12.5. Példák következtetési sémák használatára
A következőkben példákat mutatunk be a következtetési sémák helyes használatára. Minden példát megadunk
- halmazok közötti összefüggések segítségével, és
- szöveges formában.
A szöveges példák során olyan értelmes mondatokat adunk meg az iskola univerzumban (a benne levő osztályokkal, tanulókkal, tantermekkel, taneszközökkel stb.), amelyek egy adott következtetési séma helyes használatát mutatják be. A példák során a premisszák külön sorokban szerepelnek, és a belőlük levonható következtetést az alattuk levő vonal alatt adjuk meg.
Minta:
(... példa) (modus ponens) Róza figyelmesen elolvassa és megérti a kiválasztott feladat szöveges példáját. Ha Róza figyelmesen elolvas és megért egy feladatot, akkor meg is tudja oldani. Róza meg tudja oldani a kiválasztott feladatot. (1) A szöveges példákban szereplő állítások nyitott mondatokká alakíthatók, amelyek egy vagy több predikátumot és különböző típusú individuumváltozókat tartalmaznak. Az individuumváltozók meghatározott alaphalmazokból vehetnek fel értékeket (amelyeket az iskola univerzumban jól ismertnek tételezünk fel).
A fenti szöveges példában szereplő állítások esetén egy individuumváltozót használunk, amely a különböző feladatok alaphalmazából vehet fel értékeket. Ha Róza helyett 'egy tanuló" szerepelne a mondatokban, akkor egy olyan individuumváltozót is bevezetnénk, amely a tanulók alaphalmazából vehet fel értékeket.
(2) A példákat halmazok közötti összefüggések segítségével is megadjuk. Ezekben legyen I egy alaphalmaz, legyenek A, B, C⊆I meghatározott halmazok, x∈I pedig egy adott halmazelem (amelyekre a feladatokban megfogalmazott állítások teljesülnek).
(3) A példákban P1 és P2 jelentsenek premisszákat, és Q ezek egy lehetséges következményét.
Minden példa esetében a P1, P2 ⊨ Q következtetés teljesül.
(a1) (modus ponens) P1 ⇋ x∈A P2 ⇋ A⊆B ⇒ (x∈A)⊃(x∈B) Q = x∈B A feladatban felhasznált következtetési séma: modus ponens.⇒
Egy lehetséges megoldás:
Julcsi az 1.a osztályba jár. (P1) Az 1.a osztály a Kossuth Általános Iskola egyik osztálya. (P2) Julcsi a Kossuth Általános Iskolába jár. (Q) Megjegyzés: egy iskolát olyan, tanulókból (x) álló halmaznak tekintjük, akik az adott iskolába (B), és azon belül egy meghatározott osztályba (A) járnak (vagyis x∈A, A⊆B). Az iskola ezeknek az osztályoknak az uniója (B=A1∪A2∪...∪An). Az osztályok az egyes iskoláknak, az iskolák a tanulók halmazának egy osztályozását jelentik. Ennek megfelelően feltesszük, hogy egy osztály tanulói mindannyian egy iskolába járnak, és minden tanuló egy osztályba tartozik.
A fenti példában tehát
Julcsi (x) az 1.a osztályba (A) jár. ⇋ (x∈A);
Az 1.a osztály (A) a Kossuth Általános Iskola (B) egyik osztálya. ⇋ A⊆B;
A részhalmaz reláció korábban tanult definíciója alapján minden 't' tanulóra (t∈A)⊃(t∈B) teljesül. Formálisan ezt ∀(t∈I)[(t∈A)⊃(t∈B)] módon írhatjuk le. (Jegyezzük meg, hogy a (t∈A)⊃(t∈B) "anyagi" implikációt azokra a tanulókra, akik nem az 1.a osztályba járnak, azaz t∉A teljesül, igaznak fogadjuk el.)
Tehát speciálisan Julcsira (x) is igaz, hogy (x∈A)⊃(x∈B); vagyis
Julcsi (x) a Kossuth Általános Iskolába (B) jár. ⇋ (x∈B).A következtetés az alábbi módon igazolható. A részhalmaz reláció (⊆) definíciója miatt:⇒
P2 ⇋ "az 'A' halmaz minden eleme eleme a 'B' halmaznak is".
Ez formálisan a következőképpen írható le:
P2 ⇋ (tetszőleges x∈A esetén) x∈A ⊃ x∈B
Vegyük észre, hogy A⊆B fennállása esetén az (x∈A ⊃ x∈B) implikáció bármely x∈I elem esetén igaz, amiből a modus ponens⇒ következtetési séma alapján
x∈A , (x∈A ⊃ x∈B) ⊨ x∈B
következik. Ennek alapján
P1 , P2 ⊨ x∈B
teljesül, vagyis a keresett Q formulára
Q = x∈B
adódik.
