Matematika 1

7.1. A természetes számfogalom. A Peano-axiómák

Egy matematikai elmélet megalapozásakor

bizonyos fogalmakat alapfogalomként vezetünk be (azaz nem definiálunk, ismertnek tételezünk fel); ezután
olyan alapvető állításokat, ún. axiómákat fogalmazunk meg és fogadunk el, amelyek a bevezetett fogalmakra mindig teljesülnek (ezeket tehát nem bizonyítjuk).
Az elmélet kidolgozásakor a bevezetett alapfogalmakból kiindulva további fogalmakat hozunk létre (definiálunk), és
a fogalmakkal olyan állításokat fogalmazunk meg, amelyeket az axiómákból már le tudunk logikailag vezetni, azaz meghatározott következtetések^⇒ segítségével be tudunk bizonyítani.

A természetes számok axiomatikus értelmezése Giuseppe Peano olasz matematikustól származik.
A természetes számok halmazát (ℕ), ezen belül a nulla (0) számot alapfogalomnak tekintjük.^⇒ Ezután bevezetünk egy
S :ℕ→ℕ
függvényt, amelyet

S(n) ⇋ "az 'n' természetes szám rákövetkezője"

módon értelmezünk.
Az S :ℕ→ℕ függvénnyel a természetes számok képzésének legfontosabb tulajdonságát írjuk le. (Az S(n) függvény tetszőleges n∈ℕ természetes számra az S(n)=n+1 műveletet fejezi ki.)
Elfogadjuk a következő axiómákat:

A nulla természetes szám (azaz 0∈ℕ).
Minden természetes számnak van egy egyértelműen meghatározott rákövetkezője.

A "rákövetkezés" fogalmát matematikailag az S :ℕ→ℕ függvénnyel^⇒ írjuk le.

Nincs olyan természetes szám, amelynek 0 a rákövetkezője lenne (azaz a nulla nem eleme az S(n) függvény értékkészletének).

Ez tömören úgy fogalmazható meg, hogy
Rng(S)=ℕ∖{0}
teljesül.

Különböző természetes számok rákövetkezője is különböző (azaz az S(n) függvény injektív^⇒).
Érvényes a teljes indukció elve: legyen n∈ℕ egy tetszőleges természetes szám és T=T(n) egy adott tulajdonság ("indukciós" állítás), amely az 'n' természetes számtól függ. Ekkor

ha 'T' igaz a k₀∈ℕ természetes számra, azaz T(k₀) igaz, és
ha minden minden k∈ℕ természetes számra teljesül, hogy
ha 'T' igaz a k≥k₀ természetes számra,
akkor 'T' igaz lesz a 'k' természetes szám S(k) rákövetkezőjére is,
akkor ebből az következik, hogy 'T' igaz lesz minden k≥k₀ természetes számra.

A teljes indukció elve tömören úgy fogalmazható meg, hogy ha T(k₀) igaz, továbbá ha minden k≥k₀ természetes számra a T=T(k) állítás "öröklődik" k-ról S(k)-ra, azaz ha T(k) igaz, akkor T(S(k)) is igaz lesz, akkor a T=T(k) állítás (vagy logikai formula) igaz lesz minden k≥k₀ természetes számra.
A teljes indukció a modus ponens^⇒ alkalmazásán alapul:
T(k), T(k)⊃T(k+1) ⊨ T(k+1)
miatt ha T(k₀) igaz, akkor T(k) minden k≥k₀ természetes számra igaz.

A teljes indukciós bizonyításokra korábban már több példát^⇒ megismertünk.

A fenti axiómák tömören megfogalmazhatók logikai szimbólumokkal. Például

az S(n) függvény injektivitása:
∀n∀m (S(n)=S(m)⊃.n=m), ill.
∀n∀m (n≠m⊃.S(n)≠S(m))

az öröklődés tulajdonsága:
∀k∈ℕ (k≥k₀∧T(k)⊃.T(S(k)))
Ezt szavakban megfogalmazva: minden k≥k₀ természetes számra teljesül, hogy ha T(k) igaz, akkor T(S(k)) is igaz lesz.

A teljes indukciós bizonyításnak a következő alakját is használhatjuk (vö. Szendrei 1975: 50):

Legyen n∈ℕ egy természetes szám és T(n) egy adott tulajdonság, amely az 'n' természetes számtól függ. Ekkor

ha T(k₀) igaz egy k₀∈ℕ természetes számra (azaz |T(k₀)|=1), és
ha minden k∈ℕ természetes számra teljesül, hogy

ha T(x) igaz minden k≥x≥k₀ természetes számra, akkor T(k) igaz lesz a 'k' természetes szám S(k) rákövetkezőjére is, azaz T(S(k)) igaz lesz (vagyis ∀k∈ℕ (k≥k₀ ∧ ∀x (k≥x≥k₀∧T(x))⊃.T(S(k))) teljesül),

akkor ebből az következik, hogy T(k) igaz lesz minden k≥k₀ természetes számra (azaz |∀k∈ℕ (k≥k₀∧T(k))|=1 teljesül).

