Valós függvények

A továbbiakban legyen f : A⊆ℝ → B⊆ℝ a valós számokon értelmezett (ún. egyváltozós) függvény, amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. A függvényt rendszerint egy síkbeli, derékszögű (Descartes-féle) koordináta-rendszerben ábrázoljuk, ahol
– az 'x' tengely (az abszcissza) pontjainak az értelmezési tartomány lehetséges elemei,
– az 'y' tengely (az ordináta) pontjainak az értékkészlet lehetséges elemei,
– a függvény grafikonjának pedig a sík azon (x,y) pontjai felelnek meg, amelyekre y=f(x).
(Jegyezzük meg, hogy a függvény definíciója alapján az x∈A független változó bármely értékéhez pontosan egy y∈B függvényérték tartozik.)

A Descartes-féle koordináta-rendszerben két pont, P₁(x₁,y₁) és P₂(x₂,y₂) távolsága

P₁P₂ = √((x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²)

módon adható meg.

Fontosabb valós függvények

az abszolút érték függvény

Értelmezzük az f(x)=∣x∣ : ℝ → ℝ abszolút érték függvényt a következőképpen:

A függvény görbéje:

az előjel függvény

Értelmezzük az f(x)=sgn(x) : ℝ → ℝ előjel függvényt a következőképpen:

A függvény görbéje:

az egészrész függvény

Értelmezzük az f(x)=[x] : ℝ → ℝ (alsó) egészrész függvényt a következőképpen:

[x] = max {n∈ℤ | n≤x}

Érdemes megjegyezni, hogy az egészrész függvény csak nemnegatív számokra egyezik meg a törtrész (ti. a tizedesjegyek) levágásával kapott egész számmal (pl. [0.97]=0, [3.14]=3), negatív számokra a törtrész levágása után kapott számnál eggyel kisebb (negatív) számot kapunk (pl. [-1.23]=-2, [-8.67]=-9).

Írjon be egy számot:
A függvény értéke:

Az egészrész függvény görbéje:

a törtrész függvény

Értelmezzük az f(x)={x} : ℝ → ℝ törtrész függvényt a következőképpen:

{x} = x − max {n∈ℤ | n≤x} = x − [x]

Mivel egy szám egészrésze mindig kisebb vagy egyenlő, mint maga a szám ([x]≤x<[x]+1), a törtrész függvény értéke 0≤{x}<1 közötti nemnegatív valós szám.

Érdemes megjegyezni, hogy a törtrész függvény csak nemnegatív számokra egyezik meg az egész rész levágásával kapott tizedestörttel (pl. [0.97]=0.97, [3.14]=0.14), negatív számokra a törtrész függvény értéke a levágott (nemnegatív) tizedestörtet +1-re egészíti ki (pl. [-1.23]=0.77, [-8.67]=0.33).

Írjon be egy számot:
A függvény értéke: (8 tizedesjegy pontossággal)

A törtrész függvény görbéje:

a lineáris függvény

Értelmezzük az f(x) : ℝ → ℝ lineáris függvényt a következőképpen:

f(x) = m*x + c (m,c ∈ ℝ)

Ha m=0, akkor az f(x)=c függvényt konstans függvénynek nevezzük.

Ha c=0, akkor az y=m*x függvényt egyenes arányosságnak nevezzük. Például ha egy gépkocsi állandó sebességgel halad, akkor s=f(t)=v*t, vagyis ha 'v' állandó, akkor a gépkocsi által megtett 's' út és az ennek megtételéhez szükséges 't' idő egymással egyenesen arányos.

Ha m≠0 teljesül, a lineáris függvény zérushelye −c/m.

Az 'm' értéke a lineáris függvény meredeksége (a függvény grafikonjának a koordináta rendszer 'x' tengelyével bezárt szögének tangense), azaz a függvény két tetszőleges pontjában
   m=tg(α)=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)=(f(x₂)−f(x₁))/(x₂−x₁)
(ld. az ábrát):

Ha az f(x) lineáris függvény meredeksége (m) ismert, és adott a görbe egy (x₀,f(x₀)) pontja, akkor a lineáris függvény f(x)=m*(x−x₀)+f(x₀) formában írható fel.