(a2) (modus ponens) P1 ⇋ x∈A P2 ⇋ A⊆B ⇒ (x∈A)⊃(x∉B) Q = x∉B A feladatban felhasznált következtetési séma: modus ponens (második variációja).⇒
Egy lehetséges megoldás:
Julcsi az 1.a osztályba jár. (P1) Az 1.a osztály nem a Kossuth Általános Iskola egyik osztálya. (P2) Julcsi nem a Kossuth Általános Iskolába jár. (Q)
(b1) (indirekt bizonyítás) P1 ⇋ x∈A P2 ⇋ B⊆A ⇒ (x∉B)⊃(x∉A) Q = x∈B Megjegyzés: B⊆A ⇋ "a 'B' halmazba nem tartozó elemek egyike sem tartozik az 'A' halmazba"
A feladatban felhasznált következtetési séma: indirekt bizonyítás.⇒
Egy lehetséges megoldás:
Julcsi az 1.a osztályba jár. (P1) A Kossuth Általános Iskolán kívül egyetlen iskolának sincs 1.a osztálya. (P2) Julcsi a Kossuth Általános Iskolába jár. (Q)
(b2) (indirekt bizonyítás) P1 ⇋ x∈A P2 ⇋ B⊆A; ⇒ (x∈B)⊃(x∉A) Q = x∉B A feladatban felhasznált következtetési séma: indirekt bizonyítás (második változat).⇒
Egy lehetséges megoldás:
Julcsi az 1.a osztályba jár. (P1) A Kossuth Általános Iskolának nincs 1.a osztálya. (P2) Julcsi nem a Kossuth Általános Iskolába jár. (Q)
(c) (modus tollens) P1 ⇋ A⊆B ⇒ (x∈A)⊃(x∈B) P2 ⇋ x∉B Q = x∉A A feladatban felhasznált következtetési séma: modus tollens.⇒
Egy lehetséges megoldás:
Az 1.a osztály a Kossuth Általános Iskola egyik osztálya. (P1) Julcsi nem a Kossuth Általános Iskolába jár. (P2) Julcsi nem a Kossuth Általános Iskola 1.a osztályába jár. (Q) Megjegyzés: abban a korábban megismert tesztben, amelyben kártyákat kellett megfordítani,⇒ ennek a következtetési sémának az alkalmazása az eredmények tanúsága szerint komoly nehézséget okozott a tesztben részt vevők egy részének. A teszt univerzumában a "problémás" következtetés a következőképpen fogalmazható meg:
Ha egy kártya egyik oldalán magánhangzó van, akkor a másik oldalán páros szám áll. (P1) A kártya egyik oldalán nem páros szám áll. (P2) A kártya másik oldalán nem magánhangzó van. (Q)
(d) (modus tollendo ponens) P1 ⇋ x∈A∪B P2 ⇋ x∉A Q = x∈B A feladatban felhasznált következtetési séma: modus tollendo ponens.⇒
Egy lehetséges megoldás:
Julcsi az 1.a osztályba vagy az 1.b osztályba jár. (P1) Julcsi nem az 1.b osztályba jár. (P2) Julcsi az 1.a osztályba jár. (Q)
(e) (modus ponendo tollens = de Morgan szabály és modus tollendo ponens) P1 ⇋ x∉(A∩B) ⇔ x∈(A∪B) P2 ⇋ x∈A Q = x∉B A feladatban felhasznált következtetési séma: modus ponendo tollens⇒ (ez a de Morgan azonosság⇒ felhasználásával könnyen megkapható a modus tollendo ponens⇒ sémából)
Egy lehetséges megoldás:
Julcsi nem a Kossuth Általános Iskola 1.a osztályába jár. (P1) Julcsi az 1.a osztályba jár. (P2) Julcsi nem a Kossuth Általános Iskolába jár. (Q) Emlékezzünk vissza rá, hogy a halmazokra vonatkozó de Morgan azonosság alapján
(A∩B) = (A∪B)
teljesül. Ha x∈I egy tetszőleges tanuló, akkor a p ⇋ x∈A és q ⇋ x∈B kijelentésekkel ez
⌝(p∧q) = (⌝p∨⌝q)
módon írható le, ami éppen a kijelentésekre érvényes de Morgan azonosság. Ennek megfelelően az előző megoldás P1 premisszája átfogalmazható:
"Julcsi nem a Kossuth Általános Iskolába jár vagy Julcsi nem az 1.a osztályba jár."