A Peano-axiómák alapján a természetes számok közötti műveletek a következőképpen definiálhatók (vö. Szendrei 1975: 50):

k+0 ⇋ k (k∈ℕ)
k+S(m) ⇋ S(k+m) (k, m∈ℕ)

A fenti két definícióból m=0 helyettesítéssel k+S(0)=S(k+0)=S(k) adódik, vagyis tetszőleges 'k' természetes szám rákövetkezője S(k)=k+S(0).
Jelöljük a '0' természetes szám rákövetkezőjét S⁽¹⁾=S(0) módon. (Jegyezzük meg, hogy az S⁽¹⁾=S(0) természetes számot azonosíthatjuk az '1' természetes számmal.)
A korábbi összefüggésből a k=S(0) természetes szám rákövetkezőjére S⁽²⁾=S(S(0))=S(0)+S(0) adódik.
Teljes indukcióval a '0' természetes szám n-dik rákövetkezőjére S⁽ⁿ⁾=S(0)+...+S(0) adódik, ahol a jobb oldalon 'n' darab S(0) szám összege szerepel. (Jegyezzük meg, hogy az S⁽ⁿ⁾ természetes számot azonosíthatjuk az 'n' természetes számmal.)

k*0 ⇋ 0 (k∈ℕ)
k*S(m) ⇋ k*m+m (k, m∈ℕ) (A szorzást mint ismételt összeadást értelmezzük.)
k⁰ ⇋ 1 (k∈ℕ, k≠0)
k^S(m) ⇋ k^m*m (k, m∈ℕ, k≠0) (A hatványozást mint ismételt szorzást értelmezzük.)
0^m ⇋ 0 (m∈ℕ, m≠0) (Jegyezzük meg, hogy 0⁰-t nem értelmezzük!)

Az összeadás műveletével kifejezve egy tetszőleges k∈ℕ természetes szám esetén S(k)=k+1 teljesül.

7.2. A számfogalom kialakításának lépései

A számfogalom kialakításakor a természetes számok fogalmának kialakítása után következhet a számfogalom bővítése: az egész számok, a racionális számok és a valós számok fogalmának kialakítása.
A számfogalom bővítésének célja olyan számhalmazok kialakítása, amelyekben a számok között értelmezett aritmetikai műveletek korlátozás nélkül végrehajthatóak. Másképpen megfogalmazva: a számfogalom bővítése során kialakított számhalmazok legyenek zártak a számok között értelmezett műveletekre.

A számkörbővítés (az egész számok, a racionális számok, a valós számok és a komplex számok bevezetése) a permanenciaelv alapján történik (Pappné Ádám 1996: 73; Borsodi-Göndöcs 1972: 5; Wikipedia^⇒). Ez négy feltétel teljesülését kívánja meg az eredeti és a bővített halmazra:

a számok között értelmezett egyenlőség ekvivalenciareláció legyen;
a bővített halmaznak az eredeti halmaz a részhalmaza legyen;
az eredeti halmazban definiált műveletek alaptulajdonságai érvényben maradjanak a bővített halmazban is;
a bővített halmazban értelmezett műveletek eredménye az eredeti halmaz elemeire ugyanaz legyen, mint korábban.

Tekintsük át röviden, hogy a természetes számok ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} halmazában melyek a legfontosabb aritmetikai műveletek:
összeadás:^⇒ ha A és B diszjunkt halmazok, amelyekre |A|=a és |B|=b teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok összegét a+b=|A∪B| módon értelmezzük

a természetes számok halmaza zárt az összeadásra nézve

kivonás:^⇒ az a, b∈ℕ természetes számok különbsége alatt azt az x=(a−b) természetes számot értjük, amelyet a 'b' számhoz adva az 'a' számot kapjuk eredményül (azaz amelyre a=b+x teljesül)

a természetes számok halmaza nem zárt a kivonásra nézve
annak a szükséges és elégséges feltétele, hogy az x=(a−b) különbség létezzen a természetes számok halmazában, a≥b teljesülése

szorzás:^⇒ ha A és B olyan halmazok, amelyekre |A|=a és |B|=b teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok szorzatát
    a*b=|AΧB|
módon értelmezzük, vagyis az a*b szorzatot az 'A' és 'B' halmazok elemeiből képezhető (a,b) számpárok száma adja
Szemléletesen megfogalmazva: képezzünk korongokból annyi 'b' elemű csoportot, ahány eleme van az 'A' halmaznak. Ezáltal 'a' darab csoportunk lesz. Ezután számláljuk össze a korongokat.

