Alkalmazott matematika 2

Tartalom

• Valós függvények
•  
• Sorozatok, számsorozatok
• Függvények határértéke
• Függvények folytonossága
•  
• Differenciálszámítás
  • Függvényvizsgálat
• Integrálszámítás
•  
• Irodalom- és forrásjegyzék

Differenciálszámítás

Legyen f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény, x₀∈A az értelmezési tartomány egy pontja. Ekkor az

Legyen f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény, x₀∈A az értelmezési tartomány egy pontja. Ekkor ha létezik az f(x) függvény x₀ ponthoz tartozó differenciahányadosának az x₀ pontban véges határértéke, akkor ezt a

Ha a differenciálhányados létezik az értelmezési tartomány egy pontjában, akkor azt mondjuk, hogy a függvény differenciálható (vagy deriválható) ebben a pontban. Ha a függvény egy H⊆A halmaz minden pontjában differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy a függvény a H halmazon differenciálható, és az f ^’(x) : H → ℝ függvényt az f(x) függvény deriváltfüggvényének nevezzük. (Megjegyzés: f ^’(x) mellett használni fogjuk az f(x)^’ jelölést is.)

Ha a függvény differenciálható egy pontban és/vagy egy halmazon és a deriváltfüggvénye az adott pontban és/vagy halmazon folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az adott pontban és/vagy halmazon a függvény folytonosan differenciálható.

Ha az f : A⊆ℝ → ℝ függvény differenciálható az x₀∈A pontban, akkor ott folytonos.
Ha a lim (f(x)−f(x₀))/(x-x₀) x→x₀ határérték véges, akkor x → x₀ miatt (x-x₀) → 0 és (f(x)−f(x₀)) → 0 teljesül. De ez utóbbi

   lim f(x) = f(x₀) x→x₀

teljesülését jelenti, vagyis f(x) az x₀ pontban folytonos.

Ha az f : A⊆ℝ → ℝ függvény differenciálható az a∈A pontban, akkor f(x) grafikonjának van érintője a P(a,f(a)) pontban. Az érintő egyenlete

   y=f ^’(a)*(x−a)+f(a)≐l_a(x)

vagyis az érintő meredeksége (iránytangense) f ^’(a). (Megjegyzés: ha egy függvény görbéjének egy pontban létezik érintője, és az nem merőleges az x tengelyre, a tétel megfordítása is teljesül.)

Legyen az f : A⊆ℝ → ℝ függvény differenciálható az A halmazon, és tételezzük fel, hogy az f(x) függvény f ^’(x) deriváltfüggvénye is differenciálható az A halmazon. Ekkor értelmezhetjük az f ^’’(x) második deriváltfüggvényt is. Hasonlóan értelmezhetjük az f(x) függvény f ⁽ⁿ⁾(x) n-ik deriváltfüggvényét.

Differenciálási szabályok

Legyenek f : A⊆ℝ → ℝ és g : A⊆ℝ → ℝ az A halmazon differenciálható függvények. Az ezeket tartalmazó különböző matematikai kifejezések differenciálására a következő szabályok használhatók:

(a; konstans tényezős szorzat deriváltja) (c_*f(x))^’ = c_*f ^’(x) (c∈ℝ)

(b; összeg deriváltja) (f(x)+g(x))^’ = f ^’(x)+g^’(x)

(c; különbség deriváltja) (f(x)−g(x))^’ = f ^’(x)−g^’(x)

(d; szorzat deriváltja) (f(x)_*g(x))^’ = f ^’(x)_*g(x)+f(x)_*g^’(x)

(e; hányados deriváltja) (f(x)/g(x))^’ = (f ^’(x)_*g(x)−f(x)_*g^’(x)) / g²(x) (x∈A, g(x)≠0)
Speciálisan, ha f(x)=1, akkor (1/g(x))^’ = −g^’(x) / g²(x) (x∈A, g(x)≠0) teljesül. Ez az összetett függvényre vonatkozó deriválási szabályból is levezethető, ha 1/x a "külső" függvény, g(x) a "belső" függvény (azaz az 1/x függvényben az x↔g(x) helyettesítést hajtjuk végre).