Jegyezzük meg, hogy a fenti kijelentésben megengedő vagy szerepel, vagyis lehetséges, hogy Julcsi nem a Kossuth Általános Iskola tanulója és nem is az 1.a osztályba jár.
(f) (láncszabály) P1 ⇋ A⊆B P2 ⇋ B⊆C Q = A⊆C A feladatban felhasznált következtetési séma: láncszabály⇒
Egy lehetséges megoldás:
Bori és Julcsi nagyon szeretik a matematikát. (P1) Azok a tanulók, akik szeretik a matematikát, az 1.a osztályba járnak. (P2) Bori és Julcsi az 1.a osztályba járnak. (Q)
(g) (ekvivalencia kifejezése) P1 ⇋ A⊆B P2 ⇋ B⊆A Q = (A=B) A feladatban felhasznált következtetési séma, ill. logikai azonosság: az ekvivalencia kifejezése az implikáció segítségével.⇒
Egy lehetséges megoldás:
Azok a tanulók, akik szeretik a matematikát, az 1.a osztályba járnak. (P1) Azok a tanulók, akik az 1.a osztályba járnak, szeretik a matematikát. (P2) Azok a tanulók, akik szeretik a matematikát, és azok a tanulók, akik az 1.a osztályba járnak, ugyanazok. (Q)
(h) (esetelemzés) P1 ⇋ A⊆C P2 ⇋ B⊆C Q = (A∪B)⊆C A feladatban felhasznált következtetési séma: az esetelemzés szabálya⇒
Egy lehetséges megoldás:
Azok a tanulók, akik szeretik a matematikát, az 1.a osztályba járnak. (P1) Azok a tanulók, akik szeretik az éneket, az 1.a osztályba járnak. (P2) Azok a tanulók, akik szeretik a matematikát vagy szeretik az éneket, az 1.a osztályba járnak. (Q)
(i) (reductio ad absurdum) Vezessük be az alábbi halmazokat:
- A ⇋ "az osztály tanulói"
- Pal ⇋ "a Pál utcai fiúk"
- Red ⇋ "a Vörösingesek"
- Mat ⇋ "azok a tanulók, akik szeretik a matematikát"
- Acs ⇋ "Ács Feriék"
Venn-diagram:
P1 ⇋ A=Pal∪Red P2 ⇋ Pal⊆Mat P3 ⇋ Acs⊆Mat Q = Acs⊆Red A feladatban felhasznált következtetési séma: az ellentmondásra való visszavezetés (reductio ad absurdum, második variáció)⇒
Egy lehetséges megoldás:
Az osztályba a Pál utcai fiúk és a Vörösingesek járnak. (P1) Ács Feriék ebbe az osztályba járnak. (P11) A Pál utcai fiúk szeretik a matematikát. (P2) Ács Feriék nem szeretik a matematikát. (P3) (Q) Egy érdekesség: ha Geréb mind a Pál utcai fiúkhoz, mind a Vörösingesekhez tartozik, találtunk egy olyan Vörösingest, aki nem Ács Feriékhez tartozik, és szereti a matematikát.
Vegyük észre, hogy a megoldás első mondatában az és kötőszó logikai vagy értelemben szerepel. Átfogalmazva:
P1 ⇋ "Az osztály tanulói vagy Pál utcai fiúk, vagy Vörösingesek."
Jegyezzük meg, hogy azt, hogy egy mondatban megengedő vagy kizáró vagy szerepel, általában csak a tágabb szövegkörnyezetből tudjuk eldönteni.A reductio ad absurdum alapján történő levezetés a következő lépésekből áll:
Tegyük fel ("indirekt feltevés"), hogy Ács Feriék Pál utcai fiúk.
Mivel a Pál utcai fiúk szeretik a matematikát (P2), ezért (a láncszabály⇒ miatt) Ács Feriék is szeretik a matematikát.
De mivel tudjuk, hogy Ács Feriék nem szeretik a matematikát (P3), az indirekt feltevés ellentmondásra vezetett, tehát Ács Feriék nem lehetnek Pál utcai fiúk.
Mivel az osztályba a Pál utcai fiúk és a Vörösingesek járnak (P1), továbbá Ács Feriék ebbe az osztályba járnak (P11), és Ács Feriék nem Pál utcai fiúk, ezért (a modus tollendo ponens⇒ séma miatt) Ács Feriék Vörösingesek (Q).