12.4. Következtetési sémák

Legyenek A, B és C tetszőleges formulák.

Az érvényes következtetések levonását számos következtetési (vagy levezetési) szabály, ún. következtetési séma segíti. Ezek olyan logikai kifejezések, amelyek egyrészt megfelelnek a következtetés általános formulájának, másrészt a bennük szereplő kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igazak (azaz logikai törvények vagy tautológiák). Ezt a szokásos módon a ⊨ szimbólummal jelöljük.

Formulák igazságértékének megállapítását megkönnyítik olyan szabályok, amelyek alapján adott formulából újabb formulák nyerhetők úgy, hogy az eredeti formulák igazságából mindig következik az új formulák igazsága. (Dragálin-Buzási 1986: 76)

Például a jól ismert detektívtörténetek felvázolnak egy adott helyzetet (az adott esetben teljesülő "formulákat"), és a mesterdetektív feladata az, hogy ezekből olyan következtetéseket vonjon le, amely megoldja a rejtélyt.

Lássunk néhányat a fontosabb következtetési sémák vagy szabályok közül (vö. Dragálin-Buzási 1986: 110, 122-125 et passim). A szabályokat mind logikai törvényként, mind következtetési szabályként megadjuk.

---

(I.) Először ismerjük meg az általános következtetési sémákat. Ezek a logikai műveletek alapvető tulajdonságaiból, ill. az ezeket kifejező logikai azonosságokból^⇒ közvetlenül következnek.

A két premisszával rendelkező következtetési sémákban (ún. szillogizmusokban) a premisszák közötti konjunktív (logikai "és") kapcsolatot vesszővel fogjuk jelölni, vagyis az A , B ⇋ A∧B jelölést fogjuk használni a ⊨ következtetési szimbólum előtt. (Jegyezzük meg, hogy ezt a jelőlést használtuk a logikai következményre^⇒ és a követleztetésekre vonatkozó általános formula esetében is.)

• az azonosság törvénye:
  ⊨ A ⊃ A vagy A ⊨ A
  Például: "Ha a hó fehér, akkor a hó fehér."
• a kétszeres tagadás törvénye ("⌝ eltávolítás", vö. Dragálin-Buzási 1986: 124):
  ⊨ ⌝⌝A ⊃ A vagy ⌝⌝A ⊨ A
  Például ha feltételezzük, hogy egy szobában minden tárgy fekete vagy fehér (vagyis ha valami nem fekete, akkor fehér, ill. ha nem fehér, akkor fekete), akkor például a fehér jelentése "nem fekete", a "nem fehér" jelentése pedig ennek megfelelően "nem nem fekete".
  Egy másik példa: a "hazudik" jelentése az, hogy valaki nem mond igazat, tehát a "nem hazudik" megfelel annak, hogy nem igaz, hogy valaki nem mond igazat, vagyis akiről beszélünk, igazat mond.
• a harmadik kizárásának törvénye:
  ⊨ (A∨⌝A) ⊃ ⊤ vagy (A∨⌝A) ⊨ ⊤
• az ellentmondás törvénye:
  ⊨ (A∧⌝A) ⊃ ⊥ vagy A, ⌝A ⊨ ⊥
• az igaz következmény törvénye:
  ⊨ A ⊃ ⊤ vagy A ⊨ ⊤
  Például: "Balesetem volt. A fekete macska átment előttem az úton, ezért történt a baleset."^⇒
  (Az érvelés abszurditására lássunk egy másik példát. Két csodalény, Palpatine aka Darth Sidious és Szörnyella de Frász beszélget egy meggyógyult kiskutyáról. Darth: "Küldtem az erőt, ezért meggyógyult." Szörnyella: "Nem küldtem az erőt, ezért gyógyult meg." Mivel tény, hogy a kiskutya meggyógyult, formálisan mindkét állítás igaz.)
  • Egy gondolkodási csapda: az A ⊃ ⊤ következtetés igazságából sem az nem következik, hogy egy tetszőleges 'B' állításra A ⊃ B teljesül, sem az, hogy az 'A' állítás igaz.
• a hamis előfeltétel törvénye:
  ⊨ ⊥ ⊃ A vagy ⊥ ⊨ A
  Például: "Az ellenségem gonoszabb, mint a világ leggonoszabb embere, tehát én vagyok a világ legjobb embere."^⇒ (Mivel a premissza lehetetlen, az állítás formálisan igaz. Az állításban ezért a "legjobb embere" helyére bármi beírható, ami csak jól esik, de akkor sem tudunk semmit sem mondani a konklúzió igazságáról :) )
  • Egy gondolkodási csapda: egy tetszőleges 'A' állítás esetén a ⊥ ⊃ A következtetés igazságából nem következik, hogy 'A' teljesül.