Például az f(x) = 2*x−40 és a g(x) = −3*x+60 függvény görbéi:

Két lineáris függvényből és az egészrész függvényből egy "cikcakkos" függvényt is felépíthetünk:

Egy 'n' segédváltozóval ez a függvény a következőképpen írható fel:

A függvény folytonos és invertálható; inverze:

Mivel x=f⁻¹(y), ezért x∈[2*n,2*n+1) és x∈[2*n+1,2*(n+1)) felírható a következő módon:

   2*n≤(y+n)/3≤2*n+1
és
   2*n+1≤(y−(n+1))/2≤2*(n+1)

A fenti egyenlőtlenségeket megoldva y-ra a következő függvényt kapjuk:

Az inverz függvény képletében n-t [y]-nal kifejezve és a kapott kifejezéseket átalakítva a következő függvényt kapjuk:

A függvények görbéi:

a hatványfüggvény

Értelmezzük az f(x) : ℝ → ℝ függvényt a következőképpen:

f(x) = xⁿ (n∈ℕ)

Az f(x) = x² függvény görbéje:

Az f(x) = x³ függvény görbéje:

Az f(x)=x⁴, f(x)=x⁵ és f(x)=x⁶ függvény görbéi:

a racionális egészfüggvény vagy polinom

Értelmezzük az f(x) : ℝ → ℝ n-ed fokú racionális egészfüggvényt a következőképpen:

f(x) = a_n*xⁿ + a_n−1*xⁿ⁻¹ + ... + a₂*x² + a₁*x¹ + a₀ (a_i ∈ ℝ, i=0,1,...,n; a_n≠0)

A komplex számok körében a racionális egészfüggvény gyöktényezős alakja

f(x) = a_n*(x−x₁)^r₁ *(x−x₂)^r₂ *... *(x−x_s)^r_s

ahol az x₁, x₂, ..., x_s valós számok az f(x) polinom r₁, r₂, ..., r_s-szeres gyökei (zérushelyei). Az algebra alaptétele alapján a komplex számok körében

r₁ + r₂ + ... + r_s = n

teljesül (a valós számok körében általános esetben a polinomok első és másodfokú tényezők szorzataként írhatóak fel).

Az f(x)=x²+14*x−120=(x+20)*(x−6), g(x)=−x²+28*x−196=−(x−14)² és h(x)=x²−3*x+20 másodfokú függvények görbéi:

Az y = x³−36*x²−36*x+1296 = (x+6)*(x−6)*(x−36) harmadfokú függvény görbéje:

az 1/x függvény

Értelmezzük az f(x) : ℝ∖{0} → ℝ függvényt a következőképpen:

f(x) = 1/x (x∈ℝ, x≠0) ≔ x⁻¹

A függvény görbéje:

Ha a∈ℝ tetszőleges valós szám, az f(x) = a/x (x∈ℝ, x≠0) függvényt fordított arányosságnak nevezzük. Például ha egy gépkocsi egy meghatározott 's' távolságot egyenletes sebességgel tesz meg, akkor az s=v*t összefüggés miatt t=f(v)=s/v, vagyis ha 's' állandó, akkor a gépkocsi 'v' sebessége és a távolság megtételéhez szükséges 't' idő egymással fordítottan arányos.

A függvény görbéje pl. a=2, a=−3 és a=4 mellett:

a reciprok hatványfüggvény

Értelmezzük az f(x) : ℝ∖{0} → ℝ függvényt a következőképpen:

f(x) = 1/xⁿ (x∈ℝ, x≠0) ≔ x⁻ⁿ (n∈ℕ)

A függvény görbéje n=2 esetén:

a négyzetgyökfüggvény

Értelmezzük az f(x) : ℝ⁺∪{0} → ℝ függvényt a következőképpen:

f(x) = √x (x∈ℝ, x≥0) ≔ x^1/2

A négyzetgyökfüggvény görbéje:

A ±√x függvények görbéi egy grafikonon ábrázolva:

a köbgyökfüggvény

Értelmezzük az f(x) : ℝ → ℝ köbgyökfüggvényt a következőképpen:

f(x) = ³√x ≔ x^1/3

A köbgyökfüggvény görbéje:

a szinuszfüggvény

Értelmezzük az  f(x)=sin(x)  : ℝ → [−1;1] ⊆ ℝ trigonometrikus függvényt a következőképpen:

– ha x=0, akkor legyen sin(x) = 0
– ha 0<x<π/2, akkor legyen sin(x) = {egy 'x' hegyesszögű derékszögű háromszög szöggel szemközti befogójának és átfogójának a hányadosa}
– ha x=π/2, akkor legyen sin(x) = 1
– ha π/2<x<π, akkor legyen sin(x) = sin(π−x)
– ha x=π akkor legyen sin(x) = 0
– ha π<x<3*π/2, akkor legyen sin(x) = −sin(x−π)
– ha x=3*π/2 akkor legyen sin(x) = −1
– ha 3*π/2<x<2*π, akkor legyen sin(x) = −sin(2*π−x)

Ha x<0 vagy x≥2*π, akkor legyen sin(x) = sin(x + 2*π).

A függvény görbéje:

a koszinuszfüggvény

Értelmezzük az  f(x)=cos(x)  : ℝ → [−1;1] ⊆ ℝ trigonometrikus függvényt a következőképpen:

– ha x=0, akkor legyen cos(x) = 1
– ha 0<x<π/2, akkor legyen cos(x) = {egy 'x' hegyesszögű derékszögű háromszög szög melletti befogójának és átfogójának a hányadosa}
– ha x=π/2, akkor legyen cos(x) = 0
– ha π/2<x<π, akkor legyen cos(x) = −cos(π−x)
– ha x=π akkor legyen cos(x) = −1
– ha π<x<3*π/2, akkor legyen cos(x) = −cos(x−π)
– ha x=3*π/2 akkor legyen cos(x) = 0
– ha 3*π/2<x<2*π, akkor legyen cos(x) = cos(2*π−x)

Ha x<0 vagy x≥2*π, akkor legyen cos(x) = cos(x + 2*π).

A függvény görbéje:

az 1/sin(x) függvény

Értelmezzük az f(x) : ℝ∖{k*π | k∈ℤ} → ℝ függvényt a következőképpen:

f(x) = 1/sin(x) (x≠k*π, k∈ℤ)

A függvény görbéje:

a sin(x)/x függvény

Értelmezzük az f(x) : ℝ → ℝ függvényt a következőképpen:

Írjon be egy számot:
A függvény értéke:

A függvény görbéje:

a sin(1/x) függvény

Értelmezzük az f(x) : ℝ∖{0} → ℝ függvényt a következőképpen:

f(x) = sin(1/x) (x≠0)

A függvény görbéje:

a tangensfüggvény

Értelmezzük az f(x)=tg(x) : A⊆ℝ → ℝ trigonometrikus függvényt a következőképpen:

tg(x) = sin(x) / cos(x) {x≠π/2+k*π, k∈ℤ}

Az  f(x)=tg(x)  függvény az egységsugarú körben közvetlenül is értelmezhető:

A tangensfüggvény görbéje:

az exponenciális függvény

Értelmezzük az f(x)=a^x : ℝ → ℝ⁺ (a∈ℝ, a>0, a≠1) exponenciális függvényt a következőképpen:

(0) ha x=0, akkor legyen a^x = a⁰ = 1;
(1) ha n∈ℕ tetszőleges természetes szám, akkor legyen a⁻ⁿ = 1/aⁿ;
(2) ha x=p/q∈ℚ tetszőleges racionális szám (p,q∈ℤ, q>0), akkor legyen a^x = (^q√a^p) (jegyezzük meg, hogy a>0);
(3) ha x∈ℝ tetszőleges valós szám, akkor legyen
   ℚ_x−0 = ℚ ∩ (−∞,u) az 'x'-nél kisebb és
   ℚ'_x+0 = ℚ ∩ (v,+∞) az 'x'-nél nagyobb racionális számok halmaza;
ekkor legyen a^x = h∈ℝ⁺ az a (pozitív) valós szám, amelyre
   ∀(u∈ℚ_x−0) ∀(v∈ℚ'_x+0) (a^u < h < a^v) teljesül.

az e^x függvény

Az f(x)=e^x : ℝ → ℝ⁺ függvényt, ahol
   e≈2,718281828
az ún. Euler-féle szám (a természetes logaritmus alapszáma), szűkebb értelemben vett (e alapú) exponenciális függvénynek nevezzük.

