Alkalmazott matematika 1

Alkalmazott matematika 1

Irodalom- és forrásjegyzék

(→ következő témakörök)

Internetes források:

Wikipédia / Wikipedia szócikkek:

1.1. Mátrixok

A valós számok aritmetikáját általánosítani fogjuk arra az esetre, amikor a vizsgált mennyiségeket nem egyetlen számmal jellemezzük, hanem táblázatos formában felírt számokkal, mátrixokkal (vö. Krekó 1976: 9).
Egy 'p' sorból és 'q' oszlopból álló p*q típusú mátrix (p,q∈ℕ⁺) általános alakja

a₁₁ a₁₂ ... a_1q
a₂₁ a₂₂ ... a_2q
... ... ... ...
a_p1 a_p2 ... a_pq

ahol a mátrix elemei valós számok, azaz a_ij∈ℝ (1≤i≤p, 1≤j≤q). Az a_ij elemet a mátrix általános elemének nevezzük, ahol 'i' a sorindex, és 'j' az oszlopindex. A mátrix sorainak és oszlopainak a számát a mátrix dimenzióinak nevezzük.
Két mátrixot egyenlőnek nevezünk, ha azonos típusúak és az azonos indexű elemeik megegyeznek.

Azokat a p*q típusú mátrixokat, amelyeknek az egyik dimenziója 1, vektornak szokás nevezni. Ebben az értelemben beszélhetünk sorvektorokról (ahol p=1) és oszlopvektorokról (ahol q=1). Egy vektor elemeit a vektor komponenseinek szokás nevezni. Egy oszlopvektor komponenseinek sorszáma megegyezik az elemek sorindexével; hasonlóan egy sorvektor komponenseinek sorszáma pedig az elemek oszlopindexével egyezik meg. Egy vektor komponenseinek számát a vektor dimenziójának nevezzük.

Az 1x1 dimenziós mátrixokat skalároknak nevezzük. Mivel a skalárok a valós számoknak felelnek meg, "a mátrixfogalom a számfogalom általánosításának tekinthető" (Krekó 1976: 11).

A mátrixokat aláhúzott nagybetűkkel fogjuk jelölni, és egyes esetekben csak az általános elemet adjuk meg (szögletes zárójelek között). Ha szükséges, a mátrix dimenzióit a mátrixot jelölő betű után alsó indexben szerepeltetjük. Ennek megfelelően a fenti mátrix
A = [a_ij] vagy
A_pq = [a_ij]
módon is jelölhető.
Vezessük be a p*q típusú (valós számokból álló) mátrixok halmazának jelölésére az
𝕄(p,q) ⇋ "a p*q típusú mátrixok halmaza"
jelölést. A fentiek miatt A_pq∈𝕄(p,q) definíció szerint teljesül.
Ha egy mátrixban felcseréljük a sorokat és az oszlopokat, a mátrix transzponáltjához jutunk. Az A mátrix transzponáltját A^T módon jelöljük.
Például tekintsük az alábbi 4*3 típusú A mátrixot és transzponáltját:

A =

A^T =

A transzponált mátrixra teljesülnek a következők:

Ha A egy p*q típusú mátrix, azaz A∈𝕄(p,q) teljesül, akkor a transzponáltja q*p típusú mátrix, azaz A^T∈𝕄(q,p) teljesül.

Egy sorvektor transzponáltja mindig egy oszlopvektor, és egy oszlopvektor transzponáltja mindig egy sorvektor.

Adjuk meg az A=[a_ij] mátrixot az általános eleme segítségével. Ekkor az A^T transzponált mátrix általános elemére
    A^T=[a_ji]
teljesül.

Az A^T transzponált mátrix általános elemét úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix általános elemének sorindexét és oszlopindexét megcseréljük.
Az A mátrixnak és az A^T transzponált mátrixnak azonosak a főátlóban levő elemei, vagyis a két mátrixban azonosak azok az elemek, amelyekre a sorindex és az oszlopindex megegyezik.

Egy tetszőleges A mátrix transzponáltjának a transzponáltja maga az A mátrix, azaz
(A^T)^T = A
teljesül tetszőleges A mátrix esetén.

Az oszlopvektorokat aláhúzott kisbetűkkel fogjuk jelölni, és a vektor általános elemének megadásakor elhagyjuk az oszlopindexet (ami oszlopvektor esetén mindig 1). Egy oszlopvektort tehát a=[a_i] módon jelölhetünk; egy tetszőleges A mátrix j-dik oszlopvektorát pedig a_j módon jelölhetjük.
Egy 'p' dimenziós (azaz 'p' komponensből álló) oszlopvektor transzponáltja egy 'p' dimenziós sorvektor, amelynek az egyes komponensei megegyeznek az oszlopvektor azonos sorszámú komponenseivel.
Például tekintsük az alábbi 4*1 típusú a oszlopvektort és ennek 1*4 típusú a^T transzponáltját:

a =

a^T =

Egy sorvektort annak az oszlopvektornak a transzponáltjával jelölünk, amelynek az egyes komponensei megegyeznek a sorvektor azonos sorszámú komponenseivel. Emellett a sorvektor általános elemének megadásakor elhagyjuk a sorindexet (ami sorvektor esetén mindig 1). Egy sorvektort ennek megfelelően a^T=[a_i] módon jelölhetünk. (Jegyezzük meg, hogy az a oszlopvektor és az a^T sorvektor azonos sorszámú komponensei megegyeznek.)
Egy mátrix esetében beszélhetünk a mátrix sorvektorairól, ill. a mátrix oszlopvektorairól. Ezek segítségével egy tetszőleges, p*q típusú A mátrix az alábbi két formában is felírható:
A =

u₁ u₂ ... u_q

A =

v₁^T
v₂^T
...
v_p^T

ahol u_j jelöli az A mátrix j-dik oszlopvektorát (1≤j≤q), és v_i^T jelöli az A mátrix i-dik sorvektorát (1≤i≤p).
A fenti jelölésekkel a p*q típusú A mátrix
    A = [u₁, u₂, ..., u_q]
módon is felírható, ahol u_j az A mátrix 'p' dimenziós, j-dik oszlopvektora (1≤j≤q).
Például egy 3*4 típusú A mátrix oszlopvektorai és sorvektorai leolvashatóak az alábbi ábrából:

A =

Vezessük be az alábbi elnevezéseket:
   • nullmátrix (vagy zérusmátrix): olyan mátrix, amelynek minden eleme 0. A nullmátrixot 0 módon jelöljük. (A nullmátrix tetszőleges dimenziójú lehet.)

Ha egy vektor minden komponense 0, akkor a vektort nullvektornak (vagy zérusvektornak) nevezzük.

példa 4*4 típusú nullmátrixra

   • kvadratikus (vagy négyzetes) mátrix : olyan mátrix, amelyben a sorok és oszlopok száma megegyezik. Egy n*n típusú A∈𝕄(n,n) kvadratikus mátrix rendje 'n'. Ezt egyszerűen A_n módon jelölhetjük.

Az A_n kvadratikus mátrixot n-ed rendű mátrixnak nevezzük.
Az A_n = [a_ij] kvadratikus mátrix azonos indexű a₁₁, a₂₂, ..., a_nn elemeit diagonális elemeknek nevezzük. A diagonális elemek alkotják a kvadratikus mátrix főátlóját.

példa 4*4 típusú kvadratikus mátrixra

   • diagonális mátrix: olyan kvadratikus mátrix, amelynek minden főátlón kívüli eleme zérus.

példa 4*4 típusú diagonális mátrixra

   • egységmátrix: olyan diagonális mátrix, amelynek minden diagonális eleme 1. Az egységmátrixot E módon jelöljük. (Az egységmátrix rendje tetszőleges lehet.)

példa 4*4 típusú egységmátrixra

   • szimmetrikus mátrix: olyan A=[a_ij] kvadratikus mátrix, amely megegyezik a transzponáltjával, azaz
    A=A^T, vagyis [a_ij]=[a_ji]
teljesül.

Egy szimmetrikus mátrix elemei a mátrix főátlójára nézve szimmetrikus elrendezésűek.

példa 4*4 típusú szimmetrikus mátrixra

   • ferdén szimmetrikus (vagy antiszimmetrikus) mátrix: olyan A=[a_ij] kvadratikus mátrix, amely megegyezik a transzponáltjának a (−1)-szeresével^⇒ vagy ellentettjével,^⇒ azaz
    A=−A^T, vagyis [a_ij]=[−a_ji]
teljesül.

Egy ferdén szimmetrikus mátrix főátlójában csupa zérus elem áll.

példa 4*4 típusú ferdén szimmetrikus mátrixra

   • háromszögmátrix (vagy trianguláris mátrix): olyan kvadratikus mátrix, amelynek minden főátló feletti, vagy minden főátló alatti eleme zérus. Ennek megfelelően a háromszögmátrixok két típusát különböztetjük meg:
   – alsó háromszögmátrix esetében minden főátló feletti elem zérus;
   – felső háromszögmátrix esetében pedig minden főátló alatti elem zérus.

példa 4*4 típusú alsó háromszögmátrixra

példa 4*4 típusú felső háromszögmátrixra

1.2. Műveletek mátrixok között

Legyenek A, B∈𝕄(p,q) azonos típusú mátrixok, amelyeket általános elemükkel A=[a_ij] és B=[b_ij] módon adunk meg. Az így megadott A és B mátrixok összege az a
C=A+B , C∈𝕄(p,q)
mátrix, amelynek általános eleme c_ij=a_ij+b_ij (1≤i≤p, 1≤j≤q), vagyis
C=[c_ij]=[a_ij+b_ij]
teljesül.
Például tekintsük az alábbi 4*3 típusú A és B mátrixot:

A =

B =

A+B =

A mátrixok összeadására érvényesek az alábbiak:

A mátrixok összeadása kommutatív művelet, azaz tetszőleges A és B, azonos típusú mátrixok esetén
    A+B=B+A
teljesül.
A mátrixok összeadása asszociatív művelet, azaz tetszőleges A, B és C, azonos típusú mátrixok esetén
    (A+B)+C=A+(B+C)
teljesül.
Tetszőleges A és B, azonos típusú mátrixok esetén
    (A+B)^T= A^T+B^T= B^T+A^T
teljesül.
Tetszőleges A kvadratikus mátrix esetén a
    B=A+A^T
mátrix szimmetrikus mátrix.

Az összeadáshoz teljesen hasonlóan értelmezhető két mátrix között a kivonás művelete.
Legyenek A, B∈𝕄(p,q) azonos típusú mátrixok, amelyeket általános elemükkel adunk meg, azaz A=[a_ij] és B=[b_ij]. Ekkor az A és B mátrixok különbsége alatt azt a
C=A−B , C∈𝕄(p,q)
mátrixot értjük, amelynek általános eleme c_ij=a_ij−b_ij (1≤i≤p, 1≤j≤q), vagyis
C=[c_ij]=[a_ij−b_ij]
teljesül.
A mátrixok összeadására és kivonására érvényesek az alábbiak:

Tetszőleges A mátrix esetén
    A+0=A
teljesül.
Tetszőleges A mátrix esetén
    A−0=A
teljesül.
Tetszőleges A mátrix esetén
    A−A=0
teljesül.
Tetszőleges A mátrix esetén a
    B=A−A^T
mátrix ferdén szimmetrikus mátrix.

Legyen A∈𝕄(p,q) egy p*q típusú mátrix, amelyet általános elemével A=[a_ij] módon adunk meg. Legyen λ∈ℝ valós szám. Az A mátrix λ skalárral való szorzata alatt azt a
C=λ*A , C∈𝕄(p,q)
mátrixot értjük, amelynek általános eleme c_ij=λ*a_ij (1≤i≤p, 1≤j≤q), vagyis
C=[c_ij]=[λ*a_ij]
teljesül.
Hasonlóan értelmezhetjük a mátrixok skalárral való szorzását akkor, amikor a skalár a szorzat jobb oldalán áll.
Adjuk meg az A∈𝕄(p,q) mátrixot általános elemével A=[a_ij] módon. Legyen λ∈ℝ valós szám. Ekkor a
C=A*λ , C∈𝕄(p,q)
mátrix alatt a
C=[c_ij]=[a_ij*λ]
mátrixot értjük. (A szorzás kommutativitásából nyilvánvalóan következik, hogy [a_ij*λ]=[λ*a_ij], vagyis A*λ=λ*A mindig teljesül.)
Például tekintsük az alábbi 4*3 típusú A mátrixot és λ skalárt (valós számot):

A =

λ*A = A*λ =

A mátrixok skalárral való szorzására érvényesek az alábbiak:

A mátrixok skalárral való szorzása kommutatív művelet, azaz tetszőleges A mátrix és λ skalár esetén
    λ*A=A*λ
teljesül.
A mátrixok skalárral való szorzása asszociatív művelet, azaz tetszőleges A mátrix, valamint λ és μ skalár esetén
    (λ*μ)*A=λ*(μ*A)
teljesül.
A mátrixok skalárral való szorzása disztributív művelet (a skalárok összeadására vonatkozóan), azaz tetszőleges A mátrix, valamint λ és μ skalár esetén
    (λ+μ)*A=λ*A+μ*A
teljesül.
A mátrixok skalárral való szorzása disztributív művelet (a mátrixok összeadására vonatkozóan), azaz tetszőleges A és B, azonos típusú mátrix, valamint λ skalár esetén
    λ*(A+B)=λ*A+λ*B
teljesül.
Tetszőleges A mátrix esetén
    0*A=A*0=0
teljesül.

A mátrixok között értelmezett kivonás a skalárral való szorzás művelete segítségével visszavezethető mátrixok összeadására.
Legyenek A és B tetszőleges, de azonos típusú mátrixok, ekkor a műveletek definíciója alapján könnyen ellenőrizhető, hogy
    A−B=A+(−1)*B
teljesül.
Vezessük be a
    −B ⇋ (−1)*B
jelölést. Az így értelmezett −B mátrixot a B mátrix ellentettjének nevezzük.
A mátrixok összeadásának és skalárral való szorzásának segítségével definiálhatjuk a mátrixok lineáris kombinációját. Legyenek
A₁, A₂, ..., A_n (n∈ℕ⁺)
tetszőleges, azonos típusú mátrixok, és
λ₁, λ₂, ..., λ_n
tetszőleges valós számok. A fenti mátrixok és valós számok (skalárok) lineáris kombinációja alatt a
    λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n
mátrixot értjük.
A lineáris kombináció fogalma különösen fontos szerepet játszik a vektorok körében. Például számítsuk ki az alábbi három
• 3*1 típusú, A₁, A₂ és A₃ mátrix (oszlopvektor), valamint
• λ₁, λ₂ és λ₃ skalár
lineáris kombinációját:

A₁ =

A₂ =

A₃ =

λ₁*A₁+λ₂*A₂+λ₃*A₃ =

Mivel a 3*1 típusú A₁, A₂ és A₃ mátrixok oszlopvektorok, ezeket a₁, a₂ és a₃ módon is jelölhetjük. Ezekkel a jelölésekkel a fenti lineáris kombináció
    λ₁*a₁ + λ₂a₂ + λ₃a₃
módon is leírható.

1.3. További műveletek mátrixok között

Legyen a^T=[a_i] egy 'n' dimenziós sorvektor, és b=[b_i] egy 'n' dimenziós oszlopvektor (n∈ℕ⁺). Ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata alatt az
    a^T*b = a₁*b₁+a₂*b₂+...+a_n*b_n
valós számot értjük. Mivel a skaláris szorzat csak a tényezők komponenseitől függ, ezért
    a^T*b = b^T*a
teljesül.
Két vektor skaláris szorzatának jelölésekor gyakran elhagyjuk az első tényezőben a transzponálást jelölő ^T betűt, és az a^T és b vektorok skaláris szorzatát egyszerűen a*b módon jelöljük. Azonban skaláris szorzat képzésekor mindig feltételezzük, hogy az első tényező sorvektor, a második tényező pedig oszlopvektor.
A matematikában, amikor adott számú mennyiséget kell összegezünk, gyakran használjuk a Σ ("szumma") jelet. Ezzel a jellel az a és b vektorok skaláris szorzata

módon írható fel.
A továbbiakban a fenti jelölés helyett a
    Σ _{(i=1; i≤n; i→i+1)} a_i*b_i
vagy egyszerűen a
    Σ _(1≤i≤n) a_i*b_i
jelölést fogjuk használni, amely kifejezi, hogy az 'i' szimbólum

1-től indulva (i=1)
egészen 'n'-ig (i≤n)
egyenként (i→i+1)
felveszi az összes egész számot.
Ennek megfelelően a fenti képlet a következőképpen értelmezhető: adjuk össze ("szummázzuk") az a_i*b_i szorzatokat úgy, hogy
– először vesszük az a₁*b₁ szorzatot (i=1), majd
– ehhez hozzáadjuk az a₂*b₂ szorzatot (i=2),
– ehhez hozzáadjuk az a₃*b₃ szorzatot (i=3), és ezt mindaddig folytatjuk, amíg végül
– a kapott részösszeghez hozzáadjuk az a_n*b_n szorzatot (i=n).

Például képezzük az a^T 1*4 típusú sorvektor és a b 4*1 típusú oszlopvektor skaláris szorzatát:

a^T =

b =

a^T*b =

Legyen A=[a_ij]∈𝕄(p,q) egy p*q típusú mátrix, és B=[b_jk]∈𝕄(q,r) egy q*r típusú mátrix. (Emeljük ki, hogy az A mátrix oszlopainak száma (q) megegyezik a B mátrix sorainak a számával (q).)
Az A és B mátrixok a szorzata alatt azt a
    C=A*B, C=[c_ik]∈𝕄(p,r)
p*r típusú mátrixot értjük, amelynek általános elemére
    c_ik = a_i1*b_1k+a_i2*b_2k+...+a_iq*b_qk
teljesül (1≤i≤p, 1≤k≤r).