Egy ⊨ A ⊃ B vagy A ⊨ B formában megadott érvényes következtetési séma azokban az esetekben használható fel értelmesen egy logikai érvelésben (egy levezetés során, bizonyításkor stb.), ha a séma előtagja (az "ok") igaz, azaz |A|=1 teljesül. Ekkor ugyanis a következtetési séma garantálja, hogy a séma utótagja (az "okozat") is igaz lesz, vagyis |B|=1 teljesül.

Azokban az esetekben, amikor a következtetési sémák előtagja hamis, azaz |A|=0 teljesül, akkor az implikáció tulajdonságai miatt az utótag lehet igaz is és hamis is, vagyis mind |B|=0, mind |B|=1 teljesülhet. Tehát hamis előtag esetén az utótag igazságértékéről nem tudunk semmit sem megállapítani.

---

(II.) Ezután ismerjük meg a logikai levezetésekben, ill. bizonyításokban leggyakrabban használt következtetési sémákat.

• a szűkítés szabálya ("∧ eltávolítás"):
  ⊨ A∧B ⊃. A vagy A, B ⊨ A
  Például:
  (1) "Kata és Zsuzsa tegnap együtt utaztak a buszon. Tehát Kata tegnap a buszon utazott."
  (2) "Janka szorgalmas és okos. Tehát Janka szorgalmas." (És persze helyes a "Janka okos." következtetés is, de az formálisan a ⊨ A∧B ⊃ B szabálynak felelne meg.)
• a bővítés szabálya ("∨ bevezetés", vö. Dragálin-Buzási 1986: 124):
  ⊨ A ⊃. A∨B vagy A ⊨ A∨B
  Például:
  (1) "Jóska tegnap a buszon utazott. Tehát Jóska vagy Peti tegnap a buszon utazott."
  (2) Legyen 'C' a tehetséges tanulóknak a halmaza, amit úgy definiálunk, hogy 'C'-be a szorgalmas tanulók (A) és az okos tanulók (B) tartoznak, vagyis C=A∪B teljesül. Ekkor helyes az alábbi következtetés: "Janka szorgalmas. Tehát Janka tehetséges." Mivel azonban a 'tehetséges' jelentése az, hogy 'szorgalmas vagy okos', a következtetést a következőképpen is megfogalmazhatjuk: "Janka szorgalmas. Tehát Janka szorgalmas vagy okos."
  • A bővítés szabálya konjunktív előtag esetén is érvényes:
    ⊨ (D∧A) ⊃. D∧(A∨B)
• a premisszák bővíthetősége:
  ⊨ A⊃B ⊃. (A∧C)⊃B vagy
  A⊃B ⊨ (A∧C)⊃B
  • Jegyezzük meg, hogy (A∧C)⊃B ⇔ (A∧C)⊃(B∧C) miatt