Az f(x)=e^x és g(x)=e^−x függvény görbéje:

a haranggörbe

Az f(x)=e^−x2 : ℝ → ℝ⁺ függvényt, vagy egyszerűbben írva az f(x)=exp(−x²) függvényt haranggörbének nevezzük. A normális eloszlás görbéjét ebből a függvényből képezzük

(m,σ∈ℝ, σ>0)

módon (az 'm' paraméter a normális eloszlás várható értéke és a 'σ' paraméter a normális eloszlás szórása). Ha m=0 és σ=1, akkor ún. standard normális eloszlásról szokás beszélni.

Az f(x)=exp(−x²), g(x)=2*exp(−(2*x)²) h(x)=1.5*exp(−(x/2)²) függvények görbéi:

a logaritmusfüggvény

Értelmezzük az f(x)=log_a(x) : ℝ⁺ → ℝ (a∈ℝ, a>0, a≠1) logaritmusfüggvényt mint az
   y=a^x : ℝ → ℝ⁺ (a∈ℝ, a>0, a≠1)
exponenciális függvény inverz függvényét. Vagyis x=log_a(y) az a valós szám, amelyre
   y = a^log_a(y)
teljesül minden y∈ℝ⁺ pozitív valós számra.

a természetes alapú logaritmusfüggvény

Az f(x)=ln(x)=log_e(x) : ℝ⁺ → ℝ függvényt, ahol
   e≈2,718281828
az ún. Euler-féle szám (a természetes logaritmus alapszáma), természetes alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük.

A függvény görbéje:

Az e^x exponenciális függvény és az ln(x) természetes alapú logaritmusfüggvény görbéje együtt ábrázolva (feltüntetve az y=x lineárs függvény görbéjét is):

Az exponenciális függvényt és a természetes alapú logaritmusfüggvényt együtt ábrázoló diagramon megfigyelhetjük, hogy a két függvény grafikonja szimmetrikus az y=x függvény grafikonjára.

Általánosan megfogalmazva: ha az f : ℝ → ℝ valós függvény invertálható (azaz létezik az f⁻¹ : ℝ → ℝ inverz függvény), akkor az f(x) függvény és az f⁻¹(x) inverz függvény grafikonjai az y=x függvény grafikonjára, azaz a koordináta-rendszer x tengelyével 45°-os szöget bezáró egyenesre nézve tengelyszimmetrikusak. Például
– az f(x)=e^x exponenciális és az f⁻¹(x)=ln(x) természetes alapú logaritmusfüggvény,
– a nemnegatív valós számok körében az f(x)=x² és az f⁻¹(x)=√x négyzetgyökfüggvény,
– az f(x)=f⁻¹(x)=1/x függvény (amelynek az inverze önmaga),
– az f(x)=2*x és az f⁻¹(x)=0.5*x lineáris függvények stb.
ilyen tulajdonságúak. (Egy P(x,y) pontot az y=x egyenesre tükrözve a pont képe a P'(y,x) pont lesz. Tehát az f(x) függvény bármely Q(x,f(x)) pontjának a tükörképe Q'(f(x),x), és ez f⁻¹(f(x))=x miatt rajta van az f⁻¹(x) függvény grafikonján.)

Valós függvények fontosabb tulajdonságai

Ismétlés: Matematika 1, 4. Függvények fogalma, megadási módjai, tulajdonságai.

zérushely:
Azt az x₀∈A értéket, amelyre f(x₀)=0, az f(x) függvény zérushelyének nevezzük. A zérushely(ek)ben a függvény grafikonja metszi a koordináta-rendszer 'x' tengelyét.