A korábban bevezetett jelöléssel a C mátrix általános eleme
c_ik = Σ_{(j=1; j≤q; j→j+1)} a_ij*b_jk
módon írható fel.
A C=A*B szorzatmátrix c_ik általános eleme az A mátrix 'i'-dik sorvektorának és a B mátrix 'k'-dik oszlopvektorának skaláris szorzata.

Jegyezzük meg a következőket:

Az A_pq és B_qr mátrixok akkor összeszorozhatók, ha az A mátrix oszlopainak száma (q) megegyezik a B mátrix sorainak számával (q).
A C_pr=A_pq*B_qr szorzatmátrix p*r típusú lesz.

Első példaként tekintsük a 4*3 típusú A és a 3*4 típusú B mátrixot:

A =

B =

C = A*B =

Például a C=A*B=[c_ik] szorzatmátrix c₂₃ eleme az A mátrix v₂^T 1*3 típusú sorvektorának és a B mátrix u₃ 3*1 típusú oszlopvektorának a skaláris szorzataként kapható meg:

v₂^T =

u₃ =

c₂₃ = v₂^T*u₃ =

Második példaként tekintsük az 1*3 típusú A és a 3*2 típusú B mátrixot:
(Megjegyzés: mivel A három dimenziós sorvektor, ezért a^T módon is jelölhető. Ennek felhasználásával az A*B szorzat a^T*B módon is jelölhető.)

A =

B =

A*B =

Harmadik példaként tekintsük az 4*1 típusú A és az 1*3 típusú B mátrixot:
(Megjegyzés: mivel A négy dimenziós oszlopvektor, ezért a módon is jelölhető, mivel pedig B három dimenziós sorvektor, ezért b^T módon is jelölhető. Az a*b^T szorzatot, vagyis egy oszlopvektor és egy sorvektor szorzatát diadikus szorzatnak nevezzük.
Ha egy mátrix előállítható diadikus szorzatként, vagyis egy oszlopvektor és egy sorvektor szorzataként, akkor diádnak nevezzük.)

A =

B =

A*B =

Negyedik példaként tekintsük az 1*3 típusú A és a 3*1 típusú B mátrixot:
(Megjegyzés: mivel A három dimenziós sorvektor, ezért a^T módon is jelölhető, mivel pedig B három dimenziós oszlopvektor, ezért b módon is jelölhető. Az a^T*b szorzat az a^T és b vektorok korábban megismert skaláris szorzata.)

A =

B =

A*B =

Ötödik példaként tekintsük a 3*3 típusú A és a 3*1 típusú B mátrixot:
(Megjegyzés: mivel B három dimenziós oszlopvektor, ezért b módon is jelölhető, ennek felhasználásával az A*B szorzat A*b módon is jelölhető.)

A =

B =

A*B =

A mátrixok szorzására érvényesek az alábbiak:

A mátrixok szorzása nem kommutatív művelet, azaz tetszőleges A és B mátrixok esetén általában A*B≠B*A (ha egyáltalán értelmezhető az A*B, ill. B*A szorzat).

Ha A és B azonos típusú kvadratikus mátrixok, akkor az A*B és B*A szorzatok értelmezhetők, de általában nem egyenlők.

Ha az A és B azonos típusú kvadratikus mátrixokra A*B=B*A teljesül, akkor ezeket felcserélhető mátrixoknak nevezzük.
Ha A és B azonos típusú diagonális mátrixok, akkor A*B=B*A teljesül. (Tehát bármely két azonos rendű A_n és B_n diagonális mátrix felcserélhető.)

Ha A és 0 azonos típusú kvadratikus mátrixok, akkor A*0=0*A=0 teljesül. (Tehát a 0_n nullmátrix és bármely, vele azonos rendű^⇒ kvadratikus mátrix felcserélhetők.)
Ha A és E azonos típusú kvadratikus mátrixok, akkor A*E=E*A=A teljesül. (Tehát az E_n egységmátrix és bármely, vele azonos rendű A_n kvadratikus mátrix felcserélhetők.)

A mátrixok szorzása asszociatív művelet, azaz tetszőleges A, B és C mátrixok esetén, ha értelmezhető közöttük a szorzás művelete,
    (A*B)*C=A*(B*C)
teljesül.
A mátrixok szorzása disztributív művelet, azaz tetszőleges A, B és C mátrixok esetén, ha értelmezhetők közöttük az alábbi műveletek,
    A*(B+C)=A*B+A*C és
    (B+C)*A=B*A+C*A
teljesül.
Két mátrix szorzatát egy skalárral szorozva a szorzat független attól, melyik mátrixot szorozzuk meg a skalárral. Vagyis tetszőleges λ skalár, valamint tetszőleges A és B mátrixok esetén, ha értelmezhető közöttük a szorzás művelete,
    λ*(A*B)=(λ*A)*B=A*(λ*B)
teljesül.
Ha A és B tetszőleges mátrixok, amelyek között értelmezhető a szorzás művelete,
    (A*B)^T=B^T*A^T
teljesül.

Legyen A kvadratikus mátrix, n∈ℕ természetes szám. Ekkor az A kvadratikus mátrix hatványait a következő rekurzív sorozattal definiáljuk:

A⁰ ⇋ E
A¹ ⇋ A
A² ⇋ A*A
...
Aⁿ ⇋ A⁽ⁿ⁻¹⁾*A
...

Mivel a mátrixok szorzása asszociatív, tetszőleges olyan n, p, q∈ℕ természetes számok esetén, amelyekre n=p+q teljesül, Aⁿ=A^p*A^q teljesül.
Ha A=[a_ij] egy diagonális mátrix és n∈ℕ természetes szám, akkor az Aⁿ=[h_ij] mátrix szintén diagonális, és főátlójában az A mátrix főátlájában szereplő elemek n-ik hatványai állnak, azaz
    – h_ij=0 (ha i≠j) és
    – h_ij=a_ijⁿ (ha i=j)
teljesül.
Ha A egy szimmetrikus mátrix és n∈ℕ természetes szám, akkor az Aⁿ mátrix szintén szimmetrikus.
Tegyük fel, hogy az A=[a_ij] n-ed rendű kvadratikus mátrix szimmetrikus, azaz bármely i, j indexű elemére a_ij=a_ji teljesül (1≤i,j≤n). Számítsuk ki például az A²=[a_ij'] mátrix tetszőleges a_ij' elemét:
a_ij'= Σ _(1≤k≤n) a_ik*a_kj= Σ _(1≤k≤n) a_ik*a_jk= Σ _(1≤k≤n) a_jk*a_ik= Σ _(1≤k≤n) a_jk*a_ki= a_ji'
miatt a_ij'=a_ji' teljesül, vagyis az A² mátrix valóban szimmetrikus.
Egy kvadratikus nullmátrix és az egységmátrix minden hatványa önmaga, azaz tetszőleges n∈ℕ természetes számra 0ⁿ=0 és Eⁿ=E teljesül.

2.1. Permutációk, inverziók

Legyen H egy tetszőleges, 'n' elemű véges halmaz (n∈ℕ⁺, speciálisan megengedjük az n=1 esetet is). Ekkor az
(a₁, a₂, ..., a_n)
véges elemsorozatot ("rendezett elem n-est") az a_i∈H elemek egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük, ha az a_i elemek mind különbözőek, azaz a_i≠a_j teljesül (1≤i<j≤n).

A H halmaz összes permutációját például úgy kaphatjuk meg, hogy a H halmaz összes elemét egy adott sorrendben kiválasztjuk (és minden elemet csak egyszer választunk ki, azaz a kiválasztott elemet "nem tesszük vissza"). Az összes lehetséges (különböző) kiválasztások száma ebben az esetben megegyezik az 'n' elem n-ed osztályú ismétlés nélküli variációinak a számával.
A H halmaz elemeinek fenti módon történő ("ismétlés nélküli") kiválasztása megfelel a H halmaz egy
    P : H→{1,2,...,n}
bijektív leképezésének az {1,2,...,n}⊆ℕ⁺ halmazra. A H halmaz összes lehetséges permutációja ennek megfelelően azt adja meg, hányféleképpen képezhetjük le a H halmazt bijektív módon az {1,2,...,n} halmazra.

Mivel tetszőleges 'n' elemű H halmaz esetén a halmaz elemeinek egy permutációja megfelel az {1,2,...,n}⊆ℕ⁺ halmazra való bijektív leképezésnek, a továbbiakban elég a H={1,2,...,n} természetes számokból álló halmaz lehetséges permutációival foglalkozunk. Ezeket a permutációkat a továbbiakban (i₁, i₂, ..., i_n) vagy (j₁, j₂, ..., j_n) módon jelöljük, ahol i_k∈{1,2,...,n} egymástól különböző természetes számok (1≤k≤n), és hasonlóan j_m∈{1,2,...,n} egymástól különböző természetes számok (1≤m≤n).
Az (i₁, i₂, ..., i_n) és (j₁, j₂, ..., j_n) permutációk megegyeznek, ha minden elemre i_k=j_k (1≤k≤n) teljesül.

Egy ismétlés nélküli permutációban minden elem különböző, tehát két tetszőleges elemet felcserélve egy másik, az előzőtől különböző permutációt kapunk.

Vezessük be a természetes számok halmazán értelmezett
    ! : ℕ→ℕ
műveletet, 'n' faktoriálisát (n!). Adott n∈ℕ természetes szám esetén az n! értéket az első 'n' természetes szám szorzataként definiáljuk a következőképpen:
   0!⇋1 (megállapodás szerint),
   1!⇋1
   2!⇋1*2
   3!⇋1*2*3
   ...
   n!⇋1*2*3*4*...*n.
Megjegyzés: n! a definíció szerint megegyezik az s₀=0, s₁=1, s_n=n*s_n−1 (n>1) rekurzív módon megadott számsorozat n-ik elemével (azaz s_n=n!).
Adott n∈ℕ⁺ elemszám esetén az összes különböző ismétlés nélküli permutáció száma
P_n=n!
módon számítható ki.

A későbbiekben használni fogjuk a binomiális együttható fogalmát is. Adott k, n∈ℕ, k≤n természetes számok esetén az

formában felírt számot binomiális együtthatónak nevezzük.
Az (i₁, i₂, ..., i_n) permutációban az i_k és i_m számok inverzióban állnak, ha
k<m és i_k>i_m
teljesül (azaz a permutációban az előrébb álló i_k elem nagyobb a nála hátrébb álló i_m elemnél, vagyis az i_k és i_m elemek "a természetestől eltérő, fordított sorrendben állnak", Fried 1968: 88).
Például n=6, k=2, m=4 esetében

a (2,6,3,4,5,1) permutációban a második és a negyedik elem inverzióban áll,
viszont a (2,4,3,6,5,1) permutációban a második és a negyedik elem nem áll inverzióban.

Egy permutáció inverzióinak számán azoknak az elempároknak a számát értjük, amelyek egymással inverzióban állnak. Egy adott p=(i₁, i₂, ..., i_n) permutáció inverzióinak számát I(p) módon jelöljük.
A 'p' permutáció szignuma alatt a
    sgn(p) ⇋ (−1)^I(p)
számot értjük.

egy 'p' permutáció esetén sgn(p)=+1, ha I(p) páros
egy 'p' permutáció esetén sgn(p)=−1, ha I(p) páratlan

A permutációk inverzióira érvényesek az alábbiak:

A természetes sorrendben felírt számokból álló permutáció, azaz a p=(1,2,...,n) permutáció inverzióinak száma I(p)=0, szignuma sgn(p)=1.

A természetes sorrendben felírt számokból álló permutáció esetében nincs két olyan elem, amelyek inverzióban állnának, azaz az inverziók száma minimális.

A fordított sorrendben felírt számokból álló permutáció, azaz a q=(n,n−1,n−2,...,1) permutáció inverzióinak száma I(q)= .

A fordított sorrendben felírt számokból álló permutáció esetében minden elempár inverzióban áll, azaz az inverziók száma maximális.

Egy adott permutáció esetén két szomszédos elem felcserélésével a permutáció összes inverzióinak száma eggyel nő vagy csökken, vagyis a permutáció szignuma előjelet vált.

Ha a felcserélt szomszedos elemek eredetileg nem álltak inverzióban, akkor a permutáció összes inverziójának száma felcserélés után eggyel nő.
Ha a felcserélt szomszedos elemek eredetileg inverzióban álltak, akkor a permutáció összes inverziójának száma felcserélés után eggyel csökken.

Egy adott permutáció esetén két tetszőleges elem felcserélésével a permutáció összes inverzióinak száma páratlan számmal változik meg (vö. Fried 1968: 89), vagyis a permutáció szignuma előjelet vált.

2.2. Determinánsok

Legyen A_n=[a_ij] egy n-ed rendű kvadratikus mátrix, és legyen p=(j₁, j₂, ..., j_n) az {1,2,...,n} természetes számok egy tetszőleges permutációja. Ekkor a 'p' permutációnak megfeleltethetjük a
σ_p=sgn(p)*a_1j₁*a_2j₂*...*a_{nj_n}
szorzatot. (Vegyük észre, hogy a 'p' permutáció j₁, j₂, ..., j_n komponensei a szorzatban szereplő a_ij elemek oszlopindexét adják meg.)
A fenti szorzatot úgy kapjuk, hogy sorrendben felülről lefelé haladva, a mátrix minden egyes sorából kiválasztjuk a 'p' permutáció alapján a megfelelő oszlopindexű elemet. Tehát kiválasztjuk
– az első sorból a j₁-ik oszlopban szereplő elemet,
– a második sorból a j₂-ik oszlopban szereplő elemet,
...
– az utolsó (n-ik) sorból pedig a j_n-ik oszlopban szereplő elemet,
majd ezeket összeszorozzuk, és a szorzatot megszorozzuk a 'p' permutáció szignumával^⇒ (amely attól függően +1 vagy −1, hogy a 'p' permutációban levő összes inverzió száma, azaz I(p) páros vagy páratlan).
Az A_n=[a_ij] egy n-ed rendű kvadratikus mátrix determinánsa alatt a
    Σ _{(az összes 'p' permutációra)} σ_p
összeget értjük. A σ_p szorzatra vonatkozó képletet behelyettesítve a determinánsra
    Σ _{(az összes 'p' permutációra)} (−1)^I(p)*a_1j₁*a_2j₂*...*a_{nj_n}
adódik (jegyezzük meg, hogy az összegzést az oszlopindexek összes lehetséges 'p' permutációjára el kell végezni).
Az A_n=[a_ij] n-ed rendű kvadratikus mátrix (n-ed rendű) determinánsát
    det A_n=|a_ij|_n
módon jelöljük.

Például az
A₂ =

a₁₁ a₁₂
a₂₁ a₂₂

másodrendű kvadratikus mátrix determinánsa
det A₂ = (−1)⁰a₁₁*a₂₂+(−1)¹a₁₂*a₂₁ = a₁₁*a₂₂−a₁₂*a₂₁
módon számítható ki.
Szabályként megfogalmazva: egy másodrendű kvadratikus mátrix determinánsát úgy számítjuk ki, hogy a főátlóban levő elemek szorzatából kivonjuk a "mellékátlóban" (azaz a főátló vízszintes tükrözésével kapott átlóban) levő elemek szorzatát.
Egy másik példaként tekintsük az
A₃ =

a₁₁ a₁₂ a₁₃
a₂₁ a₂₂ a₂₃
a₃₁ a₃₂ a₃₃

harmadrendű kvadratikus mátrix determinánsát. Ez
det A₃ =
    a₁₁*a₂₂*a₃₃ −a₁₁*a₂₃*a₃₂
    −a₁₂*a₂₁*a₃₃ +a₁₂*a₂₃*a₃₁
    +a₁₃*a₂₁*a₃₂ −a₁₃*a₂₂*a₃₁
módon számítható ki. (Tekintsük például a második tagot. Mivel ez a₁₁*a₂₃*a₃₂ alakú, a tényezők oszlopindexei az (1,3,2) permutációnak felelnek meg. Ebben egy inverzió szerepel, a (3,2), ezért a tag előjele negatív. Vizsgáljuk meg ezután a negyedik tagot. Mivel ez a₁₂*a₂₃*a₃₁ alakú, a tényezők oszlopindexei az (2,3,1) permutációnak felelnek meg. Ebben két inverzió szerepel, a (2,1) és a (3,1), ezért a tag előjele pozitív.)
A fenti képlet általánosításához vezessük be az ún. részmátrix vagy minor mátrix fogalmát. Egy A mátrix minor mátrixa alatt azt a mátrixot értjük, amelyet az A mátrix meghatározott sorainak és oszlopainak elhagyásával, törlésével állítunk elő. (Speciálisan minor mátrixnak tekinthetjük azokat a mátrixokat is, amelyekben nem hagyunk el sorokat és/vagy oszlopokat.)

Az A n-ed rendű kvadratikus mátrix i-dik sorának és j-dik oszlopának törlésével kapott (n−1)-ed rendű minor mátrixot
A_ij
módon jelöljük (aláhúzás nélkül!).
Az A kvadratikus mátrix i-dik sorának és j-dik oszlopának törlésével kapott minor mátrix determinánsából képzett
D_ij=(−1)^i+j*det A_ij
számot az A kvadratikus mátrix i-dik sorához és j-dik oszlopához tartozó előjeles vagy algebrai aldeterminánsnak nevezzük.