(f; összetett függvény deriváltja) Legyen f : A_f⊆ℝ → ℝ differenciálható függvény az A_f halmazon, g : A_g⊆ℝ → ℝ differenciálható függvény az A_g halmazon, valamint teljesüljön Rng(f)⊆A_g. Ekkor a φ(x)=(g∘f)(x)=g(f(x)) összetett függvény is differenciálható az A_f halmazon, és
   φ^’(x)=(g^’∘f)(x)_*f^’(x)= g^’(f(x))_*f^’(x)
teljesül.
Szavakban megfogalmazva: ha a φ(x)=g(f(x)) összetett függvényben a g(x) függvényt "külső", az f(x) függvényt "belső" függvénynek nevezzük, akkor a φ^’(x) deriváltfüggvényt úgy kapjuk, hogy vesszük a g(x) külső függvény deriváltfüggvényét az f(x) helyen (azaz a g^’(x) deriváltfüggvényben végrehajtjuk az x↔f(x) helyettesítést), és ezt szorozzuk az f(x) belső függvény deriváltfüggvényével az 'x' helyen.

(g; hatványfüggvény deriváltja) (f(x)ⁿ)^’ = n_*f(x)ⁿ⁻¹_*f ^’(x) (n∈ℕ, n>1)
Megjegyzés: speciálisan a konstans függvény deriváltja 0, az f(x)=x függvény deriváltja 1, az f(x)=xⁿ függvény deriváltja n*xⁿ⁻¹, az f(x)=1/x függvény deriváltja −1/x² (lásd alább), és az f(x)=√x függvény deriváltja 1/(2*√x). Vegyük észre, hogy a fenti esetekben a (g) szabály akkor is alkalmazható, ha a hatványkitevő (n) negatív természetes szám, ill. tetszőleges racionális szám.

Példák:
(1) Legyen φ(x)=sin(x⁴) és keressük a φ(x) összetett függvény deriváltját (vö. Obádovics-Szarka 2009: 127).
Az (f) szabály, valamint a sin^’(x)=cos(x) szabály (ld. később) és a (g) szabály alkalmazásával
   φ^’(x)=cos(x⁴)*4*x³=4*x³*cos(x⁴)
adódik.
(2) Határozzuk meg a ψ(x)=(sin(x))⁴ összetett függvény deriváltját is.
Az előzőekben is használt szabályok alkalmazásával
   ψ^’(x)=4*(sin(x))³*cos(x)
adódik.

(h; inverz függvény deriváltja) Legyen f : A_f ⊆ ℝ → ℝ invertálható függvény, amely differenciálható az A_f halmazon. Ekkor az f⁻¹(y) függvény is differenciálható minden olyan y=f(x) pontban, amelyre f ^’(x)≠0, és
(f⁻¹(y))^’ = 1/f ^’(x).
Jegyezzük meg, hogy ha az inverz függvény explicit alakját meg akarjuk kapni, a szabály alkalmazása után az f ^’(x) deriváltfüggvényben még végre kell hajtanunk az x=f⁻¹(y) helyettesítést.

Ha az y=f(x) valós függvénynek létezik az x=f⁻¹(y) inverz függvénye, akkor az f⁻¹(f(x))=x azonosságból az összetett függvény deriválására vonatkozó (f) szabály, valamint az f(x)=x függvény derináltjára vonatkozó x ^’=1 szabály alapján (ld. később)
   (f⁻¹(f(x))) ^’=(f⁻¹(y)) ^’*f ^’(x)=1
adódik, amiből egyszerű átrendezéssel következik az inverz függvény kiszámítására vonatkozó szabály.

Példák:
(1) Határozzuk meg az y=f(x)=4*x−2 függvény x=f⁻¹(y)=(y+2)/4 inverz függvényének deriváltját.
A (h) szabály alapján, felhasználva f(x)=x függvény derináltjára vonatkozó x ^’=1 szabályt (ld. később),
   f⁻¹(y)^’=1/f(x)^’=1/4
adódik.
(2) Határozzuk meg az y=f(x)=x³ függvény x=f⁻¹(y)=y^1/3 inverz függvényének deriváltját.
A (g) és (h) szabály alapján, felhasználva a hatványfüggvény derináltjára vonatkozó (x³) ^’=3*x² szabályt,
   f⁻¹(y)^’=1/f(x)^’=1/(3*x²)
adódik. Az x=f⁻¹(y)=y^1/3 helyettesítést elvégezve ebből
   f⁻¹(y)^’=1/f(x)^’=(1/3)*y^−2/3
adódik.
(3) Határozzuk meg az y=f(x)=e^x függvény x=f⁻¹(y)=ln y inverz függvényének deriváltját (vö. Obádovics-Szarka 2009: 129).
A (h) szabály és az (e^x)^’=e^x szabály (ld. később) alapján, felhasználva azt, hogy y=e^x,
   ln^’(y)=1/e^x=1/y
adódik.