Ha létezik az f(x) valós függvény f⁻¹(x) inverz függvénye, és a '0' helyen az inverz függvény értelmezve van, akkor az f(x) függvénynek egy zérushelye van az x₀=f⁻¹(0) helyen.

korlátosság:
(a) Az f : A → B valós függvény alulról korlátos, ha van olyan K_a∈ℝ szám, amelyre ∀ x∈A ( K_a≤f(x) ) teljesül.
(b) Az f : A → B valós függvény felülről korlátos, ha van olyan K_f∈ℝ szám, amelyre ∀ x∈A ( f(x)≤K_f ) teljesül.
(c) Az f : A → B valós függvény korlátos, ha van olyan K∈ℝ szám, amelyre ∀ x∈A ( ∣f(x)∣≤K ) teljesül.

Ha az f(x) valós függvény alulról és felülről is korlátos, továbbá alsó korlátja K_a, felső korlátja pedig K_f, akkor az f(x) valós függvény korlátos, egy lehetséges korlátja pedig K = max(∣K_a∣,∣K_f∣). (A bizonyítás azon alapulhat, hogy az így meghatározott K esetén −K ≤ K_a ≤ f(x) ≤ K_f ≤ K teljesül bármely x∈A-ra.)

Ha az f(x) valós függvény korlátos, és korlátja K, akkor alulról és felülről is korlátos. Az f(x) valós függvény egy lehetséges alsó korlátja K_a = −K, egy lehetséges felső korlátja pedig K_f = K.

monotonitás:
(a) Az f : A → B valós függvény az A_m⊆A halmazon monoton növekedő, ha
   ∀x₁∈A_m ∀x₂∈A_m ( x₁<x₂ ⊃ f(x₁)≤f(x₂) )
teljesül.

(b) Az f : A → B valós függvény az A_m⊆A halmazon szigorúan monoton növekedő, ha
   ∀x₁∈A_m ∀x₂∈A_m ( x₁<x₂ ⊃ f(x₁)<f(x₂) )
teljesül.

A fentiek alapján definiálhatjuk a valós függvények monoton csökkenő és szigorúan monoton csökkenő tulajdonságait is.

konvexitás:

(a) az f valós függvényt egy intervallumon konvexnek ("felfelé görbülőnek") nevezzük, ha az intervallum bármely x₁ és x₂ helyén teljesül a
    f((x₁+x₂)/2)≤(f(x₁)+f(x₂))/2
egyenlőtlenség. (Reiman 1992: 492)
Például az f(x)=x² másodfokú függvény esetében könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti egyenlőtlenség az értelmezési tartomány bármely x₁ és x₂ pontjában teljesül. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a másodfokú függvény bármely pontjában a görbe érintője a görbe alatt helyezkedik el.

(b) az f valós függvényt egy intervallumon konkávnak ("lefelé görbülőnek") nevezzük, ha az intervallum bármely x₁ és x₂ helyén teljesül a
    f((x₁+x₂)/2)≥(f(x₁)+f(x₂))/2
egyenlőtlenség. (Reiman 1992: 492)
Például az f(x)=−x² másodfokú függvény esetében könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti egyenlőtlenség az értelmezési tartomány bármely x₁ és x₂ pontjában teljesül. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a másodfokú függvény bármely pontjában a görbe érintője a görbe felett helyezkedik el.

(c) Ha az f(x) függvény egy x=a pontban görbületet vált, az 'a' pontot az f(x) függvény inflexiós pontjának nevezzük.
Például az x=0 pont az f(x)=x³ harmadfokú függvény inflexiós pontja.

szélsőértékek:
(a) Az f : A → B valós függvénynek az A_s⊆A halmazon lokális minimuma van, ha létezik olyan x_min∈A_s érték, amelyre
   ∀x∈A_s ( f(x_min)≤f(x) )
teljesül. Az x_min értéket lokális minimumhelynek, az f(x_min) függvényértéket lokális minimumnak (vagy minimumértéknek) nevezzük.
(b) Az f : A → B valós függvénynek az A_s⊆A halmazon lokális maximuma van, ha létezik olyan x_max∈A_s érték, amelyre
   ∀x∈A_s ( f(x)≤f(x_max) )
teljesül. Az x_max értéket lokális maximumhelynek, az f(x_max) függvényértéket lokális maximumnak (vagy maximumértéknek) nevezzük.