    ⊨ A⊃B ⊃. (A∧C)⊃(B∧C) vagy
    A⊃B ⊨ (A∧C)⊃(B∧C)
  • A szabály kifejezi, hogy a következtetési szabályok premisszáit a levezetés során kibővíthetjük további premisszákkal (vagyis egy állítást úgy is igazolhatunk, hogy egy nála általánosabb állítást igazolunk):
    A ⊨ B ⇒ A,C ⊨ B
• esetegyesítés ("∧ bevezetés", vö. Dragálin-Buzási 1986: 124):
  ⊨ (A⊃B) ∧ (A⊃C) ⊃. A⊃(B∧C) vagy
  (A⊃B), (A⊃C) ⊨ A⊃(B∧C)
  Például ha egy osztályban mindenki jó matekből, és az osztályban mindenki jó énekből, akkor az osztályban mindenki egyszerre jó matekből is és énekből is.
  • Ha az esetegyesítés fenti szabályában az A=⊤ helyettesítést hajtjuk végre, akkor A⊃B=B, A⊃C=C és A⊃(B∧C)=B∧C miatt
    B, C ⊨ B∧C
    adódik. ("Ha 'B' igaz és 'C' igaz, akkor konjunkciójuk, azaz B∧C is igaz lesz.")
• esetelemzés ("∨ eltávolítás", vö. Dragálin-Buzási 1986: 124):
  ⊨ (A⊃C)∧(B⊃C) ⊃. (A∨B)⊃C vagy
  (A⊃C), (B⊃C) ⊨ (A∨B)⊃C
  Például tegyük fel, hogy "ha az 'x' gyógyszert bevesszük (A) akkor az meggyógyítja a betegséget (C); és ha az 'y' gyógyszert bevesszük (B), akkor az is meggyógyítja a betegséget (C)". Ebből az következik, hogy "ha vagy az 'x', vagy az 'y' gyógyszert (vagy akár mindkettőt) bevesszük (A∨B), akkor az meggyógyítja a betegséget (C)".
  • Az esetelemzés premisszái egy másik konklúzióhoz is elvezetnek:
    ⊨ (A⊃C)∧(B⊃C) ⊃. (A∧B)⊃C vagy
    (A⊃C), (B⊃C) ⊨ (A∧B)⊃C
    • Jegyezzük meg, hogy
      ⊨ (A∨B)⊃C ⊃. (A∧B)⊃C
  • Az esetelemzés szabálya konjunktív előtagok esetén is érvényes, és a konjunkció disztributivitását fejezi ki:
    ⊨ (A∧P⊃C)∧(A∧Q⊃C) ⊃. A∧(P∨Q)⊃C vagy
    (A∧P⊃C), (A∧Q⊃C) ⊨ A∧(P∨Q)⊃C
    Jegyezzük meg, hogy ha az esetelemzés szabályát alkalmazzuk, az A↔A∧P és B↔A∧Q helyettesítések után (A∧P)∨(A∧Q) = A∧(P∨Q) miatt a fenti szabályt közvetlenül megkapjuk.
    Ha a fenti szabályt alkalmazzuk egy következtetésben vagy levezetésben, a következőképpen járhatunk el:
    • A∧P ⊨ C ⇋ A, P ⊨ C
    • A∧Q ⊨ C ⇋ A, Q ⊨ C

    • ---

    • A∧(P∨Q) ⊨ C ⇋ A, (P∨Q) ⊨ C
  • A konjunktív előtagok esetén alkalmazott esetelemzés szabálya általánosítható:
    ⊨ (A∧P⊃C)∧ (A∧Q⊃C)∧ (B∧P⊃C)∧ (B∧Q⊃C) ⊃. (A∨B)∧(P∨Q)⊃C vagy
    (A∧P⊃C)∧ (A∧Q⊃C)∧ (B∧P⊃C)∧ (B∧Q⊃C) ⊨ (A∨B)∧(P∨Q)⊃C
  • Az esetelemzés szabálya diszjunktív előtagok esetén is érvényes, és a diszjunkció disztributivitását fejezi ki:
    ⊨ (A∨P⊃C)∧(A∨Q⊃C) ⊃. A∨(P∧Q)⊃C vagy
    (A∨P⊃C), (A∨Q⊃C) ⊨ A∨(P∧Q)⊃C
  • Az esetelemzést akkor alkalmazzuk, ha a levezetés egy pontján egy (A∨B) diszjunktív kifejezés következményét kell meghatároznunk. Ekkor először megkeressük azt a 'C' formulát, amelyre teljesülnek az
        A ⊨ C és
        B ⊨ C
    következtetések ("szekvenciák"), majd az esetelemzés szabályát alkalmazva az
        A∨B ⊨ C
    következtetéssel folytatjuk a levezetést.
    Vegyük észre, hogy az A∨B diszjunktív kifejezés
        – a bővítés szabályának^⇒ alkalmazása esetén egy következtetési lépés konklúziójaként jelent meg,
        – az esetelemzés szabályának az alkalmazásakor pedig egy következtetési lépés premisszájaként.
    Megjegyzés: a "természetes" levezetések során a ⊨ jelölés helyett a ⊢ jelölés szokásos. (vö. Dragálin-Buzási 1986: 114, 118-125 et passim.)
• a felbontás törvénye:
  ⊨ A ⊃. (A∧B)∨(A∧⌝B) vagy
  A ⊨ (A∧B)∨(A∧⌝B)
  Például ha egy hallgató mateket tanul (A), akkor vagy a jó matekesek (B), vagy a nem jó matekesek (⌝B) közé tartozik.
  • Ha egy következtetés igaz, akkor a premisszák bővítésével szintén igaz következtetést kapunk (ez a szabály megfelel a bővítés strukturális szabályának, vö. Dragálin-Buzási 1986: 123):
    ⊨ (A⊃Q) ⊃. (A∧B)⊃Q vagy
    A⊃Q ⊨ (A∧B)⊃Q
    Például ha egy osztályba (A) a Pál utcai fiúk (B) és a Vörösingesek (⌝B) járnak, akkor az osztály két részre bontható (azaz A=(A∧B)∨(A∧⌝B) teljesül).
    Ha az osztályban mindenki tehetséges (A⊃Q), akkor a Pál utcai fiúk is tehetségesek (A∧B⊃.Q). Ugyanekkor a Vörösingesek is tehetségesek (A∧⌝B⊃.Q).
  • Az előző következtetés megfordítása a felbontás törvénye alapján:
    ⊨ (A∧B)⊃Q ∧ (A∧⌝B)⊃Q ⊃. (A⊃Q) vagy
    (A∧B)⊃Q, (A∧⌝B)⊃Q ⊨ (A⊃Q)
    Ha az osztályban mind a Pál utcai fiúk, mind a Vörösingesek tehetségesek (vagyis A∧B⊃.Q és A∧⌝B⊃.Q teljesül), akkor az osztályban mindenki tehetséges (A⊃Q).
• a kontrapozíció törvénye:
  ⊨ (A⊃B) ⊃ (⌝B⊃⌝A) vagy
  (A⊃B) ⊨ (⌝B⊃⌝A)
  Abból az állításból, hogy "Ha éhes vagyok, akkor eszek." következik az az állítás, hogy "Ha nem eszek, akkor nem vagyok éhes." (valójában a két állítás pontosan ugyanazt fejezi ki).
• a ekvivalencia törvénye:
  ⊨ (A⊃B) ∧ (B⊃A) ⊃. (A≡B) vagy
  (A⊃B) ∧ (B⊃A) ⊨ (A≡B)
  Ha az 'A' és 'B' állítások ekvivalenciáját akarjuk bizonyítani (például egy logikai azonosság levezetésekor^⇒), akkor először bizonyítani kell, hogy az 'A' állításból következik a 'B' állítás (A⊨B), majd utána bizonyítani kell, hogy a 'B' állításból is következik az 'A' állítás (B⊨A).
• az implikáció abszorpciója diszjunktív premissza esetén:
  (A∨B) ∧ (B⊃C) ⊨ (A∨C) vagy
  (A∨B), (B⊃C) ⊨ (A∨C)
• az implikáció abszorpciója konjunktív premissza esetén:
  (A∧B) ∧ (B⊃C) ⊨ (A∧C) vagy
  (A∧B), (B⊃C) ⊨ (A∧C) vagy
  A, B, (B⊃C) ⊨ (A∧C)
  • mivel (A∧B)∧(B⊃C)=(A∧B∧C), ezért nyilvánvalóan teljesülnek a következő sémák is:
    (A∧B) ∧ (B⊃C) ⊨ A
    (A∧B) ∧ (B⊃C) ⊨ B
    (A∧B) ∧ (B⊃C) ⊨ C
    (A∧B) ∧ (B⊃C) ⊨ (A∧B)
    (A∧B) ∧ (B⊃C) ⊨ (B∧C)
    (A∧B) ∧ (B⊃C) ⊨ (A∧B∧C)

