11.1. A számfogalom bővítése. Az egész számok halmaza

A természetes számok körében az összeadás és a szorzás tetszőleges két számra mindig elvégezhető, azaz a természetes számok halmaza zárt az összeadás és a szorzás műveletére. A természetes számok körében azonban a kivonás és az osztás nem mindig végezhető el. Ezért a természetes számok halmazát bővíteni fogjuk, és elsőként bevezetjük az egész számok halmazát (ℤ).

Az egész számok halmazát úgy alakítjuk ki, hogy

• tartalmazza a természetes számok halmazát, és
• a kivonásra nézve zárt legyen (azaz a kivonást az egész számok halmazában már korlátlanul el tudjuk végezni).

A számkörbővítés az egész számok (majd a későbbiekben a racionális és valós számok) bevezetésekor a permanenciaelv alapján történik (Pappné Ádám 1996: 73). Ez négy feltétel teljesülését kívánja meg az eredeti és a bővített halmazra:

• a számok között értelmezett egyenlőség ekvivalenciareláció legyen;
• a bővített halmaznak az eredeti halmaz a részhalmaza legyen;
• az eredeti halmazban definiált műveletek alaptulajdonságai érvényben maradjanak a bővített halmazban is;
• a bővített halmazban értelmezett műveletek eredménye az eredeti halmaz elemeire ugyanaz legyen, mint korábban.

Legyenek a, b, c tetszőleges számok. A számkörbővítés során az összeadás és a szorzás alábbi alaptulajdonságai maradnak érvényben:

• kommutativitás: a+b=b+a
• asszociativitás: (a+b)+c=a+(b+c)
• zéruselem (0) létezése: a+0=a
• kommutativitás: a*b=b*a
• asszociativitás: (a*b)*c=a*(b*c)
• egységelem (1) létezése: a*1=a
• disztributivitás: a*(b+c)=a*b+a*c

---

Kiindulásként vegyük észre, hogy bármely természetes szám (végtelen sok módon) előállítható két természetes szám különbségeként.

Legyen n∈ℕ tetszőleges természetes szám. Ekkor nyilvánvalóan fennállnak az n= n−0= (n+1)−1= (n+2)−2= (n+3)−3= ... összefüggések.

Legyenek a, b, c, d∈ℕ, a≥b, c≥d természetes számok. Ezekre a számokra
    (a−b)=(c−d) ⇔ (a+d)=(b+c)
teljesül.

Ha az a≥b, c≥d természetes számok, akkor a különbség definíciója alapján b+(a−b)=a és d+(c−d)=c teljesül. Ezeket az a+c kifejezésben egyszer az 'a', egyszer pedig a 'c' szám helyére helyettesítve
    a+c= b+(a−b)+c= a+d+(c−d)
adódik. Ezt átrendezve az
    a+d+(c−d)= b+c+(a−b)
egyenlőséget kapjuk. Mivel az összeadás egyik fontos tulajdonsága^⇒ az, hogy tetszőleges x, y, z∈ℕ számokra x+z=y+z ⇔ x=y teljesül,
– (a−b)=(c−d) teljesüléséből (a+d)=(b+c) teljesülése,
– (a+d)=(b+c) teljesüléséből pedig (a−b)=(c−d) teljesülése
következik.

Vegyük észre, hogy az (a+d)=(b+c) kifejezésben szereplő műveletek tetszőleges 'a', 'b', 'c' és 'd' természetes számok esetén kiszámíthatók (ugyanis az összeadás korlátozás nélkül elvégezhető a természetes számok körében).

Definiáljuk az ℕΧℕ halmazon a
ψ = {((a,b),(c,d)) | (a,b)∈ℕΧℕ, (c,d)∈ℕΧℕ, a+d=b+c}
relációt. A ψ reláció ekvivalenciareláció, mivel

• reflexív (a+b=b+a, ezért ψ((a,b),(a,b)) mindig teljesül)
• szimmetrikus (a+d=b+c ⇒ c+b=d+a, ezért ψ((a,b),(c,d)) ⇒ ψ((c,d),(a,b)) teljesül)
• tranzitív (a+d=b+c és c+f=d+e ⇒ a+d+c+f=b+c+d+e ⇒ a+f=b+e, ezért ψ((a,b),(c,d)) és ψ((c,d),(e,f)) ⇒ ψ((a,b),(e,f)) teljesül)

A ψ ekvivalenciareláció létrehozza az ℕΧℕ halmaz, azaz a természetes számokból alkotott számpárok halmazának egy osztályozását.

• Azok a természetes számokból álló (a,b) és (c,d) számpárok, amelyekre a≥b és c≥d teljesül, akkor és csak akkor ekvivalensek ψ szerint, ha különbségük megegyezik.
• A ψ reláció definíciójából közvetlenül következik, hogy az (a,b) és (c,d) természetes számpárok akkor és csak akkor ekvivalensek ψ szerint, ha a (b,a) és (d,c) természetes számpárok ekvivalensek ψ szerint.
  • Legyenek (a,b) és (c,d) természetes számpárok, amelyek ekvivalensek ψ szerint, és a≠b (valamint c≠d) teljesül. Ekkor az (a,b) és (c,d) számpárokhoz tartozó ekvivalenciaosztály különbözik a (b,a) és (d,c) számpárokhoz tartozó ekvivalenciaosztálytól.

Tetszőleges a, b∈ℕ esetén jelöljük az egyes osztályokat
(a,b) ⇋ {(x,y)∈ℕΧℕ | ψ(x,y)=ψ(a,b)}
módon (ahol az (a,b) számpár az adott osztály egy osztály­reprezentánsa).

Állapítsuk meg a következőket:

(1) Tetszőleges a≥b természetes számok esetén az (a,b) osztály az összes olyan természetes számokból álló (ψ szerint ekvivalens) számpárt tartalmazza, amelyek különbsége megegyezik, és értéke éppen k=(a−b). Például a=1, b=0 és k=a−b=1 esetén
(1,0)={(1,0), (2,1), (3,2), ...}, és
(1,0)=(2,1)=(3,2)=...
teljesül. Ebben az értelemben beszélhetünk "a természetes számokból alkotott különbségek ekvivalenciaosztályairól" (Pappné Ádám 1996: 75).

(2) Másrészt minden k∈ℕ természetes számhoz található pontosan egy olyan (a,b) ekvivalenciaosztály, amelyben a számpárok különbsége éppen 'k'-val egyezik meg (pl. k=8 esetén ez (8,0)=(9,1)=... stb.). Jelöljük ezt az ekvivalenciaosztályt ψ(k)-val.

(3) A természetes számok halmaza a k→ψ(k) (k∈ℕ) leképezéssel kölcsönösen egyértelmű (injektív) módon leképezhető a ψ szerint ekvivalens elempárokat tartalmazó osztályok halmazába.

(4) Egy tetszőleges (a,b), a>b természetes számpár esetén a k=(a−b) különbséghez a ψ(k)=(a,b) ekvivalenciaosztály tartozik. Mivel azonban a (b−a) művelet nem végezhető el a természetes számok körében, a (b,a) természetes számpárhoz tartozó (b,a) ekvivalenciaosztály ugyan létezik, de nincs benne a k→ψ(k) leképezés értékkészletében. Tehát a k→ψ(k) leképezés nem szürjektív.

(5) Legyenek (a,b), a>b és (c,d), c>d olyan számpárok, amelyek különbsége megegyezik, azaz a−b=c−d=k∈ℕ⁺ teljesül. Ekkor
– az (a,b) és (c,d) számpárok ψ szerint ekvivalensek, és a nekik megfelelő ekvivalenciaosztály ψ(k);
– a (b,a) és (d,c) számpárok is ekvivalensek. Jelöljük a (b,a) és (d,c) számpárok ekvivalenciaosztályát ψ(−k)-val.

(6) Mivel tetszőleges 'a' és 'b' természetes számokra a>b szigorúan trichotóm reláció, vagyis az a>b, b>a és a=b relációk közül pontosan egy teljesül, fennáll a
(0,0)∪ {ψ(k) | k∈ℕ⁺}∪ {ψ(−k) | k∈ℕ⁺}= ℕΧℕ
összefüggés.