Ha a fenti definíciók valamelyikében A_s=A teljesül, abszolút minimumról, ill. abszolút maximumról beszélünk. A minimumhelyeken és maximumhelyeken (az ún. szélsőértékhelyeken) felvett értékeket a függvény szélsőértékeinek nevezzük. A fentiek értelmében beszélhetünk lokális, ill. abszolút szélsőértékhelyekről, ill. szélsőértékekről.

Ha egy f : A → B valós függvénynek az A_s⊆A halmazon lokális szélsőértéke van, akkor az A_s⊆A halmazon a függvény alulról, ill. felülről korlátos, és az alsó, ill. felső korlát a függvény adott halmazon felvett szélsőértéke (minimumértéke, ill. maximumértéke).

paritás:
(a) Az f : A → B valós függvény páros, ha
   ∀x∈A ( −x∈A ⊃ f(−x)=f(x) )
teljesül. A páros függvények grafikonja (tengelyesen) szimmetrikus a koordináta-rendszer 'y' tengelyére, mivel a függvény értéke az x és −x helyeken megegyezik (feltéve, hogy ezek az értelmezési tartomány elemei).
(b) Az f : A → B valós függvény páratlan, ha
   ∀x∈A ( −x∈A ⊃ f(−x)=−f(x) )
teljesül. A páratlan függvények grafikonja (középpontosan vagy centrálisan) szimmetrikus a koordináta-rendszer (0,0) pontjára (az origóra), mivel a függvény értéke az x és −x helyeken egymás ellentettje (feltéve, hogy ezek az értelmezési tartomány elemei).

periodikusság, periodicitás:
Az f : A⊆ℝ → B⊆ℝ valós függvény periodikus, ha létezik olyan p∈ℝ∖{ 0 } zérustól különböző valós szám, amelyre
   ∀x∈A ( x+p∈A ⊃ f(x)=f(x+p) )
teljesül. Azt a p∈ℝ⁺ pozitív valós számot, amelyre a fenti állítás teljesül, a függvény egyik periódusának, azt legkisebb p_τ∈ℝ⁺ pozitív valós számot pedig, amelyre a fenti állítás teljesül, a függvény (legkisebb) periódusának nevezzük. (Van olyan periodikus függvény, amelyre p_τ∈ℝ⁺ nem létezik. Ilyen függvények esetében ha p>0 a függvény egyik periódusa, akkor mindig létezik olyan p'>0 másik periódus, amelyre p>p'. Triviális példa az f(x)=c függvény tetszőleges c∈ℝ számra.)

A periodicitás a függvény grafikonján szemléletesen megmutatható például a következőképpen:
   (1) a 'p' periódussal rendelkező f(x) függvény grafikonját 'p' távolsággal vízszintesen eltolva (bármelyik irányban) a grafikon önmagába megy át, mivel a függvény értéke az x és az x+p, ill. x−p helyeken megegyezik (feltéve, hogy ezek az értelmezési tartomány elemei);
   (2) ha a grafikon 'x' tengelyén kijelölünk egymás után 'p' hosszúságú szakaszokat, a grafikon képe (a görbe "mintázata") ezeken a szakaszokon periodikusan ismétlődik, jellegzetes sormintát képez.

Ha p>0 az f : ℝ → B⊆ℝ valós függvény egyik periódusa és n∈ℤ∖{ 0 } tetszőleges (zérustól különböző) egész szám, akkor n*p szintén az f(x) függvény egyik periódusa. Ha p'>0 az f : ℝ → B⊆ℝ valós függvény egy másik periódusa, akkor p"=p+p' az f(x) függvény egy újabb periódusa.