a természetes számok halmaza zárt a szorzásra nézve
a szorzást értelmezhetjük ismételt összeadásként is, a szorzóra vonatkozó teljes indukcióval:^⇒

legyen a*0=0
legyen a*1=a
ha ismert a*b értéke, akkor legyen a*(b+1)=a*b+a

osztás:^⇒ az a, b∈ℕ, b≠0 természetes számok hányadosa alatt azt az x=a/b természetes számot értjük, amelyet a 'b' számmal szorozva az 'a' számot kapjuk eredményül (azaz amelyre a=b*x teljesül)

a természetes számok halmaza nem zárt az osztásra nézve
a nullával való osztást nem értelmezzük
a maradékos osztást ismételt kivonásként is értelmezhetjük:

legyen q=0 és m=a
amíg m≥b teljesül

legyen m=m−b és q=q+1
lépjünk vissza a 2. lépésre

a=q*b+m teljesül (azaz 'a'-ban a 'b' megvan 'q'-szor, a maradék pedig 'm')

hatványozás: ha A olyan halmaz, amelyre |A|=a teljesül, akkor az 'a' természetes szám 'n'-ik hatványát n≥1 esetén aⁿ= |AΧAΧ...ΧA|= |Aⁿ| módon értelmezzük

a természetes számok halmaza zárt a hatványozásra nézve
a hatványozást értelmezhetjük ismételt szorzásként is, a kitevőre vonatkozó teljes indukcióval:^⇒

legyen a¹=a
ha ismert aⁿ értéke, akkor legyen aⁿ⁺¹=a*aⁿ

a hatványozás értelmezését kiterjeszthetjük, ha az alap és a kitevő egyidejűleg nem zérus:

ha a=0 és n≠0, akkor legyen 0ⁿ=0
ha a≠0 és n=0, akkor legyen a⁰=1
a 0⁰ hatványt nem értelmezzük

Legyen aⁿ=b; ezt egyenletnek tekintve,

adott 'n' és 'b' számok esetén kereshetjük az 'a' számot, amellyel az egyenlet kielégíthető (gyökvonás); és
adott 'a' és 'b' számok esetén kereshetjük az 'n' számot, amellyel az egyenlet kielégíthető (logaritmus).

gyökvonás: legyenek b∈ℕ és n∈ℕ⁺ természetes számok; ekkor a 'b' szám 'n'-ik gyöke alatt azt az x=ⁿ√b természetes számot értjük, amelyre xⁿ=b teljesül, azaz az 'x' számot az 'n'-ik kitevőre emelve a 'b' számot kapjuk eredményül

például √9=3 vagy ³√8=2
a természetes számok halmaza nem zárt a gyökvonásra nézve

logaritmus: legyenek a∈ℕ⁺, a≠1 és b∈ℕ⁺ természetes számok; ekkor a 'b' szám 'a' alapú logaritmusa alatt azt az x=log_a b természetes számot értjük, amelyre a^x=b teljesül, azaz az 'a' számot az 'x'-edik kitevőre emelve a 'b' számot kapjuk eredményül

például log₂ 8=3
a természetes számok halmaza nem zárt a logaritmus műveletére nézve

Ahhoz, hogy a fenti műveletekre (például a kivonásra, az osztásra vagy a gyökvonásra) a számok halmaza zárt legyen, a számfogalom bővítésére van szükség.

a számfogalom bővítése

az egész számok halmaza^⇒
a racionális számok halmaza^⇒
a valós számok halmaza^⇒
a komplex számok halmaza

Foglaljuk össze az összeadás és a szorzás műveleteit a különböző számhalmazokban, ismertnek tételezve fel a természetes számok ℕ halmazán a összeadás, a kivonás és a szorzás műveleteit:

számhalmaz összeadás szorzás
egész számok^⇒
ℤ=ℤ⁺∪{0}∪ℤ⁻
ℤ⁺=ℕ⁺
ℤ⁻={−k|k∈ℕ}

0+(−b)= −b

a+(−b)= { (a−b) (ha a≥b)
−(b−a) (ha a<b)

