Matematika 1

12.1. Kijelentéslogika; logikai azonosságok

A kijelentéslogika esetében nem foglalkozunk a kijelentések "belső szerkezetével" (Szendrei-Tóth 1978: 14).
Kijelentésváltozót kapunk például akkor, ha egy P(x) formulát (vagy nyitott mondatot) helyettesítünk a p ⇋ P(x) kijelentésváltozóval. (Ez tulajdonképpen megfelel annak, hogy a P(x):I→{0,1} formulát az I alaphalmaz egy tetszőleges x∈I eleme mellett vizsgáljuk.)
A továbbiakban

az egyes kijelentéseket vagy állításokat kijelentésváltozókkal^⇒ jelöljük (a kijelentések formalizálásakor a kijelentésváltozókat a p, q, ... kisbetűkkel jelöltük; a továbbiakban az A, B, C, ... nagybetűk segítségével fogjuk jelölni őket, amelyek a {0,1} halmazból vehetnek fel értékeket);

a kijelentésváltozókat olyan formuláknak^⇒ is tekinthetjük, amelyeknek nincsenek változói (ill. nem vesszük figyelembe őket), és eltekintünk a formula szerkezetétől;

vezessük be a szabványkijelentések fogalmát: azt az állítást, amely mindig igaz, a ⊤ szimbólummal ("szabvány-igaz"), azt az állítást pedig, amely mindig hamis, a ⊥ szimbólummal ("szabvány-hamis") fogjuk jelölni; ha 'P' egy tetszőleges kijelentésváltozó, a szabványkijelentések az arisztotelészi alapelvek^⇒ alapján is kifejezhetőek:

⊥ ⇋ (A ∧ ⌝A) (másképpen megfogalmazva, a ⌝(A ∧ ⌝A) kifejezés mindig igaz; ez az ellentmondás törvénye, vö. Dragálin-Buzási 1986: 89)
⊤ ⇋ (A ∨ ⌝A) (vagyis a (A ∨ ⌝A) kifejezés mindig igaz; ez a kizárt harmadik törvénye, vö. Dragálin-Buzási 1986: 88)

a kijelentésváltozókból és a szabványkijelentésekből a logikai műveletek,^⇒ valamint zárójelek segítségével összetett logikai kifejezéseket állíthatunk elő.

Azt az állítást, hogy "egy 'p' kijelentés igaz", a szabvány-igaz állítás felhasználásával p≡⊤ módon, azt pedig, hogy mindig igaz (azaz az adott tárgyalási univerzumban |p|=1 teljesül, vagyis 'p' logikai törvény), |p≡⊤|=1 módon írhatjuk le. Ez utóbbit a továbbiakban p = ⊤ módon jelöljük. (Ezzel azt fejezzük ki, hogy "p ekvivalens a szabvány igaz állítással". Egy másik lehetőség az ekvivalencia kifejezésére a p ~⊤ jelölés. Később a logikai törvény jelölésére bevezetjük a ⊨ p jelölést is.)
Például formalizáljuk az alábbi kijelentést: "Az az állítás, hogy 'ha a fű piros, akkor zöld', igaz." Legyen

p ⇋ "a fű piros";
q ⇋ "a fű zöld".

Ezekkel a jelölésekkel a kijelentés
p⊃q≡.⊤
módon formalizálható. Vizsgáljuk meg a kijelentést értéktáblázattal:

p q p⊃q ⊤ (p⊃q)≡.⊤
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1

Mivel 'p' hamis állítás, ezért |p|=0. Az értéktáblázatban kiemeltük azokat a sorokat, amelyekben 'p' értéke 0. A kiemelt sorokban a vizsgált p⊃q≡.⊤ logikai kifejezés értéke 1 (függetlenül a 'q' állítás igazságtartalmától), vagyis a kijelentés igaz. Általánosan megfogalmazva: egy implikáció mindig igaz, ha az előfeltétel (előtag) hamis.^⇒
Ezután formalizáljuk az alábbi kijelentést egy zöld, füves réten: "Az az állítás, hogy 'ha a fű nedves, akkor zöld', igaz." Legyen

p ⇋ "a fű nedves";
q ⇋ "a fű zöld".

Ezekkel a jelölésekkel a kijelentés
p⊃q≡.⊤
módon formalizálható. Vizsgáljuk meg ezt a kijelentést is értéktáblázattal:

p q p⊃q ⊤ (p⊃q)≡.⊤
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1

Mivel 'q' igaz állítás, ezért |q|=1. Az értéktáblázatban most azokat a sorokat emeltük ki, amelyekben 'q' értéke 1. A kiemelt sorokban sorokban a vizsgált p⊃q≡.⊤ logikai kifejezés értéke 1 (függetlenül a 'p' állítás igazságtartalmától), vagyis a kijelentés igaz. Általánosan megfogalmazva: egy implikáció mindig igaz, ha a következmény (utótag) igaz.^⇒
Ha két logikai kifejezés logikai értéke a kifejezésekben szereplő kijelentésváltozók minden lehetséges értékére azonos, akkor a logikai kifejezések ekvivalensek. (Ennek megfelelően, ha 'A' és 'B' ekvivalens logikai kifejezések, akkor 'A' és 'B' minden lehetséges logikai értéke esetén |A≡B|=1 teljesül. Az alábbiakban ezt A = B módon jelöljük.)
A logikai műveletek tulajdonságai alapján meg tudunk adni olyan logikai azonosságokat, amelyek ekvivalens logikai kifejezéseket adnak meg.

Legyenek A, B, C, ... tetszőleges kijelentésváltozók. A legfontosabb logikai azonosságok a következők (vö. Kopasz 1996: 12-17):

kettős tagadás: ⌝(⌝A) = A
a konjunkció idempotenciája: A∧A = A
a konjunkció kommutativitása: A∧B = B∧A
a konjunkció asszociativitása: (A∧B)∧C = A∧(B∧C)
konjunkció szabványkijelentésekkel:

A∧⊤ = A ("szorzás 1-gyel" vagy "teljes halmaz metszete A-val")
A∧⊥ = ⊥ ("szorzás 0-val" vagy "üres halmaz metszete A-val")

a diszjunkció idempotenciája: A∨A = A
a diszjunkció kommutativitása: A∨B = B∨A
a diszjunkció asszociativitása: (A∨B)∨C = A∨(B∨C)
diszjunkció szabványkijelentésekkel:

A∨⊤ = ⊤ ("teljes halmaz uniója A-val")
A∨⊥ = A ("0 hozzáadása" vagy "üres halmaz uniója A-val")

disztributivitás:

A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)

(A∨B)∧(C∨D) = (A∧C)∨(A∧D)∨(B∧C)∨(B∧D)
(A∨B)∧(C∨D)∧(E∨F) = (A∧C∧E)∨(A∧D∧E)∨ (A∧C∧F)∨(A∧D∧F)∨ (B∧C∧E)∨(B∧D∧E)∨ (B∧C∧F)∨(B∧D∧F)
A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C) = (A∧A)∨(A∧C)∨(B∧A)∨(B∧C)

A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)

(A∧B)∨(C∧D) = (A∨C)∧(A∨D)∧(B∨C)∧(B∨D)
(A∧B)∨(C∧D)∨(E∧F) = (A∨C∨E)∧(A∨D∨E)∧ (A∨C∨F)∧(A∨D∨F)∧ (B∨C∨E)∧(B∨D∨E)∧ (B∨C∨F)∧(B∨D∨F)
A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C) = (A∨A)∧(A∨C)∧(B∨A)∧(B∨C)

abszorpció (elnyelés; elimináció):

A∧(A∨B) = A
A∨(A∧B) = A

de Morgan-féle azonosságok:

⌝(A∧B) = ⌝A∨⌝B
⌝(A∨B) = ⌝A∧⌝B

felbontás:

A = (A∧B)∨(A∧⌝B)

Ide sorolhatjuk a két alapvető logikai alapelvet kifejező összefüggéseket is:

az ellentmondás törvénye:^⇒

(A∧⌝A) = ⊥

a kizárt harmadik törvénye:^⇒

(A∨⌝A) = ⊤

A fenti azonosságok a három alapvető logikai művelet, a negáció, konjunkció és diszjunkció legfontosabb tulajdonságait írják le.
Az alábbi azonosságok segítségével a kizáró vagy, az implikáció és az ekvivalencia kifejezhető a negáció, konjunkció és diszjunkció segítségével (érdemes megjegyezni, hogy az ekvivalencia kifejezhető az implikáció és a konjunkció segítségével is):

a kizáró vagy kifejezése:

A⨁B = (A∨B)∧⌝(A∧B)
A⨁B = (A∧⌝B)∨(B∧⌝A)

az implikáció kifejezése:

A⊃B = ⌝A∨B

A⊃B = ⌝B⊃⌝A (a kontrapozíció törvénye)

A⊃B = (A∧B)∨(⌝A∧B)∨(⌝A∧⌝B)

az implikáció helyettesítése:

A⊃(B⊃C) = (A∧B)⊃C

az ekvivalencia kifejezése:

A≡B = (A∧B)∨(⌝A∧⌝B)
A≡B = (A⊃B)∧(B⊃A)
A≡B = ⌝(A⨁B)

Jegyezzük meg, hogy a fenti logikai azonosságokban használt "kiemelt" egyenlőségjel ( = ) az általa összekapcsolt logikai kifejezések ekvivalenciáját fejezi ki. (A logikai azonosságokban vagy "logikai egyenletekben" (vö. Kopasz 1996: 15) az egyenlőségjel bal- és jobboldalán szereplő logikai kifejezések a bennük szereplő kijelentésváltozók minden lehetséges értéke mellett azonos logikai értéket adnak. A logikai kifejezések ekvivalenciájának jelölésére szokásosabb az A~B jelölés, de az ekvivalenciát logikai törvényként felírva ugyanezt fejezi ki a ⊨ A≡B jelölés is.)
A logikai azonosságok igazságtáblázattal könnyen igazolhatóak.
Például igazoljuk az abszorpciót, azaz a
A∧(A∨B) = A
azonosságot egy igazságtáblázattal. A táblázat fehérrel kiemelt oszlopai az azonosság bal- és jobboldalán szereplő logikai kifejezések logikai értékét tartalmazzák.

A táblázatból leolvasható, hogy az abszorpciót kifejező azonosság bal- és jobboldalán szereplő logikai kifejezések értékei az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értéke mellett megegyeznek, vagyis az azonosság teljesül. Vegyük észre, hogy ez megfelel annak, hogy az A∧(A∨B) ≡. A ekvivalencia, illetve az A∧(A∨B)⊃A ∧. A⊃A∧(A∨B) logikai kifejezés az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz (vagyis logikai törvény^⇒).
A logikai azonosságokat átalakíthatjuk úgy, hogy eredményül érvényes logikai azonosságokat kapunk:

egy azonosságban szereplő bármelyik (A, B, ...) kijelentésváltozó minden előfordulását helyettesíthetjük egy kiválasztott logikai kifejezéssel (ez az ún. helyettesítés elve);
egy azonosságban szereplő bármelyik logikai kifejezést helyettesíthetjük (kicserélhetjük) egy vele ekvivalens logikai kifejezéssel (ez az ún. egyenértékű pótlás elve).

p	q	p⊃q	⊤	(p⊃q)≡.⊤
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	1

p	q	p⊃q	⊤	(p⊃q)≡.⊤
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	1

12.2. Logikai következmény, logikai következtetések

Legyenek P₁, P₂, ..., P_n és Q tetszőleges formulák.
A P₁, P₂, ..., P_n formuláknak a Q formula a következménye, ha minden olyan esetben, amikor a P₁, P₂, ..., P_n formulák igazak, akkor a Q formula is igaz (vö. Kopasz 1996: 18).

a P₁, P₂, ..., P_n formulákat premisszáknak (feltételeknek) nevezzük;
a Q formulát konklúziónak nevezzük.

A köznyelvben szokásos elnevezés szerint: ha a Q formula a következménye a P₁, P₂, ..., P_n formuláknak, akkor azt mondjuk, hogy a P₁, P₂, ..., P_n premisszák és a Q konklúzió ok-okozati kapcsolatban állnak.
Következtetésről beszélünk, ha adott premisszák teljesülése mellett megállapítjuk egy adott konklúzió teljesülését (azaz igazoljuk, hogy a konklúzió a premisszák következménye).
A következtetések tipikus formája a "ha a premisszák teljesülnek, akkor a konklúzió is teljesül", vagy rövidebben "a premisszákból következik a konklúzió" megfogalmazás. A fenti jelölésekkel ez
    "ha P₁, P₂, ..., P_n mindegyike teljesül, akkor Q teljesül", vagy
    "P₁, P₂, ..., P_n teljesüléséből következik Q teljesülése"
módon fogalmazható meg.
Azt, hogy a P₁, P₂, ..., P_n premisszák következménye a Q konklúzió,
P₁, P₂, ..., P_n ⊨ Q
módon jelöljük. Szokásos a

P₁, P₂, ..., P_n
Q

vagy

P₁
P₂
...
P_n
Q

jelölés is.

A következtetések általános formulája (vagy sémája) logikai műveletekkel kifejezve a következő:
A P₁, P₂, ..., P_n premisszáknak a Q konklúzió akkor és csak akkor következménye, ha a
P₁∧P₂∧...∧P_n ⊃ Q
általános formula minden esetben teljesül.

A logikai következtetések szoros kapcsolatban állnak a logikai törvény fogalmával.
Ha egy adott formula teljesül
– a benne szereplő individuumváltozók minden lehetséges értékére,
– a formula értelmezésére használt tárgyalási univerzum összes lehetséges alaphalmaza esetén,
akkor logikai törvényről beszélünk. A logikai törvényeket a ⊨ jellel jelöljük.
Ha egy logikai kifejezés csak kijelentésváltozókat tartalmaz, és a logikai kifejezés a benne szereplő kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz értéket ad, akkor a logikai kifejezés tautológia.
– Egy tautológia minden tárgyalási univerzumban logikai törvény.
– Minden korábban tanult logikai azonosság^⇒ tautológia, amely felírható logikai törvény formájában.

Például tekintsük egy olyan formulát az iskola univerzumban, amelyben minden individuumváltozó alaphalmaza egy adott osztály tanulóinak halmaza. Ez a formula az iskola univerzumban akkor és csak akkor logikai törvény, ha az univerzumban minden iskola minden osztályának minden tanulójára igaz.
Az iskola univerzumban számos iskola lehetséges, amelyek mindegyike különböző osztályokból áll. Egy adott iskola az iskola univerzum egy lehetséges interpretációja. Ebben az értelemben egy formula logikai törvény egy adott tárgyalási univerzumban, ha a formula az univerzum minden interpretációjában, a formulában szereplő individuumváltozók minden lehetséges értéke (azaz a formula minden értékelése) mellett igaz (vö. Dragálin - Buzási 1986: 78).
Ha egy formula előállítható adott számú kijelentésváltozó összetett logikai kifejezéseként (vagyis az ∧, ∨, ⌝, ⊃, ≡ stb. logikai műveletek segítségével), és teljesül, hogy a kijelentésváltozók minden lehetséges értékére a formula igaz, akkor a formula olyan, általános logikai törvény, amely bármilyen tárgyalási univerzumban teljesül (ún. propozicionális tautológia, vö. Dragálin-Buzási 1986: 81-83).
Például a "ha egy tanuló kitűnő, akkor kiváló matematikából" az iskola univerzumban logikai törvény, feltéve, hogy a "kitűnő" 5.0 átlagot, a "kiváló" pedig egy adott tárgyból jeles (pl. matematikából 5-ös) eredményt jelent. Ha bevezetjük a P(x) ⇋ "az 'x' tanuló kitűnő" és Q(x) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló matematikából" formulákat, és ezeket a p ⇋ P(x) és q ⇋ Q(x) kijelentésváltozókkal jelöljük, akkor a fenti állítás p⊃q módon formalizálható. Mivel ez az iskola univerzumban minden osztályra igaz, ezért
    ⊨ p⊃q
teljesül. Azonban ez nyilvánvalóan nem tautológia, mivel pl. |p|=1 és |q|=0 esetén p⊃q hamis.
Ezzel szemben például a modus ponens következtetési sémának megfelelő
    p∧(p⊃q)⊃.q
összetett logikai kifejezés tautológia, mivel könnyen (ti. egy négy soros igazságtáblázattal) ellenőrizhető, hogy a 'p' és 'q' kijelentésváltozók bármely értékére igaz. Tehát a kifejezés az iskola univerzumban is logikai törvény, amit ⊨ p∧(p⊃q)⊃.q módon fejezhetünk ki. Ezt a 'p' és 'q' kijelentésváltozók fenti értelmezése mellett a következőképpen olvashatjuk: "ha egy 'x' tanuló kitűnő (p) és minden tanulóra igaz, hogy a kitűnő tanulók (p) jegye jeles matematikából (q), akkor az 'x' tanuló jeles matematikából (q)".

A logikai következtetésre vonatkozó általános formulában a "minden esetben teljesül" megfelel annak, hogy a P₁∧P₂∧...∧P_n ⊃ Q formula logikai törvény. Ezt
⊨ P₁∧P₂∧...∧P_n ⊃ Q
módon jelöljük.
A mindennapi életben nagyon (és a matematikai bizonyítások során különösen) fontosak azok az esetek, amikor a P₁, P₂, ..., P_n ill. Q állítások helyébe konkrét logikai kifejezéseket helyettesítve logikai törvényekhez jutunk. Ezeket a logikai kifejezéseket, amelyek tehát megfelelnek a következtetés általános formulájának, következtetési sémáknak vagy következtetési szabályoknak nevezzük.

(1) A korábban tanult logikai azonosságok^⇒ tautológiák, amelyek felírhatók olyan logikai törvények formájában, amelyek két formula ekvivalenciáját fejezik ki. Például az abszorpció azonossága
    A∧(A∨B) = A
felírható
    ⊨ A∧(A∨B) ≡. A
formában is. Szokásos még a
    A∧(A∨B) ~ A
jelölés is, és (kétirányú) következtetésekben használhatjuk a
    A∧(A∨B) ⇔ A
írásmódot is, amelyet "akkor és csak akkor igaz", ill. "pontosan akkor teljesül" módon olvashatunk.

(2) Korábban láttuk, hogy az ekvivalencia mint logikai művelet kifejezhető két implikáció konjunkciójaként.^⇒ Ennek megfelelően ha két formula ekvivalens, akkor ennek segítségével mindig felírható két érvényes következtetési séma. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a logikai azonosságok kétirányú következtetési sémák.
A későbbiekben tárgyalt következtetési sémák^⇒ logikai törvények (amelyek két formula implikatív, "ha ... akkor ..." típusú kapcsolatát fejezik ki). Például a modus ponens séma
    A, (A⊃B) ⊨ B, ill.
    A∧(A⊃B) ⊨ B
felírható
    ⊨ A∧(A⊃B)⊃.B
formában logikai törvényként. Következtetésekben a ⊨ helyett használhatjuk a ⇒ jelet és ezzel az
    A∧(A⊃B) ⇒ B
írásmódot is, amelyet például "... ból/ből következik, hogy ..." módon olvashatunk.
Ezekkel a jelölésekkel az (1) pontban szereplő abszorpciós azonosságból kapható két következtetési séma például
    A∧(A∨B) ⊨ A
és
    A ⊨ A∧(A∨B)
módon írható fel. Az első esetben szűkítési (vagy egyszerűsítési) szabályról, a második esetben bővítési szabályról beszélhetünk.

(3) A logikai törvények, ill. tautológiák olyan kifejezések, amelyekben egy adott logikai kifejezés (pl. a logikai azonosságok esetén két kifejezés ekvivalenciája, következtetési sémák esetén két kifejezés, a premisszák és a konklózió implikációja) mindig igaz. Ezt logikai azonosságként is kifejezhetjük. Ennek megfelelően a
    ⊨ A
logikai törvény és az
    A = ⊤
logikai azonosság ugyanazt fejezi ki. Másrészről, mivel az implikáció tulajdonságai miatt az A ⊨ ⊤ következtetés mindig teljesül (ez az ún. igaz következmény törvénye), az A = ⊤ logikai azonosság formálisan ekvivalens a
    ⊤ ⊨ A
következtetéssel.