A tétel első állítása például a következőképpen látható be:
(a) n=1-re az állítás triviális.
(b) n=2-re legyen p>0 f(x) egyik periódusa és x'=x+p. Ekkor a periodicitás miatt mind f(x)=f(x+p)=f(x'), mind f(x')=f(x'+p) teljesül. Emiatt f(x)=f(x')=f(x'+p)=f((x+p)+p)=f(x+2*p) fennáll, vagyis p'=2*p az f függvény egyik periódusa.
(c) Tegyük fel, hogy a tétel állítása egy n>0 természetes számra igaz. Legyen p>0 f(x) egyik periódusa és x'=x+n*p. Ekkor a periodicitás miatt mind f(x)=f(x+n*p)=f(x'), mind f(x')=f(x'+p) teljesül. Emiatt f(x)=f(x')=f(x'+p)=f((x+n*p)+p)=f(x+(n+1)*p) fennáll, vagyis p'=(n+1)*p az f függvény egyik periódusa. A teljes indukció elvéből következően tehát a tétel állítása minden természetes számra igaz.
(d) n=−1-re legyen p>0 f egyik periódusa és x=x'+p. Ekkor f(x)=f(x'+p) és x'=x−p, valamint a periodicitás miatt f(x')=f(x'+p), amiből f(x−p)=f(x')=f(x'+p)=f(x) következik, vagyis p'=−p az f(x) függvény egyik periódusa.
(e) Mivel a tétel állítása minden (pozitív) természetes számra igaz (c pont), és ezek (−1)-szeresére is igaz (d pont), ezért a tétel minden zérustól különböző egész számra igaz.

Valós függvények tulajdonságainak vizsgálata

Néhány valós függvény esetén a fontosabb tulajdonságokat az alábbi táblázatban foglaltuk össze:

Műveletek valós függvények között

Legyenek f : A_f⊆ℝ → ℝ és g : A_g⊆ℝ → ℝ valós függvények, és A = A_f ∩ A_g. Értelmezzük a függvények között az alábbi műveleteket:

(a) Azt a φ : A⊆ℝ → ℝ valós függvényt, amelyre φ(x)=f(x)+g(x) (x∈A) teljesül, az f(x) és g(x) függvények összegének nevezzük.

(b) Azt a φ : A⊆ℝ → ℝ valós függvényt, amelyre φ(x)=f(x)−g(x) (x∈A) teljesül, az f(x) és g(x) függvények különbségének nevezzük.

(c) Azt a φ : A⊆ℝ → ℝ valós függvényt, amelyre φ(x)=f(x)*g(x) (x∈A) teljesül, az f(x) és g(x) függvények szorzatának nevezzük.

(d) Azt a φ : A∖{ x | g(x)=0 }⊆ℝ → ℝ valós függvényt, amelyre φ(x)=f(x)/g(x) (x∈A) teljesül, az f(x) és g(x) függvények hányadosának nevezzük.

(e) Tegyük fel, hogy Rng(f)⊆A_g teljesül. Ekkor azt a φ : A_f⊆ℝ → ℝ valós függvényt, amelyre
   φ(x)=(g∘f)(x)=g(f(x)) (x∈A)
teljesül, a g(x) és f(x) függvények összetett függvényének nevezzük.

Függvénytranszformációk

Legyenek a,b,c∈ℝ zérustól különböző valós számok. Ekkor az alábbi műveletekkel képzett φ(x) függvény grafikonja előállítható az f(x) függvény grafikonjából ún. függvénytranszformációk segítségével (vö. Obádovics-Szarka 2009: 61-62).

Példaként ábrázoljunk az f(x)=x² függvényből a fenti függvénytranszformációk segítségével előállítható néhány függvényt. A "felfelé nyíló" f(x)=x², g(x)=(x+40)² és h(x)=(x+40)²−80 másodfokú függvények (parabolák) görbéi:

A "lefelé nyíló" p(x)=−(x−80)², q(x)=−(2*x−80)² és r(x)=−4*(x−80)², valamint a p(x) függvénynek az 'x' és 'y' tengelyekre tükrözésével kapott p_t(x)=(−x−80)² másodfokú függvények (parabolák) görbéi: