H₂, ... alaphalmazok unióját is alaphalmaznak tekintjük.

A konstrukció lényege az, hogy a Σ halmazrendszer elég nagy ahhoz, hogy benne minden lehetséges számosságú véges halmaz előforduljon, valamint zárt legyen a halmazok között korábban értelmezett műveletekre.
A Σ halmazrendszer lényegében egyfajta "világhalmaz", amely az összes, a tanítás során felhasználható véges halmazt magában foglalja.

A Σ halmazrendszer elemei véges halmazok. Az ezekhez rendelt kardinális számok leképezik a Σ halmazrendszert a természetes számok ℕ halmazába. Ez lehetőséget ad a természetes szám fogalmának halmazelméleti értelmezésére.^⇒

---

Mind a sorszám fogalma (a kis elemszámú halmazok elemeinek elnevezése és "megszámlálása"), mind pedig a véges halmazok kardinális számának a fogalma (az "azonos elemszám" felismerése) alkalmas a természetes számok fogalmának bevezetésére. Azonban a tizes számrendszert alapul véve az első 10-12 szám (a decimális számjegyek, esetleg a 10-es szám stb.) bevezetése után mindkét esetben előbb-utóbb szükség van a "nagyobb" természetes számok formális, valamilyen algoritmus segítségével történő azonosítására. Erre szolgál a későbbiekben a helyiérték fogalma, és a számok adott (célszerűen tízes) számrendszerben történő előállítása (amelynek segítségével már tetszőleges természetes számot "elnevezhetünk").^⇒

---

Az 'A' halmaz kisebb számosságú, mint a 'B' halmaz (azaz |A|<|B|), ha

• az 'A' halmaz számosságilag ekvivalens a 'B' halmaz egy valódi B_s⊂B részhalmazával (azaz A~B_s, ill. |A|=|B_s| teljesül) és
• az 'A' halmaz számossága különbözik a 'B' halmaz számosságától (azaz |A|≠|B|).

Megjegyzések:
(1) Mivel egy halmaz nyilvánvalóan számosságilag ekvivalens önmagával, a fenti definícióban 'valódi részhalmaz' viszony helyett elegendő lenne egyszerűen a 'részhalmaz' viszonyt megkövetelni.
(2) Az A és a B halmazok számossága akkor egyenlő, ha a halmazok bijektív módon leképezhetők egymásba. Véges halmazok esetén ez csak akkor lehetséges, ha a halmazok elemszáma megegyezik. De később látni fogjuk, hogy végtelen halmazok esetén egy halmaz és egy valódi részhalmaza lehet azonos számosságú.

A definíció alapján egy tetszőleges 'A' halmaz számossága sosem lehet kisebb, mint egy részhalmazának a számossága. (Egyenlő viszont lehet, például végtelen halmazok^⇒ esetében.) (Tegyük fel indirekt módon, hogy B⊆A és |A|<|B| teljesül. Ekkor azonban a definíció alapján A⊂B (valamint |A|≠|B|) teljesül, ami ellentmondás (mivel egy halmaz sem valódi része önmagának). Ha a definícióban nem valódi részhalmaz viszony szerepelne, akkor pedig B⊆A és A⊆B együttes teljesüléséből A=B következne, de ez |A|≠|B| miatt szintén ellentmondáshoz vezetne.)

Egy 'A' halmaz A_s⊆A részhalmaza vagy kisebb, vagy egyenlő számosságú, mint az 'A' halmaz (azaz vagy |A_s|<|A| vagy |A_s|=|A| teljesül).

Egy tetszőleges A halmaz mindig kisebb számosságú, mint a hatványhalmaza^⇒ (azaz |A|<|2^A| teljesül; ún. Cantor-tétel^⇒). (Emiatt elvileg minden számosságnál van nagyobb számosság.)