(4) Mivel az A ⊨ ⊤ következtetés mindig teljesül,^⇒ ha egy levezetés során a "szabvány-igaz" (⊤) állításhoz jutunk el, akkor a konklúzió nem ad számunkra semmilyen használható információt (ugyanis az 'A' esemény egyaránt lehet igaz vagy hamis). Ilyen következtetéshez bármely premisszából kiindulva könnyen eljuthatunk, például ha a bővítés szabályát^⇒ alkalmazzuk (ennek alapján tetszőleges 'A' állításra A ⊨ A∨⌝A teljesül).
Például induljunk ki az
    P(A,B,C) ⇋ A∨B, B⊃C, C⊃⌝A
premisszákból. Mivel
    B⊃C, C⊃⌝A ⊨ B⊃⌝A
továbbá
    A∨B, B⊃⌝A ⊨ A∨⌝A
teljesül. A levezetés által szolgáltatott Q=(A∨⌝A) konklúzió Arisztotelész második törvénye (a harmadik kizárásának logikai elve) miatt a "szabvány-igaz" (⊤) állítást adja. Azonban más levezetések is lehetségesek.
Kis számolással ellenőrizhető, hogy
    P(A,B,C) ⇋ (⌝A∧B∧C) ∨ (A∧⌝B∧⌝C)
fennáll. Emiatt például a
    P(A,B,C) ⊨ A∨B
    P(A,B,C) ⊨ A∨C
    P(A,B,C) ⊨ ⌝A∨⌝B
    P(A,B,C) ⊨ ⌝A∨⌝C
    P(A,B,C) ⊨ B∨⌝C
    P(A,B,C) ⊨ ⌝B∨C
következtetések mindegyike teljesül, és ezek a következtetések már nem annyira nyilvánvalóak.

A helyes logikai következtetések során két fontos szabályt kell betartanunk: a következtetések egyrészt érvényesek, másrészt pedig értelmesek kell, hogy legyenek.

Egy következtetés csak akkor érvényes, ha az adott tárgyalási univerzumban az alkalmazott P₁∧P₂∧...∧P_n⊃Q következtetési formula minden esetben igaz, vagyis logikai törvény.

Ha olyan következtetési sémákat használunk, amelyek minden tárgyalási univerzumban logikai törvények (azaz logikai azonosságok, tautológiák), akkor a következtetés mindig érvényes lesz.
A logikai azonosságok minden esetben használhatók (kétirányú) következtetési sémákként.

Egy következtetés csak akkor értelmes, ha az alkalmazott P₁∧P₂∧...∧P_n⊃Q következtetési formulában a P₁, P₂, ..., P_n premisszák mindegyike igaz.

Értelmes következtetés esetén a Q konklúzió igaz lesz, és a további következtetések során felhasználható premisszaként.
Ha a következtetés nem értelmes, a Q konklúzió egyaránt lehet igaz vagy hamis is.

Ha a sémák leírásakor individuumváltozókat tartalmazó formulákat használunk (pl. P(x,y) alakban), akkor egyes állítások, ill. az állításokban egyes változók többször is előfordulhatnak. A sémákban szereplő két állítást akkor tekintünk azonosnak, ha az állításokat (predikátumokat) azonosító betűk, valamint az állításokban az egyes változókat azonosító betűk páronként megegyeznek.

A következtetések helyességének igazolásakor a konklúzió logikai értékét kell megvizsgálnunk minden olyan esetben, amikor a premisszák igazak. Ezt például a következőképpen tehetjük meg:

a P₁, P₂, ..., P_n és Q formulákat előállítjuk az A, B, ... kijelentésváltozók segítségével, és értéktáblázat készítésével az A, B, ... kijelentésváltozók minden lehetséges logikai értéke mellett meghatározzuk a P₁, P₂, ..., P_n formulák és a Q formula logikai értékét;
az értéktáblázatban csak azokat a sorokat vesszük figyelembe, amelyekben a P₁, P₁, ..., P_n formulák mindegyike igaz logikai értéket ad;
ha ezekben a sorokban a 'Q' formula értéke igaz, akkor a 'Q' formula a P₁, P₂, ..., P_n formulák logikai következménye.

Egy másik lehetőség a P₁, P₂, ..., P_n ⊨ Q következtetés helyességének igazolására az, hogy megpróbáljuk a logikai műveletekre vonatkozó azonosságok alapján a P₁∧P₂∧ ... ∧P_n⊃.Q összetett logikai kifejezést az adott premisszák mellett levezetni.

Legyen például

P₁=A∨⌝B
P₂=⌝A⊃B
Q=A

Vizsgáljuk meg a P₁, P₂ ⊨ Q, azaz az ⊨ (A∨⌝B)∧(⌝A⊃B)⊃.A következtetés helyességét az alábbi értéktáblázat alapján (vö. Kopasz 1996: 18):

A B ⌝B A∨⌝B
(P₁) ⌝A ⌝A⊃B
(P₂) P₁∧P₂ A
(Q) P₁∧P₂⊃Q
0 0 1 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 1 1 1 (értelmes)
1 1 0 1 0 1 1 1 1
(érvényes)

Az értéktáblázatból látszik, hogy P₁, P₂ ⊨ Q teljesül.
Vegyük észre, hogy a táblázat utolsó oszlopában ábrázolt P₁∧P₂⊃Q logikai kifejezés az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz.
A fenti formális következtetés például megfeleltethető az alábbi példának:

P₁ ⇋ "Az ég borús vagy nem süt a nap."
P₂ ⇋ "Ha az ég nem borús, akkor süt a nap."
Q ⇋ "Az ég borús."

Megjegyzések:
– "Az ég borús vagy nem süt a nap." (P₁) logikailag azt fejezi ki, hogy vagy az ég borús, vagy a nap nem süt (vagy esetleg mindkettő teljesül). Ha azonban az ég nem borús, akkor P₁ csak akkor lehet igaz, ha nem süt a nap (például egy bárányfelhő eltakarja).
– A köznapi beszédben ritkán használunk P₁-hez hasonló kijelentéseket. A "vagy" logikai művelet sok esetben akkor fordul elő, ha több, egymástól különböző esetet adunk meg egy kijelentéssel. Például, ha bevezetjük a
    P₀ ⇋ "Rossz előérzetem van."
kijelentést és feltételezzük, hogy a P₀ és P₁ kijelentések ekvivalensek (azaz ha az ég borús vagy nem süt a nap, akkor rossz előérzetem van, ill. ha rossz előérzetem van, akkor az ég borús vagy nem süt a nap), a fenti következtetés ekvivalens a
    P₀, P₁ ⊨ Q
következtetéssel.
– P₂ semmit sem mond arról, hogy ha az ég borús, akkor ennek milyen következménye van (a napsütésre nézve), vagyis a konklúzió (Q) fennállása mellett mindkét premissza igaz. (Formálisan: ha Q igaz, akkor a P₂ által kifejezett implikáció előfeltétele hamis, tehát P₂ igaz.)
– Ha viszont az ég nem borús (azaz ⌝Q igaz), akkor P₂-ből az következik, hogy süt a nap. Fentebb azonban láttuk, hogy ez ellentmondásban van azzal, hogy P₁ igaz, tehát ⌝Q nem lehet a következtetés konklúziója.

A fenti következtetés formálisan is igazolható:
P₁∧P₂ ~
(A∨⌝B)∧(⌝A⊃B) ~
(A∨⌝B)∧(⌝⌝A∨B) ~
(A∨⌝B)∧(A∨B) ~
A∨(⌝B∧B) ~
A∨⊥ ~
A
Vagyis P₁∧P₂⊃A, következésképpen P₁∧P₂⊨A teljesül.

A	B	⌝B	A∨⌝B (P₁)	⌝A	⌝A⊃B (P₂)	P₁∧P₂	A (Q)	P₁∧P₂⊃Q
0	0	1	1	1	0	0	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	1	0	1	1	1	1	(értelmes)
1	1	0	1	0	1	1	1	1	(értelmes)
								(érvényes)

(→ következő témakörök)