Nevezetes függvények deriváltjai

(a) legyen f(x)=c (c∈ℝ), ekkor f ^’(x) = 0

(b) legyen f(x)=x, ekkor f ^’(x) = 1

(c) legyen f(x)=x², ekkor f ^’(x) = 2_*x

(d) legyen f(x)=1/x, ekkor f ^’(x) = −1/x²

(e) legyen f(x)=√x, ekkor f ^’(x) = 1/(2_*√x)

(f) legyen f(x)=xⁿ (n≠0), ekkor f ^’(x) = n_*xⁿ⁻¹

(g) legyen f(x)=e^x, ekkor f ^’(x) = e^x

(h) legyen f(x)=ln x, ekkor f ^’(x) = 1/x

(i) legyen f(x)=a^x (a>0), ekkor f ^’(x) = a^x_*ln a
(Mivel a=e^{ln a}, ezért a^x=e^{x_*ln a}, az összetett függvényre vonatkozó (f) szabályt alkalmazva adódik az eredmény. Speciálisan, ha a=e, akkor ln e=1 miatt a (g) szabály adódik.)

(j) legyen f(x)=log_a(x) (x>0), ekkor f ^’(x) = 1/(x_*ln(a))
(Mivel log_a x=ln x/ln a, az ln függvényre vonatkozó (h) szabályt alkalmazva adódik az eredmény.)

(k) legyen f(x)=sin(x), ekkor f ^’(x) = cos(x)

(l) legyen f(x)=cos(x), ekkor f ^’(x) = −sin(x)

(m) legyen f(x)=tg x, ekkor f ^’(x) = 1/cos²(x)
(Mivel tg(x)=sin(x)/cos(x), a hányadosfüggvényre vonatkozó (e) szabály alkalmazásával, valamint a sin²(x)+cos²(x)=1 azonosságot felhasználva adódik az eredmény.)

Függvényvizsgálat

Legyen f : I⊆ℝ → ℝ az I=[a,b] intervallumban folytonos, az I=(a,b) intervallumban n-szer differenciálható függvény (n>2; megengedjük az a=−∞, b=∞ értékeket is).

(1) monoton növekedés és csökkenés

(a) Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az f(x) függvény az I intervallumban monoton növekvő legyen, f ^’(x)≥0 teljesülése minden x∈I-re.
(b) Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az f(x) függvény az I intervallumban monoton csökkenő legyen, f ^’(x)≤0 teljesülése minden x∈I-re.
(c) Ha f ^’(x)≥0 teljesül minden x∈I-re, és nincs I-nek olyan részintervalluma, amelyben f ^’(x)=0, akkor az f(x) függvény az I intervallumban szigorúan monoton növekedő.
    (c.1) Speciálisan, ha f ^’(x)>0 teljesül minden x∈I-re, akkor az f(x) függvény az I intervallumban szigorúan monoton növekedő.
(d) Ha f ^’(x)≤0 teljesül minden x∈I-re, és nincs I-nek olyan részintervalluma, amelyben f ^’(x)=0, akkor az f(x) függvény az I intervallumban szigorúan monoton csökkenő.
    (d.1) Speciálisan, ha f ^’(x)<0 teljesül minden x∈I-re, akkor az f(x) függvény az I intervallumban szigorúan monoton csökkenő.

(2) szélsőértékek

(a.1) Ha egy a∈I pontban f ^’(a)=0, és az a∈I pontban f(x) monoton csökkenőből monoton növekedőbe megy át, akkor az a∈I pontban f(x)-nek minimuma van.
Ha egy a∈I pontban f ^’(a)=0, és az a∈I pontban f ^’(x) negatívból pozitívba megy át (vagyis előjelet vált), akkor az a∈I pontban f(x)-nek minimuma van.

(a.2) Ha egy a∈I pontban f ^’(a)=0, és az a∈I pontban f ^’’(a)>0 (vö. konvex jelleg, α.2), akkor az a∈I pontban f(x)-nek minimuma van.
(Ha f ^’(a)=0 és f ^’(x) szigorúan monoton növekedő, akkor x=a egy környezetében negatívból pozitívba megy át.)

(b.1) Ha egy a∈I pontban f ^’(a)=0, és az a∈I pontban f(x) monoton növekedőből monoton csökkenőbe megy át, akkor az a∈I pontban f(x)-nek maximuma van.
Ha egy a∈I pontban f ^’(a)=0, és az a∈I pontban f ^’(x) pozitívból negatívba megy át (vagyis előjelet vált), akkor az a∈I pontban f(x)-nek maximuma van.