---

Jelöljön ℋ ismét egy tetszőlegesen választott halmazokból álló halmazrendszert. A ℋ halmazrendszer ekvivalenciaosztályai között értelmezett "kisebb számosságú" (<) reláció irreflexív rendezési reláció.^⇒ Tetszőleges A, B, C∈ℋ halmazokra teljesülnek ugyanis az alábbi tulajdonságok:

• irreflexivitás: |A|≮|A| (vagyis egy halmaz sosem kisebb számosságú, mint önmaga);
• aszimmetria: ha |A|<|B| teljesül, akkor ebből |B|≮|A| teljesülése következik;
• tranzitivitás: ha |A|<|B| és |B|<|C| teljesül, akkor ebből |A|<|C| teljesülése következik.

A ℋ halmazrendszer ekvivalenciaosztályai között értelmezett "kisebb számosságú" (<) reláció teljes irreflexív rendezési reláció, ugyanis tetszőleges A, B∈ℋ halmazokra mint osztályreprezentánsokra az |A|<|B|, |B|<|A| és |A|=|B| relációk közül (pontosan) az egyik mindig teljesül (azaz a reláció trichotóm^⇒).

Az 'A' halmaz nagyobb számosságú, mint a 'B' halmaz (azaz |A|>|B|), ha a 'B' halmaz kisebb számosságú, mint az 'A' halmaz (azaz |B|<|A|). Hasonlóan értelmezhetjük az |A|≥|B| és |A|≤|B| rendezési relációkat is.

A ℋ halmazrendszeren értelmezett "kisebb számosságú" (<) reláció alapján a nem egyenlő számosságú ℋ-beli halmazok számosság szerint sorba rendezhetők.

A korábban bevezetett Σ halmazrendszer elemei (amelyek véges halmazok) az "egyenlő számosságú" reláció alapján számosságilag ekvivalens halmazokból álló ekvivalenciaosztályokba^⇒ sorolhatóak.

Válasszunk ki minden ekvivalenciaosztályból pontosan egy osztályreprezentánst. Mivel az osztályreprezentánsok különböző ekvivalencia­osztályokba tartoznak, számosságuk különböző lesz.

Rendezzük el az osztályreprezentánsokat a "kisebb számosságú" (<) reláció alapján. Így a következő sorozathoz juthatunk, amelyben a sorozat egyes elemeinek számosságát elnevezhetjük:

osztályreprezentánsok sorozata	a számosság (kardinális szám) elnevezése
∅∈Σ vagy {}∈Σ (üres halmaz, "nulla elemű" halmaz)	"nulla" (0)
{x}∈Σ (egy elemű halmaz)	"egy" (1)
{x,y}∈Σ (két elemű halmaz)	"kettő" (2)
{x,y,z}∈Σ (három elemű halmaz)	"három" (3)
...	...

Az osztályreprezentánsok rendezett sorozatában található halmazok számosságait természetes számoknak nevezzük (Brindza 1996: 62).

Megjegyzés: 10-nél nagyobb természetes számok esetén az "elnevezéshez" már szükségünk van a helyiérték fogalmára is.

---

Legyen A egy és B két tetszőleges halmaz, amelyeken értelmezettek a
   ρ ⊆ AΧA és a
   σ ⊆ BΧB
teljes rendezési relációk. Ekkor azt a φ(x) : A→B leképezést, amelyre teljesül, hogy minden olyan x, y∈A elemre, amelyekre ρ(x,y) teljesül,
   σ(φ(x),φ(y))
is teljesül, hasonlósági leképezésnek nevezzük. Szemléletesen azt mondhatjuk, hogy a φ(x) leképezés megőrzi a rendezési relációt vagy megtartja a rendezettséget az 'A' és 'B' halmazok között (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 83-84).

Ha az A és B halmazok között létezik hasonlósági leképezés, a halmazokat hasonló halmazoknak nevezzük, és A≈B módon jelöljük.

Bármely két véges, számosságilag ekvivalens és rendezett halmaz hasonló egymáshoz (Borsodi-Göndöcs 1970: 84).

Legyen 'A' véges és rendezett halmaz, amelyre |A|=n teljesül, ahol n∈ℕ természetes szám. Ekkor az előző tétel értelmében
A≈{1,2,...,n}
teljesül, vagyis létezik olyan φ(x) : A→{1,2,...,n} hasonlósági leképezés, amely megőrzi az 'A' halmaz rendezettségét. A
φ(x)∈{1,2,...,n}
természetes számokat az x∈A halmazelemek sorszámának nevezzük. Vegyük észre, hogy az 'A' véges (és rendezett) halmaz elemeihez rendelt sorszámok közül a legnagyobb sorszám a halmaz számosságával egyezik meg.

5.3. Végtelen halmazok számossága

Egy halmazt végtelen számosságúnak (vagy egyszerűen végtelennek) nevezünk, ha van olyan valódi részhalmaza,^⇒ amellyel számosságilag ekvivalens. Ennek megfelelően egy halmazt végesnek nevezünk, ha nem végtelen.

A végesség definíciója összhangban áll azzal, hogy egy véges halmaz elemszáma mindig nagyobb, mint bármelyik valódi részhalmazának az elemszáma. Ha pedig két véges halmaz elemszáma különböző, akkor nem lehet köztük bijektív leképezést megvalósítani, vagyis nem lehetnek számosságilag ekvivalensek.

Például a természetes számok ℕ halmaza végtelen, mert
– egyrészt a páros számok halmaza
    P = {n∈ℕ | 2|n}
a természetes számok valódi részhalmaza (P⊂ℕ);
– másrészt
    φ(n) : ℕ→P, φ(n)=2*n (n∈ℕ)
bijektív leképezés a természetes számok és a páros számok között;
tehát P~ℕ és emiatt |P|=|ℕ| teljesül.

Egy halmazt megszámlálhatóan végtelennek nevezünk, ha a természetes számok ℕ halmazával számosságilag ekvivalens.

Azok a halmazok megszámlálhatók, amelyek sorozatba^⇒ rendezhetők (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 77).

---

Példák megszámlálhatóan végtelen halmazokra:

• a természetes számok halmaza (ℕ)
  • a páros számok halmaza
  • a hárommal osztható számok halmaza
  • a néggyel osztható számok halmaza
  • ...
  • a primszámok halmaza
• a pozitív természetes számok halmaza (ℕ⁺)
  • egy s_n:ℕ⁺→ℝ szigorúan monoton növekvő (vagy csökkenő) számsorozat^⇒ értékkészlete (azaz az Rng(s_n)⊂ℝ halmaz)
    (Mivel a számsorozat elemei között azonosak is lehetnek, tetszőleges sorozat esetén csak annyit állíthatunk, hogy értékkészlete megszámlálható, azaz véges vagy megszámlálhatóan végtelen.)
• az egész számok halmaza (ℤ)
• a racionális számok halmaza (ℚ)

Példák nem megszámlálhatóan végtelen halmazokra:

• a valós számok halmaza (ℝ) (a valós számok halmazának számosságát kontinuum számosságnak nevezzük; bizonyítható, hogy |ℕ|≠|ℝ| (emiatt |ℕ|<|ℝ|), valamint |2^ℕ|=|ℝ|, azaz a valós számok számossága megegyezik a természetes számok hatványhalmazának a számosságával^⇒);
• egy egyenes (szakasz, kör stb.) pontjainak halmaza.

A véges és megszámlálhatóan végtelen halmazok közötti műveletek egyes esetekben megszámlálhatóan végtelen halmazt eredményeznek:

• Egy véges és egy megszámlálhatóan végtelen halmaz uniója megszámlálhatóan végtelen halmaz.
  • Véges számú véges és egy megszámlálhatóan végtelen halmaz uniója megszámlálhatóan végtelen halmaz.
• Két megszámlálhatóan végtelen halmaz uniója megszámlál­hatóan végtelen halmaz.
  • Véges számú megszámlálhatóan végtelen halmaz uniója megszámlálhatóan végtelen halmaz.
• Két megszámlálhatóan végtelen halmaz direkt szorzata megszámlálhatóan végtelen halmaz.
  • Véges számú megszámlálhatóan végtelen halmaz direkt szorzata megszámlálhatóan végtelen halmaz.
  • Egy megszámlálhatóan végtelen 'A' halmaz elemeiből összeállítható összes véges sorozatok (azaz az 'A' halmaz véges Aⁿ hatványainak^⇒) 'S' halmaza megszámlálhatóan végtelen halmaz (vö. Dringó-Kátai 1986: 114-115).

---

Érvényes továbbá a következő tétel:

Megszámlálhatóan végtelen számú megszámlálhatóan végtelen halmaz uniója szintén megszámlálhatóan végtelen halmaz.

A tétel bizonyításához tekintsük a következő, negszámlálhatóan végtelen számú és megszámlálhatóan végtelen számosságú halmazokat:

• A₁={a₁₁,a₁₂,a₁₃,...}
• A₂={a₂₁,a₂₂,a₂₃,...}
• A₃={a₃₁,a₃₂,a₃₃,...}
• ...

Rendezzük el a fenti halmazok
   A={a_ij∈A_ij | i,j∈ℕ⁺}
uniójának elemeit a következőképpen:

a11	→	a12		a13	→	a14	...
	↙		↗		↙
a21		a22		a23		a24	...
↓	↗		↙		↗
a31		a32		a33		a34	...
...

Tekintsük a fenti módon elrendezett számokat egy s_n : ℕ⁺→ℝ számsorozat elemeinek, azaz legyen

• s₁=a₁₁
• s₂=a₁₂
• s₃=a₂₁
• s₄=a₃₁
• s₅=a₂₂
• s₆=a₁₃
• s₇=a₁₄
• s₈=a₂₃
• s₉=a₃₂
• ...

Megállapíthatjuk a következőket:

• Az 'A' halmaz az s_n számsorozat értékkészlete, azaz A=Rng(s_n) teljesül.
  • Mivel az s_n számsorozat egy részsorozata az A₁ halmaz elemeiből áll, amely megszámlálhatóan végtelen, továbbá A₁⊆A teljesül, az 'A' halmaz számossága nem lehet kisebb, mint A₁ számossága.
• Ha az A_i halmazok diszjunktak, akkor s_n bijektív leképezést valósít meg ℕ⁺ és az 'A' halmaz között, tehát 'A' számossága megegyezik ℕ⁺ számosságával. 'A' tehát megszámlálhatóan végtelen halmaz.
  • Ha az A₁, A₂, A₃, ... halmazoknak vannak azonos elemei, akkor az s_n számsorozat elemeinek meghatározásakor^⇒ egyszerűen hagyjuk ki az ismétlődő elemeket, vagyis azokat a sorozatelemeket, amelyek egy korábbi elemmel megegyeznek. Az így kapott sorozat értékkészlete megegyezik az 'A' halmazzal (mivel egy halmaznak nincsenek azonos elemei), és mivel a sorozat elemei különbözőek, s_n bijektív leképezést valósít meg ℕ⁺ és az 'A' halmaz között.

Következmények:

(1) A természetes számokból képzett rendezett számpárok halmaza megszámlálhatóan végtelen. (A fenti jelölésekkel legyen a_ij=(i,j). Ekkor az s_n sorozat nyilvánvalóan a természetes számokból képezhető összes számpárt tartalmazza.)

(2) A pozitív racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen. (Rendeljük hozzá a pozitív természetes számokból képezhető (i,j) számpárokhoz az i/j törtet. Így az összes pozitív racionális számot megkapjuk.)