A ψ ekvivalenciareláció által létrehozott osztályokból álló
ℤ={(a,b) | a, b∈ℕ}
halmaz elemeit egész számoknak nevezzük.

Legyenek a, b, c, d∈ℕ tetszőleges természetes számok. Értelmezzük az (a,b) és (c,d) ekvivalenciaosztályok között az alábbi műveleteket:

• összeadás: (a,b)+(c,d) ⇋ (a+c,b+d)
  (Tegyük fel, hogy a≥b és c≥d teljesül. Ekkor
      (a−b)+(c−d)= (a+c)−(b+d)
  teljesül. Tehát ha az a és b, ill. a c és d természetes számok különbsége természetes szám (vagyis a kivonás köztük elvégezhető), az (a,b) és (c,d) számpárok között értelmezett összeadás megfelel a természetes számok között értelmezett összeadásnak.)
  • az (a,a) osztályt zéruselemnek nevezzük (a zéruselem megfelel a 0 számnak)
  • az (a,b) osztály ellentettje (vagy additív inverze) a (b,a) osztály (egy osztály ellentettje megfelel egy szám −1-szeresének)
• kivonás: (a,b)−(c,d) ⇋ (a,b)+(d,c) =(a+d,b+c)
• szorzás: (a,b)*(c,d) ⇋ (a*c+b*d,a*d+b*c)
  (Tegyük fel, hogy a≥b és c≥d teljesül. Ekkor
      (a−b)*(c−d)= a*c−a*d−b*c+b*d= (a*c+b*d)−(a*d+b*c)
  teljesül. Tehát ha az a és b, ill. a c és d természetes számok különbsége természetes szám (vagyis a kivonás köztük elvégezhető), az (a,b) és (c,d) számpárok között értelmezett szorzás megfelel a természetes számok között értelmezett szorzásnak.)
  • az (a+1,a) osztályt egységelemnek nevezzük (az egységelem megfelel az 1 számnak)

Bizonyítható, hogy
(1) a fenti definíciók valóban osztályok közötti műveleteket adnak meg (azaz a műveletek függetlenek a bennük szereplő osztályok választott reprezentánsaitól);
(2) a fent definiált műveletekre teljesülnek az összeadásra és a szorzásra megkövetelt alaptulajdonságok.^⇒

Legyenek a, b∈ℕ természetes számok és

k =	{	a−b	ha a≥b
		b−a	ha a<b

Vezessük be a következő jelöléseket:
    k ⇋ (a,b) ha a≥b
    −k ⇋ (a,b) ha a<b
A természetes számoknak azok az (a,b) ekvivalenciaosztályok felelnek meg, amelyekre a≥b teljesül. Az egész számokat ennek megfelelően a természetes számok és a természetes számok "ellentettjei" alkotják; előbbieket nemnegatív egész számoknak (ezen belül 0-nak és pozitív egész számoknak), utóbbiakat negatív egész számoknak nevezzük. Ha 'k' pozitív egész szám, akkor ezt k>0 módon, ha pedig 'k' negatív egész szám, akkor ezt k<0 módon jelöljük.

Legyen tetszőleges a, b∈ℕ esetén k=a−b. Ekkor az (a,b) osztályba tartozó bármely (x,y)∈(a,b) számpár esetében k=x−y, vagyis y=x−k teljesül. Ábrázoljuk Descartes-féle koordináta rendszerben az y=x−k lineáris függvényt^⇒ különböző k∈ℤ értékekre:

A piros pontok a természetes számok rendezett párjait mutatják (vö. Wikipédia^⇒). A kék pontozott vonallal összekötött piros pontok az egész számokat reprezentáló ekvivalenciaosztályok, amelyekben a komponensek különbsége megegyezik. A koordináta-rendszerben egy (n₁,n₂) osztályreprezentáns koordinátáira x=n₁ és y=n₂ teljesül.
A reprezentált egész számok a kék pontozott vonal végén kék színnel vannak megadva. Az egyes ekvivalenciaosztályoknak megfelelő "pontozott" egyenesek és az 'x' tengely metszéspontja éppen az egyenesek által reprezentált egész számokat adja. (Például a (3,0) ekvivalenciaosztályt reprezentáló egyenes az 'x' tengelyt a '3' pontban metszi.) Jegyezzük meg, hogy az ábrán a tengelyek "beosztása" félrevezető, nem világos, hogy az ábra készítője mire gondolt.

Két fontos megállapítás:
(1)Az 'x' tengelyt (y=0) számegyenesnek tekintve a negatív egész számok a 0 ponttól balra, a pozitív egész számok pedig a 0 ponttól jobbra helyezkednek el.
(2) Abból, hogy az egész számokat leképeztük a számegyenesre, világosan látszik, hogy az egész számok halmaza teljesen rendezett halmaz.

Legyenek p, q∈ℤ tetszőleges egész számok, amelyekre
    p=(a,b) és
    q=(c,d)
teljesül. Akkor mondjuk, hogy a 'p' egész szám nagyobb, a 'q' egész számnál (p>q), ha (p−q)>0 teljesül, azaz
(a+d)>(b+c)
teljesül. (Ennek megfelelően értelmezhetjük a p≥q, p<q és p≤q relációkat is.)

Értelmezzük az f(x)=∣x∣ : ℤ → ℕ abszolút érték függvényt a következőképpen:

∣x∣ =	{	x ha x≥0
		−x ha x<0

Összefoglalva: az egész számok halmaza zárt az összeadás és a szorzás műveletére. Ezért az egész számok halmaza (ℤ) a rajta értelmezett összeadás (+) és szorzás (*) műveletekkel ún. (kétműveletes) algebrai struktúrát alkot, amit (ℤ; +, *) módon jelölünk.

Legyenek a, b, c∈ℤ tetszőleges egész számok. Az összeadás és a szorzás műveletére teljesülnek az alábbi alaptulajdonságok:

• kommutativitás: a+b=b+a
• asszociativitás: (a+b)+c=a+(b+c)
• zéruselem (0) létezése: a+0=a
• kommutativitás: a*b=b*a
• asszociativitás: (a*b)*c=a*(b*c)
• egységelem (1) létezése: a*1=a
• disztributivitás: (a+b)*c=a*c+b*c

Az egész számok halmazában minden egész számnak létezik az additív inverze. Emiatt az egész számok halmaza zárt a kivonás műveletére is, vagyis az összeadás mint művelet invertálható.

Az egész számok halmazában két zérustól különböző egész szám szorzata nem lehet zérus. Emiatt az egész számok között értelmezett szorzást zérusosztómentesnek nevezzük.

---

Végül általánosítsuk a fentieket. Ha egy nem üres 'S' halmazon értelmezünk egy vagy több 'f', 'g' stb. algebrai műveletet (például összeadást, szorzást stb.), akkor algebrai struktúráról beszélünk, és ezt (S; f, g, ...) módon jelöljük. (vö. Szendrei 1975: 102)

A műveletek fenti tulajdonságai alapján (ℤ; +, *) esetében a következő algebrai struktúrákról beszélhetünk:

• a (ℤ; +) algebrai struktúra kommutatív vagy Abel-féle csoport (vagy modulus);
  • Egy (S; ⊕) algebrai struktúra csoport, ha a '⊕' művelet asszociatív és invertálható. (vö. Szendrei 1975: 105)
  • Egy (S; ⊕) csoport kommutatív vagy Abel-féle csoport (vagy másképpen elnevezve modulus), ha a '⊕' művelet kommutatív. (vö. Szendrei 1975: 105)
    • Az (S; ⊕) Abel-csoport neutrális elemét zérusnak mondjuk, és 0-val jelöljük. (vö. Szendrei 1975: 105)
• a (ℤ; *) algebrai struktúra egységelemes kommutatív félcsoport;
  • Egy (S; ⊛) algebrai struktúra félcsoport, ha a '⊛' művelet asszociatív. (vö. Szendrei 1975: 105)
• a (ℤ; +, *) algebrai struktúra kommutatív gyűrű;
  • Egy (S; ⊕, ⊛) algebrai struktúra gyűrű, ha (S; ⊕) kommutatív vagy Abel-féle csoport (ill. modulus), (S; ⊛) félcsoport, és a '⊛' művelet a '⊕' műveletre nézve disztributív. (vö. Szendrei 1975: 105)
• a (ℤ; +, *) algebrai struktúra integritástartomány.
  • Egy (S; ⊕, ⊛) gyűrű integritástartomány, ha (S; ⊛) kommutatív, egységelemes és zérusosztómentes. (vö. Szendrei 1975: 105)

12.1. A számfogalom bővítése. A racionális számok halmaza

Az egész számok körében az osztás nem mindig végezhető el. Ezért az egész számok halmazát bővíteni fogjuk, és bevezetjük a racionális számok halmazát (ℚ). A racionális számok halmazát úgy alakítjuk ki, hogy

• tartalmazza az egész számok halmazát, és
• az osztásra nézve zárt legyen (azaz az osztást a racionális számok halmazában már korlátlanul el tudjuk végezni).