(b.2) Ha egy a∈I pontban f ^’(a)=0, és az a∈I pontban f ^’’(a)<0 (vö. konkáv jelleg, β.2), akkor az a∈I pontban f(x)-nek maximuma van.
(Ha f ^’(a)=0 és f ^’(x) szigorúan monoton csökkenő, akkor x=a egy környezetében pozitívból negatívba megy át.)

(3) konvex vagy konkáv jelleg

Legyen az az I intervallumban differenciálható f(x) függvény a∈I pontjához tartozó érintőjének egyenlete y=l_a(x). Az f(x) függvény az I intervallumban konvex, ha

   ∀a∈I ∀x∈I ( x≠a ⊃ f(x)>l_a(x) ) teljesül.

Konvex függvények esetében "a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad" (Wikipédia).

Az f(x) függvény az I intervallumban konkáv, ha

   ∀a∈I ∀x∈I ( x≠a ⊃ f(x)<l_a(x) )

teljesül. Konkáv függvények esetében "a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad" (Wikipédia).

Az f(x) függvény konvexitására vonatkozó tételek (vö. Denkinger 1980: 177-178):

(α.1) Az f(x) függvény az I intervallumban akkor és csak akkor konvex, ha f ^’(x) az I intervallumban monoton növekvő.

(α.2) Az f(x) függvény az I intervallumban akkor és csak akkor konvex, ha az I intervallumban f ^’’(x)≥0 teljesül.

(β.1) Az f(x) függvény az I intervallumban akkor és csak akkor konkáv, ha f ^’(x) az I intervallumban monoton csökkenő.

(β.2) Az f(x) függvény az I intervallumban akkor és csak akkor konkáv, ha az I intervallumban f ^’’(x)≤0 teljesül.

(4) inflexiós pontok

Az a∈I pont az f(x) függvény inflexiós pontja, ha

   ∀δ>0 ∃x₁∈I ∃x₂∈I ( ∣a−x₁∣<δ ∧ ∣a−x₂∣<δ ⊃. f(x₁)<l_a(x₁) ∧ f(x₂)>l_a(x₂) )

teljesül. Az inflexiós pontban "a függvénygörbe görbületet vált", a görbe alakja konkávból konvexbe vagy konvexből konkávba vált (Wikipédia). Például tekintsük az f(x)=x³+2x² függvényt az x=−2/3 pontban:

(a) Ha az a∈I pont az f(x) függvény inflexiós pontja, akkor f ^’’(a)=0 teljesül (szükséges feltétel).

(b.1) Ha f ^’’(a)=0 teljesül, és az a∈I pontban f ^’(x) monoton csökkenőből monoton növekedőbe megy át, akkor a∈I inflexiós pont (elégséges feltétel).
(b.2) Ha f ^’’(a)=0 teljesül, és az a∈I pontban f ^’(x) monoton növekedőből monoton csökkenőbe megy át, akkor a∈I inflexiós pont (elégséges feltétel).

(c.1) Ha f ^’’(a)=0 teljesül, és az a∈I pontban f ^’’(x) előjelet vált, akkor az a∈I pont inflexiós pont (elégséges feltétel).
(c.2) Ha f ^’’(a)=0 teljesül, és az a∈I pontban f ^’’’(a)≠0, akkor a∈I inflexiós pont (elégséges feltétel).

Konkrét függvények vizsgálata

A függvényvizsgálat során például az alábbi tulajdonságokat vizsgálhatjuk meg:

– értelmezési tartomány, folytonosság, szakadási pontok
– zérusértékek, zérushelyek
– értékkészlet, korlátosság
– periodicitás
– paritás (páros, ill. páratlan jelleg)
– határérték az értelmezési tartomány egyes pontjaiban (pl. a határpontokban, lehetséges szakadási helyeken stb.)
– aszimptoták meghatározása

Az x=u (függőleges) egyenes az f(x) függvény függőleges aszimptotája, ha f(x)→±∞ (x→u+0) vagy f(x)→±∞ (x→u−0) teljesül.
Az y=v (vízszintes) egyenes az f(x) függvény vízszintes aszimptotája, ha f(x)→v (x→∞) vagy f(x)→v (x→−∞) teljesül.