(−a)+(−b)= −(a+b)
a*(−b)=−(a*b)
(−a)*(−b)=a*b
racionális számok
ℚ={p/q|p,q∈ℤ,q≠0} (a/b)+(c/d)= (a*d+b*c)/(b*d) (a/b)*(c/d)= (a*c)/(b*d)
A racionális számok kifejezhetők véges vagy végtelen szakaszos tizedes törtekként.
valós számok
ℝ=ℚ∪𝕀 Valós számnak nevezünk minden véges vagy végtelen tizedes törtet. (Borsodi-Göndöcs 1970: 229)

A racionális számokra a műveletek eredménye a racionális számokon végzett megfelelő műveletek eredményével egyezik meg.
Az irracionális számok tetszőleges pontossággal megközelíthetők racionális számokkal.

komplex számok
ℂ={(a+b*i)|a,b∈ℝ} (a+b*i)+(c+d*i)= (a+c)+(b+d)*i i*i=−1
(a+b*i)*(c+d*i)= (a*c−b*d)+(b*c+a*d)*i

A permanenciaelvnek^⇒ megfelelően a bevezetett számhalmazokra
    ℕ⊆ℤ⊆ℚ⊆ℝ⊆ℂ
teljesül, vagyis a szó szoros értelmében számkörbővítést hajtottunk végre.

Jegyezzük meg a következőket:
(1) A permanenciaelvnek^⇒ megfelelően a p/q alakú (p,q∈ℤ, q≠0) racionális számok között értelmezett
    p₁/q₁=p₂/q₂ ⇋ p₁*q₂=p₂*q₁
egyenlőség ekvivalenciareláció.
(2) Geometriailag a valós számok a számegyenes pontjaiként, a komplex számok pedig egy sík, az ún. Gauss-féle számsík pontjaiként ábrázolhatók. Utóbbi esetben egy olyan Descartes-féle koordináta-rendszert kell elképzelnünk, amelyben
– az 'x' tengely a valós számokat tartalmazó valós tengely (x=a, a∈ℝ),
– az 'y' tengely pedig a (tisztán) képzetes számokat tartalmazó imaginárius tengely (y=b*i, b∈ℝ, ahol 'i' a képzetes vagy imaginárius egység, amelyre i²=−1 teljesül).
(3) Ha a valós számokat (ℝ ) tizedestört alakban ábrázoljuk, a racionális számok (ℚ ) a véges vagy végtelen szakaszos tizedes törteknek felelnek meg. Két (pozitív) egész szám osztásakor a maradékok száma egy adott osztó esetén véges, ami a hányadosban ismétlődő szakaszok megjelenéséhez vezet (például 7/13 esetén mind az osztási maradékok, mind a hányados tizedesjegyei periodikus sorozatot alkotnak, ahogy ezt korábban^⇒ láttuk). Másrészt egy végtelen szakaszos tizedestört egy egyszerű algoritmussal^⇒ mindig visszaalakítható racionális törtté (azaz kifejezhető két egész szám hányadosával).
Valós számok esetén az irracionális számok (𝕀 ) végtelen nem szakaszos tizedes törtekként ábrázolhatók. (Irracionális számok például a √2 vagy a jól ismert π=3.14... állandó.) Ezeket a számokat tetszőleges pontossággal kifejezhetjük racionális számokkal. Ilyenkor rendszerint egy olyan sorozatot adunk meg, amelynek határértéke^⇒ a végtelenben a keresett irracionális szám (vagyis minél nagyobb sorszámú sorozatelemet számítunk ki, annál pontosabb közelítését kapjuk a keresett irracionális számnak). Például a kettő négyzetgyökét közelítő sorozatot egy egyszerű algoritmussal könnyen meghatározhatjuk.^⇒
(1) Legyen a₁=1
(2) A keresett √2 számot az a_n sorozat elemeivel közelítjük, amelynek általános elemét
    a_n+1=(a_n+2/a_n)/2 (n∈ℕ⁺)
módon számítjuk ki.
(3) Bizonyítható, hogy a_n → √2 (ha n→∞).

7.3. Műveletek a természetes számok halmazában. A négy alapművelet elméleti megalapozása

Korábban láttuk, hogy a természetes számok értelmezhetők úgy, mint véges halmazok számosságai.^⇒ Ennek megfelelően értelmezhetjük a természetes számok közötti műveleteket is. Jelöljük most is Σ-val a természetes számok értelmezésekor korábban bevezetett halmazrendszert ("világhalmazt").^⇒
Számunkra a Σ halmazrendszer legfontosabb tulajdonságai:

Σ végtelen sok véges halmazt tartalmaz,
Σ elemei között minden lehetséges számosság előfordul, és
a Σ halmazrendszer zárt a halmazok között korábban értelmezett műveletekre (vagyis például két Σ-beli halmaz uniója, metszete stb. szintén eleme a Σ halmazrendszernek).