A számkörbővítés a racionális számok bevezetésekor is a permanenciaelv alapján történik (Pappné Ádám 1996: 73). Ez négy feltétel teljesülését kívánja meg az eredeti és a bővített halmazra:

• a számok között értelmezett egyenlőség ekvivalenciareláció legyen;
• a bővített halmaznak az eredeti halmaz a részhalmaza legyen;
• az eredeti halmazban definiált műveletek alaptulajdonságai érvényben maradjanak a bővített halmazban is;
• a bővített halmazban értelmezett műveletek eredménye az eredeti halmaz elemeire ugyanaz legyen, mint korábban.

Kiindulásként vegyük észre, hogy bármely egész szám (végtelen sok módon) előállítható két egész szám hányadosaként.

Legyen k∈ℤ tetszőleges egész szám. Ekkor nyilvánvalóan fennállnak a k= k/1= (2*k)/2= (3*k)/3= (4*k)/4= ... összefüggések.

Legyenek a, b, c, d∈ℤ egész számok, amelyekre b≠0 és d≠0, valamint b|a, d|c teljesül. Ezekre
    a/b=c/d ⇔ a*d=b*c
teljesül.

Ha a=0 vagy c=0, a tétel triviális. Ezért a továbbiakban tegyük fel, hogy a≠0 és c≠0 teljesül.
Az oszthatóság definíciója^⇒ alapján b|a és d|c esetén vannak olyan p, q∈ℤ egész számok, amelyekre a=p*b és c=q*d teljesül. (Jegyezzük meg, hogy mivel b≠0 és d≠0, az osztás definíciója szerint p⇌a/b és q⇌c/d.) Ezeket az a*c kifejezésben egyszer az 'a', egyszer pedig a 'c' szám helyére helyettesítve
    a*c= p*b*c= a*q*d
adódik. Ezt átrendezve az
    (a*d)*q= (b*c)*p
egyenlőséget kapjuk. A szorzás egyik alapvető tulajdonsága^⇒ az, hogy tetszőleges x, y, z∈ℤ egész számok és x≠0 esetén x*y=x*z ⇔ y=z teljesül. Mivel esetünkben b≠0 és d≠0 fennáll, ezért
– p=a/b=c/d=q teljesüléséből a*d=b*c következik;
– a*d=b*c teljesüléséből pedig p=a/b=c/d=q következik.

Vegyük észre, hogy az a*d=b*c kifejezésben szereplő műveletek tetszőleges 'a', 'b', 'c' és 'd' egész számok esetén kiszámíthatók (ugyanis a szorzás korlátozás nélkül elvégezhető az egész számok körében).

Definiáljuk az Y=ℤΧℤ∖{0} halmazon a
φ = {((a,b),(c,d)) | (a,b)∈Y, (c,d)∈Y, a*d=b*c}
relációt. A φ reláció ekvivalenciareláció, mivel

• reflexív (a*b=b*a, ezért φ((a,b),(a,b)) mindig teljesül)
• szimmetrikus (a*d=b*c ⇒ c*b=d*a, ezért φ((a,b),(c,d)) ⇒ φ((c,d),(a,b)) teljesül)
• tranzitív (a*d=b*c és c*f=d*e ⇒ a*d*c*f=b*c*d*e; most két eset lehetséges: (1) ha c≠0, akkor a*d*c*f=b*c*d*e ∧ d≠0 ⇒ a*f=b*e; (2) ha viszont c=0, akkor mind a=0, mind e=0 teljesül, ebből viszont a*f=b*e ismét következik; ezért φ((a,b),(c,d)) és φ((c,d),(e,f)) ⇒ φ((a,b),(e,f)) teljesül)

A φ ekvivalenciareláció létrehozza az Y=ℤΧℤ∖{0} halmaz, azaz az egész számokból alkotott számpárok halmazának egy osztályozását.

Tetszőleges a, b≠0∈ℤ esetén jelöljük az egyes osztályokat
(a,b) ⇋ {(x,y)∈Y | φ(x,y)=φ(a,b)}
módon (ahol az (a,b) számpár az adott osztály egy osztály­reprezentánsa).

Jegyezzük meg, hogy b|a esetén, mivel az oszthatóság definíciója miatt
    b|a ⇔ ∃k∈ℤ (a=k*b) teljesül,
a k=a/b hányados létezik az egész számok halmazában. Ekkor egyrészt (a,b) azokat az egész számokból álló (φ szerint ekvivalens) számpárokat tartalmazza, amelyek hányadosa megegyezik (pl. (2,1)={(4,2), (6,3), (8,4), ...}, ahol (2,1)=(4,2)=(6,3)=... teljesül). Másrészt tetszőleges k∈ℤ egész számhoz található olyan (a,b) ekvivalenciaosztály, amelyben a számpárok hányadosa éppen 'k'-val egyezik meg (pl. k=3 esetén (3,1)={(6,2), (9,3), (12,4), ...} stb.). Tehát az egész számok egyértelműen hozzárendelhetők azokhoz ekvivalenciaosztályokhoz, amelyekben a számpárok hányadosa éppen a 'k' számmal egyezik meg. Jelöljük ezeket az ekvivalenciaosztályokat φ(k)-val.

Tudjuk azonban, hogy vannak olyan a, b∈ℤ egész számok, amelyekre az a/b hányados nem egész szám (azaz az a:b osztás nem végezhető el az egész számok körében). Az ilyen számpárokhoz tartozó (a,b) ekvivalenciaosztályok esetében az egész számpárokhoz rendelt törtszámok ekvivalenciaosztályairól beszélhetünk. Jelöljük ezeket az ekvivalenciaosztályokat φ(a/b)-vel.

Megállapíthatjuk a következőket:
– a φ(a/b) ekvivalenciaosztályok különböznek az egész számokhoz rendelt φ(k) ekvivalenciaosztályoktól;
– tetszőleges (a,b) egész számokból álló számpár beletartozik vagy a φ(k), vagy a φ(a/b) ekvivalenciaosztályok valamelyikébe.

A φ ekvivalenciareláció által létrehozott osztályokból álló
ℚ={(a,b) | a, b∈ℤ, b≠0}
halmaz elemeit racionális számoknak nevezzük.
(Később látni fogjuk, hogy az (a,b) ekvivalenciaosztály "természetes" osztályreprezentánsa (ún. alapalakja) az a, b≠0∈ℤ relatív prim egész számokból képzett a/b törtszám.)

Legyenek a, b, c, d∈ℕ tetszőleges természetes számok. Értelmezzük az (a,b) és (c,d) ekvivalenciaosztályok között az alábbi műveleteket:

• összeadás: (a,b)+(c,d) ⇋ (a*d+b*c,b*d)
  • a (0,1) osztályt zéruselemnek nevezzük (a zéruselem megfelel a 0 számnak; mivel tetszőleges a∈ℤ esetén (0,1) és (0,a) φ szerint ekvivalensek, ezért (0,1)={(0,2), (0,3), (0,4), ...} stb. teljesül)
  • az (a,b) osztály ellentettje (vagy additív inverze) a (−a,b) osztály (egy osztály ellentettje megfelel egy szám −1-szeresének)
• kivonás: (a,b)−(c,d) ⇋ (a*d−b*c,b*d)
• szorzás: (a,b)*(c,d) ⇋ (a*c,b*d)
  • az (1,1) osztályt egységelemnek nevezzük (az egységelem megfelel az 1 számnak)
    • az egységelem ellentettje a (−1,1) osztály (ez megfelel a −1 számnak); egyszerűen belátható, hogy (a,b)*(−1,1)= (−a,b) teljesül
  • az (a,b) (a≠0) osztály reciproka (vagy multiplikatív inverze) a (b,a) osztály (egy osztály ellentettje megfelel egy szám reciprokának)
• osztás: ha c≠0, akkor (a,b)/(c,d) ⇋ (a,b)*(d,c) = (a*d,b*c) (az osztás az osztó reciprokával való szorzás)

Bizonyítható, hogy
(1) a fenti definíciók valóban osztályok közötti műveleteket adnak meg (azaz a műveletek függetlenek a bennük szereplő osztályok választott reprezentánsaitól);
(2) a fent definiált műveletekre teljesülnek az összeadásra és a szorzásra megkövetelt alaptulajdonságok.^⇒

Legyen p∈ℚ tetszőleges racionális szám, amelyre p=(a,b) teljesül. Akkor mondjuk, hogy
– a 'p' racionális szám pozitív (p>0), ha a*b>0 teljesül; és
– a 'p' racionális szám negatív (p<0), ha a*b<0 teljesül.

Legyenek a, b∈ℤ (b≠0) egész számok. Vezessük be a következő jelöléseket:
    a ⇋ (a,1)
    a/b (vagy a:b) ⇋ (a,b)

Az a/b alakú racionális számok esetében az 'a' egész számot számlálónak, a 'b' egész számot pedig nevezőnek nevezzük. Az a:b alakú racionális számok esetében az 'a' egész számot osztandónak, a 'b' egész számot pedig osztónak nevezzük. (Mivel a két jelölés ekvivalens, az elnevezéseket az a/b alakú racionális számokra is használhatjuk.)

• Az egész számoknak az (a,1) ekvivalenciaosztályok felelnek meg.
  • Az (a,1) ekvivalencia­osztálynak az a∈ℤ egész szám felel meg.
• Az (a,b) ekvivalencia­osztályok definíciója miatt tetszőleges p∈ℤ (p≠0) számra (a,b)=(a*p,b*p) teljesül (azaz ha egy tört számlálóját és nevezőjét egy tetszőleges 'p' nemzérus egész számmal szorozzuk, a tört értéke nem változik).
• Azokat az (a,b) ekvivalenciaosztályokat, amelyek esetében a/b nem egész szám, azaz az
  (a,b)∈ℚ ∖ {(a,1) | a∈ℤ}
  ekvivalenciaosztályokat racionális törtszámoknak nevezzük. (Ha nem okoz félreértést, beszélhetünk egyszerűen törtszámokról is.)
  • Mivel (0,1)∈{(a,1) | a∈ℤ}, ezért ha a/b egy racionális törtszám, akkor a≠0 (és természetesen b≠0) teljesül.

A fentiek alapján a racionális számokat az egész számok és a racionális törtszámok alkotják.

• A törtszámok felírhatóak a/b alakban, ahol a, b∈ℤ (a≠0, b≠0).
• Ha a tört számlálója és nevezője relatív primek, azaz az 'a' és 'b' számok legnagyobb közös osztója '1' (azaz (a,b)=1 teljesül, a tört "tovább már nem egyszerűsíthető"), akkor az a/b törtet a törtszám alapalakjának nevezzük (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 214).

Legyen tetszőleges a, b∈ℤ (b≠0) esetén r=a/b. Ekkor az (a,b) osztályba tartozó bármely (x,y)∈(a,b) számpár esetében r=x/y=a/b, vagyis
    r≠0 esetén x≠0 és y=x/r (ahol x∈ℤ∖{0} tetszőleges), és
    r=0 esetén x=0 (ahol y∈ℤ∖{0} tetszőleges)
teljesül. Ábrázoljuk Descartes-féle koordináta rendszerben r≠0 esetén az y=x/r lineáris függvényt^⇒, ill. r=0 esetén az x=0 egyenest az alábbi r∈ℚ értékekre:
r=0 (y tengely, fekete vonal); r=1/2 (rózsaszín vonal); r=1 (piros vonal); r=3/2 (narancsszínű vonal); r=2 (zöld vonal); r=3 (kék vonal); r=6 (magenta vonal).

A fekete, ill. színes pontok az egész számok rendezett párjait mutatják (pl. az 'y' tengelyen levő fekete pontok a ..., (0,−1), (0,0), (0,1), (0,2), ... számpárokat, az y=x egyenesen levő piros pontok a ..., (−1,−1), (1,1), (2,2), ... számpárokat stb.). A fekete, ill. színes pontokat összekötő egyenesek a racionális számokat reprezentáló ekvivalenciaosztályokat jelölik ki.

Vegyük észre, hogy az egyes ekvivalenciaosztályoknak megfelelő egyenesek és az ábrán világosszürke vonallal ábrázolt y=1 egyenes metszéspontjának az 'x' koordinátája (x/r=1 miatt) éppen az egyenesek által reprezentált 'r' racionális számokat adja. Abból, hogy a racionális számokat íly módon leképezzük a számegyenesre, világosan látszik, hogy a racionális számok halmaza rendezett halmaz.

Legyenek p, q∈ℚ tetszőleges racionális számok, amelyekre
    p=(a,b) és
    q=(c,d)
teljesül. Akkor mondjuk, hogy a 'p' racionális szám nagyobb a q racionális számnál (p>q), ha (p−q)>0 teljesül.

Mivel definíció szerint
    (p−q) = (a*d−b*c,b*d),
ezért p>q akkor és csak akkor teljesül,^⇒ ha
    (a*d−bc)*(b*d)>0
teljesül.

A racionális számok a számegyenesen "sűrűn" helyezkednek el. Ezen azt értjük, hogy bármely két a, b∈ℚ, a<b racionális számhoz találhatunk olyan c∈ℚ racionális számot, amely az 'a' és 'b' számok között helyezkedik el, azaz a<c<b teljesül.

Legyen c=(a+b)/2.
(1) Mivel a<b, ezért 0<(b−a) teljesül. Átalakítva c-t
c=(a+b−a+a)/2=(2*a+(b−a))/2=a+(b−a)/2
adódik. Mivel 0<(b−a) ⇒ 0<(b−a)/2, ezért a<a+(b−a)/2 ⇒ a<c teljesül.
(2) Mivel a<b, ezért 0<(b−a) teljesül. Átalakítva c-t
c=(a+b−b+b)/2=(2*b−(b−a))/2=b−(b−a)/2
adódik. Mivel 0<(b−a) ⇒ 0<(b−a)/2, ezért b−(b−a)/2<b ⇒ c<b teljesül.

Összefoglalva: a racionális számok halmaza zárt az összeadás és a szorzás műveletére. Ezért a racionális számok halmaza (ℚ) a rajta értelmezett összeadás (+) és szorzás (*) műveletekkel kétműveletes algebrai struktúrát alkot, amit (ℚ; +, *) módon jelölünk.

Legyenek a, b, c∈ℚ tetszőleges racionális számok. Az összeadás és a szorzás műveletére teljesülnek az alábbi alaptulajdonságok:

• kommutativitás: a+b=b+a
• asszociativitás: (a+b)+c=a+(b+c)
• zéruselem (0) létezése: a+0=a
• kommutativitás: a*b=b*a
• asszociativitás: (a*b)*c=a*(b*c)
• egységelem (1) létezése: a*1=a
• disztributivitás: (a+b)*c=a*c+b*c

A racionális számok halmazában minden számnak létezik az additív inverze. Emiatt a racionális számok halmaza zárt a kivonás műveletére, vagyis az összeadás mint művelet invertálható.

A zéruselem (0) kivételével a racionális számok halmazában minden számnak létezik a multiplikatív inverze. Emiatt a racionális számok halmaza zárt az osztás műveletére, vagyis a szorzás mint művelet invertálható.

A racionális számok halmazában két zérustól különböző szám szorzata nem lehet zérus. Emiatt a racionális számok között értelmezett szorzás zérusosztómentes. (Megjegyzés: ez következik abból, hogy a szorzás nem zérus elemek esetében invertálható.)

A műveletek fenti tulajdonságai alapján (ℚ; +, *) esetében a következő algebrai struktúrákról beszélhetünk:

• a (ℚ; +) algebrai struktúra kommutatív vagy Abel-féle csoport (vagy modulus), amelynek neutrális eleme a '0' (zérus) elem
• a (ℚ∖{0}; *) algebrai struktúra kommutatív csoport
• a (ℚ; +, *) algebrai struktúra kommutatív gyűrű
• a (ℚ; +, *) algebrai struktúra test
  • Egy (S; ⊕, ⊛) algebrai struktúra test, ha az 'S' halmaz leglább kételemű, és teljesül, hogy
    – (S; ⊕) kommutatív vagy Abel-féle csoport (ill. modulus), amelynek neutrális eleme a '0' (zérus) elem ,
    – (S∖{0}; ⊛) kommutatív csoport, és
    – a '⊛' művelet a '⊕' műveletre nézve disztributív. (vö. Szendrei 1975: 106)

12.2. A racionális számok tizedestört-alakja

Tizedes törtnek nevezzük az a/b alapalakú^⇒ racionális törtszámot (a, b∈ℤ, a≠0, b≠0), ha b=10^k alakú (ahol k∈ℕ⁺). A továbbiakban az egyszerűség kedvéért legyen a>0 és b>0.

• a tizedes tört számlálójában szereplő a>0 egész számot ábrázoljuk 10-es számrendszerben:
  a=a_n*10ⁿ+a_n−1*10ⁿ⁻¹+... +a₁*10+a₀ (ahol a_i∈{0,1,...,9} (0≤i≤n), n∈ℕ, a_n≠0)
• az a>0 egész szám fenti alakjából b=10^k (k∈ℕ⁺) mellett következik az a/b tizedes tört alábbi kifejezése:
  a/b=a_n*10^n−k+a_n−1*10^n−k−1+... +a_k+1*10¹+a_k*10⁰+a_k−1*10⁻¹+... +a₁*10^1−k+a₀*10^−k
  ahol a tizedes törtben az egyes helyiértéken (10⁰=1) szereplő számjegy (a_k) után egy tizedespontot teszünk ki. (Jegyezzük meg, hogy bármilyen k∈ℕ⁺ esetén 10^−k=1/10^k teljesül. A fentiek alapján egy egész számot úgy osztunk a b=10^k számmal, hogy "a tizedespontot 'k' számjeggyel balra toljuk".)

Általánosítva a fentieket, véges tizedes törtről beszélünk, ha az a/b (a≠0, b≠0) racionális törtszám
a/b=s*(d_n*10ⁿ+d_n−1*10ⁿ⁻¹+... +d₁*10¹+d₀*10⁰+d₋₁*10⁻¹+... +d_−k+1*10^−k+1+d_−k*10^−k)
alakú, ahol

• s∈{−1,1} (előjel),
• d_i∈{0,1,...,9} (0≤i≤n), n∈ℕ) (a szám egészrészének számjegyei),
  • ha n>0 akkor d_n≠0 teljesül (a "vezető" 0-kat nem írjuk ki),
• d_j∈{0,1,...,9} (0>j≥−k, k∈ℕ, k>0) és d_−k≠0 (a szám törtrészének számjegyei; az utolsó nem zérus számjegy utáni 0-kat nem írjuk ki).

Azokat a d_j decimális számjegyeket (0>j≥−k, k∈ℕ, k>0), amelyek szorzója (helyi értéke) 10 negatív hatványa, a tört tizedesjegyeinek nevezzük.

• Ha megengedjük a k=0 esetet, amikor a tizedesjegyek száma nulla, akkor minden egész szám is felírható a fenti alakban (mivel a zérusnak nincs előjele, ilyenkor az s=0 esetet is megengedjük).

Tovább általánosítva a tizedes tört fogalmát, végtelen tizedes törtről beszélünk, ha az a/b (a≠0, b≠0) racionális törtszámban végtelen számú tizedesjegy fordul elő, azaz a szám
a/b=s*(d_n*10ⁿ+d_n−1*10ⁿ⁻¹+... +d₁*10+d₀+d₋₁*10⁻¹+... +d_−j*10^−j+...)
alakú, ahol

• s∈{−1,0,1},
• d_i∈{0,1,...,9} (0≤i≤n), n∈ℕ),
  • ha n>0 akkor d_n≠0 teljesül,
• d_j∈{0,1,...,9} (j∈ℤ, j<0), és nem létezik olyan 'k' pozitív természetes szám, amelyre a 'k'-dik tizedesjegytől jobbra minden tizedesjegy zérus, azaz ∀k∈ℕ⁺ (d_−k≠0) teljesül.

A végtelen tizedes törtek szakaszosak, ha a tizedespont (.) után egy adott helyiértéktől kezdődően azonos számjegycsoportok ismétlődnek.
Racionális törtszámok esetében csupa 9-ből álló (0....999999...) végtelen számjegysorozat nem fordulhat elő, vagyis a 9 nem fordulhat elő végtelen tizedestört ismétlődő szakaszaként (vö. Borsodi-Göndöcs 1970: 215), ill. "a csupa 9-esből álló szakaszt a továbbiakban nem használjuk" (vö. Pappné Ádám 1996: 95).

Minden racionális törtszám felírható véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört alakban.

Ha egy q=a/b (a≠0, b≠0) alapalakú^⇒ racionális törtszám nevezője
    |b|=2^k*5^m (k, m∈ℕ, b≠1)
alakú, akkor a 'q' racionális szám véges tizedes tört alakra hozható. Ha ez nem teljesül, akkor a 'q' racionális szám végtelen szakaszos tizedes tört alakban fejezhető ki.

Példák:
2/3≈0.666666...
5/6≈0.8333333...
7/13≈0.538461538461538... (a tizedestört számjegyei egy periodikus sorozattal állíthatók elő; ennek a sorozatnak a rekurzív megadását korábban már megismertük^⇒).

Egy végtelen szakaszos tizedestörtet egy egyszerű algoritmus segítségével mindig elő tudunk állítani a/b (b≠0) alakú racionális törtszámként.

(1) Például tekintsük a q=0.666666... végtelen szakaszos tizedes törtet. Szorozzuk be q-t 10-zel, majd vonjuk ki q-t a kapott szorzatból, hogy eltűnjenek a tizedesjegyek:
10*q=6.666666...
10*q−q=6.666666...−0.666666...=6
Ebből már egyszerű átalakítással
9*q=6 ⇒ q=6/9=2/3
adódik, ami éppen a keresett alak.

(2) Egy másik példaként tekintsük a q=0.8333333... végtelen szakaszos tizedes törtet. Szorozzuk be q-t 100-zal, majd 10-zel, és vonjuk ki a kapott szorzatokat egymásból, hogy eltűnjenek a tizedesjegyek:
100*q=83.333333...
10*q=8.3333333...
100*q−10*q=83.333333...−8.3333333...=83−8=75
Ebből már egyszerű átalakítással
90*q=75 ⇒ q=75/90=5/6
adódik, ami éppen a keresett alak.

(3) Utolsó példaként tekintsük a q=0.538461538461538... végtelen szakaszos tizedes törtet. Szorozzuk be q-t 10⁶-nal (ahol '6' az ismétlődő szakasz hossza!), és vonjuk ki q-t a kapott szorzatból, hogy eltűnjenek a tizedesjegyek:
10⁶*q=538461.538461538461538...
10⁶*q−q=538461.538461538461538...−0.538461538461538...=538461
Ebből már egyszerű átalakítással
(10⁶−1)*q=538461 ⇒ q=538461/999999=7/13
adódik, ami éppen a keresett alak (megjegyzés: 538461/76923=7 és 999999/76923=13).

13.1. A számfogalom bővítése. A valós számok halmaza

A racionális számok "sűrűn" töltik ki a számegyenest, azaz tetszőleges két racionális szám között van racionális szám.^⇒ A számegyenesen azonban vannak olyan pontok, amelyekhez nem rendelhető racionális szám.

Tekintsük például azt a 'C' pontot, amely a számegyenesre fektetett egységnyi oldalú oldalú derékszögű háromszög átfogója jelöl ki, ha a háromszög bal oldali csúcsa az origóban van. Jelöljük az OC szakasz hosszát 'c'-vel. Az ábrán levő egybevágó és egységnyi befogójú derékszögű háromszögek területe megegyezik (1/2), és a számegyenes alatt elhelyezkedő négy egymáshoz illeszkedő derékszögű háromszög pontosan lefedi a 'c' oldalhosszúságú négyzet területét (c*c). Ezért
    c²=4*1/2=2
teljesül. Jelöljük a 'c' számot (ti. azt a számot, amelynek négyzete 2) √2 módon.

Tegyük fel, hogy 'c' racionális. Ekkor léteznek olyan p, q∈ℤ (q≠0) egész számok, amelyek előállítják 'c' alapalakját, azaz
    c=√2=p/q és
    (p,q)=1
teljesül. Azonos átalakításokkal
√2=p/q ⇒ 2=p²/q² ⇒ 2*q²=p² ⇒ 2|p adódik; az oszthatóság definíciója alapján
2|p ⇒ ∃n∈ℕ (p=2*n), ezt felhasználva pedig
p=2*n ∧ 2*q²=p² ⇒ 2*q²=(2*n)²=4*n² ⇒ 2*n²=q² ⇒ 2|q adódik.
Mivel egyrészt feltettük, hogy (p,q)=1 (ti. a 'c' racionális szám alapalakjában szereplő egész számok relatív primek), másrészt viszont azt kaptuk, hogy 2 a 'p' és 'q' egész számok közös osztója, ellentmondásra jutottunk. Tehát 'c' nem lehet racionális szám, mert ez a feltevés ellentmondásra vezet. (Vegyük észre a reductio ad absurdum^⇒ következtetési séma használatát!)

A számegyenes egyes pontjaihoz tehát nem rendelhetőek racionális számok (pl. az előbb láttuk, hogy √2 nem lehet racionális szám). Vezessük be ezért az alábbi fogalmakat:

• Irracionális számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek a számegyenesnek azokhoz a pontjaihoz rendelhetők, amelyek nem racionális számokat jelölnek. Az irracionális számok halmazát jelöljük 𝕀 módon ("nagy, dupla vonallal jelölt I").
• A racionális és irracionális számok halmazának unióját valós számoknak nevezzük. A valós számok halmazát jelöljük ℝ módon, azaz definíció szerint
  ℝ ⇋ ℚ∪𝕀
  teljesül.

A valós számok, vagyis a racionális és az irracionális számok együtt lefedik a számegyenes minden pontját.

---

Bevezetve az összemérhetőség fogalmát, egy gyakorlati szempontból is fontos különbséget tehetünk a racionális és irracionális számok között.

• Az a∈ℚ és b∈ℚ racionális számok összemérhetőek, ha van olyan i∈ℚ racionális szám ("egység") és m, n∈ℤ egész számok ("mértékszámok"), amelyekkel az 'a' és 'b' racionális számok kifejezhetők
      a=m*i és
      b=n*i
  módon. (Például tekintsük az i>0 racionális számot hosszúságegységnek. Ha feltesszük, hogy az 'a' és 'b' racionális számok a nekik megfeleltetett irányított szakaszok hosszúságát adják meg (azaz az origóból (a 0 kezdőpontból) kiinduló, pozitív, ill. negatív irányú, |a|, ill. |b| hosszúságú szakaszokat), akkor az m∈ℤ és az n∈ℤ egész számok a szakaszok mérőszámainak felelnek meg.)
• Az a=p/q∈ℚ (q≠0) és b=r/s∈ℚ (s≠0) alapalakú racionális számok mindig összemérhetőek. (Legyen i=1/(q*s), ekkor a=(s*p)*i és b=(q*r)*i nyilvánvalóan teljesül.)
  • Minden racionális szám összemérhető az 1 racionális számmal (a multiplikatív egységelemmel).
  • Ha egy 'a' racionális szám összemérhető egy 'x' valós számmal, akkor 'x' racionális szám. (Legyen a=m*i és x=n*i ⇒ x=n*a/m, vagyis 'x' racionális, mert a racionális számok halmaza zárt a szorzás műveletére.)
• Egy racionális szám és egy irracionális szám sosem mérhető össze.
  • Az irracionális számokat úgy is definiálhatjuk, mint az 1 racionális számmal össze nem mérhető (valós) számokat. (Ebben az értelemben a számegyenesen az egység hosszúságú szakasszal nem összemérhető hosszúságú, 0 kezdőpontú szakaszok végpontjai irracionális számokat jelölnek (vö. Pappné Ádám 1996: 96). "Szakaszok" alatt itt értelemszerűen irányított szakaszokat értünk, amelyek pozitív, ill. negatív irracionális számokat határoznak meg.)

---

Az irracionális számok két fontos tulajdonsága:

• Az irracionális számok nem írhatóak fel két egész szám hányadosaként.
• Az irracionális számoknak a végtelen, nem szakaszos tizedestörtek feleltethetők meg.

---

Például az x=7 szám esetében keressük azt az y=√x számot, amelyre y²=x teljesül. Az
y=√7≈2.645751311...
irracionális számnak (végtelen, nem szakaszos tizedestörtnek) feleltessük meg az alábbi a_n sorozatot (amelynek előállításához szükségünk van a b_n segédsorozatra is):

y=√x közelítő előállítása (x=7)

a1=1			(a1=2 is jó, mert 2*2<x)
b1=7			(b1=3 is jó, mert x<3*3)
an+1 =	{	an	ha [(an+bn)/2]2>x	(n∈ℕ+)
		(an+bn)/2	ha [(an+bn)/2]2≤x
bn+1 =	{	(an+bn)/2	ha [(an+bn)/2]2>x	(n∈ℕ+)
		bn	ha [(an+bn)/2]2≤x

Vegyük észre, hogy az a_n és b_n sorozatok elemeinek távolsága (azaz a |b_n−a_n| különbség) az 'n' növekedésével egyre kisebb lesz:
– mind a_n+1=a_n és b_n+1(a_n+b_n)/2 esetén (felső sor),
– mind a_n+1=(a_n+b_n)/2 és b_n+1=b_n esetén (alsó sor)
mindig a felére csökken.

A sorozatelemeket úgy állítjuk elő, hogy a_n²≤ x<b_n² mindig teljesüljön, amiből az f(x)=√x : [0,+∞)→[0,+∞) (pozitív) négyzetgyök függvény szigorú monoton növekedése^⇒ miatt
a_n ≤ y < b_n vagy y∈[a_n, b_n)
következik minden n∈ℕ természetes számra (a követett módszert "intervallum-skatulyázásnak" is nevezzük).
Az alábbi táblázat 7 négyzetgyökét állítja elő 5 tizedesjegy pontossággal:

---

Jegyezzük meg, hogy az előző, a √7 szám kiszámítására megadott algoritmus jelentősen javítható az alábbi módon (vö. Pappné Ádám 1996: 97):

c1=2
d1=3.5 (=x/2)			(b1=3 is jó, mert x<3*3)
cn+1 =	{	2*x/(cn+dn)	ha [(cn+dn)/2]2>x	(n∈ℕ+)
		(cn+dn)/2	ha [(cn+dn)/2]2≤x
dn+1 =	{	(cn+dn)/2	ha [(cn+dn)/2]2>x	(n∈ℕ+)
		2*x/(cn+dn)	ha [(cn+dn)/2]2≤x

Az 'y' érték (y²=x, a konkrét példa esetében x=7) gyorsabb megtalálására vonatkozó javítás azon alapul, hogy ha az 'a' és 'b' értékekre 0<a≤y<b teljesül és m=(a+b)/2, akkor
(1) ha m²>x, akkor m>y és m>x/m teljesül; mivel pedig m>y ⇒ y/m<1, ezért x/m=y*y/m<y teljesül, tehát
a < x/m < y < m < b
(2) ha m²≤x, akkor m≤y és m≤x/m teljesül; mivel pedig m≤y ⇒ y/m≥1, ezért x/m=y*y/m≥y teljesül, tehát
a < m ≤ y ≤ x/m < b

A rekurzív módon megadott a_n és b_n (továbbá a javított c_n és d_n) sorozatok első néhány eleme:

A negyedik oszlopban szereplő Δ=|b_n−a_n| különbség a kapott értékek pontosságát jellemzi, mivel a keresett 'y' értékre minden sorban y∈[a_n;b_n) teljesül, ahol Δ éppen az [a_n;b_n) intervallum hosszát adja meg.
Vegyük észre, hogy a javított c_n és d_n sorozatok esetében már az ötödik lépésben eljutottunk y=√7≈2.645751311... közelítő értékéhez (9 tizedesjegy pontossággal).