Az A₃ harmadrendű kvadratikus mátrix determinánsának kiszámítására vonatkozó képletben^⇒ emeljük ki a mátrix első sorában álló a₁₁, a₁₂ és a₁₃ elemeket. A kapott képletből látszik, hogy a det A₃ determináns kiszámítása visszavezethető az A₃ kvadratikus mátrixból alkotott másodrendű minor mátrixok determinánsainak a kiszámítására:

det A₃ =

a₁₁*det

a₂₂ a₂₃
a₃₂ a₃₃

−a₁₂*det

a₂₁ a₂₃
a₃₁ a₃₃

+a₁₃*det

a₂₁ a₂₂
a₃₁ a₃₂

Az algebrai aldeterminánsok segítségével ez a képlet
det A₃ = a₁₁*D₁₁ + a₁₂*D₁₂ + a₁₃*D₁₃
módon írható fel.
Figyeljük meg, hogy a determináns kiszámításakor
– először kiszámítjuk az első sor egyes elemeinek, és ezeknek az elemeknek a sorát, ill. oszlopát nem tartalmazó minor mátrixok determinánsainak a szorzatát;
– majd ezeket a szorzatokat különböző előjelekkel összeadjuk. (Az előjelet az első sor egyes elemeinek a sorindexe (1) és oszlopindexe (j) határozza meg a (−1)^1+j képlet alapján.)
Az eljárást a determináns első sor szerinti kifejtésének nevezzük.
Tekintsük először a 2*2 típusú A mátrixot, és számítsuk ki a determinánsát:

A =

det A =

Tekintsük ezután a 3*3 típusú A mátrixot, és számítsuk ki a determinánsát először közvetlenül, a megfelelő képlet^⇒ alapján:

A =

det A =

Ezután számoljuk ki a determináns értékét az A mátrix másodrendű (minor) determinánsainak kiszámításával:

det A =

−

+

=

A determináns kétféleképpen kiszámított értéke megegyezik.
Ha az első sor elemeit nem a hozzájuk tartozó algebrai aldeterminánssal szorozzuk, hanem például a második sorhoz tartozó algebrai aldeterminánsokkal, akkor az összeg zérus lesz:
a₁₁*D₂₁+a₁₂*D₂₂+a₁₃*D₂₃=

Most általánosítsuk a determináns kiszámítására vonatkozó tételt egy tetszőleges n-ed rendű kvadratikus mátrixra.
Az A_n=[a_ij] n-ed rendű kvadratikus mátrix determinánsának i-dik sor szerinti kifejtése
    det A = Σ _{(j=1; j≤n; j→j+1)} a_ij*D_ij
ahol D_ij az A mátrix i-dik sorához és j-dik oszlopához tartozó előjeles vagy algebrai aldetermináns.^⇒
Jegyezzük meg, hogy a fenti tétel bármelyik sorra érvényes, azaz a fenti összeg bármely i-re ugyanazt az értéket adja (ahol 1≤i≤n teljesül).

Érvényes továbbá az alábbi tétel:
Ha a fenti összegben szereplő algebrai aldeterminánsok nem az i-dik sorhoz, hanem egy tőle különböző a k≠i sorhoz tartoznak, akkor az összeg mindig zérus, azaz a fenti jelölésekkel
    Σ _{(j=1; j≤n; j→j+1)} a_ij*D_kj = 0
teljesül bármely k-dik oszlopra (1≤k≤n, k≠i).

Legyenek A_n=[a_ij] és B_n=[b_ij] n-ed rendű kvadratikus mátrixok, továbbá (det A) és (det B) ezek determinánsai. Legyen továbbá a λ skalár tetszőleges valós szám. Ekkor teljesülnek a következő tulajdonságok:

Az egységmátrix determinánsának értéke 1, azaz det E_n=1 teljesül.

Ha A_n=[a_ij] diagonális mátrix, akkor
    det A_n = a₁₁*a₂₂*...*a_nn
teljesül.
Ha A_n=[a_ij] háromszögmátrix, akkor
    det A_n = a₁₁*a₂₂*...*a_nn
teljesül (Obádovics 2001: 86).

Ha az A mátrix valamelyik sorát megszorozzuk a λ skalárral, akkor az így kapott C mátrix determinánsának értéke
    det C=λ*det A
lesz.

Ha az A mátrixot megszorozzuk a λ skalárral, akkor
    det (λ*A_n) = λⁿ*det A_n
teljesül.

Ha az A mátrix két tetszőleges sorát megcseréljük, akkor az így kapott C mátrix determinánsának értéke előjelet vált, azaz
    det C=−det A
lesz (Obádovics 2001: 81-82).

Ha az A mátrix egy tetszőleges sorát 'j' sorral lejjebb vagy feljebb visszük, akkor az így kapott C mátrix determinánsának értéke
    det C=(−1)^jdet A
lesz (Obádovics 2001: 82).

Ha az A mátrix egy sora csupa zérus (0) elemet tartalmaz, akkor a mátrix determinánsának értéke zérus, azaz
    det A=0
teljesül.
Ha az A mátrix két sora megegyezik, akkor a mátrix determinánsának értéke zérus, azaz
    det A=0
teljesül.

Ha az A mátrix egyik sora egy másik sorának λ szorosa, akkor a mátrix determinánsának értéke zérus, azaz
    det A=0
teljesül.

Tegyük fel, hogy az A_n=[a_ij] mátrix és a B_n=[b_ij] mátrix csak a k-dik sorában különbözik, azaz
    a_ij=b_ij (1≤i,j≤n, i≠k) vagy ugyanezt sorvektorokkal kifejezve
    a_i=b_i (1≤i≤n, i≠k)
teljesül. Képezzük azt a C_n=[c_ij] mátrixot, amely az A és a B mátrixtól szintén csak a k-dik sorában különbözik, k-dik sora pedig az A és B mátrixok k-dik sorának összege, azaz
    c_ij=a_ij=b_ij (1≤i,j≤n, i≠k) vagy sorvektorokkal
    c_i=a_i=b_i (1≤i≤n, i≠k),
és
    c_kj=a_kj+b_kj (1≤j≤n) vagy sorvektorokkal
    c_k=a_k+b_k
teljesül. Az így kapott C mátrix determinánsának értéke
    det C=det A+det B
lesz.

Tegyük fel, hogy a fenti jelölések mellett a B mátrix k-dik sora megegyezik az m-ik sorával (ahol k≠m). (Másképpen megfogalmazva: a B mátrixot úgy képezzük, hogy az A mátrix m-dik sorával "felülírjuk" az A mátrix k-dik sorát.) Ekkor det B=0 miatt det C=det A teljesül. Emiatt egy mátrix tetszőleges sorát hozzáadva a mátrix egy másik sorához, a determináns értéke nem változik.
Tegyük fel, hogy a fenti jelölések mellett a B mátrix k-dik sora az m-ik sorának λ-szorosával egyezik meg (k≠m). Ekkor det B=0 miatt det C=det A most is teljesül. Emiatt ha egy mátrix tetszőleges sorának λ-szorosát hozzáadjuk a mátrix egy másik sorához, a determináns értéke nem változik.
Mindezek alapján kimondhatjuk, hogy ha a mátrix egy sorához hozzáadjuk a mátrix tőle különböző sorainak egy tetszőleges lineáris kombinációját a determináns értéke nem változik.

Érvényesek tehát az alábbi tételek:
(1) Ha a mátrix egy sorához hozzáadjuk egy másik, tőle különböző sora λ-szorosát, a mátrix determinánsa nem változik.

(2) Ha a mátrix egy sorához hozzáadjuk a többi, tőle különböző sor egy tetszőleges lineáris kombinációját,^⇒ a mátrix determinánsa nem változik.

(3) Ha A_n n-edrendű reguláris kvadratikus mátrix,^⇒ akkor nincs olyan sora, amely előállítható a többi, tőle különböző sor lineáris kombinációjaként.

Legyen A tetszőleges kvadratikus mátrix. Ekkor az A mátrix és transzponáltjának a determinánsa megegyezik, azaz
det A=det A^T
teljesül.

Mivel egy kvadratikus mátrix transzponáltja úgy kapható meg, hogy a mátrix sorait és oszlopait felcseréljük (azaz a mátrix elemeit a fődiagonálisra tükrözzük), ezért a determinánsra vonatkozó, korábban felsorolt tulajdonságok érvényesek maradnak akkor is, ha ezekben 'sorok' helyett mindenütt 'oszlopok' szerepelnek (vö. Fried 1968: 92).

Az A és B n-ed rendű kvadratikus mátrixok szorzatának determinánsa egyenlő a mátrixok determinánsainak szorzatával, azaz
det (A*B)=det A*det B
teljesül.

2.3. Determinánsok értékének kiszámítása

I. Számítsuk ki a determináns definíciója^⇒ alapján az alábbi mátrix determinánsát:
A =

0 -2 10
-5 2 0
-10 -9 1

Mivel az A=[a_ij] mátrix 3*3 típusú, az oszlopindexekre az (1,2,3) számok alábbi 6 permutációját kell figyelembe vennünk:

p₁=(1,2,3), I(p₁)=0, sgn(p₁)=1
p₂=(1,3,2), I(p₂)=1, sgn(p₂)=−1
p₃=(2,1,3), I(p₃)=1, sgn(p₃)=−1
p₄=(2,3,1), I(p₄)=2, sgn(p₄)=1
p₅=(3,1,2), I(p₅)=2, sgn(p₅)=1
p₆=(3,2,1), I(p₆)=3, sgn(p₆)=−1

A permutációknak megfelelő a σ_p szorzatok^⇒ a következők:

p_i σ_{p_i}
(1,2,3) +a₁₁*a₂₂*a₃₃ +0*2*1 =0
(1,3,2) −a₁₁*a₂₃*a₃₂ −0*0*(-9) =0
(2,1,3) −a₁₂*a₂₁*a₃₃ −(-2)*(-5)*1 =−10
(2,3,1) +a₁₂*a₂₃*a₃₁ +(-2)*0*2*(-10) =0
(3,1,2) +a₁₃*a₂₁*a₃₂ +10*(-5)*(-9) =450
(3,2,1) −a₁₃*a₂₂*a₃₁ −10*2*(-10) =200

Az A mátrix determinánsa a fenti σ_p szorzatok összege, vagyis
    det A=−10+450+200=640

II. Az alábbiakban egy algoritmust adunk meg egy determináns értékének kiszámítására. Ehhez a következő két tételt fogjuk felhasználni:
– Egy tetszőleges A kvadratikus mátrix determinánsa nem változik, ha egy sorához hozzáadjuk egy másik (tőle különböző) sorának tetszőleges λ számszorosát.
– Egy tetszőleges A kvadratikus mátrix determinánsa nem változik, ha egy oszlopához hozzáadjuk egy másik (tőle különböző) oszlopának tetszőleges μ számszorosát.

Induljunk ki egy 4-ed rendű A kvadratikus mátrixból (vö. Fried 1968: 92). Célunk, hogy az A mátrixot diagonális alakra hozzuk, amelynek a determinánsa a fődiagonálisban levő elemek szorzataként egyszerűen meghatározható.
Az alábbiakban csak olyan átalakításokat fogunk a mátrixon végezni, amelyek nem változtatják meg a determináns értékét.
A =

1 0 -1 3
2 5 3 -1
-1 2 2 -2
-3 1 2 1

(1) A mátrix első sorát (1,0,0,0) formára fogjuk hozni úgy, hogy
– a mátrix első oszlopát hozzáadjuk a mátrix harmadik oszlopához,
– a mátrix első oszlopának (-3)-szorosát hozzáadjuk a mátrix negyedik oszlopához.

Eredményül a következő mátrixot kapjuk (jegyezzük meg, hogy az így kapott mátrix determinánsa megegyezik az eredeti mátrix determinánsával, azaz det B=det A teljesül):
B =

1 0 0 0
2 5 5 -7
-1 2 1 1
-3 1 -1 10

(2) A mátrix első oszlopát fogjuk (1,0,0,0)^T formára hozni úgy, hogy
– a mátrix első sorának (-2)-szeresét hozzáadjuk a mátrix második sorához,
– a mátrix első sorát hozzáadjuk a mátrix harmadik sorához,
– a mátrix első sorának 3-szorosát hozzáadjuk a mátrix negyedik sorához.
Eredményül a következő mátrixot kapjuk (jegyezzük meg, hogy az így kapott mátrix determinánsa megegyezik az előző mátrix determinánsával, azaz det C=det B=det A teljesül):
C =

1 0 0 0
0 5 5 -7
0 2 1 1
0 1 -1 10

(3) A mátrix második sorát fogjuk (0,5,0,0) formára fogjuk hozni úgy, hogy
– a mátrix második oszlopának (-1)-szeresét hozzáadjuk a mátrix harmadik oszlopához,
– a mátrix második oszlopának 7/5-szeresét hozzáadjuk a mátrix negyedik oszlopához.
Eredményül a következő mátrixot kapjuk:
D =

1 0 0 0
0 5 0 0
0 2 -1 19/5
0 1 -2 57/5

(4) A mátrix második oszlopát fogjuk (0,5,0,0)^T formára hozni úgy, hogy
– a mátrix második sorának (-2/5)-szeresét hozzáadjuk a mátrix harmadik sorához,
– a mátrix második sorának (-1/5)-szeresét hozzáadjuk a mátrix negyedik sorához.
Eredményül a következő mátrixot kapjuk:
E =

1 0 0 0
0 5 0 0
0 0 -1 19/5
0 0 -2 57/5

(5) A mátrix harmadik sorát fogjuk (0,0,-1,0) formára hozni úgy, hogy
– a mátrix harmadik oszlopának 19/5-szeresét hozzáadjuk a mátrix negyedik oszlopához.
Eredményül a következő mátrixot kapjuk:
F =

1 0 0 0
0 5 0 0
0 0 -1 0
0 0 -2 19/5

(6) Végül a mátrix harmadik oszlopát fogjuk (0,0,-1,0)^T formára hozni úgy, hogy
– a a mátrix harmadik sorának (-2)-szeresét hozzáadjuk a mátrix negyedik sorához.
Eredményül a következő mátrixot kapjuk:
G =

1 0 0 0
0 5 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 19/5

A H mátrix diagonális, tehát determinánsa
    det H=1*5*(−1)*19/5=−19
módon könnyen meghatározható.
Mivel csak olyan átalakításokat hajtottunk végre az A mátrixon, amelyek nem változtatták meg a determináns értékét, az átalakítások után kapott H mátrix determinánsa megegyezik az eredeti A mátrix determinánsával. Ezért az A mátrix determinánsának értéke
    det A=det H=−19.
Megjegyzések:

Ha nem akarunk törtekkel számolni, a mátrix bármelyik során vagy oszlopát megszorozhetjuk egy megfelelő λ egész számmal, de ekkor figyelembe kell vennünk, hogy az átalakítás után kapott mátrix determinánsa az eredeti mátrix determinánsának λ-szorosa lesz.

Például ha a (3) lépésben megszorozzuk a mátrix negyedik oszlopát 5-tel, akkor a mátrix második oszlopának 7-szeresét kell hozzáadnunk a mátrix negyedik oszlopához, hogy a második sor utolsó eleme zérus legyen.

Ha ez megkönnyíti a számolást, bármelyik lépésben megcserélhetjük a mátrix két sorát, ill. oszlopát. Ekkor azonban figyelembe kell vennünk, hogy az átalakítás után a determináns előjelet vált.
Ha egy lépésben valamelyik sor vagy oszlop csupa zérus elemet tartalmaz, akkor az eljárás befejeződik, mert a determináns értéke zérus lesz.

III. A determináns értékének meghatározásához elegendő az is, ha a mátrixot háromszögmátrixszá alakítjuk. Ehhez most csak a mátrix oszlopain fogunk végrehajtani olyan átalakító műveleteket (ún. transzformációkat), amelyek a determináns értékét nem változtatják meg. (Vagyis az egyes lépések során egy adott oszlophoz mindig hozzáadjuk a többi oszlop egy meghatározott lineáris kombinációját).
Az átalakítások tömör formában történő megadásához a továbbiakban
    – u_j-vel fogjuk jelölni az átalakítandó mátrix j-dik oszlopát;
    – u_j'-vel fogjuk jelölni az átalakított mátrix j-dik oszlopát.
Az előző algoritmus első lépését megismételjük. A kiinduló mátrix:
A =

1 0 -1 3
2 5 3 -1
-1 2 2 -2
-3 1 2 1

(1')
u₁+u₃ → u₃'
−3*u₁+u₄ → u₄'
Eredményül a következő mátrixot kapjuk:
B^' =

1 0 0 0
2 5 5 -7
-1 2 1 1
-3 1 -1 10

(2')
u₃−u₂ → u₃'
u₄+u₂*7/5 → u₄'
C^' =

1 0 0 0
2 5 0 0
-1 2 -1 19/5
-3 1 -2 57/5

(3')
u₄+u₃*19/5 → u₄'
D^' =

1 0 0 0
2 5 0 0
-1 2 -1 0
-3 1 -2 19/5

Mivel a mátrixot alsó háromszögmátrixszá alakítottuk, a determinánsa közvetlenül meghatározható a fődiagonálisban szereplő elemek szorzataként:
    det A=det D'=1*5*(−1)*19/5=−19

3.1. Mátrixok rangja

Különböztessük meg a kvadratikus mátrixokat aszerint, hogy determinánsuk értéke zérus vagy attól különböző:

Egy A n-ed rendű kvadratikus mátrixot regulárisnak nevezünk, ha determinánsa nem zérus, azaz det A≠0 teljesül.
Egy A n-ed rendű kvadratikus mátrixot szingulárisnak (vagy irregulárisnak) nevezünk, ha determinánsa zérus, azaz det A=0 teljesül.

Legyen A tetszőleges p*q típusú mátrix. Képezzük az A mátrixból az összes lehetséges k-adrendű kvadratikus minor mátrixot^⇒ (1≤k≤min(p,q)).