---

(III.) Ismerjünk meg néhány további, két premisszát tartalmazó alapvető következtetési sémát vagy szillogizmust is (Kopasz 1996: 19-20).

• modus ponens (leválasztási szabály):
  A , ( A ⊃ B ) ⊨ B
  "ha A igaz és A-ból következik B teljesülése, akkor B igaz lesz"
  • a modus ponens egy variációját kapjuk B↔⌝B helyettesítéssel:
    A , ( A ⊃ ⌝B )  ⊨ ⌝B
    
  • modus ponens konjunktív előtaggal: (ld. még az implikáció abszorpciója^⇒ szabálynál)
    A, B, (B⊃C) ⊨ (A∧C)
    
• indirekt bizonyítás:
  A , ( ⌝B ⊃ ⌝A )  ⊨ B
  "ha A igaz, és B tagadásából következik, hogy A nem teljesül, akkor B igaz lesz" (az indirekt bizonyítás a modus ponens variációja, és több formája is létezik; jegyezzük meg, hogy az A⊃B formula ekvivalens a ⌝B⊃⌝A formulával^⇒)
  • az indirekt bizonyítás egy variációja ⌝B↔B helyettesítéssel kapható:
    A , ( B ⊃ ⌝A )  ⊨ ⌝B
    "Tegyük fel indirekt módon, hogy A teljesül. Ha a B teljesüléséből A tagadása következik, akkor az indirekt feltevés ellentmondásra vezetett. Ez az ellentmondás csak akkor oldható fel, ha B nem teljesül."
  • az indirekt bizonyítás egy másik variációja, amely az ellentmondásra való visszavezetés egy variációjának is tekinthető:
    ( ⌝A ⊃ B ) , ( B ⊃ A )  ⊨ A
    "Tegyük fel indirekt módon, hogy A nem teljesül. Ha A tagadásából következik B, és B-ből következik A, akkor az indirekt feltevés ellentmondásra vezetett. Ebből az ellentmondásból A teljesülése következik."
• ellentmondásra való visszavezetés (reductio ad absurdum)
  – első variáció:
  ( ⌝A ⊃ B ) , ( ⌝A ⊃ ⌝B )  ⊨ A
  "ha A tagadásából következik mind B, mind B tagadása, akkor ebből az ellentmondásból A teljesülése következik"
  – második variáció ("⌝ bevezetés", vö. Dragálin-Buzási 1986: 124):
  ( A ⊃ B ) , ( A ⊃ ⌝B )  ⊨ ⌝A
  "ha A-ból következik mind B, mind B tagadása, akkor ebből az ellentmondásból A tagadásának a teljesülése következik"
  Például ha feltételezzük, hogy Mari mindig igazat mond (A), és tegnap azt mondta, hogy nagyon szereti Ács Ferit (B), ma viszont azt, hogy igencsak utálja Ács Ferit (⌝B), akkor bizony nem igaz, hogy Mari mindig igazat mond (⌝A).
• modus tollens:
  ( A ⊃ B ) , ⌝B ⊨ ⌝A
  "ha A-ból következik B teljesülése és B hamis, akkor A hamis lesz" (ez az indirekt bizonyítás első változatából azonnal megkapható az A↔⌝B, B↔A helyettesítésekkel, felcserélve a premisszákat)
• modus tollendo ponens (diszjunktív vagy alternatív szillogizmus):
  ( A ∨ B ) , ⌝A  ⊨ B
  "ha vagy A vagy B igaz és A hamis, akkor B igaz lesz"
• modus ponendo tollens:
  ⌝( A ∧ B ) , A  ⊨ ⌝B
  "ha vagy A és B nem igaz és A igaz, akkor B nem lesz igaz"
  • A modus ponendo tollens séma a de Morgan azonosság^⇒ alkalmazásával visszavezethető a modus tollendo ponens sémára.
• láncszabály (hipotetikus vagy feltételes szillogizmus):
  ( A ⊃ B ) , ( B ⊃ C )  ⊨ ( A ⊃ C )
  "ha A-ból következik B teljesülése és B-ből következik C teljesülése, akkor A-ból következni fog C teljesülése"
  • láncszabály a premisszák kibővítésével:
    ( A ⊃ B ) , ( A ∧ B ⊃. C )  ⊨ ( A ⊃ C )
    "Ha A-ból következik B teljesülése, továbbá A-ból és B-ből következik C teljesülése, akkor A-ból következni fog C teljesülése."
  • láncszabály a premisszák elhagyásával (ún. vágás-szabály, vö. Dragálin-Buzási 1986: 123):
    ( A ⊃ Q ) , ( Q ∧ B ⊃. C )  ⊨ ( A∧B ⊃ C )