---

Egy valós szám négyzetgyökét közelítőleg kiszámíthatjuk az alábbi algoritmus szerint is (vö. Obádovics 1972: 105):

• Legyen az a pozitív valós szám, amelynek a négyzetgyökét keressük, p∈ℝ⁺.
  Legyen például p=7.
• Keressünk egy olyan a₁∈ℝ⁺ valós számot, amelyre adott ε>0 pontossággal
      a₁²≤p<(a₁+ε)²
  teljesül.
  Legyen például ε=1, ekkor a₁=2 megfelelő, mivel 2*2<7<3*3 teljesül.
• A keresett √p számot az a_n sorozat elemeivel közelítjük, amelynek általános elemét
      a_n+1=(a_n+p/a_n)/2 (n∈ℕ⁺)
  módon számítjuk ki.
• Számítsuk ki az a_n sorozat elemeit addig, míg a kívánt pontosságot el nem értük. "Minden újabb közelítés megkétszerezi a pontos jegyek számát." (Obádovics 1972: 105)
  Például p=7 és a₁=2 esetén a következőképpen járhatunk el (megjegyzés: √7≈2,6457513... alapján ellenőrizhetjük a kapott értékeket):
  1. a₁=2
  2. a₂= (a₁+p/a₁)/2= (2+7/2)/2= 5.5/2= 2.75
  3. a₃= (a₂+p/a₂)/2= (2.75+7/2.75)/2= 2,64772...
  4. a₄= (a₃+p/a₃)/2= (2,64772...+7/2,64772...)/2= 2,64575...
  5. ...

Próbáljuk ki az algoritmust különböző értékekre:

Négyzetgyök alapja (p):
Kiindulásnak választott közelítő érték (a₁):
Közelítő lépések száma (2≤n≤20):

A számítás lépései:

---

Az irracionális számok halmaza két részre osztható:
– az algebrai irracionális számok halmazára, és
– a nem algebrai irracionális számok vagy transzcendens számok^⇒ halmazára,

• Az algebrai számokat az egész együtthatós polinomok^⇒ (racionális vagy irracionális) gyökei alkotják. Vagyis minden az algebrai szám esetén létezik egy olyan egész együtthatós polinom, amelybe behelyettesítve a számot, a polinom értéke nulla lesz.
  • Minden racionális szám egyszersmind algebrai szám.
  • Az algebrai számok között vannak irracionális számok is. (Például az x²−2 polinom gyökei az x₁=√2 és x₂=−√2 irracionális számok.)
  • Az algebrai számok halmaza megszámlálható számosságú.
• A transzcendens számok halmaza az algebrai számok komplementer halmaza (vagyis nem létezik olyan egész együtthatós polinom, amelynek a gyöke transzcendens szám lenne). A legismertebb transzcendens számok a π (...) és az 'e' szám (...).
  • Minden transzcendens szám irracionális.
  • A transzcendens számok halmaza kontinuum számosságú.

13.2. A hatványozás általánosítása

Ha a kitevő pozitív természetes szám, a hatványozást^⇒ a valós számok körében is értelmezhetjük ismételt szorzásként.

A hatványozásnak két különböző inverz művelete van, a gyökvonás és a logaritmálás. (A gyökvonás esetében adott kitevő (n) esetén az alapot keressük, azaz az y=xⁿ egyenlet megoldását; a logaritmálás esetében pedig adott alap (a) esetén a kitevőt keressük, azaz az y=a^x egyenlet megoldását.)

A továbbiakban csak a gyökvonással foglalkozunk.

Legyen n∈ℕ⁺ tetszőleges pozitív természetes szám és a∈ℝ tetszőleges valós szám. Vezessük be a gyökvonásra az
x=ⁿ√a ⇋ "az az x∈ℝ valós szám, amelyre xⁿ=a teljesül"
definíciót.

• "A gyökvonásnál már sok probléma lép fel" (Fried 1968: 27). A gyökvönást egyes esetekben nem tudjuk elvégezni. Például √−1 értelmetlen kifejezés a valós számok körében. Ahhoz, hogy a gyökvonás korlátozás nélkül elvégezhető legyen, további számkörbővítésre van szükség. A komplex számok körében azonban a gyökvonás már korlátozás nélkül elvégezhető.

A valós számok ℝ halmazán a hatványozás művelete egyes esetekben invertálható az alábbi értelemben:

• ha n∈ℕ⁺ tetszőleges pozitív természetes szám (n>0) és a∈ℝ⁺ tetszőleges pozitív valós szám (a>0), akkor létezik olyan x∈ℝ valós szám, amelyre xⁿ=a teljesül.

Például az x²=4 egyenlet megoldása x=+2 és x=−2; az x³=8 egyenlet megoldása pedig x=2.

A hatványozásra és a gyökvonásra teljesül a monotonitás elve. Ha a, b∈ℝ⁺ tetszőleges pozitív valós számok (ahol ℝ⁺ ⇋ ℝ∩(0,+∞) a pozitív valós számok halmaza) és n∈ℕ⁺ tetszőleges pozitív természetes szám, akkor
    a<b ⇒ aⁿ<bⁿ és
    a<b ⇒ ⁿ√a<ⁿ√b
teljesül (Fried 1968: 27).

Például az f(x)=x² és g(x)=√x függvények görbéi:

---

A hatványozást úgy általánosítjuk, hogy a hatványozásnak a természetes számok körében megismert tulajdonságai^⇒ továbbra is érvényben maradjanak.

(1) Legyen a∈ℝ tetszőleges, nullától különböző valós szám (a≠0). A hatványozást a következőképpen definiáljuk, ha a kitevő negatív egész szám:

• ha n∈ℕ⁺ tetszőleges természetes szám, akkor legyen
  a⁻ⁿ = 1/aⁿ

(2) Legyen a∈ℝ tetszőleges, pozitív valós szám (a>0). A hatványozást racionális kitevő esetén a következőképpen definiáljuk:

• ha p∈ℤ tetszőleges egész szám, q∈ℕ⁺ tetszőleges pozitív természetes szám, akkor legyen
  a^p/q = ^q√a^p
  (A negatív alapot egyebek közt a definíció egyértelműsége miatt kell kizárni. Például a=−1 esetén a definícióból egyrészt (−1)^1/3=−1, másrészt (−1)^2/6=+1 következne, ami nyilvánvaló ellentmondás, vö. Fried 1968: 31.)

(3) Legyen a∈ℝ tetszőleges, pozitív valós szám (a>0) és x∈ℝ tetszőleges valós szám. A hatványozást valós kitevő esetén a következőképpen definiáljuk:

• ha a=1 akkor legyen a^x=1;
• ha a>1 akkor a^x alatt azt a valós számot értjük, amelyre bármely olyan két r, s∈ℚ racionális szám esetén, amelyekre
  r<x<s
  teljesül,
  a^r<a^x<a^s
  is teljesül. (Jegyezzük meg, hogy az f(x)=a^x exponenciális függvény^⇒ a>1 esetén a teljes értelmezési tartományon szigorúan monoton növekvő.)
  • Bizonyítható, hogy ilyen valós szám egyértelműen létezik (vö. Farkas-Fritzné-Kissné 2000: 64-65).
• ha 0<a<1 akkor legyen a^x ⇋ (1/a)^−x (ugyanis ha a<1, akkor 1/a>1 teljesül; másrészt 1/a ⇋ a⁻¹, és a hatványozás azonosságai alapján (a⁻¹)^−x=a⁽⁻¹⁾*^(−x)=a^x teljesül).