Ha az A-ból képezhető kvadratikus minor mátrixok között van reguláris, akkor jelöljük a legnagyobb rendű ilyen mátrix rendjét k_max módon (mivel k≤min(p,q) teljesül, ha léteznek ilyen mátrixok, akkor biztosan van köztük legnagyobb rendű).
Ebben az esetben az A mátrix rangja alatt a belőle képezhető legnagyobb rendű reguláris kvadratikus minor mátrix rendjét értjük, azaz
r(A) ⇋ k_max .
Ha minden A-ból képezhető kvadratikus minor mátrix szinguláris, akkor az A mátrix rangja zérus, azaz r(A) ⇋ 0.

A zérusmátrix rangja 0, azaz r(0)=0 teljesül.

Például
– a 2.3. pont I. részében szereplő A 3*3-as kvadratikus mátrix rangja r(A)=3, mert det A=640 (vagyis a determinánsa nem zérus, tehát a mátrix önmagának a legmagasabb rendű reguláris kvadratikus minor mátrixának tekinthető).
– a 2.3. pont II. részében szereplő A 4*4-es kvadratikus mátrix rangja pedig r(A)=4, mert det A=−19 (az előző példához teljesen hasonló módon indokolva).
Jegyezzük meg, hogy ha egy kvadratikus mátrix reguláris, akkor rangja megegyezik a rendjével.
A mátrix rangjára érvényesek az alábbiak:

A mátrix és transzponáltjának a rangja megegyezik.
A mátrix sorainak felcserélésével a mátrix rangja nem változik. (A mátrix i-dik és j-dik sorának felcserélését jelöljük S_ij-vel.)

Jegyezzük meg, hogy a transzformált mátrix determinánsa az eredeti mátrix determinánsának (−1)-szerese lesz (azaz előjelet vált).

A mátrix egy sorát egy λ≠0 skalárral szorozva a mátrix rangja nem változik. (A mátrix i-dik sorának szorzását egy λ≠0 skalárral jelöljük S_i(λ)-val.)

Jegyezzük meg, hogy a transzformált mátrix determinánsa az eredeti mátrix determinánsának λ-szorosa lesz.

Ha a mátrix egy sorához hozzáadjuk egy másik sora λ-szorosát, a mátrix rangja nem változik. (Azt az átalakítást, amikor a mátrix j-dik sorát egy λ skalárral megszorozva hozzáadjuk a mátrix egy tőle különböző, i-dik sorához (ahol i≠j), S_ij(λ)-val jelöljük.)
Ha a mátrixnak van egy csupa zérusból álló sora, akkor ezt elhagyva a mátrix rangja nem változik.

Jegyezzük meg, hogy a fenti tulajdonságok ugyanúgy teljesülnek, ha bennük sorok helyett oszlopokat írunk. (Ekkor az oszlopokra vonatkozó átalakításokat a S_ij, S_i(λ) és S_ij(λ) jelölések helyett K_ij, K_i(λ) és K_ij(λ) módon jelöljük, ahol értelemszerűen 'i' és 'j' a mátrix két oszlopának az indexét jelöli.)
A fenti tulajdonságokban olyan átalakítások szerepeltek, amelyek nem változtatták meg a mátrix rangját. Ezeket az átalakításokat ekvivalens transzformációknak nevezzük.
Azokat az ekvivalens transzformációkat, amelyek nem változtatják meg sem a mátrix rangját, sem a mátrix rendjét (ill. nem kvadratikus mátrix esetén a mátrix típusát), elemi transzformációknak nevezzük.

A fenti átalakítások közül egy csupa zérus sor vagy oszlop elhagyása nem elemi transzformáció. A mátrixok transzponálása, mivel az nem kvadratikus mátrixok esetén megváltoztatja a mátrix típusát, szintén nem elemi transzformáció.
A későbbiekben alapvető fontosságú elemi transzformációk két típusát különböztetjük meg:

A S_ij, S_i(λ), és S_ij(λ) módon jelölt átalakításokat elemi sortranszformációknak nevezzük.
A K_ij, K_i(λ), és K_ij(λ) módon jelölt átalakításokat elemi oszloptranszformációknak nevezzük.

Egy mátrix normálalakban van, ha a mátrix bal felső minora egy r-ed rendű E_r egységmátrix, és a mátrix ezen kívül csak csupa zérusból álló sort, ill. oszlopot tartalmaz.
Például az alábbi 5*4 típusú A mátrix normálalakban van (r=3):

A =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0

A normálalakban levő A mátrix rangja megegyezik az r-ed rendű E_r minor egységmátrix rangjával, vagyis r(A)=r(E_r)=r teljesül.
Minden mátrix normálalakra hozható elemi transzformációk (elemi sortranszformációk és elemi oszloptranszformációk) segítségével.

Elemi sor- és oszloptranszformációkkal elérhető, hogy egy kvadratikus mátrix oszlopvektorai csak 0 és 1 értéket tartalmazzanak úgy, hogy

egy oszlopvektor legfeljebb egy 1 értéket tartalmazhat;
az 1 értékek az oszlopvektorok különböző soraiban szerepelnek.

A mátrix normálalakjában szereplő 1 értékek száma megadja a mátrix rangját.

Legyen A=[a_ij] egy p*q típusú mátrix. Az A mátrixot elemi transzformációk alkalmazásával "kvázi-háromszögmátrix" formára hozhatjuk az alábbi algoritmus segítségével (ún. Gauss-eliminációs algoritmus, vö. Farkas-Farkasné 2001: 118-120, ill. ld. a megfelelő Wikipédia szócikket^⇒):

i→1, j→1
ha a_ij zérus (a_ij=0), akkor keressük meg az i+1-dik sortól kezdődően azt a k-dik sort (k→i+1, k→i+2, ..., k→p), amelyikben a_kj≠0 teljesül;

ha nincs ilyen, keressünk egy olyan a_kl elemet (k→i+1, k→i+2, ..., k→p; l→j+1, l→j+2, ..., l→q), amelyre a_kl≠0 teljesül;

ha nincs ilyen, az eljárás befejeződött (minden további elem zérus);
ha van ilyen, cseréljük meg a j-dik és az l-dik oszlopokat (ez megfelel a K_jl transzformációnak)

cseréljük meg az i-dik és a k-dik sorokat (ez megfelel az S_ik transzformációnak)

az i+1-dik sortól kezdődően egészen a p-dik sorig haladva (k→i+1, k→i+2, ..., k→p), vonjuk le a k-dik sorból az i-dik sor
    a_kj/a_ij-szorosát (ez megfelel az S_ki(a_kj /a_ij) transzformációnak)
ennek eredményeképpen az i+1-dik sortól kezdődően a j-dik oszlopban levő elemek értéke zérus lesz;
i→i+1, j→j+1;
folytassuk az algoritmust a 2. lépéstől addig, amíg i<p és j≤q fennáll.

Példaként tekintsük az alábbi A mátrixot:

A =

A =

Az átalakított mátrix tovább alakítható:

A kapott mátrix "főátlója" alatt csupa zérus szerepel, így ha a második sortól lefelé haladva a nem zérus diagonális elemet tartalmazó sorok megfelelő számszorosát kivonjuk a felettük levő sorokból, akkor a "főátló" feletti elemek is zérussá tehetők.
Ezután minden sor beosztható a "főátlóban" levő nem zérus elemmel (ez megfelel a_ii≠0 teljesülése esetén az S_i(1/a_ii) transzformációnak, i=1,2,...,min(p,q) ), így a "főátlóban" csak 0-k és 1-k fognak állni.
Végezetül jegyezzük meg, hogy ha a mátrix nem kvadratikus, és

a sorok száma nagyobb, mint az oszlopok száma, akkor elemi sortranszformációkkal a mátrix könnyen normálalakra hozható;
az oszlopok száma nagyobb, mint a sorok száma, akkor a mátrix jobb oldalán "megmaradó" oszlopok már csak elemi oszloptranszformációk segítségével alakíthatók zérussá (ami a mátrix normálalakra hozásának feltétele).

Az E egységmátrixból az elemi transzformációk segítségével kapott mátrixokat elemi mátrixoknak nevezzük.

Az E egységmátrixon végrehajtott elemi sortranszformációk eredményeként kapott mátrixokat S_ij, S_i(λ), és S_ij(λ) módon jelöljük.
Az E egységmátrixon végrehajtott elemi oszloptranszformációk eredményeként kapott mátrixokat K_ij, K_i(λ), és K_ij(λ) módon jelöljük.

Legyen A egy p*q típusú mátrix. Ekkor

minden elemi sortranszformáció megfelel az E_p egységmátrixból az elemi sortranszformáció segítségével képzett elemi mátrixszal való baloldali szorzásnak.
minden elemi oszloptranszformáció megfelel az E_q egységmátrixból az elemi oszloptranszformáció segítségével képzett elemi mátrixszal való jobboldali szorzásnak.

Minden A mátrixhoz találhatók olyan P és Q mátrixok, amelyekre igaz, hogy
– a P mátrix elemi sortranszformációknak megfelelő elemi mátrixok szorzata (azaz P=S*S'*S''*... teljesül),
– a Q mátrix elemi oszloptranszformációknak megfelelő elemi mátrixok szorzata (azaz Q=K*K'*K''*... teljesül), és
– a P*A*Q mátrix normálalakban van.

Speciálisan, ha A_n n-edrendű reguláris kvadratikus mátrix, akkor léteznek olyan P_n, ill. Q_n reguláris mátrixok, amelyek
    – elemi sortranszformációknak (P_n), ill.
    – elemi oszloptranszformációknak (Q_n)
megfelelő elemi mátrixok szorzataként állíthatók elő, és
    P_n*A_n*Q_n=E_n
teljesül. (A későbbiekben erre a tételre majd visszatérünk.)

3.2. Inverz mátrix

Legyen A egy n-ed rendű kvadratikus mátrix. Ha létezik olyan B n-ed rendű kvadratikus mátrix, amelyre
    A*B=B*A=E
teljesül, akkor

az A mátrixot invertálhatónak nevezzük;
a B mátrixot az A mátrix inverz mátrixának nevezzük és
B=A⁻¹
módon jelöljük.

Egy A=[a_ij] n-ed rendű reguláris^⇒ kvadratikus mátrix mindig invertálható, és inverze az a B=A⁻¹, B=[b_ij] n-ed rendű reguláris kvadratikus mátrix, amelynek általános elemére
b_ij=D_ji /det A
teljesül, ahol D_ji az A kvadratikus mátrix j-dik sorához és i-dik oszlopához tartozó algebrai aldetermináns.^⇒

Határozzuk meg az alábbi 3-ad rendű A kvadratikus mátrix B=A⁻¹ inverz mátrixát! (vö. Obádovics 2001: 117).
A =

1 3 4
1 4 3
1 3 3

Ehhez a B=[b_ij] inverz mátrix minden egyes b_ij eleméhez meg kell határoznunk

a D_ji számot: az A mátrix j-dik sorának és i-dik oszlopának elhagyásával kapott A_ji minor mátrix determinánsát szorozni kell a (−1)^(i+j) értékkel;
a det A számot: az A mátrix determinánsát.

Az A mátrix determinánsa könnyen meghatározható az első sor szerinti kifejtéssel
    det A=1*(4*3−3*3)−3(1*3−3*1)+4*(1*3−4*1)=3−0−4=−1
A D_ji algebrai aldetermináns meghatározásához szükségünk van az A_ji minorra. Ez például a b₁₁ elem esetén a következő:
A₁₁ =

4 3
3 3

Ebből D₁₁=(−1)⁽¹⁺¹⁾*(4*3−3*3)=3, vagyis
    b₁₁=D₁₁ /det A=3/(−1)=−3
adódik.
Hasonlóan járunk el például a b₂₁ elem esetén. Az A₁₂ minor mátrix a következő:
A₁₂ =

1 3
1 3

Ebből D₂₁=(−1)⁽²⁺¹⁾*(1*3−3*1)=0, vagyis
    b₂₁=D₂₁ /det A=0/(−1)=0
adódik.
A fenti módon egyenként kiszámolva a B=A⁻¹ inverz mátrix minden elemét, a következő mátrixot kapjuk:
B=A⁻¹ =

-3 -3 7
0 1 -1
1 0 -1

Az A és B mátrixokat összeszorozva^⇒ könnyen ellenőrizhető, hogy
    A*B=B*A=E
teljesül, vagyis B valóban a keresett inverz mátrix.

Jegyezzük meg:

Egy A kvadratikus mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha reguláris.
Egy A reguláris kvadratikus mátrixnak mindig egyértelműen meghatározható a B=A⁻¹ inverz mátrixa.

Legyenek A és B azonos rendű reguláris kvadratikus mátrixok. Ekkor az inverz mátrixokra teljesülnek az alábbiak:

Ha az A mátrix diagonális mátrix, akkor az A⁻¹ inverz mátrix szintén diagonális mátrix, amelyben a főátló elemei az A mátrix főátlójában szereplő megfelelő elemek reciprokai.
Ha az A mátrix szimmetrikus mátrix, akkor az A⁻¹ inverz mátrix szintén szimmetrikus mátrix.
Az A és B mátrixok szorzata szintén invertálható, és
    (A*B)⁻¹=B⁻¹*A⁻¹
teljesül.

Korábban már megismertük,^⇒ most azonban ismételjük át az alábbi tételt:
Speciálisan, ha A_n n-edrendű reguláris kvadratikus mátrix, akkor léteznek olyan P_n, ill. Q_n reguláris mátrixok, amelyek
    – elemi sortranszformációknak (P_n), ill.
    – elemi oszloptranszformációknak (Q_n)
megfelelő elemi mátrixok^⇒ szorzataként állíthatók elő, és
    P_n*A_n*Q_n=E_n
teljesül.
A tétel két fontos következménye:

Ha az A reguláris kvadratikus mátrixra a fenti jelölésekkel
    P*A*Q=E
teljesül, vagyis elemi sortranszformációk (P) és elemi oszloptranszformációk (Q) segítségével egységmátrixszá alakítható, akkor az A mátrix inverz mátrixára
A⁻¹= (P⁻¹*Q⁻¹)⁻¹= Q*P
teljesül.
Ha az A reguláris kvadratikus mátrixra a fenti jelölésekkel
    P*A=E
teljesül, vagyis pusztán elemi sortranszformációk (P) segítségével egységmátrixszá alakítható, akkor az A mátrix inverz mátrixára
A⁻¹=P
teljesül.
Ha az A reguláris kvadratikus mátrixra a fenti jelölésekkel
    A*Q=E
teljesül, vagyis pusztán elemi oszloptranszformációk (Q) segítségével egységmátrixszá alakítható, akkor az A mátrix inverz mátrixára
A⁻¹=Q
teljesül.

A tételek lehetőséget adnak bármely A reguláris kvadratikus mátrix A⁻¹ inverz mátrixának elemi sortranszformációk és elemi oszloptranszformációk segítségével történő meghatározására (vö. Obádovics 2001: 116-118).
Tegyük fel, hogy az A reguláris kvadratikus mátrixra a fenti jelölésekkel
    P*A=E
teljesül, vagyis az A mátrix pusztán elemi sortranszformációk (P) segítségével egységmátrixszá alakítható. Mivel P*E=P nyilvánvalóan teljesül, ezért ha az A mátrixon végrehajtott minden elemi sortranszformációt az E egységmátrixon is egyenként végrehajtjuk, akkor amikor az A mátrix elemi mátrixszá alakul (azaz a P "sortranszformációs" mátrix az inverz mátrixot adja), az egységmátrixon végrehajtott sortranszformációk éppen az inverz mátrixot fogják eredményezni.
De nagyon vigyázzunk:
A fenti módszer csak akkor alkalmazható, ha az A mátrixot kizárólag sortranszformációk (vagy kizárólag oszloptranszformációk) segítségével alakítjuk egységmátrixszá!

Próbáljuk ki a fenti algoritmust 3*3-as és 4*4-es reguláris kvadratikus mátrixok esetén.

Mátrixaritmetikai műveletek gyakorlása (3*3-as mátrixokon)^⇒
Mátrixaritmetikai műveletek gyakorlása (4*4-es mátrixokon)^⇒

3.3. Vektorok lineáris függetlensége és függősége

Az alábbiakban csak oszlopvektorokkal foglalkozunk, de minden fogalom és összefüggés teljesen hasonlóan érvényes sorvektorok esetén is.

Az oszlopvektorok speciális (p*1 típusú) mátrixok, amelyeket aláhúzott kisbetűkkel jelölünk (például u módon).

Az oszlopvektor sorainak számát (p) a vektor dimenziójának nevezzük.
Az oszlopvektor elemeit a vektor komponenseinek nevezzük.
Az oszlopvektorokra az összes eddig tanult mátrixművelet alkalmazható (és ezeknek a műveleteknek a tulajdonságai oszlopvektorok esetén ugyanúgy fennállnak).

Egy tetszőleges mátrix felírható az oszlopvektorai segítségével.^⇒

Ha adott a 'p' dimenziós oszlopvektorok egy 'q' elemből álló rendszere, akkor ezek segítségével egyértelműen felírható egy olyan p*q típusú mátrix, amelynek az oszlopvektorai éppen az adott vektorok. Legyen
    u₁, u₂, ..., u_q
tetszőleges, 'p'-dimenziójú oszlopvektorok egy adott rendszere. Ekkor azt a p*q típusú A mátrixot, amelynek az oszlopvektorai éppen a fenti u_j vektorok (1≤j≤q)
    A_pq = [u₁, u₂, ..., u_q]
módon jelölhetjük. Ezzel a jelöléssel összhangban az egyes u_j oszlopvektorok általános elemét
    u_j=[u_ij]
módon jelölhetjük (1≤i≤p, 1≤j≤q).

A mátrixok lineáris kombinációját^⇒ fogalmazzuk meg abban a speciális esetben, amikor a lineáris kombinációban szereplő mátrixok oszlopvektorok:
Legyenek
    u₁, u₂, ..., u_q
tetszőleges, 'p'-dimenziójú oszlopvektorok, és
    λ₁, λ₂, ..., λ_q
tetszőleges valós számok (q∈ℕ⁺). A fenti oszlopvektorok és valós számok (skalárok) lineáris kombinációja alatt a
    λ₁*u₁+λ₂*u₂+...+λ_q*u_q
'p'-dimenziójú oszlopvektort értjük. A λ₁, λ₂, ..., λ_q skalárokat a lineáris kombináció együtthatóinak nevezzük.
A 'q' darab u₁, u₂, ..., u_q 'p'-dimenziójú oszlopvektort lineárisan függetlennek nevezzük, ha a belőlük képezhető
    λ₁*u₁+λ₂*u₂+...+λ_q*u_q
lineáris kombináció akkor és csak akkor zérusvektor, ha a lineáris kombináció együtthatóinak mindegyike zérus, azaz
    λ₁=0, λ₂=0, ..., λ_q=0
teljesül. (A fenti jelölések mellett, ha az u_j (1≤j≤q) oszlopvektorok lineárisan függetlenek, akkor ebből
    λ₁*u₁+λ₂*u₂+...+λ_q*u_q=0 ⇒ λ₁=0, λ₂=0, ..., λ_q=0
következik.)
Az oszlopvektorok egy tetszőleges rendszerét lineárisan függetlennek nevezzük, ha a vektorrendszert alkotó oszlopvektorok lineárisan függetlenek.

Ha az u₁, u₂, ..., u_q oszlopvektorok között van egy zérusvektor, akkor az oszlopvektorok nem lineárisan függetlenek. (Tegyük fel, hogy u₁=0 zérusvektor. Ekkor például λ₁=1, λ₂=0, ... λ_q=0 mellett
    1*u₁+0*u₂+...+0*u_q=0
nyilvánvalóan teljesül, vagyis találtunk olyan együtthatókat, amelyek között van zérustól különböző, és amelyekkel az oszlopvektorok lineáris kombinációja zérusvektort eredményez.)

Ha az u₁, u₂, ..., u_q oszlopvektorok lineárisan függetlenek, akkor egyikük sem zérusvektor. (Ez az előző tételből a modus tollens következtetési szabály alapján azonnal következik.)

Ha az u₁, u₂, ..., u_q oszlopvektorok lineárisan függetlenek, akkor az oszlopvektorok u_j (1≤j≤q) rendszerének tetszőleges részrendszere is lineárisan független.

A 'q' darab u₁, u₂, ..., u_q 'p'-dimenziójú oszlopvektor lineárisan összefüggő (röviden lineárisan függő), ha az oszlopvektorok nem lineárisan függetlenek. (A fenti jelölések mellett, ha az u_j (1≤j≤q) oszlopvektorok lineárisan összefüggők, akkor léteznek olyan λ₁, λ₂, ..., λ_q skalárok, amelyek közül legalább az egyik nem 0, és amelyekre λ₁*u₁+λ₂*u₂+...+λ_q*u_q=0 teljesül.)
Az oszlopvektorok egy tetszőleges rendszerét lineárisan összefüggőnek nevezzük, ha a vektorrendszert alkotó oszlopvektorok lineárisan összefüggők.
A 'q' darab u₁, u₂, ..., u_q 'p'-dimenziójú oszlopvektor akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha van közöttük olyan u_k oszlopvektor, amely kifejezhető a többi oszlopvektor lineáris kombinációjaként, azaz
    u_k = Σ_{(j=1; j≤q; j→j+1,j≠k)} ξ_j*u_j
teljesül adott ξ_j∈ℝ (1≤j≤q, j≠k) valós számok esetén.

Ha az u₁, u₂, ..., u_q oszlopvektorok lineárisan összefüggők, akkor az u_j (1≤j≤q) oszlopvektorok rendszerét tetszőleges oszlopvektorokkal kibővítve az így kapott vektorrendszer is lineárisan összefüggő lesz.

Az oszlopvektorok egy rendszerének lineáris függősége, ill. függetlensége szoros kapcsolatban áll az oszlopvektorokból képezhető mátrix rangjával és determinánsával.
Például érvényesek a következő állítások:

Ha az A_n n-edrendű kvadratikus mátrixnak van olyan oszlopa, amely előállítható a többi, tőle különböző oszlop lineáris kombinációjaként, akkor a mátrix determinánsa zérus, vagyis a mátrix szinguláris.
Ha az A_n n-edrendű kvadratikus mátrix reguláris, akkor nincs olyan oszlopa, amely előállítható a többi, tőle különböző oszlop lineáris kombinációjaként (vagyis a mátrix oszlopvektorai lineárisan függetlenek).
Elemi sor- és oszloptranszformációkkal bármely kvadratikus mátrix normálalakra^⇒ hozható.

Egy reguláris mátrix normálalakja egységmátrix.
Az elemi sor- és oszloptranszformációk megőrzik az oszlopvektorok rendszerének lineáris függetlenségét ("egy vektorrendszer rangja^⇒ elemi átalakításokkal szemben invariáns", vö. Selényi-Szendrei 1969: 150-151).
Az egységmátrix reguláris, és oszlopvektorai lineárisan függetlenek.

Ezek után fogalmazzuk meg 'n' dimenziós oszlopvektorok egy 'n' elemből álló rendszerére a vektorok lineáris függetlenségének (és függőségének) a feltételét.
Legyen u₁, u₂, ..., u_n 'n'-dimenziós oszlopvektorok egy 'n' elemből álló rendszere és

A_n =

u₁ u₂ ... u_n

az u₁, u₂, ..., u_n oszlopvektorokból képezhető n-ed rendű kvadratikus mátrix. Ekkor

az u₁, u₂, ..., u_n oszlopvektorok akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük képezhető A mátrix rangja 'n', vagyis az A mátrix reguláris (azaz det A≠0 teljesül). (vö. Selényi-Szendrei 1969: 148-149; Farkas-Farkasné 2001: 113)
az u₁, u₂, ..., u_n oszlopvektorok akkor és csak akkor lineárisan összefüggők, ha a belőlük képezhető A mátrix rangja kisebb, mint 'n', vagyis az A mátrix szinguláris (azaz det A=0 teljesül). (vö. Obádovics 2001: 142)

A fentieket általánosíthatjuk az oszlopvektorok egy olyan rendszerére, amely 'q' darab 'p' dimenziós vektorból áll.

Legyenek
    u₁, u₂, ..., u_q
'p'-dimenziós oszlopvektorok, és képezzük belőlük az
    A=[u₁, u₂, ..., u_q]
p*q típusú mátrixot. Ekkor teljesülnek az alábbiak:
(1) Az u_j (1≤j≤q) oszlopvektorok akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük képezhető A mátrix rangja megegyezik az oszlopvektorok számával (q), vagyis r(A)=q teljesül (vö. Obádovics 2001: 138-139; Farkas-Farkasné 2001: 111).
Az u_j (1≤j≤q) oszlopvektorok akkor és csak akkor lineárisan összefüggők, ha a belőlük képezhető A mátrix rangja kisebb, mint az oszlopvektorok száma (q), vagyis r(A)<q teljesül (vö. Obádovics 2001: 175).
(2) A 'p' dimenziós u_j (1≤j≤q) vektorokból álló vektorrendszerben legfeljebb 'p' darab lineárisan független vektor lehet.
A fenti jelölésekkel r(A)≤min(p,q) ⇒ r(A)≤p mindig teljesül. Ezért ha az u_j (1≤j≤q) 'p'-dimenziós oszlopvektorok lineárisan függetlenek, akkor ebből r(A)=q ⇒ q≤p következik (vagyis a lineárisan független vektorok száma nem lehet nagyobb, mint a vektorok dimenziója).

Definiáljuk ezek után a p-dimenziós oszlopvektorok egy 'q' elemből álló rendszerének a rangját.
Az u₁, u₂, ..., u_q p-dimenziós oszlopvektorokból álló vektorrendszer rangja alatt a vektorrendszerből kiválasztható lineárisan független vektorok maximális számát értjük.
Egy mátrix rangja megegyezik a mátrix oszlopvektoraiból álló vektorrendszer rangjával (Obádovics 2001: 138-139).

Egy mátrix rangja megegyezik az oszlopvektorai közül kiválasztható lineárisan független vektorok maximális számával, vagyis az oszlopvektorok között pontosan r(A) darab független vektor található (vö. Selényi-Szendrei 1969: 155-156).
Az u₁, u₂, ..., u_q 'p'-dimenziós oszlopvektorokból álló vektorrendszer rangja megegyezik az oszlopvektorokból képezhető p*q típusú
    A=[u₁, u₂, ..., u_q]
mátrix rangjával.

Végezetül foglaljuk össze a fontosabb összefüggéseket abban az esetben, ha A_n egy n-edrendű kvadratikus mátrix.
(1) Ha A reguláris, az alábbi feltételek ekvivalensek (vö. Freud 2014: 48-49):
– A reguláris.
– det A≠0.
– A invertálható, azaz létezik az A⁻¹ inverz mátrix.
– r(A)=n.
– A oszlopvektorai lineárisan függetlenek.
– A sorvektorai lineárisan függetlenek.

(2) Ha A szinguláris, alábbi feltételek ekvivalensek:
– A szinguláris.
– det A=0.
– az A mátrix nem invertálható.
– r(A)<n.
– A oszlopvektorai lineárisan összefüggők.
– A sorvektorai lineárisan összefüggők.

4. Lineáris egyenletrendszerek

Egy lineáris egyenletrendszer általános alakja a következő:
a₁₁*x₁+a₁₂*x₂+...+a_1q*x_q=b₁

a₂₁*x₁+a₂₂*x₂+...+a_2q*x_q=b₂

.....

a_p1*x₁+a_p2*x₂+...+a_pq*x_q=b_p
A fenti lineáris egyenletrendszer 'p' darab egyenletből áll, és 'q' darab ismeretlent tartalmaz.
Az egyenletekben szereplő

a_ij (1≤i≤p, p∈ℕ⁺, 1≤j≤q, q∈ℕ⁺) valós számokat a lineáris egyenletrendszer együtthatóinak nevezzük;
b_i (1≤i≤p) valós számokat a lineáris egyenletrendszer konstans tagjainak nevezzük;
x_j (1≤j≤q) változókat a lineáris egyenletrendszer ismeretleneinek nevezzük;

a 'q' darab valós számból álló (γ₁,γ₂,...,γ_q) rendezett számsorozatot ("szám n-est") a lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük, ha a γ_j (1≤j≤q) számokat a megfelelő x_j (1≤j≤q) változókba helyettesítve a lineáris egyenletrendszer minden egyenlete teljesül (azaz az egyenletek bal oldalán szereplő kifejezések egyenlőek lesznek az egyenletek jobb oldalán szereplő konstansokkal).

Egy lineáris egyenletrendszer esetén képezzünk

az együtthatókból egy
    A=[a_ij]
p*q típusú mátrixot (ún. együtthatómátrix),
a konstans tagokból egy
    b=[b_i]
p-dimenziós oszlopvektort (ún. konstans vektor),
a változókból (ismeretlenekből) pedig egy
    x=[x_j]
q-dimenziós oszlopvektort (ún. ismeretlen vektor).

Ezekkel a jelölésekkel egy lineáris egyenletrendszert mátrixalakban
A*x=b
módon jelölhetünk.
Ha az A_pq együtthatómátrixot az u_j (1≤j≤q) p-dimenziós oszlopvektorok segítségével adjuk meg, azaz
    A=[u₁, u₂, ..., u_q]
teljesül, akkor az A*x=b alakú lineáris egyenletrendszer
Σ_{(j=1; j≤q; j→j+1)}u_j*x_j = u₁*x₁+u₂*x₂+...+u_q*x_q=b
alakban is megadható, ahol az
    x₁, x₂, ..., x_q
skalárok a lineáris egyenletrendszer ismeretlenei, és
    b=[b_i]
a lineáris egyenletrendszer p-dimenziós konstans oszlopvektora.
Vegyük észre, hogy ebben az alakban az u_j oszlopvektoroknak az x_j ismeretlenekkel képzett lineáris kombinációja megegyezik a konstans tagokból képzett b konstans vektorral. Tehát a lineáris egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy adott γ_j (1≤j≤q) valós számokkal (skalárokkal) elő kell állítani a b konstans vektort mint az u_j (1≤j≤q) oszlopvektorok lineáris kombinációját.
Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha a konstans vektor kifejezhető az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként.
A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixának a
    C=[A, b]=[u₁, u₂, ..., u_q, b]
p*(q+1) típusú mátrixot nevezzük. A mátrixok rangjának definíciója miatt r(A)≤q, r(C)≤q+1, és r(A)≤r(C)≤p teljesül.
A kibővített mátrix segítségével megfogalmazhatjuk a lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának a feltételét, ha 'q' ismeretlenünk van és 'p' egyenletünk:

A lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha r(A)=r(C) teljesül.

A fenti állítás ekvivalens azzal, hogy a b konstansvektor lineárisan függ az A együtthatómátrix oszlopvektorainak {u₁, u₂, ..., u_q} rendszerétől.
Gyakorlati szempontból r(A)=r(C) azt jelenti, hogy ha az A együtthatómátrixot elemi sortranszformációkkal (és szükség esetén oszlopcserékkel) normálalakra hozzuk, és ezzel párhuzamosan a C kibővített mátrixon is végrehajtjuk ugyanezeket az elemi transzformációkat, akkor azokban a sorokban, ahol az A mátrixban nullvektorok szerepelnek, a C mátrix jobb szélső oszlopában is zérus érték szerepel.

A lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van egyértelmű (azaz pontosan egy) megoldása, ha
r(A)=r(C)=q
teljesül, vagyis az A együtthatómátrix és a C kibővített mátrix lineárisan független oszlopvektorainak a száma megegyezik az ismeretlenek számával.

Megjegyzések:
(0) Ha A kvadratikus mátrix (p=q), akkor r(A)=q ekvivalens azzal, hogy A invertálható. Ekkor a megoldást x=A⁻¹*b módon kaphatjuk meg.
(1) Mivel az A együtthatómátrix rangja^⇒ megegyezik az A mátrix oszlopvektorainak rendszerében levő lineárisan független vektorok maximális számával,^⇒ a lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának feltétele, hogy a konstans vektort (b) hozzávéve az A együtthatómátrix oszlopvektorainak rendszeréhez, a vektorrendszerben levő független vektorok száma (a vektorrendszer rangja) ne változzon, azaz a konstansvektor kifejezhető legyen az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként. A lineáris egyenletrendszer megoldása ezeknek a lineáris kombináció(k)nak a megkeresését jelenti.
(2) Mivel r(A)≤q és r(A)≤p tetszőleges p*q típusú A mátrixra teljesül, ezért r(A)=q miatt egy lineáris egyenletrendszernek csak akkor lehet pontosan egy megoldása, ha q≤p teljesül, azaz legalább annyi egyenletünk (p) van, mint ahány ismeretlenünk (q) (egyértelmű megoldás esetén több egyenletünk lehet, kevesebb nem).
(3) A C kibővített mátrix rangja^⇒ megegyezik a C mátrix oszlopvektorainak rendszerében levő lineárisan független vektorok maximális számával,^⇒ és korábban láttuk, hogy a definíciók és tételek ugyanúgy teljesülnek akkor is, ha bennük oszlopvektorok helyett mindenhol sorvektorok szerepelnek. Emiatt a lineáris egyenletrendszer egyértelmű megoldhatóságának feltétele, hogy a lineárisan független sorvektorok, vagy másként a független egyenletek száma megegyezzen az ismeretlenek számával (q). Ennek megfelelően azok az egyenletek, amelyek a többi egyenletből levezethetők (azok lineáris kombinációjaként előállíthatók), egyszerűen elhagyhatók.
(4) Ha A kvadratikus (p=q) és r(A)=q, akkor mind az oszlopvektorok, mind a sorvektorok lineárisan független rendszert alkotnak. Mivel minden egyenlet független és az ismeretlenek 'q' száma megegyezik az egyenletek 'p' számával, tehát pontosan annyi független egyenletünk van, ahány ismeretlenünk.
A lineáris egyenletrendszer általános megoldása például az ún. Gauss-eliminációs algoritmus segítségével lehetséges:

az A együtthatómátrixot "kvázi-háromszögmátrix" alakra hozzuk;^⇒
az A mátrixon végrehajtott minden S_ik, S_i(λ) és S_ik(λ) sortranszformációt végrehajtunk a b konstans vektoron is;
az A mátrixon végrehajtott minden K_jl oszlopcsere esetén felcseréljük az x ismeretlen vektor j-dik és l-dik elemét.