---

A fenti következtetési szabályokat és sémákat átalakíthatjuk úgy, hogy eredményül további, érvényes szabályokat vagy sémákat kapunk (vö. Ruzsa 1968b: 544):

• a következtetési sémákban szereplő bármelyik kijelentésváltozó minden előfordulását helyettesíthetjük egy általunk választott formulával (ez az ún. helyettesítés elve).
• a logikai azonosságok^⇒ felhasználásával a következtetési sémákban szereplő bármelyik formulát helyettesíthetjük egy vele ekvivalens formulával (ez az ún. egyenértékű pótlás elve);

Végül emeljük ki azt a korábban már említett összefüggést, amely szerint a logikai azonosságok^⇒ maguk is kétirányú ("megfordítható") következtetési szabályoknak vagy sémáknak tekinthetők (vö. Borsodi 1972: 313).

Az esetelemzés szabálya^⇒ például az alábbi logikai azonosság egyik következménye:
(A⊃C)∧(B⊃C) = (A∨B)⊃C

A fenti azonosság azonos átalakításokkal könnyen belátható:
    (A⊃C)∧(B⊃C) = 
    (⌝A∨C)∧(⌝B∨C) = 
    (⌝A∧⌝B)∨C = 
    ⌝(A∨B)∨C = 
    (A∨B)⊃C (q.e.d.)

A fenti logikai azonosságból az alábbi két következtetési szabályt kapjuk:

• ⊨ (A⊃C)∧(B⊃C) ⊃. (A∨B)⊃C (esetelemzés; P₁, P₂ ⊨ Q )
• ⊨ (A∨B)⊃C ⊃. (A⊃C)∧(B⊃C) (az esetelemzés megfordítása; P ⊨ Q )

12.4.1. Példa a modus ponens és a modus tollens alkalmazására

A modus ponens és modus tollens kognitív pszichológiai vizsgálatára alkalmazták a következő feladatot (Mérő 1994: 21-23):

E	K	4	7

A fenti táblázatban négy kártya látszik. A kártyák egyik oldalán betűk, a másik oldalán számok állnak.