13.3. A valós számok axiomatikus tulajdonságai (kiegészítő anyag)

A valós számok ℝ halmazán értelmezzük az összeadás (+) és a szorzás (*) műveletét, valamint egy rendezési relációt (≤). Az így kapott (ℝ; +, *) kétműveletes algebrai struktúra egy rendezett test, amelyben az értelmezett műveletekre, ill. rendezési relációra az alábbi alaptulajdonságok teljesülnek (vö. Dringó-Kátai 1986: 51-58):

Legyenek a, b, c∈ℝ tetszőleges valós számok.

I. a műveletek tulajdonságai

• kommutativitás: a+b=b+a
• asszociativitás: (a+b)+c=a+(b+c)
• zéruselem (0) létezése: létezik egy olyan 0∈ℝ elem, amelyre a+0=a teljesül
• additív inverz létezése: létezik olyan (−a)∈ℝ elem, amelyre a+(−a)=0 teljesül
• kommutativitás: a*b=b*a
• asszociativitás: (a*b)*c=a*(b*c)
• egységelem (1) létezése: létezik egy olyan 1∈ℝ (1≠0) elem, amelyre a*1=a teljesül
• multiplikatív inverz létezése: a≠0 esetén létezik olyan (1/a)∈ℝ elem, amelyre a*(1/a)=1 teljesül (az a∈ℝ elem multiplikatív inverzét a⁻¹ módon is jelöljük)
• disztributivitás: (a+b)*c=a*c+b*c

II. a rendezési reláció tulajdonságai

• reflexivitás: a≤a
• antiszimmetria: a≤b és b≤a egyidejű teljesüléséből a=b következik
• tranzitivitás: a≤b és b≤c teljesüléséből a≤c következik
• trichotómia: az a≤b és b≤a relációk közül az egyik biztosan fennáll
• ha a≤b teljesül, akkor a+c ≤ b+c is fennáll
• ha 0≤a és 0≤b teljesül, akkor 0 ≤ a*b is fennáll (ebből következik, hogy ha a≤b és 0≤c teljesül, akkor a*c ≤ b*c is fennáll)

A fenti alaptulajdonságokon kívül a valós számok ℝ halmazának még két nagyon fontos sajátsága is van. Ezeket a tulajdonságokat
– az ún. arkhimédészi axióma,^⇒ és
– az ún. intervallumskatulyázási axióma (vagy Cantor-axióma)^⇒
írja le. (Ezek együttes teljesülése különbözteti meg a valós számok halmazát a racionális számok halmazától.)

(I.) arkhimédészi rendezés vagy axióma: Tetszőleges x, y∈ℝ (x>0, y≥0) nemnegatív valós számok esetén van olyan n∈ℕ természetes szám, amelyre y≤n*x teljesül.

• Az arkhimédészi axióma egy másik megfogalmazása az, hogy minden valós számnál van nagyobb természetes szám (vö. Gémes-Szentmiklóssy 2015). (Megjegyzés: az egyenlőtlenség y/x≤n alakjából n<(n+1) miatt következik, hogy az egyenlőtlenségben ≤ helyett < is írható.)

Az arkhimédészi axióma fontos következménye az, hogy bármely két valós szám között van racionális szám.

Legyen y=1 és x=ε>0 tetszőleges valós szám. Ekkor létezik olyan n∈ℕ (n≠0) természetes szám, amelyre
1<n*ε ⇒ 1/n<ε
teljesül. Legyenek a, b∈ℝ nemnegatív valós számok (0≤a<b). Ekkor ε=(b−a)>0 miatt egyrészt létezik olyan n∈ℕ természetes szám, amelyre 1/n<(b−a); teljesül; másrészt y=a≥0 és x=1/n>0 miatt létezik olyan p∈ℕ természetes szám, amelyre a<p/n teljesül; harmadrészt van olyan q∈ℕ természetes szám, amelyre q/n≤a teljesül (pl. q=0 biztosan ilyen). Mivel q<(q+1)<...<(p−1)<p, 'q' növelésével és 'p' csökkentésével elérhetjük, hogy q'=p'−1 teljesüljön, miközben q'≤n*a<p' fennáll. Tehát létezik olyan k=p' természetes szám, amelyre (k−1)≤n*a<k teljesül.
Legyen k∈ℕ az a legkisebb természetes szám, amelyre (k−1)/n≤a<k/n teljesül; ebből egyszerű átalakításokkal 1/n<(b−a) ⇒ a+1/n<b ⇒ k/n≤a+1/n<b miatt
a<k/n<b
adódik. Mivel k/n∈ℚ, ezért találtunk olyan racionális számot, amely az 'a' és 'b' valós számok között helyezkedik el. (Nempozitív valós számokra a bizonyítás hasonlóan végezhető el; különböző előjelű valós számokra pedig az állítás triviális, mert 0∈ℚ racionális szám.) (vö. Csizmadia 2009: 8-9)

A fenti tétel általánosítható úgy, hogy bármely két valós szám között végtelen sok racionális szám van. Emellett teljesül az is, hogy bármely két valós szám között végtelen sok irracionális szám van (vö. Farkas 2001: 46-47).

A korábbi bizonyításban használt jelölésekkel legyen r=k/n, ezzel a<r<b teljesül. Az archimédészi axióma miatt y=√2 és x=(b−r) választással létezik olyan m∈ℕ természetes szám, amelyre
√2<m*(b−r) ⇒ √2/m<(b−r) ⇒ r+√2/m<b
teljesül. Legyen s=r+√2/m, ekkor s<b és 0<√2/m miatt r<s; emiatt viszont
a<s<b
teljesül. Mivel 'r' és 'm' racionális számok, és √2 irracionális szám, ezért √2/m irracionális szám, és emiatt 's' is irracionális szám (egy racionális és egy irracionális szám szorzata, ill. összege irracionális!). Tehát találtunk az 'a' és 'b' valós számok között egy 's' irracionális számot (vö. Farkas 2001: 47).

(II.) intervallumskatulyázási axióma (vagy Cantor-axióma): Legyenek a_n és b_n olyan valós számsorozatok, amelyekre
    (1) a_n≤a_n+1 (n∈ℕ),
    (2) b_n≥b_n+1 (n∈ℕ), és
    (3) a_n≤b_n (n∈ℕ)
teljesül. A számsorozatok fenti tulajdonságai miatt
[a_n,b_n]⊇[a_n+1,b_n+1]
teljesül minden n∈ℕ természetes számra. Az intervallum­skatulyázási axióma kimondja, hogy a fenti módon "egymásba skatulyázott" (ti. egymást tartalmazó) intervallumok metszete nem üres, azaz
[a₁,b₁] ∩ [a₂,b₂] ∩ ... ∩ [a_n,b_n] ∩ ... ≠∅
teljesül.

• Az intervallumskatulyázási axióma következménye, hogy van olyan p∈ℝ valós szám, amelyre a_n≤p≤b_n teljesül minden n∈ℕ természetes szám és minden ágyazott, zárt, racionális számokból álló intervallum-sorozat esetén (ha a racionális számokból álló a_n és b_n sorozatok különbsége, |b_n−a_n| 'n' növekedésével "minden határon túl" csökken, akkor a p∈ℝ valós szám (mint a sorozatok "határértéke") egyértelműen létezik; a valós számokhoz úgy is eljuthatunk, hogy a valós számokat racionális számokból álló konvergens számsorozatok határértékeiként képzeljük el, vö. Fried-Korándi-Török 2013: 146-148).

Az intervallumskatulyázást jól szemlélteti a √7 irracionális szám (elvileg tetszőleges pontossággal történő) kiszámításának korábban megismert algoritmusa.^⇒ Az algoritmus révén a keresett valós szám tetszőlegesen közelíthető racionális számokkal.^⇒