Az algoritmus végrehajtása után elhagyjuk az A' transzformált mátrixnak azokat a sorait, amelyek csupa zérusból állnak, majd az egyenleteket "alulról felfelé" megoldjuk úgy, hogy a kapott megoldásokat mindig behelyettesítjük a felsőbb egyenletekbe.
Jegyezzük meg, hogy ha az A együtthatómátrixot "kvázi-egységmátrix" alakra hozzuk (ami a "kvázi-háromszögmátrix" alakból könnyen megtehető), a behelyettesítések jelentősen leegyszerűsödnek, ugyanis a C kibővített mátrix jobb szélső oszlopa az ismeretlenek "alapértékét" tartalmazza (amely pontosan egy megoldás esetén az ismeretlenek értékét, végtelen sok megoldás esetén pedig a kifejezett ismeretlenek értékét adja a határozatlan ismeretlenek zérus értéke mellett).
Az algoritmus egyes lépéseit érdemes a C kibővített mátrixon végezni, amely tartalmazza mind az A együtthatómátrixot, mind a b konstans vektort. Jegyezzük meg, hogy az A mátrixon végrehajtott esetleges oszlopcserék miatt érdemes az x ismeretlen vektort is feltüntetni. A különböző típusú lineáris egyenletrendszerek megoldásának fenti technikáját egy egyszerű webes felületen tetszőleges értékek mellett gyakorolhatjuk.^⇒

Például tekintsük az A*x=b mátrixalakban felírt lineáris egyenletrendszert, ahol az együtthatómátrix

A =

1 1 3
2 5 9
3 2 -4
2 2 6

a konstans mátrix pedig

b =

5
13
2
10

Az átalakításokhoz készítsük el a C kibővített mátrixot, és írjuk mellé az x ismeretlen vektort:
C =

1 1 3 5
2 5 9 13
3 2 -4 2
2 2 6 10

x =

x
y
z

1. lépés: S₂₁(-2), S₃₁(-3), S₄₁(-2) sortranszformációk végrehajtása
C =

1 1 3 5
0 3 3 3
0 -1 -13 -13
0 0 0 0

x =

x
y
z

2. lépés: S₂(1/3) sortranszformáció végrehajtása
C =

1 1 3 5
0 1 1 1
0 -1 -13 -13
0 0 0 0

x =

x
y
z

3. lépés: S₃₂(1) sortranszformáció végrehajtása
C =

1 1 3 5
0 1 1 1
0 0 -12 -12
0 0 0 0

x =

x
y
z

4. lépés: S₃(-1/12) sortranszformáció végrehajtása
C =

1 1 3 5
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0

x =

x
y
z

5. lépés:
– elhagyjuk a 4. sort, mert csupa zérust tartalmaz;
– a 3. egyenletből z=1 következik;
– a 2. egyenletből y+z=1 következik, tehát z=1 miatt y=0 teljesül;
– az 1. egyenletből x+y+3*z=5 következik, tehát y=0 és z=1 miatt x=2 teljesül.
Ha 6. lépésként a harmadik sort kivonjuk a második sorból, y=0 azonnal adódik; ha ezután 7. lépésként a második sort kivonjuk az első sorból és a harmadik sor 3-szorosát kivonjuk az első sorból, x=2 adódik. Jegyezzük meg, hogy miután a 6. és 7. lépéssel a C mátrix C₄₄ minormátrixát egységmátrixszá alakítottuk, a C kibővített mátrix "hozzáadott" oszlopában éppen a lineáris egyenletrendszer megoldásait kaptuk.
Korábban már szó volt arról hogy egy tetszőleges mátrixot sor- és oszloptranszformációk segítségével mindig normálalakra tudunk hozni.^⇒ A fenti példában figyeljük meg, hogy ha a 4. lépés után kapott C mátrix C₄₄ minormátrixát egységmátrixszá alakítjuk, akkor a C mátrixot innentől már csak oszloptranszformációkkal tudnánk normálalakra hozni, mivel a mátrix negyedik sora zérusvektor. Ha viszont a C mátrix reguláris, akkor a normálalakra hozáshoz elegendő a megfelelő sortranszformációk végrehajtása.

Ellenőrizzük a kapott megoldást:

1 1 3
2 5 9
3 2 -4
2 2 6

*

2
0
1

=

5
13
2
10

Vagyis a kapott x=2, y=0 és z=1 értékek valóban megoldásai a kiinduló lineáris egyenletrendszernek.

Ha egy lineáris egyenletrendszer konstans vektora zérusvektor, akkor a lineáris egyenletrendszert homogén lineáris egyenletrendszernek nevezzük. (Ennek megfelelően, ha egy lineáris egyenletrendszer konstans vektora nem zérusvektor (azaz b≠0), inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.)

Egy homogén lineáris egyenletrendszernek a zérus ismeretlen vektor mindig megoldása (x₁=0, x₂=0, ..., x_q=0). Ezt a homogén lineáris egyenletrendszer triviális megoldásának nevezzük.
Egy homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van a triviális megoldástól (x=0) különböző megoldása, ha együtthatómátrixának rangja kisebb az ismeretlenek számánál, azaz r(A)<q teljesül.

Ha egy homogén lineáris egyenletrendszernek van a triviális megoldástól különböző megoldása, akkor végtelen sok megoldása van.

Például tekintsük az A*x=b mátrixalakban felírt lineáris egyenletrendszert, ahol az együtthatómátrix

A =

1 1 3
2 5 9

a konstans mátrix pedig

b =

0
0

Az átalakításokhoz készítsük el a C kibővített mátrixot, és írjuk mellé az x ismeretlen vektort:
C =

1 1 3 0
2 5 9 0

x =

x
y
z

1. lépés: S₂₁(-2) sortranszformáció végrehajtása
C =

1 1 3 0
0 3 3 0

x =

x
y
z

2. lépés: S₂(1/3) sortranszformáció végrehajtása
C =

1 1 3 0
0 1 1 0

x =

x
y
z

3. lépés:
– a 2. egyenletből y+z=0 ⇒ y=0−z következik, vagyis ha 'z' tetszőleges valós szám, akkor y=−z teljesül;

– az 1. egyenletből x+y+3*z=0 ⇒ x+y=0−3*z következik; ebbe behelyettesítve az előző egyenletből kapott y=−z összefüggést, x=−2*z adódik.
Ha a 2. lépés után kapott C mátrixot kibővítjük egy [0, 0, 1, z] sorral (ami megfelel egy z=z "triviális" egyenlet hozzáadásának az egyenletrendszerhez), akkor az így kapott 3*4-es mátrix C₀₄ minormátrixát már egységmátrixszá alakíthatjuk:
– ha 4. lépésként a harmadik sort kivonjuk a második sorból, y=−z azonnal adódik;
– ha ezután 5. lépésként a második sort kivonjuk az első sorból és a harmadik sor 3-szorosát kivonjuk az első sorból, x=−2*z adódik.
Ellenőrizzük a kapott megoldást:

1 1 3
2 5 9

*

−2*z
−z
z

=

0
0

Vagyis a kapott [x=−2*z, y=−z, z=z] értékek megoldásai a kiinduló lineáris egyenletrendszernek (ahol 'z' tetszőleges valós szám, vagyis a lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van).

Végezetül vizsgáljuk meg a lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságát abban a speciális esetben, ha a lineáris egyenletrendszer A együtthatómátrixa n-ed rendű kvadratikus mátrix (vagyis az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik).
(1) Ha egy lineáris egyenletrendszer A együtthatómátrixa kvadratikus mátrix, akkor a lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van egyértelmű (pontosan egy) megoldása, ha az A mátrix reguláris.
Ha a lineáris egyenletrendszer A együtthatómátrixa reguláris, akkor a lineáris egyenletrendszer megoldása
    x=A⁻¹b
módon kapható meg.

Ha felhasználjuk az inverz mátrix kiszámítására vonatkozó korábban megismert képletet,^⇒ valamint a determináns sorai, ill. (esetünkben) oszlopai szerinti kifejtésének szabályát,^⇒ akkor a lineáris egyenletrendszer megoldására vonatkozó x=A⁻¹b képlet
    x_i=det B_i /det A (1≤i≤n)
módon is felírható, ahol a

mátrix az A együtthatómátrixból kapható úgy, hogy a mátrix i-dik oszlopát a b konstans vektorral helyettesítjük (vö. Obádovics 2001: 158-159). Ezt a képletet a lineáris egyenletrendszerek megoldására vonatkozó Cramer-szabálynak nevezzük.
Ha a b konstans vektor zérusvektor, vagyis b=0 teljesül (azaz a lineáris egyenletrendszer homogén), és az A együtthatómátrix reguláris, akkor a lineáris egyenletrendszer egyetlen megoldása a triviális megoldás, amikor x=0 teljesül (azaz az ismeretlen vektor zérusvektor).
(2) Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer A együtthatómátrixa kvadratikus mátrix, akkor a homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor van a triviálistól különböző megoldása, ha az A mátrix szinguláris.

Ebben az esetben a "független" egyenletek r(A)=r száma kisebb, mint az ismeretlenek száma (q), vagyis a lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

5.1. Lineáris terek

Az előzőekben megismertük az oszlopvektorok (és sorvektorok) fogalmát és legfontosabb tulajdonságait. Foglaljuk össze ezeket.

vektor komponensei és dimenziója^⇒

nullvektor^⇒

műveletek vektorok mint mátrixok között

vektorok összege^⇒ és különbsége^⇒
vektorok skalárral való szorzata^⇒

vektorok lineáris kombinációja^⇒

példa három vektor lineáris kombinációjára^⇒

vektorok skaláris szorzata^⇒

1. példa két vektor skaláris szorzatára^⇒
2. példa két vektor skaláris szorzatára^⇒

vektorok lineáris függetlensége^⇒

egy vektorrendszer lineáris függetlenségének feltétele^⇒
egy vektorrendszer rangja^⇒

vektorok lineáris függősége^⇒

lineáris egyenletrendszer oszlopvektoros alakja^⇒

Most általánosítsuk az eddig tanultakat. A továbbiakban a vektorokra a következő jelöléseket fogjuk használni:

'n' dimenziós oszlopvektorok x=[x₁, x₂, ..., x_n]^T
'n' dimenziós sorvektorok x^T=[x₁, x₂, ..., x_n]
'n' dimenziós vektorok
"ha a sor- vagy oszlopvektor megkülönböztetésnek nincs jelentősége" (vö. Obádovics 2001: 170) x=(x₁, x₂, ..., x_n)

A valós számtest felett értelmezett 'n' dimenziós vektorokat definiálhatjuk úgy is, mint az x_i∈ℝ (1≤i≤n) valós számokból képzett rendezett elem n-eseket (vagy szám n-eseket). Ebben az értelemben a vektorok a valós számok halmazának önmagával képzett ℝⁿ direkt vagy Descartes-szorzatának az elemei.

Ha a vektorokat szám n-esekként értelmezzük, a vektorok komponenseit koordinátáknak is nevezzük.
Ha n=2, akkor síkbeli vektorokról, ha n=3, akkor térbeli vektorokról beszélhetünk, és ezeket Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázolhatjuk.^⇒

A valós számok ℝ teste felett értelmezett n-komponensű (n-dimenziós) vektorok V halmazát valós lineáris vektortérnek (vagy egyszerűen lineáris térnek, ill. vektortérnek) nevezzük. (A valós lineáris vektortérre használhatjuk az ℝⁿ jelölést is.)

A valós számok ℝ teste felett értelmezett V lineáris vektortéren értelmezünk két műveletet, a vektorok összeadását és a vektorok skalárral való szorzását. Ezekre a műveletekre teljesülnek az alábbi tulajdonságok.
Legyenek u, v, w∈V tetszőleges vektorok és a, b, c∈ℝ tetszőleges valós számok.
I. az összeadás tulajdonságai

kommutativitás: u+v=v+u
asszociativitás: (u+v)+w=u+(v+w)
zéruselem vagy nullelem (0) létezése: létezik egy olyan 0∈V elem, amelyre u+0=u teljesül
additív inverz létezése: létezik olyan (−u)∈V elem, amelyre u+(−u)=0 teljesül

II. a skalárral való szorzás tulajdonságai

asszociativitás: a*(b*u)=(a*b)*u
egységelem (1) létezése: létezik egy olyan 1∈ℝ elem, amelyre 1*u=u teljesül
disztributivitás:
    a*(u+v)=a*u+a*v
    (a+b)*u=a*u+b*u

Megjegyzés: ha 0∈ℝ az ℝ zéruseleme, továbbá −1∈ℝ az egységelem (1) additív inverze, akkor tetszőleges u∈V vektor esetén 0*u=0, valamint (−u)=(−1)*u teljesül.

A valós számok ℝ teste felett értelmezett V lineáris teret n-dimenziósnak nevezzük, ha
– létezik benne 'n' darab lineárisan független vektor, de
– minden olyan V-beli vektorrendszer, amelyben 'n'-nél több vektor van, lineárisan összefüggő.
A valós számok ℝ teste felett értelmezett n-dimenziós V lineáris teret V_n(ℝ) módon jelöljük.
A V_n(ℝ) lineáris tér bázisának nevezünk bármely 'n' elemű V_n(ℝ)-beli lineárisan független vektorokból álló vektorrendszert. (Mivel egy 'n' elemű lineárisan független vektorrendszer rangja 'n', ezért bármely V_n(ℝ)-beli bázis rangja 'n'.)

Ha egy V_n(ℝ)-beli vektorrendszer bázis, akkor a vektorrendszert alkotó vektorokat bázisvektoroknak nevezzük.

Az 'n' dimenziós
    e₁=[1, 0, ..., 0]^T
    e₂=[0, 1, ..., 0]^T
    ...
    e_n=[0, 0, ..., 1]^T
egységvektorok a V_n(ℝ) lineáris tér egy bázisát alkotják (ez az ún. természetes bázis.)
Jegyezzük meg, hogy az egységvektorokból mint oszlopvektorokból alkotott
    E=[e₁, e₂, ..., e_n]
mátrix az n*n típusú (n-ed rendű) E_n egységmátrix.

A V_n(ℝ) lineáris tér egy H⊆V_n(ℝ) részhalmazát a V_n(ℝ) lineáris tér alterének nevezzük, ha a H halmaz a V_n(ℝ) lineáris téren értelmezett műveletekre nézve maga is vektorteret alkot.

Egy H⊆V_n(ℝ) halmaz akkor és csak akkor altér, ha zárt a vektorok összeadásának, és a vektorok skalárral való szorzásának műveletére nézve, azaz bármilyen x, y∈H vektorok és λ∈ℝ valós szám esetén teljesül, hogy

x+y∈H és
λ*x∈H.

Ha H⊆V_n(ℝ) a V_n(ℝ) lineáris tér egy altere, akkor 0∈H nyilvánvalóan teljesül.
Legyenek u₁, u₂, ..., u_q tetszőleges V_n(ℝ)-beli vektorok, és legyen
<u₁, u₂, ..., u_q> ⇋ {λ₁*u₁+λ₂*u₂+...+λ_q*u_q | λ₁, λ₂, ..., λ_q∈ℝ}
az u_j (1≤j≤q) vektorok összes lineáris kombinációjának halmaza.

Az <u₁, u₂, ..., u_q>⊆V_n(ℝ) halmaz a V_n(ℝ) lineáris tér egy altere, amit az u_j (1≤j≤q) vektorok által generált vagy kifeszített altérnek nevezünk.
Ha egy b∈V_n(ℝ) vektorra b∈<u₁, u₂, ..., u_q> teljesül, akkor azt mondjuk, hogy a b vektor kompatibilis az u₁, u₂, ..., u_q vektorrendszerrel.

A b vektor akkor és csak akkor kompatibilis az u₁, u₂, ..., u_q vektorrendszerrel, ha a b vektor kifejezhető az u_j (1≤j≤q) vektorok lineáris kombinációjaként.

Legyen az u₁, u₂, ..., u_n vektorrendszer a V_n(ℝ) lineáris tér egy bázisa. Ekkor a V_n(ℝ) lineáris tér bármely vektora egyértelműen előállítható az u_j (1≤j≤n) bázisvektorok lineáris kombinációjaként. Az előző jelöléssel ez <u₁, u₂, ..., u_n>=V_n(ℝ) módon írható le. Általánosan megfogalmazva, a V_n(ℝ) lineáris tér megegyezik egy tetszőleges bázisa által generált altérrel.
Legyen az u₁, u₂, ..., u_n∈V_n(ℝ) vektorokból álló vektorrendszer a V_n(ℝ) lineáris tér egy bázisa, és
    U=[u₁, u₂, ..., u_n]
az u_j (1≤j≤n) bázisvektorokból mint oszlopvektorokból álló mátrix. (Mivel a bázisvektorok lineárisan függetlenek, az U mátrix reguláris, vagyis létezik az U⁻¹ inverz mátrix.)
Legyen továbbá x∈V_n(ℝ) egy tetszőleges vektor, ami az u_j (1≤j≤n) bázisvektorokkal
    x=Σ_{(j=1;j≤n;j→j+1)}λ_j*u_j=λ₁*u₁+λ₂*u₂+...+λ_n*u_n
módon állítható elő.

A λ₁, λ₂, ..., λ_n számokat (a lineáris kombináció együtthatóit) az x vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük, és
    x_U =[λ₁, λ₂, ..., λ_n]^T
módon jelöljük.
Ezekkel a jelölésekkel az x vektor
x=U*x_U
módon adható meg. Ennek alapján, mivel az U mátrix invertálható,
x_U=U⁻¹*x
teljesül.

Ha egy természetes bázisban adott egy x vektor és egy n-edrendű reguláris U mátrix, akkor a megadott x vektor U-bázisra vonatkozó koordinátái az
x_U=U⁻¹*x
összefüggés alapján kaphatók meg.

Jegyezzük meg, hogy
(1) egy tetszőleges V_n(ℝ)-beli
    x=[x₁, x₂, ..., x_n]^T
vektor az e_j (1≤j≤n) egységvektorokkal
    x=Σ_{(j=1;j≤n;j→j+1)}x_j*e_j=x₁*e₁+x₂*e₂+...+x_n*e_n
módon állítható elő. Tehát az x vektor komponensei megegyeznek az egységvektorokból álló természetes bázisra (az előző jelölésekkel az E-bázisra) vonatkozó koordinátáival, vagyis
    x_E=[x₁, x₂, ..., x_n]^T
teljesül.
(2) az U bázis u_j (1≤j≤n) bázisvektorai
    u₁=1*u₁+0*u₂+...+0*u_n
    u₂=0*u₁+1*u₂+...+0*u_n
    ...
    u_n=0*u₁+0*u₂+...+1*u_n
módon állíthatók elő. Tehát az U bázis u_j (1≤j≤n) bázisvektorainak koordinátái az U bázisban az egységvektoroknak felelnek meg, vagyis
    u₁_U=[1, 0, ..., 0]^T
    u₂_U=[0, 1, ..., 0]^T
    ...
    u_n_U=[0, 0, ..., 1]^T
teljesül.
(3) Ha a V_n(ℝ) lineáris tér minden vektorát előállítjuk egy U bázisban, akkor ún. bázistranszformációt hajtunk végre.
A fenti fogalmakat és összefüggéseket alkalmazhatjuk például a lineáris egyenletrendszerek megoldása során. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az együtthatómátrix (A) n-edrendű reguláris mátrix.