Tekintsük a következő állítást: ha egy kártya egyik oldalán magánhangzó van, akkor a másik oldalán páros szám áll.

Formálisan: vezessük be a kártyák K alaphalmazán a
    V(x) ⇋ "az x∈K kártyán magánhangzó (vowel) van"
és az
    E(x) ⇋ "az x∈K kártyán páros (even) szám van"
formulákat. A fenti állítás a ⊨ V(x) ⊃ E(x) logikai törvényt fogalmazza meg. Ennek
– szükséges feltétele az, hogy az állítás bármely kiválasztott x∈K kártya esetén teljesüljön, és
– elégséges feltétele az, hogy az állítás minden kártyára igaz legyen.

Kérdés: melyek azok a kártyák, amelyeket feltétlenül meg kell fordítanunk ahhoz, hogy eldöntsük, a fenti állítás a táblázatban szereplő kártyákra igaz-e?

Érdekesség, hogy a vizsgálatok során a megkérdezettek 100%-a sikeresen alkalmazta a modus ponens szabályt (E választása), de a modus tollens alkalmazása már csak 57%-ban volt sikeres (7 választása).

(1) Jelöljük az első kártyát x_E∈K módon. Mivel "E" magánhangzó, ezért egyrészt V(x_E) teljesül, másrészt ha az eldöntendő állítás igaz minden x∈K kártyára, akkor igaz az x_E kártyára is, vagyis V(x_E)⊃ E(x_E) teljesül. Viszont ebből a modus ponens szabály alapján
    V(x_E), V(x_E)⊃ E(x_E) ⊨ E(x_E)
"nyilvánvalóan" következik. E(x_E) viszont azt jelenti, hogy az "E" kártya másik oldalán páros számnak kell lennie, ha az eldöntendő állítás fennáll.

(2) Jelöljük az utolsó kártyát x₇∈K módon. Mivel "7" páratlan, ezért egyrészt ⌝E(x_E) teljesül, másrészt ha az eldöntendő állítás igaz minden x∈K kártyára, akkor igaz az x₇ kártyára is, vagyis V(x₇)⊃ E(x₇) teljesül. Viszont ebből a modus tollens szabály alapján
    V(x₇)⊃ E(x₇), ⌝E(x₇) ⊨ ⌝V(x₇)
következik (bár a teszteredmények azt mutatják, hogy ez a kísérletben részt vevők számára már jóval kevésbé nyilvánvaló). ⌝V(x₇) viszont azt jelenti, hogy az x₇ kártya másik oldalán nem állhat magánhangzó, azaz az x₇ kártya másik oldalán mássalhangzónak kell lennie, ha az eldöntendő állítás fennáll.

(3) Jelöljük a második kártyát x_K∈K módon. Mivel "K" mássalhangzó, ezért egyrészt ⌝V(x_K) teljesül, másrészt ha az eldöntendő állítás igaz minden x∈K kártyára, akkor igaz az x_K kártyára is, vagyis V(x_K)⊃ E(x_K) teljesül. Ez viszont a hamis előfeltétel^⇒ törvénye miatt mindig igaz, vagyis az x_K kártyát nem szükséges megfordítanunk (mivel a hátoldalán akár páros, akár páratlan szám is állhat).

(4) Jelöljük végül a harmadik kártyát x₄∈K módon. Mivel "4" páros, ezért egyrészt E(x₄) teljesül, másrészt ha az eldöntendő állítás igaz minden x∈K kártyára, akkor igaz az x₄ kártyára is, vagyis V(x₄)⊃ E(x₄) teljesül. Ez viszont az igaz következmény^⇒ törvénye miatt mindig igaz, vagyis az x₄ kártyát sem szükséges megfordítanunk (mivel a hátoldalán akár magánhangzó, akár mássalhangzó is állhat).