A természetes számok közötti alapműveletek értelmezésekor 'halmaz' alatt mindig a Σ halmazrendszer egy elemét értjük.

A természetes számok halmazán a következő alapműveleteket értelmezzük:

(1) összeadás:
Az a, b∈ℕ természetes számok összege alatt azt az a+b∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú diszjunkt halmazok uniójának számosságával egyezik meg.
Vagyis ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és A∩B=∅ teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok összegét
a+b ⇋ |A∪B|
módon értelmezzük.
Az összeadás egy f(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvény. Az f(a,b) számot 'a+b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "összeadjuk"). Az 'a+b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok összegének, az 'a' és 'b' számokat pedig összeadandóknak vagy tagoknak nevezzük.

Legyenek a, b és c∈ℕ tetszőleges természetes számok. Az összeadás fontosabb tulajdonságai:

kommutativitás: a+b = b+a
asszociativitás: (a+b)+c = a+(b+c)
zéruselem (0) létezése: a+0 = a
ha a+b = a ⇒ b = 0
ha a+b = 0 ⇒ a = 0 és b = 0
a+b = a+c ⇔ b = c

(2) szorzás:
Az a, b∈ℕ természetes számok szorzata alatt azt az a*b∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú halmazok direkt szorzatának számosságával egyezik meg.
Szemléletesen kifejezve ez azt jelenti, hogy
– az |A|=a számosságú véges halmaz egy kiválasztott x₁∈A eleméhez hozzárendeljük a |B|=b számosságú véges halmaz minden y∈B elemét; eredményül az
    A_x₁={(x₁,y)|y∈B}, |A_x₁|=b
'b' elemű halmazt kapjuk;
– ezt annyiszor ismételjük meg (mintegy "megsokszorozva" a B halmaz elemeit), ahány eleme van az A halmaznak; eredményül az
    A_x₁={(x₁,y)|y∈B}, |A_x₁|=b
    A_x₂={(x₂,y)|y∈B}, |A_x₂|=b
    ...
    A_{x_a}={(x_a,y)|y∈B}, |A_{x_a}|=b
'a' darab 'b' elemű halmazt kapjuk;
– végül az így kapott halmaz elemeit összeszámoljuk, azaz meghatározzuk az
    AΧB=A_x₁∪A_x₂∪...∪A_{x_a}
halmaz elemszámát, amely éppen az
    |AΧB|= |A_x₁|+|A_x₂|+...+|A_{x_a}|= b+b+...+b= a*b
szorzattal egyezik meg. Ebben az értelemben a szorzást ismételt összeadásként is értelmezhetjük.
Ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b teljesül, akkor az 'a' és 'b' természetes számok szorzatát
a*b ⇋ |AΧB|
módon értelmezzük.
A szorzás egy g(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvény. A g(a,b) számot 'a*b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "összeszorozzuk"). Az 'a*b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok szorzatának, az 'a' és 'b' számokat pedig szorzandónak és szorzónak, ill. mindkettőt tényezőnek nevezzük.

Legyenek a, b és c∈ℕ tetszőleges természetes számok. A szorzás fontosabb tulajdonságai:

kommutativitás: a*b = b*a
asszociativitás: (a*b)*c = a*(b*c)
egységelem (1) létezése: a*1 = a
disztributivitás az összeadásra nézve: a*(b+c) = (a*b)+(a*c)
a*0 = 0
ha a*b = 0 ⇒ a = 0 vagy b = 0 (a tulajdonságban "megengedő" vagy szerepel!)

ha a≠0 és b≠0 ⇒ a*b≠0 (két zérustól különböző természetes szám szorzata nem lehet zérus; ún. zérusosztómentesség)

ha a*b = a és a≠0 ⇒ b = 1
ha a*b = 1 ⇒ a = 1 és b = 1
a≠0 esetén a*b = a*c ⇔ b = c

A szorzást a szorzóra vonatkozó teljes indukcióval^⇒ értelmezhetjük ismételt összeadásként is. Ha a, b∈ℕ természetes számok, akkor
    ha b=0 akkor legyen a*b=0;
    ha b=1 akkor legyen a*b=a;
    ha b>1 és ismert a*b, akkor legyen a*(b+1)=a*b+a
Az utolsó lépést megfogalmazhatjuk a következőképpen is:
    ha b>1 akkor legyen a*b ⇋ a₁+a₂+...+a_b, ahol a_i=a (i=1,2,...,b).

(3) hatványozás:
Legyenek a, n∈ℕ⁺ pozitív természetes számok. Ekkor az 'a' természetes szám 'n'-edik hatványa alatt azt az aⁿ∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' számosságú halmaz önmagával vett n-szeres direkt szorzatának (az 'A' halmaz "n-edik hatványának"^⇒) számosságával egyezik meg.
Vagyis ha A∈Σ olyan halmaz, amelyre |A|=a teljesül, akkor az 'a' természetes szám n-ik hatványát
aⁿ ⇋ |AΧAΧ...ΧA|=|Aⁿ|
módon értelmezzük.
A hatványozás egy h(a,n) : ℕ⁺Χℕ⁺→ℕ⁺ függvény. A h(a,n) számot aⁿ módon jelöljük, és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' számot 'n'-edik hatványra emeljük ("hatványozzuk"). Az aⁿ természetes számot az 'a' természetes szám 'n'-edik hatványának, az 'a' számot a hatvány alapjának, az 'n' számot pedig a hatvány kitevőjének nevezzük (a>0, n>0).

Legyenek a, b∈ℕ⁺, valamint m, n∈ℕ⁺ tetszőleges pozitív természetes számok. A hatványozás fontosabb tulajdonságai:

a^m*aⁿ = a^m+n
(a*b)ⁿ = aⁿ*bⁿ
(a^m)ⁿ = a^m*n
a¹ = a
1ⁿ = 1

A hatványozás értelmezését kiterjeszthetjük tetszőleges a, n∈ℕ természetes számokra, ha a számok egyidejűleg nem zérusok (vö. Szendrei 1975: 47).
A hatványozás kiterjesztése során a permanenciaelvet alkalmazzuk:^⇒ az eddig nem értelmezett hatványokat úgy definiáljuk, hogy a hatványozás eddigi tulajdonságai zérus alapra, ill. zérus kitevőre is érvényesek maradjanak. Ennek megfelelően definíció szerint legyen
a⁰ = 1 (a≠0) és
0ⁿ = 0 (n≠0).
Jegyezzük meg, hogy a 0⁰ kifejezés nem értelmezhető ellentmondásmentesen.^⇒
Végül emeljük ki, hogy a hatványozást értelmezhetjük a kitevőre vonatkozó teljes indukcióval ismételt szorzásként is. Ha a, n∈ℕ természetes számok, akkor
    ha n=0 és a=0 akkor az aⁿ értéket nem értelmezzük;
    ha n≠0 és a=0 akkor legyen aⁿ ⇋ 0;
    ha n=0 és a≠0 akkor legyen aⁿ ⇋ 1;
    ha n=1 akkor legyen aⁿ ⇋ a;
    ha n>1 és ismert aⁿ, akkor legyen aⁿ⁺¹ ⇋ a*aⁿ
Az utolsó lépés megfogalmazható a következőképpen is:
    ha n>1 akkor legyen aⁿ ⇋ a₁*a₂*...*a_n, ahol a_i=a (i=1,2,...,n).
Ha az alapműveleteket a Peano-axiómák alapján^⇒ vezetjük be, az összeadást számlálásként, a szorzást ismételt összeadásként, a hatványozást pedig ismételt szorzásként értelmezhetjük.

(4) kivonás:
Az a, b∈ℕ természetes számok különbsége alatt azt az a−b∈ℕ természetes számot értjük, amelyet a 'b' számhoz adva az 'a' számot kapjuk eredményül. (Míg az összeadáskor az a+b=? kérdésre keressük a választ, kivonáskor a b+?=a probléma megoldását keressük. Ebben az értelemben a kivonást az összeadás inverz műveletének szokás nevezni, vö. Brindza 1996: 70.)

Vannak olyan a, b∈ℕ természetes számok, amelyekre a−b∉ℕ (pl. 3−5). A kivonás művelete tehát nem végezhető el korlátozás nélkül a természetes számok körében, azaz a természetes számok halmaza nem zárt a kivonásra nézve.
A kivonás azokra az a, b∈ℕ természetes számokra végezhető el, amelyekre a≥b teljesül.

A kivonás egy u(a,b) : A⊆ℕΧℕ→ℕ függvény, amelynek az értelmezési tartománya
    A={(a,b) | a,b∈ℕ, a≥b}
módon adható meg.
Koordináta-rendszerben az 'a' értékeket az 'y' tengelyen, a 'b' értékeket az 'x' tengelyen ábrázolva az 'A' halmaz az y=x (x≥0) félegyenesen fekvő, ill. az egyenes feletti tartományban levő pontoknak megfeleltethető természetes számpárokat tartalmazza. Ebben az ábrázolásban az (a-b) különbséget a (b,a) pontnak és az y=x egyenesen fekvő (b,b) pontnak a távolsága adja meg.
Az u(a,b) számot 'a−b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' és 'b' számokat "kivonjuk egymásból"). Az 'a−b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok különbségének, az 'a' számot kisebbítendőnek, a 'b' számot kivonandónak nevezzük.
Formálisan a különbség meghatározása
    a= u(a,b)+b= (a−b)+b
módon írható le. ("Keressük azt az u=a−b természetes számot, amelyet a 'b' számhoz adva az 'a' számot kapjuk eredményül.")
Ha az összeadást az f(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvénnyel adjuk meg, akkor a fenti összefüggés
    a= f(u(a,b),b)
alakú lesz, vagy u(x,b)=f⁻¹(x,b) jelöléssel
    a= f(f⁻¹(a,b),b)
formában írható fel.

Két természetes szám különbségét halmazelméletileg is értelmezhetjük. Az a, b∈ℕ, a≥b természetes számok különbsége alatt azt az (a−b)∈ℕ természetes számot értjük, amely az 'a' és 'b' számosságú, egymással részhalmaz relációban álló halmazok különbségének vagy differenciájának^⇒ számosságával egyezik meg. Vagyis ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és B⊆A teljesül, akkor két természetes szám különbségét (a−b) ⇋ |A∖B| módon értelmezhetjük.
Ha A, B∈Σ olyan halmazok, amelyekre |A|=a, |B|=b és B⊆A teljesül, akkor a kivonást például úgy végezhetjük el, hogy az 'A' halmazból pontosan annyi elemet veszünk ki, ahány elemből a 'B' halmaz áll. Ha az 'A' és a 'B' halmaz (más-más színű) zsetonokból áll, akkor ezt megvalósíthatjuk úgy, hogy minden 'A'-ból kivett zsetont egy 'B' beli zseton fölé helyezünk.

(5) osztás:
Az a, b∈ℕ, b≠0 természetes számok hányadosa alatt azt az a/b∈ℕ (vagy a:b∈ℕ) természetes számot értjük, amelyet a 'b' számmal szorozva az 'a' számot kapjuk eredményül. (Míg a szorzáskor az a*b=? kérdésre keressük a választ, osztáskor a b*?=a (b≠0) probléma megoldását keressük. Ebben az értelemben az osztást a szorzás inverz műveletének szokás nevezni, vö. Brindza 1996: 72.)

Vannak olyan a, b∈ℕ természetes számok, amelyekre a/b∉ℕ (pl. 3/5). Az osztás művelete tehát nem végezhető el korlátozás nélkül a természetes számok körében, azaz a természetes számok halmaza nem zárt az osztásra nézve.
Nagyon fontos szabály az, hogy a nullával való osztást nem értelmezzük, vagyis ha képezzük az a/b hányadost, mindig kizárjuk a b=0 esetet.

Az osztás egy v(a,b) : A⊆ℕΧℕ→ℕ függvény, amelynek Dom(v)=A értelmezési tartománya
    A={(a,b) | a,b∈ℕ, b≠0, ∃k∈ℕ (a=k*b)}
módon adható meg (azaz a 'b' szám osztója az 'a' számnak).
Ábrázoljuk az 'A' halmaz elemeit koordináta-rendszerben úgy, hogy az 'a' értékeket (osztandók) az 'y' tengelyen, a 'b' értékeket (osztók) pedig az 'x' tengelyen vesszük fel (x≥1). Ekkor két esetet kell megkülönböztetnünk:
– az y=0 (x≥1) félegyenesen fekvő pontoknak megfeleltethető természetes számpárok elemei az 'A' halmaznak (ti. az y=0 természetes szám minden pozitív természetes számmal osztható);
– az y=x (x≥1) félegyenesen fekvő, ill. az egyenes feletti tartományban levő pontoknak megfeleltethető természetes számpárok közül azok, amelyek esetén y/x természetes szám, szintén elemei az 'A' halmaznak.
Ebben az ábrázolásban az (a/b) hányadost az adja meg, hogy a (b,a) pontnak és az y=x egyenesen fekvő (b,0) pontnak a távolsága hányszorosa a (b,b) pont és a (b,0) pont távolságának (azaz az x=b egyenesen hányszor tudjuk "felmérni" a (b,b) és (b,0) közötti 'b' hosszúságú szakaszt a (b,a) és (b,0) közötti szakaszra).
A v(a,b) számot 'a/b' módon jelöljük (és azt mondjuk, hogy a függvény értékének meghatározásakor az 'a' számot "elosztjuk" a 'b' számmal). Az 'a/b' természetes számot az 'a' és 'b' természetes számok hányadosának, az 'a' számot osztandónak, a 'b' számot osztónak nevezzük.
Formálisan az osztás meghatározása
    a= v(a,b)*b= (a/b)*b
módon írható le (azokra az (a,b) értékekre, amelyre (a,b)∈Dom(v) teljesül).
Ha a szorzást a g(a,b) : ℕΧℕ→ℕ függvénnyel adjuk meg, akkor a fenti összefüggés
    a= g(v(a,b),b)
alakú lesz, vagy v(x,b)=g⁻¹(x,b) jelöléssel
    a= g(g⁻¹(a,b),b)
formában írható fel.

Korábban említettük, hogy a szorzást ismételt összeadásként is értelmezhetjük. Ennek megfelelően az osztást pedig ismételt kivonásként értelmezhetjük. Az algoritmus a következő:

Legyen 'a' az osztandó, 'b' az osztó és m=a.
Legyen q=0.
Ha m<b akkor az algoritmus befejeződött, ugrás a 6. pontra.
Legyen m=m−b és q=q+1.
Lépjünk vissza a 3. pontra.
A hányados értéke a 'q' változó értéke.

Ha az algoritmus végeztével az 'm' változó értéke nem zérus (azaz az osztandó nem osztható az osztóval), akkor maradékos osztást végeztünk. A hányadost 'q', az osztás maradékát az 'm' változó szolgáltatja. Ennek megfelelően az algoritmus végrehajtása után fennáll az
    a=q*b+m
összefüggés, ahol 0≤m<b teljesül.

Két természetes szám hányadosát halmazelméletileg is értelmezhetjük. (vö. Brindza 1996: 72)
(1) részekre osztás: legyenek a, b∈ℕ⁺, a≥b természetes számok, és legyen A∈Σ olyan halmaz, amelynek számossága 'a' (azaz |A|=a teljesül). Próbáljuk meg az 'A' halmazt felbontani 'b' darab egyenlő számosságú diszjunkt részhalmazra. Ha ez lehetséges, azaz
    A=B₁∪B₂∪...∪B_b,
    B_i∩B_j=∅ (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤b) és
    |B_i|=|B_j|=k (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤b)
teljesül, akkor a B_i halmazok közös számosságát, azaz a k∈ℕ természetes számot az 'a' és 'b' számok hányadosának nevezzük és a/b-vel jelöljük.
Egy lehetséges algoritmus: válasszunk ki 'b' darab elemet az 'A' halmazból, és helyezzük el őket külön-külön csoportokba, egymástól távol ("válasszuk el" egymástól őket). Utána próbáljunk meg az 'A' halmaz maradék elemeiből ismét 'b' darab elemet kiválasztani, és ezeket egyenként tegyük a már kiválasztott elemek mellé, az egyes elemeknek megfelelő csoportokba (ha ez nem lehetséges, a/b nem természetes szám). Ha az 'A' halmaz elemei elfogynak, a kialakított csoportok elemszáma éppen az a/b hányadost adja. (Ha a/b természetes szám, akkor minden csoportnak azonos az elemszáma).
(2) "bennfoglaló" osztás: legyenek a, b∈ℕ⁺, a≥b természetes számok, és legyen A∈Σ olyan halmaz, amelynek számossága 'a' (azaz |A|=a teljesül). Hozzunk létre ("foglaljunk le") az 'A' halmazban a lehető legtöbb, 'b' számosságú diszjunkt részhalmazt. Ha a létrehozott részhalmazok teljesen "lefedik" az 'A' halmazt (azaz 'A' osztályozását valósítják meg), azaz
    A=B₁∪B₂∪...∪B_k,
    B_i∩B_j=∅ (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤k) és
    |B_i|=|B_j|=b (i, j∈ℕ, 1≤i<j≤k)
teljesül, akkor a B_i részhalmazok (osztályok) számát, azaz a k∈ℕ természetes számot az 'a' és 'b' számok hányadosának nevezzük és a/b-vel jelöljük.
Megjegyzés: a kétfajta módszer ekvivalens, mivel ha a/b=k természetes szám (és k≠0), akkor a/k=b is teljesül. Vegyük észre, hogy
– az első módszernél az 'A' halmazt 'k' elemszámú csoportokra bontottuk fel (ekkor 'b' darab csoport létezik);
– a második módszernél az 'A' halmazt 'b' elemszámú csoportokra bontottuk fel (ekkor 'k' darab csoport létezik).
Ha az osztást ismételt kivonásként értelmezzük, a korábban leírt, maradékos osztást megvalósító algoritmus és a második módszer ("bennfoglaló" osztás) lényegében ekvivalens. Amikor ugyanis egy 'b' elemszámú csoportot elkülönítünk, akkor az elemeket tulajdonképpen kivonjuk az 'A' halmazból.

(→ következő témakörök)