A lineáris egyenletrendszerek oszlopvektoros alakjában^⇒ a konstans vektort (b) az együtthatómátrix (A) oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként állítottuk elő. Ha az együtthatómátrix n-edrendű reguláris mátrix, akkor oszlopvektorai a V_n(ℝ) lineáris tér egy bázisát alkotják, ezért az ismeretlen vektor (x) a konstans vektor (b) A-bázisra vonatkozó kooordinátáit adja meg (x=b_A). Ennek megfelelően b_A=A⁻¹*b teljesül.

Ha az együtthatómátrix egységmátrix (A=E), akkor az ismeretlen vektor megegyezik a konstans vektorral (x=b).
Ha a V_n(ℝ) lineáris tér bázisának az együtthatómátrix (A) oszlopvektorait választjuk (vagyis ezek lineáris kombinációjaként állítunk elő minden vektort), akkor ebben a bázisban az együtthatómátrix az egységmátrixszal egyezik meg (A=E).

Ha egy lineáris egyenletrendszerben az együtthatómátrix (A) n-edrendű reguláris mátrix, akkor a lineáris egyenletrendszer megoldása a konstans vektor (b) A-bázisra vonatkozó koordinátáinak meghatározását jelenti.

A feladat tehát a következő: ha adott egy n-edrendű reguláris (A) mátrix, akkor a természetes E bázisról az A bázisra áttérve (azaz egy bázistranszformációt elvégezve) határozzuk meg egy tetszőleges (a) vektor A-bázisra vonatkozó kooordinátáit.

Tekintsük példaként azt az U bázistranszformációt, amikor a három dimenziós V₃(ℝ) lineáris térben a természetes E bázis első vektorát (e₁) kicseréljük egy
    c=[c₁, c₂, c₃]^T
vektorra (ahol c₁≠0), miközben az E bázis másik két bázisvektora változatlan marad. Az ilyen típusú bázistranszformációt ún. elemi bázistranszformációnak nevezzük, és azt mondjuk, hogy a c vektort "bevonjuk" a bázisba.
A bázistranszformáció mátrixa:

U =

c₁ 0 0
c₂ 1 0
c₃ 0 1

Az U mátrix inverz mátrixa:

U⁻¹ =

1/c₁ 0 0
−c₂/c₁ 1 0
−c₃/c₁ 0 1

Igazoljuk, hogy a fenti mátrixok szorzata egységmátrix (a 0-val való szorzást nem jelöljük):

U*U⁻¹ =

c₁ 0 0
c₂ 1 0
c₃ 0 1

*

1/c₁ 0 0
−c₂/c₁ 1 0
−c₃/c₁ 0 1

=

c₁*(1/c₁)=1 0 0
(c₂/c₁)−(c₂/c₁)=0 1*1=1 0
(c₃/c₁)−(c₃/c₁)=0 0 1*1=1

Ha egy tetszőleges a=[a₁, a₂, a₃]^T vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáit szeretnénk megkapni, akkor a_U=U⁻¹*a miatt
    a_U₁=(1/c₁)*a₁=a₁/c₁
    a_U₂=(−c₂/c₁)*a₁+a₂=(c₁*a₂−c₂*a₁)/c₁
    a_U₃=(−c₃/c₁)*a₁+a₃=(c₁*a₃−c₃*a₁)/c₁
teljesül.
Vegyük észre, hogy ha a c és a vektorokat (és esetleg még további vektorokat) oszlopvektorokként egymás mellé írjuk, a korábban már megismert elemi sortranszformációkat hajtjuk végre.

A fenti transzformációs képletek megfelelnek a következő műveleteknek:

az első sort végigosztjuk c₁ értékkel;
minden további sorból kivonjuk a (c₁ értékkel végigosztott) első sor c₂, c₃, ..., c_n-szeresét.

Ha az a vektor a c vektorral egyezik meg, akkor ebből a_U=c_U=[1, 0, 0]^T következik, vagyis a műveletek végrehajtása után a c vektor oszlopában [1, 0, 0]^T fog állni.

Ha a c vektort a második bázisvektor (e₂) helyett vonjuk be a bázisba, akkor az inverz mátrix

U⁻¹ =

1 −c₁/c₂ 0
0 1/c₂ 0
0 −c₃/c₂ 1

alakú, tehát a fenti képletek a következők lesznek:
    a_U₁=a₁+(−c₁/c₂)*a₂=(c₂*a₁−c₁*a₂)/c₂
    a_U₂=(1/c₂)*a₂=a₂/c₂
    a_U₃=(−c₃/c₂)*a₂+a₃=(c₂*a₃−c₃*a₂)/c₂
Hasonló képletekhez jutunk, ha a c vektort a harmadik bázisvektor (e₃) helyett vonjuk be a bázisba stb.
Egy adott c vektor bevonása után egy tetszőleges a vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáit kaphatjuk meg
– 3 elemű bázis esetén az alábbi program segítségével,
– 4 elemű bázis esetén pedig az alábbi program segítségével.
Például legyen
    c=[c₁, c₂, c₃]^T=[1, −2, 1]^T
és határozzuk meg az
    a=[−3, 0, 2]^T
vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáit.

c a c_U a_U sortranszformáció
c 1 -3 1 -3 S₁(1)
e₂ -2 0 0 -6 S₂₁(2)
e₃ 1 2 0 5 S₃₁(-1)

Igazoljuk a fentieket az a_U=U⁻¹*a összefüggés alapján:

a_U =

1 0 0
2 1 0
−1 0 1

*

−3
0
2

=

−3
−6
5

Ha egy adott vektorrendszer minden vektorának meghatározzuk az U-bázisra vonatkozó koordinátáit, az eljárást tovább folytathatjuk további bázisvektorok egyenként történő bevonásával a bázisba (feltéve, hogy a bevont vektornak a "kicserélendő" bázisvektorra vonatkozó koordinátája, az ún. generáló elem nem zérus). Vonjuk be például egy 'n' elemű 'A' bázis bázisvektorait egyenként a bázisba. Ezzel a módszerrel bármilyen bázistranszformáció 'n' lépésben végrehajtható elemi bázistranszformációk egymás utáni végrehajtásával. (vö. Bíró-Vincze 2010: 261-270)

Például legyen A*x=b egy inhomogén lineáris egyenletrendszer (b≠0), amelynek együtthatómátrixa reguláris kvadratikus mátrix. Ekkor az egyenletrendszer megoldását a b konstans vektor A-bázisra vonatkozó koordinátái adják, amelyek
    x=b_A=A⁻¹*b
módon számíthatók ki. Ezt elemi bázistranszformációk segítségével úgy kaphatjuk meg, hogy egymás után bevonjuk az együtthatómátrix a₁, a₂, ..., a_n oszlopvektorait a bázisba.
Legyen az A együtthatómátrix és a b konstans vektor a következő (vö. Bíró-Vincze 2010: 267-268):

A =

1 1 -1 0
-1 0 1 1
0 2 -3 -2
2 -1 0 2

b =

7
-2
8
5

1. lépés: az a₃ vektor bevonása a bázisba a második bázisvektor helyett (S₂(1), S₁₂(1), S₂₂(3) sortranszformációk végrehajtása)

A⁽¹⁾ =

0 1 0 1
-1 0 1 1
-3 2 0 1
2 -1 0 2

b⁽¹⁾ =

5
-2
2
5

2. lépés: az a₂ vektor bevonása a bázisba az első bázisvektor helyett (S₁(1), S₃₁(-2), S₄₁(1) sortranszformációk végrehajtása)

A⁽²⁾ =

0 1 0 1
-1 0 1 1
-3 0 0 -1
2 0 0 3

b⁽²⁾ =

5
-2
-8
10

3. lépés: az a₄ vektor bevonása a bázisba a harmadik bázisvektor helyett (S₃(-1), S₁₃(-1), S₂₃(-1), S₄₃(-3) sortranszformációk végrehajtása)

A⁽³⁾ =

-3 1 0 0
-4 0 1 0
3 0 0 1
-7 0 0 0

b⁽³⁾ =

-3
-10
8
-14

4. lépés: az a₁ vektor bevonása a bázisba a negyedik bázisvektor helyett (S₄(-7), S₁₄(3), S₂₄(4), S₃₄(-3) sortranszformációk végrehajtása)

A⁽⁴⁾ =

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0

b⁽⁴⁾ =

3
-2
2
2

5. lépés: Mivel a bázisvektorok sorrendje az utolsó lépés után
    A⁽⁴⁾=[a₂, a₃, a₄, a₁]
ezért a b konstans vektor előállítása az A bázisban
x=b_A=3*a₂+(-2)*a₃+2*a₄+2*a₁
vagyis az egyenletrendszer megoldása
x₁=2
x₂=3
x₃=-2
x₄=2
amit az eredeti egyenletbe helyettesítve könnyen ellenőrizhetünk.
Az egyenletrendszer fenti megoldását közvetlenül megkaphatjuk az egyenletrendszer A⁽⁴⁾*x=b⁽⁴⁾ alakjából, ha az A⁽⁴⁾ mátrix soraival egymás után skalárisan megszorozzuk^⇒ az x=[x₁, x₂, x₃, x₄]^T oszlopvektort.

6.1. Bázistranszformációk

(1) Legyen az u₁, u₂, ..., u_n∈V_n(ℝ) vektorokból álló vektorrendszer a V_n(ℝ) lineáris tér egy bázisa, és
    U=[u₁, u₂, ..., u_n]
az u_j (1≤j≤n) bázisvektorokból mint oszlopvektorokból álló mátrix.
A V_n(ℝ) lineáris tér minden x∈V_n(ℝ) vektora egyértelműen előállítható egy U bázisban a bázisvektorok lineáris kombinációjaként. (A bázisvektorok lineáris kombinációinak együtthatói adják az x vektor U-bázisra vonatkozó x_U koordinátáit.)

A természetes E bázisról az U bázisra történő (E→U) bázistranszformáció végrehajtása után a természetes bázisban megadott u_j (1≤j≤n) bázisvektorok U-bázisra vonatkozó u_jU koordinátái az egységvektoroknak felelnek meg.^⇒

A V_n(ℝ)-beli vektorok előállítása az U bázisban az u_j (1≤j≤n) bázisvektorok lineáris kombinációjaként minden vektorhoz egyértelműen hozzárendeli a vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáit. Ez leképezi a vektorok V_n(ℝ) lineáris terét a valós számokból álló szám n-esek ℝⁿ lineáris terére. Erre a
    φ_U : V_n(ℝ)→ℝⁿ
leképezésre teljesülnek a következők:

A φ_U leképezés bijektív, vagyis φ_U injektív (kölcsönösen egyértelmű) és szürjektív leképezést valósít meg a V_n(ℝ)-beli vektorok, és a valós szám n-esek mint a vektorok U-bázisra vonatkozó kooordinátái között.
A φ_U leképezés a vektorok összeadására, és a vektorok skalárral való szorzására nézve művelettartó, azaz ha x, y∈V_n(ℝ) tetszőleges vektorok és λ∈ℝ tetszőleges valós szám, akkor
    φ_U(x+y)=φ_U(x)+φ_U(y) (a φ_U leképezés additív) és
    φ_U(λ*x)=λ*φ_U(x) (a φ_U leképezés homogén)
teljesül. Az ilyen tulajdonságú leképezéseket lineáris leképezéseknek nevezzük.
A φ_U leképezés tehát bijektív és művelettartó (lineáris). Az ilyen tulajdonságú leképezéseket izomorf leképezéseknek nevezzük.

A V_n(ℝ) lineáris tér egy tetszőleges x∈V_n(ℝ) vektorának U-bázisra vonatkozó koordinátái x_U=U⁻¹*x módon kaphatóak meg. (A fentebb megadott φ_U leképezéssel ez x_U=φ_U(x) formában adható meg.)
A fenti előállításban az x vektort, az u_j (1≤j≤n) bázisvektorokat, valamint a bázisvektorokból mint oszlopvektorokból álló U mátrixot a V_n(ℝ) lineáris tér természetes E bázisára vonatkozó koordinátákkal adtuk meg, és így tértünk át az U bázisra vonatkozó x_U koordinátákra (és ezáltal egy E→U bázistranszformációt hajtottunk végre). Ennek megfelelően a természetes E bázisban megadott x vektort x=x_E módon, a bázisvektorokat u_j=u_jE (1≤j≤n) módon, a bázsitranszformáció mátrixát pedig U=U_E módon is jelölhetjük. Ebben a formában az E→U bázistranszformáció végrehajtása után az x_E vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáit megadó képlet x_U=U_E⁻¹*x_E formában is írható.
Ezek után vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az U bázisról a W bázisra térünk át, vagyis egy U→W bázistranszformációt hajtunk végre.
(2) Legyen W_U a W bázis w_j (1≤j≤n) bázisvektorainak mint oszlopvektoroknak az U-bázisra vonatkozó w_jU koordinátáiból képzett mátrix. Ekkor a következő szabály alkalmazható:

Egy tetszőleges x∈V_n(ℝ) vektor W-bázisra vonatkozó koordinátái az x vektor U-bázisra vonatkozó koordinátáiból
x_W=W_U⁻¹*x_U
módon kaphatóak meg (vö. Rózsa 1976: 157-158).

Vegyük észre hogy az E→U és az U→W bázistramszformációkra vonatkozó képletek formailag ugyanolyan szerkezetűek.

Egy bázistranszformációt végrehajtva egy tetszőleges vektor koordinátái az "új" bázisban úgy számíthatók ki, hogy a vektor "régi" bázisban megadott koordinátáit balról szorozzuk a bázistranszformáció "régi" bázisban megadott mátrixának az inverzével.

Mivel egy tetszőleges kvadratikus mátrixot jobbról a j-dik egységvektorral (mint oszlopvektorral) szorozva a mátrix j-dik oszlopvektorát kapjuk, a bázistranszformációra vonatkozó képlet alapján megállapíthatjuk egy U→W bázistranszformáció esetén a bázistranszformáció mátrixának (W) és a mátrix inverzének (W⁻¹) az értelmezését:

a bázistranszformáció mátrixának (W) az oszlopvektorai (w_j, 1≤j≤n) megegyeznek az "új" bázis (W) bázisvektorainak a "régi" bázisban (U) megadott koordinátáival (mivel w_jW=e_j ahol e_j a j-dik egységvektor, ezért W_U*w_jW=w_jU miatt W_U*e_j=w_jU teljesül);
a bázistranszformáció inverz mátrixának (W⁻¹) az oszlopvektorai megegyeznek a "régi" bázis (U) bázisvektorainak (u_j, 1≤j≤n) az "új" bázisban (W) megadott koordinátáival (mivel u_jW=W_U⁻¹*u_jU és u_jU=e_j ahol e_j a j-dik egységvektor, ezért u_jW=W_U⁻¹*e_j teljesül).

(1) Legyen például az U mátrix és az x vektor a következő:

U =

1 1 -1 0
-1 0 1 1
0 2 -3 -2
2 -1 0 2

x =

7
-2
8
5

Az u₁, u₂, ..., u_n∈V_n(ℝ) oszlopvektorok lineárisan függetlenek, mert az U mátrix determinánsa nem zérus (det U=−7).
Az U mátrix inverz mátrixa:

U⁻¹ = 1/7 *

5 -4 -3 -1
8 2 -2 -3
6 -2 -5 -4
-1 5 2 3

Az U mátrix inverz mátrixa és az x vektor U-bázisra vonatkozó x_U koordinátái az x_U=U⁻¹*x képlet alapján:

x_U= 1/7 *

5 -4 -3 -1
8 2 -2 -3
6 -2 -5 -4
-1 5 2 3

*

7
-2
8
5

=

14/7=2
21/7=3
-14/7=-2
14/7=2

Jegyezzük meg, hogy a fenti módon előállított x_U oszlopvektor éppen az U*x_U=x inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldása.

(2) Oldjuk meg az előző feladatot elemi bázistranszformációk egymás utáni végrehajtásával.
E, U=U_E , x=x_E
E u₁ u₂ u₃ u₄ x_U x
e₁ 1 1 -1 0 7
e₂ -1 0 1 1 -2
e₃ 0 2 -3 -2 8
e₄ 2 -1 0 2 5
x_U1*u₁+ x_U2*u₂+ x_U3*u₃+ x_U4*u₄= x

Most áttérünk a W bázisra (E→W).

W =

1 0 0 0
-1 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1

W⁻¹ =

1 0 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
-2 0 0 1

A transzformációs képletek az előzőeknek megfelelően:

U_W=W⁻¹*U

u_1W=W⁻¹*u₁
...
u_4W=W⁻¹*u₄

x_W=W⁻¹*x

E→W, U_W , x_W
W u_1W u_2W u_3W u_4W x_U x_W
u₁ 1 1 -1 0 7
e₂ 0 1 0 1 5
e₃ 0 2 -3 -2 8
e₄ 0 -3 2 2 -9

Most áttérünk az S bázisra (W→S).

S_W =

1 1 0 0
0 1 0 0
0 2 1 0
0 -3 0 1

S_W⁻¹ =

1 -1 0 0
0 1 0 0
0 -2 1 0
0 3 0 1

A transzformációs képletek az előzőeknek megfelelően:

U_S=S_W⁻¹*U_W

u_1S=S_W⁻¹*u_1W
...
u_4S=S_W⁻¹*u_4W

x_S=S_W⁻¹*x_W

W→S, U_S , x_S
S u_1S u_2S u_3S u_4S x_U x_S
u₁ 1 0 -1 -1 2
u₂ 0 1 0 1 5
e₃ 0 0 -3 -4 -2
e₄ 0 0 2 5 6

Most áttérünk a T bázisra (S→T).