(3) A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen. (A racionális számok halmaza előállítható a negatív és pozitív racionális számok halmazának, valamint a {0} halmaznak az uniójaként.)

Azonban ha a korábbi tételben unióképzés helyett direkt szorzatok szerepelnek, már nem megszámlálható halmazhoz jutunk:

Megszámlálhatóan végtelen számú véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz direkt szorzata nem megszámlálhatóan végtelen halmaz.

Például a [0,1) közötti valós számokat előállítva
    0.d₁d₂d₃... (0≤d_i≤9, i∈ℕ)
tizedestört alakban kontinuum számosságú halmazt kapunk.

5.4. A természetes számfogalom kialakítása

A továbbiakban csak véges halmazokkal foglalkozunk.

Ahhoz, hogy a számfogalom minél szélesebb körű absztrakció eredménye legyen, át kell gondolnunk, hogy melyek azok a mindennapi szituációk, amelyekben számokkal találkozunk. Ennek megfelelően a természetes számot darabként^[I.], sorszámként^[II.] és mérőszámként egyaránt értelmezzük. (Herendiné Kónya 2013: 12)

I. A természetes számokat értelmezhetjük véges halmazok számosságaiként.

• A természetes számok véges halmazok számosságai. (Szendrei 1975: 47)
• Két véges halmaz számosságát (vagyis elemszámát, az elemek "darabszámát") kölcsönösen egyértelmű leképezésekkel hasonlíthatjuk össze.
• A természetes szám fogalmának megalapozásához legfontosabb a korábban bevezetett Σ halmazrendszeren^⇒ értelmezett "ugyanannyi eleme van" reláció megállapítása különböző módon kiválasztott (véges) halmazokra (vö. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 59).
  • Az ugyanannyi elemmel rendelkező véges halmazok számosság szerint azonos ekvivalenciaosztályba tartoznak. Tehát a számosság az azonos ekvivalenciaosztályokba tartozó halmazok közös tulajdonsága. Ha eltekintünk a halmazok egyéb tulajdonságaitól, egy absztrakciót hajtunk végre. Így vezethetjük be a természetes számokat mint a halmazok kardinális számát.^⇒
  • Ha két halmazra nem teljesül az "ugyanannyi eleme van" reláció, a következő lépés értelemszerűen a "több (kevesebb) eleme van" reláció megállapítása. (Ehhez a nagyobb elemszámú halmaznak egy olyan valódi részhalmazát kell kiválasztanunk, amelynek ugyanannyi eleme van, mint a kisebb elemszámú halmaznak.)

II. Egy halmaz számosságát közvetlenül, számlálással is meghatározhatjuk.

• Az egyes halmazelemeket elrendezzük és az elemeket megszámozzuk, azaz sorszámot rendelünk hozzájuk.
  • A természetes számok bevezetése sorszámként elősegíti a természetes számok elnevezésének és sorrendjének a megtanulását.
• A halmaz számosságát a rendezett halmaz utolsó elemének a sorszáma adja. Ebben az értelemben a számlálás olyan eljárás, amellyel véges halmazok számosságát, vagyis az egyes halmazokhoz rendelhető kardinális számot határozhatjuk meg.

Tekintsünk át néhány feladattípust, amelyek az alsó tagozaton elvezethetnek a természetes számok fogalmának kialakításához:

• halmazok képzése hasonló elemek kiválasztásával
  • közös tulajdonságok alapján (pl. az elemek színe, nagysága, alakja vagy formája, hasonló részletek (szögek, lábak stb.) megléte vagy száma szerint) (pl. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 60)
  • közös típusba vagy fajtába tartozás alapján (pl. almák, kockák, virágcserepek, sálak, sapkák stb.) (pl. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 61, Herendiné Kónya 2013: 13)
• két halmaz összehasonlítása az elemek száma szerint, az egyes elemek párosításával
  • inhomogén halmazok esetén a kapcsolatban álló elemek összekötésével (pl. pohár - szívószál, váza - virág, papír - ceruza stb.) (pl. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 59)
  • homogén vagy inhomogén, rendezetlen halmazok esetén tetszőlegesen párosítva az elemeket (pl. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 60)
• több halmaz összehasonlítása az elemek száma szerint
  • azonos elemszámú vagy számosságú halmazok csoportosítása (pl. egy ábrán bekeretezéssel) (pl. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 61)
  • számosságilag ekvivalens halmazokat tartalmazó halmazcsoportokhoz kardinális szám rendelése a halmazokkal megegyező számosságú számképek hozzákapcsolásával (a számképek adott számú pöttyöt, kört, vonalt, háromszöget, négyzetet stb. tartalmazó halmazok; vö. pl. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 60-61)
    • a számképek absztrakt alakzatokat tartalmazó, egy adott halmazzal megegyező számosságú halmazok (egy adott számkép a vele azonos számosságú halmazokból alkotott ekvivalenciaosztály osztályreprezentánsának tekinthető)
  • egy megadott számképhez egy olyan halmaz előállítása, amelynek ugyanannyi eleme van, mint ami a számképben szerepel (pl. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 61)
• két halmaz összehasonlítása az elemek száma szerint a megfelelő relációjel (<, =, >) beírásával a halmazok között (pl. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 60, Herendiné Kónya 2013: 14)
• több halmaz összehasonlítása az elemek száma szerint, pl. vonalakkal és nyilakkal összekötve a halmazokat (pl. Herendiné Kónya 2013: 14)
  • az egyenlő (vagy azonos) számosságú halmazokat vonallal kössük össze
  • a → nyíl mutasson a nagyobb számosságú halmaz felé (pl. különböző (egyszeres, kétszeres stb.) vastagságú nyilak használhatóak egy halmaz tőle (eggyel, kettővel stb.) különböző elemszámú halmazokkal való összekötésére)
• egy adott elemszámú halmazhoz vele azonos elemszámú halmazok konstruálása (pl. tanulókhoz ceruzák, füzetek, szendvicsek stb. rendelése; vö. pl. Herendiné Kónya 2013: 15)
  • a hiányzó elemek berajzolásával (pl. több ceruza kell)
  • a felesleges elemek áthúzásával (pl. kevesebb füzet kell)
• homogén rendezett halmazok esetén az elemek nagyság szerinti elrendezése, és az elemek párosítása ebben a sorrendben (pl. a hét törpe és a hozzájuk tartozó tárgyak^⇒ stb.)
• két halmaz összehasonlítása az elemek tényleges száma szerint
  • a halmazok elemeinek párosítása (pl. vonallal összekötve az elempárokat), majd az egyes halmazok elemszámának megállapítása és a megfelelő számjegy hozzákapcsolása a halmazokhoz (pl. Bonifert-Kovácsné Győri 1987: 63)
  • homogén rendezett halmazok esetén nagyság szerint rendezve az egyes halmazok elemeit, és ebben a sorrendben párosítva az elemeket (pl. futóverseny stb.) (pl. Herendiné Kónya 2013: 19)
• egy halmaz elemeinek összekötése a természetes számokat tartalmazó {1,2,3,...} halmazzal és az utolsó (legnagyobb) szám bekarikázása (számlálás)
  • homogén rendezett halmaz esetén a halmaz elemeinek nagyság szerinti elrendezése, és az elemek sorszámának beírása (pl. futóverseny, sorbaállítás magasság, terület stb. szerint) (pl. Herendiné Kónya 2013: 19)

A természetes számok megismerését nagyon részletesen, körültekintően kell a tanítás során megvalósítanunk. Nullától tízig a számok tanítását egyesével, hasonló algoritmus szerint végezzük. (Herendiné Kónya 2013: 14)