T_S =

1 0 -1 0
0 1 0 0
0 0 -3 0
0 0 2 1

T_S⁻¹ = 1/3*

3 0 -1 0
0 3 0 0
0 0 -1 0
0 0 2 3

A transzformációs képletek az előzőeknek megfelelően:

U_T=T_S⁻¹*U_S

u_1T=T_S⁻¹*u_1S
...
u_4T=T_S⁻¹*u_4S

x_T=T_S⁻¹*x_S

S→T, U_T , x_T
T u_1T u_2T u_3T u_4T x_U x_T
u₁ 1 0 0 1/3 8/3
u₂ 0 1 0 3/3 15/3
u₃ 0 0 1 4/3 2/3
e₄ 0 0 0 7/3 14/3

Végül áttérünk az U bázisra (T→U).

U_T =

1 0 0 1/3
0 1 0 3/3
0 0 1 4/3
0 0 0 7/3

U_T⁻¹ = 1/21*

21 0 0 -3
0 21 0 -9
0 0 21 -12
0 0 0 9

A transzformációs képletek az előzőeknek megfelelően:

U_U=U_T⁻¹*U_T≡E

u_1U=U_T⁻¹*u_1T≡e₁
...
u_4U=U_T⁻¹*u_4T≡e₄

x_U=U_T⁻¹*x_T

T→U, U_U , x_U
U u_1U u_2U u_3U u_4U x_U x_U
u₁ 1 0 0 0 2 126/63=2
u₂ 0 1 0 0 3 189/63=3
u₃ 0 0 1 0 -2 -126/63=-2
u₄ 0 0 0 1 2 126/63=2
2*u₁+ 3*u₂+ (-2)*u₃+ 2*u₄= x

Megjegyzések:
– az inverz mátrixok kiszámításakor a korábban már megismert mátrixtranszformáló és szorzó program 4*4-es mátrixokkal elkészített változatát használtuk;
– tipp: az elemi sortranszformációk kiválasztásakor próbáljuk meg az osztásokat lehetőleg elkerülni a megfelelő sorok adott számmal való szorzásával;
– tipp: ha az átalakítandó A mátrix főátlójában ugyanazok a számok (pl. 'n') állnak, a transzformált B mátrixban a mátrix inverzének 1/n szeresét kapjuk;
– az utolsó oszlop kiszámításakor a korábban már megismert elemi bázistranszformációkat kiszámító program 4*1-es mátrixokkal elkészített változatát használtuk.

6.2. Euklideszi terek

Legyen V_n(ℝ) n-dimenziós valós lineáris vektortér. Ha a V_n(ℝ)-beli vektorok közt értelmezzük a skaláris szorzás^⇒ műveletét, a lineáris teret n-dimenziós valós euklideszi térnek nevezzük és E_n(ℝ) módon jelöljük.

Az n-dimenziós valós E_n(ℝ) euklideszi téren a vektorok összeadása és a vektorok skalárral való szorzása mellett^⇒ harmadik műveletként értelmezzük a vektorok skaláris szorzatát. Erre teljesülnek az alábbi tulajdonságok.
Legyenek u, v, w∈E_n(ℝ) tetszőleges vektorok és a, b, c∈ℝ tetszőleges valós számok.
III. a skaláris szorzás tulajdonságai

kommutativitás: u*v=v*u
skalárral való szorzás: a*(u*v)=(a*u)*v=u*(a*v)
disztributivitás: u*(v+w)=u*v+u*w
szorzás nullvektorral: ha u=0, akkor u*v=0
vektor skaláris szorzata önmagával: ha u≠0, akkor u*u>0

Legyen x∈E_n(ℝ) egy tetszőleges vektor. Az x vektor hossza (vagy normája, abszolút értéke) alatt az
|x|=√x*x
valós számot értjük. Ha a természetes E bázisban x=(x₁, x₂, ..., x_n), akkor az x vektor hossza
|x|=√(x₁²+x₂²+...+x_n²)
módon számítható ki.
Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy E_n(ℝ) elemei nem feltétlenül vektorok (például szám n-esek stb.), akkor egy tetszőleges x∈E_n(ℝ) elem normáját ‖x‖ módon jelöljük.
Azokat az x∈E_n(ℝ) vektorokat, amelyek hossza 1 (azaz |x|=1 teljesül) egységvektoroknak nevezzük.

Az E_n(ℝ) euklideszi tér bármilyen, nullvektortól különböző x∈E_n(ℝ) (x≠0) vektorához hozzá tudunk rendelni egy egységvektort
    x^o=x/|x|
módon. Ezt a műveletet az x vektor normalizálásának (vagy normálásának) nevezzük.

Legyenek x, y∈E_n(ℝ) tetszőleges vektorok. Ekkor teljesülnek a következő egyenlőtlenségek:
(1) Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz (CBS) egyenlőtlenség:

    |x*y| ≤ |x|*|y|

(2) háromszög-egyenlőtlenség:

    |x+y| ≤ |x|+|y|

Az x, y∈E_n(ℝ) vektorok távolsága alatt a d=|x−y| nemnegatív valós számot értjük. Ha a természetes E bázisban
    x=(x₁, x₂, ..., x_n) és
    y=(y₁, y₂, ..., y_n),
akkor az x és y vektorok távolsága
|x−y|=√(x₁−y₁)²+(x₂−y₂)²+...+(x_n−y_n²)
módon számítható ki.
Legyen az u₁, u₂, ..., u_n∈V_n(ℝ) vektorokból álló vektorrendszer az E_n(ℝ) euklideszi tér egy bázisa, és
    U=[u₁, u₂, ..., u_n]
az u_j (1≤j≤n) bázisvektorokból mint oszlopvektorokból álló mátrix.
Képezzük a G=[g_ij] n*n-es mátrix általános elemét
    g_ij=u_i*u_j (1≤i,j≤n)
módon. Az így kapott G mátrixot Gram-féle mátrixnak nevezzük.
Mivel a skaláris szorzat^⇒ esetében mindig feltételezzük, hogy az első tényező sormátrix, a másik tényező pedig oszlopmátrix, a Gram-féle mátrix általános eleme
    g_ij=u_i^T*u_j= Σ_(1≤k≤n)u_ki^T*u_kj= Σ_(1≤k≤n)u_ik*u_kj (1≤i,j≤n)
módon is írható (mivel az u_j vektor az U mátrix oszlopvektora, ennek k-dik komponense az U mátrix u_kj eleme). A G=[g_ij] mátrix tehát a mátrixok szorzásának definíciója miatt
    G=U^T*U
alakban is felírható.
Az E_n(ℝ) valós euklideszi térben a Gram-féle mátrix a skaláris szorzás kommutativitása miatt mindig szimmetrikus mátrix. Mivel az u_j (1≤j≤n) bázisvektorok lineárisan független vektorrendszert alkotnak, a belőlük képzett Gram-féle mátrix determinánsa zérustól különböző, azaz det G≠0 teljesül (vö. Obádovics 2001: 216).
Legyenek az x, y∈E_n(ℝ) tetszőleges vektorok U-bázisra vonatkozó koordinátái
    x_U=(x₁, x₂, ..., x_n) és
    y_U=(y₁, y₂, ..., y_n).
Ekkor az x és y vektorok skaláris szorzata
x*y = Σ_{(1≤i,j≤n)} g_ij*x_i*y_j
módon számítható ki, ahol G=[g_ij] a Gram-féle mátrix általános eleme.
A fentieknek megfelelően az U bázisban két vektor skaláris szorzata mátrixos alakban
    x*y=x^T*G*y
módon, az x vektor hossza pedig
    |x|²=x^T*G*x
módon adható meg.
Az x, y∈E_n(ℝ) vektorokat ortogonális ("merőleges") vektoroknak nevezzük, ha skaláris szorzatuk zérus, azaz
    x*y=y*x=0
teljesül.

Ha az u₁, u₂, ..., u_q∈E_n(ℝ) vektorrendszert alkotó, zérustól különböző vektorok páronként ortogonálisak, akkor az u_j (1≤j≤q) vektorok lineárisan független vektorrendszert alkotnak. (Tegyük fel, hogy az u_q vektor kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként, azaz léteznek olyan λ_j (1≤j≤q−1) valós számok, amelyekre u_q=λ₁*u₁+λ₂*u₂+...+λ_q−1*u_q−1 teljesül. Skalárisan szorozva az egyenlőség mindkét oldalát az u_q vektorral, a bal oldal |u_q|²≠0 miatt zérustól különböző lesz, a páronkénti ortogonalitás (u_j*u_q=0, 1≤j≤q−1) miatt viszont a jobb oldal zérus lesz, ami ellentmondás, vagyis az u_j (1≤j≤q) vektorok lineárisan függetlenek.)

Az n-dimenziós valós euklideszi térben egy vektorrendszerben legfeljebb 'n' számú páronként ortogonális vektor lehet.

Vezessük be az ún. Kronecker-féle δ_ij (1≤i,j≤n) szimbólumot a következőképpen:

δ_ij = { 1 ha i=j
0 ha i≠j

Az E_n(ℝ) euklideszi térben különösen fontosak azok a bázisok, amelyeknek a bázisvektorai páronként ortogonálisak.

Legyen az u₁, u₂, ..., u_n∈E_n(ℝ) vektorrendszer a E_n(ℝ) euklideszi tér egy bázisa. Ezt a vektorrendszert ortogonális bázisnak nevezzük, ha az u_j (1≤j≤n) bázisvektorok páronként ortogonálisak. (Ilyen vektorrendszer biztosan létezik, például az e_j (1≤j≤n) egységvektorokból álló természetes bázis ortogonális.)
Legyen az u₁, u₂, ..., u_n∈E_n(ℝ) vektorrendszer a E_n(ℝ) euklideszi tér egy ortogonális bázisa. Ezt a vektorrendszert ortonormált bázisnak nevezzük, ha az u_j (1≤j≤n) bázisvektorok egységvektorok (azaz egységnyi hosszúak). (Ilyen vektorrendszer biztosan létezik, például az e_j (1≤j≤n) egységvektorokból álló természetes bázis ortonormális.)
A Kronecker-féle δ szimbólummal az U bázis ortonormalitása
    u_i*u_j=δ_ij (1≤i,j≤n)
módon fejezhető ki. Ennek megfelelően az ortonormált U bázis Gram-féle G=[g_ij] mátrixának általános elemére
    g_ij=δ_ij (1≤i,j≤n)
teljesül.

Legyen az ε₁, ε₂, ..., ε_n∈E_n(ℝ) bázisvektorokból álló Θ vektorrendszer a E_n(ℝ) euklideszi tér egy tetszőleges ortonormált bázisa, továbbá x, y∈E_n(ℝ) tetszőleges vektorok, amelyek Θ-bázisra vonatkozó koordinátái
    x_Θ=(x₁, x₂, ..., x_n) és
    y_Θ=(y₁, y₂, ..., y_n).

Ekkor teljesülnek az alábbiak:

x_i=x*ε_i (1≤i≤n)
vagyis egy tetszőleges vektor Θ-bázisra vonatkozó koordinátáit megkaphatjuk úgy, hogy képezzük a vektor és a megfelelő indexű bázisvektor skaláris szorzatát;

x = Σ_(1≤i≤n) x_i*ε_i = Σ_(1≤i≤n) (x*ε_i)*ε_i

x*y = Σ_{(1≤i,j≤n)} δ_ij*x_i*y_j = Σ_(1≤i≤n) x_i*y_i
vagyis ortonormált bázis esetén a skaláris szorzatot úgy számítjuk ki, mint ahogy azt a természetes E bázisban korábban^⇒ definiáltuk;
|x|² = Σ_(1≤i≤n) x_i*x_i vagyis ortonormált bázis esetén egy vektor hosszát úgy számítjuk ki, mint a természetes E bázisban.

Legyen az ε₁, ε₂, ..., ε_n∈E_n(ℝ) bázisvektorokból álló Θ vektorrendszer a E_n(ℝ) euklideszi tér egy tetszőleges ortonormált bázisa. Ekkor az ε_j (1≤j≤n) bázisvektorokból mint oszlopvektorokból képzett
    Θ = [ε₁, ε₂, ..., ε_n]
mátrixra teljesül, hogy
    Θ^T*Θ = E_n
ahol E_n az n-ed rendű egységmátrix. Az ilyen tulajdonságú mátrixokat ortogonális mátrixoknak nevezzük.

Az Θ mátrix reguláris, és
    Θ^T=Θ⁻¹
teljesül, vagyis a Θ ortogonális mátrix inverze megegyezik a Θ mátrix transzponáltjával.
Az Θ ortogonális mátrix determinánsának abszolút értéke 1, azaz
    det Θ=±1
teljesül.

A gyakorlatban különösen fontosak azok a bázistranszformációk, amikor egy ortonormált bázisról egy másik ortonormált bázisra térünk át. Ilyen esetben ortogonális bázistranszformációkról beszélünk.

Az ortogonális bázistranszformációk (és csak azok) nem változtatják meg a vektorok hosszát (vö. Obádovics 2001: 219).

Másképpen megfogalmazva: ha az x és y vektoroknak az U-bázisra vonatkozó koordinátái x_U és y_U, akkor x*y=x_U*y_U (és ebből következően x*x=x_U*x_U) pontosan akkor teljesül, ha az U bázis ortonormált bázis, vagyis a bázistranszformáció U mátrixa ortogonális.

(→ következő témakörök)

Irodalom- és forrásjegyzék

Bíró Fatime – Vincze Szilvia 2010. A gazdasági matematika alapjai. Debrecen: Debreceni Egyetemi K.

Farkas Miklós – Fritz Józsefné – Kiss Ernőné 2000. Matematika. II. kötet. Egyváltozós valós függvények. (szerk. Farkas Miklós.) Budapest: Műegyetemi K.

Farkas Miklós – Farkas Miklósné 2001. Matematika. III. kötet. Lineáris algebra. (szerk. Farkas Miklós.) Budapest: Műegyetemi K.

Fried Ervin 1968. Algebra. In: Lukács Ernőné – Tarján Rezsőné (szerk.) 1968. 5-132.

Gaál István – Kozma László 2007. Lineáris algebra. Debrecen: Debreceni Egyetem Matematikai Intézet.

Juhász Tibor 2013. Lineáris algebra. Eger: Eszterházy Károly Főiskola.
https://regi.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop412A/2011-0098_linearis_algebra/adatok.html (2021-04-26)

Obádovics J. Gyula – Szarka Zoltán 2009. Felsőbb matematika. Budapest: Scolar K.

Reiman István 1992. Matematika. Budapest: Műszaki K.
Reiman István 2014. Matematika. Budapest: Typotex K.
https://regi.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011-0001-526_reimann_matematika/adatok.html (2021-05-02)

Scharnitzky Viktor 1989. Vektorgeometria és lineáris algebra. Budapest: Tankönyvk.

Selényi Géza – Szendrei János 1969. Analitikus geometria és lineáris algebra. Budapest: Tankönyvk.

Thomas, George B. et al. 2007. Thomas-féle kalkulus. III. köt. Budapest: Typotex K.
https://regi.tankonyvtar.hu/... (2021-05-09)

Internetes források:

Czinder Péter [2021]: A trigonometria alapjai.
https://www.berze.hu/wp-content/plugins/download-attachments/includes/download.php?id=4329 (2021-04-20)

Kiss György 2004. Amit jó tudni a kúpszeletekről. 1-2. rész. | Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (Informatika rovattal)
https://www.komal.hu/..., 2021-05-09.
https://www.komal.hu/..., 2021-05-09.

Kupcsikné Fitus Ilona 2009. Lineáris algebra. Centroszet Szakképzés-szervezési Nonprofit Kft.
http://centroszet.hu/..., 2021-02-15.

Wettl Ferenc 2016. Felsőbb matematika villamosmérnököknek - Haladó lineáris algebra (BMETE90MX54).
https://math.bme.hu/~wettl/..., 2021-03-28.

a₁₁	a₁₂	...	a_1q
a₂₁	a₂₂	...	a_2q
...	...	...	...
a_p1	a_p2	...	a_pq

a₁₁	a₁₂	a₁₃
a₂₁	a₂₂	a₂₃
a₃₁	a₃₂	a₃₃

p_i	σ_{p_i}
(1,2,3)	+a₁₁a₂₂a₃₃	+021	=0
(1,3,2)	−a₁₁a₂₃a₃₂	−00(-9)	=0
(2,1,3)	−a₁₂a₂₁a₃₃	−(-2)(-5)1	=−10
(2,3,1)	+a₁₂a₂₃a₃₁	+(-2)02*(-10)	=0
(3,1,2)	+a₁₃a₂₁a₃₂	+10(-5)(-9)	=450
(3,2,1)	−a₁₃a₂₂a₃₁	−102(-10)	=200

'n' dimenziós oszlopvektorok	x=[x₁, x₂, ..., x_n]^T
'n' dimenziós sorvektorok	x^T=[x₁, x₂, ..., x_n]
'n' dimenziós vektorok "ha a sor- vagy oszlopvektor megkülönböztetésnek nincs jelentősége" (vö. Obádovics 2001: 170)	x=(x₁, x₂, ..., x_n)

c₁*(1/c₁)=1	0	0
(c₂/c₁)−(c₂/c₁)=0	1*1=1	0
(c₃/c₁)−(c₃/c₁)=0	0	1*1=1

E	u₁	u₂	u₃	u₄	x
e₁	1	1	-1	0	7
e₂	-1	0	1	1	-2
e₃	0	2	-3	-2	8
e₄	2	-1	0	2	5
x_U1u₁+ x_U2u₂+ x_U3u₃+ x_U4u₄= x

-126/63=-2

2*u₁+ 3*u₂+ (-2)*u₃+ 2*u₄= x