– monotonitás az értelmezési tartomány egyes szakaszain (az első derivált előjelének vizsgálata)
– szélsőértékek (az első derivált zérushelyeinek és a második derivált előjelének vizsgálata)
– konvex, ill. konkáv jelleg az értelmezési tartomány egyes szakaszain (a második derivált előjelének vizsgálata)
– inflexiós pontok (a második derivált zérushelyeinek és a harmadik derivált értékének vizsgálata)
– a függvény grafikonjának ábrázolása (felvázolása)

Integrálszámítás

A differenciálszámítás alapfeladata egy f(x):A⊆ℝ→ℝ valós függvény f ^’(x):A⊆ℝ→ℝ derivált függvényének meghatározása. Az integrálszámítás alapfeladata ennek a fordítottja. A cél az f(x):A⊆ℝ→ℝ valós függvényhez egy olyan F(x):A⊆ℝ→ℝ ún. primitív függvény meghatározása, amely az 'A' halmazon differenciálható, és deriváltfüggvényére bármely x∈A esetén
    F^’(x)=f(x)
teljesül (vö. Obádovics-Szarka 2009: 185).

A deriválás szabályaiból következik, hogy ha F(x) primitív függvény, akkor tetszőleges c∈ℝ valós szám (ill. g(x)=c konstans függvény) mellett F(x)+c szintén primitív függvény. A c∈ℝ számot ún. integrációs állandónak nevezzük.

Az f(x) valós függvény primitív függvényeinek összességét az f(x) függvény határozatlan integráljának nevezzük, és
    ⎰f(x)dx
módon jelöljük. Az előzőek értelmében a határozatlan integrál kifejezése a primitív függvénnyel
    ⎰f(x)dx=F(x)+c
módon lehetséges, ahol c∈ℝ az integrációs állandó (amely tetszőleges valós szám). Ha az f(x) függvénynek létezik az 'A' halmazon határozatlan integrálja, akkor ott integrálhatónak nevezzük.

Ha az f(x):A⊆ℝ→ℝ valós függvény az 'A' halmazon folytonos, akkor ott létezik határozatlan integrálja (vö. Obádovics-Szarka 2009: 185).

Integrálási szabályok és módszerek

Legyenek f(x):A⊆ℝ→ℝ és g(x):A⊆ℝ→ℝ az 'A' halmazon integrálható függvények. Az ezeket tartalmazó különböző matematikai kifejezések integrálására a következő szabályok használhatók:

(a; konstans tényezős szorzat határozatlan integrálja) ⎰k*f(x)dx=k*⎰f(x)dx (k∈ℝ)

(b; összeg határozatlan integrálja) ⎰(f(x)+g(x))dx=⎰f(x)dx+⎰g(x)dx

(c; különbség határozatlan integrálja) ⎰(f(x)−g(x))dx=⎰f(x)dx−⎰g(x)dx

Legyenek az f(x):A⊆ℝ→ℝ és g(x):A⊆ℝ→ℝ függvények differenciálhatók az 'A' intervallumon, és ott az első deriváltak folytonosak. Ekkor alkalmazhatjuk az ún. parciális integrálás szabályát:

(d; szorzat határozatlan integrálja) ⎰f ^’(x)*g(x)dx= f(x)*g(x) − ⎰f(x)*g^’(x)dx

Legyen f(x)=x, tehát f ^’(x)=1, és g(x)=e^x, tehát g^’(x)=e^x és ⎰e^xdx=e^x teljesül.
Ekkor alkalmazzuk a ⎰f ^’(x)*g(x)dx= f(x)*g(x) − ⎰f(x)*g^’(x)dx szabályt:
    ⎰e^xdx= x*e^x − ⎰x*e^xdx
Mivel azonban ⎰e^xdx=e^x+c₁, ezért ebből
    e^x+c₁= x*e^x − ⎰x*e^xdx ⇒ ⎰x*e^xdx= x*e^x−e^x+c₂ ⇒ ⎰x*e^xdx= (x−1)*e^x+c
következik (ahol c₁, c₂=c tetszőleges valós számok). Ellenőrizzük a kapott eredményt:
    ((x−1)*e^x+c)'= (x−1)'*e^x+(x−1)*(e^x)'= e^x+(x−1)*e^x= e^x+x*e^x−e^x= x*e^x
Tehát az F(x)=(x−1)*e^x+c függvény az x*e^x függvény primitív függvénye.

Legyen az f(x):[a,b]⊆ℝ→ℝ függvény az [a,b] zárt intervallumon folytonos.
Legyen továbbá φ(x):[α,β]⊆ℝ→ℝ egy "jó tulajdonságú" függvény a [α,β] zárt intervallumon, amelyre teljesül, hogy
– szigorúan monoton növekvő vagy csökkenő,
– korlátos, az alsó- és felső korlátra a≤φ(x)≤b teljesül, valamint
– folytonosan differenciálható (vö. Obádovics-Szarka 2009: 188-189).
Másképpen megfogalmazva: legyen φ(x):[α,β]⊆ℝ→ℝ egy bijektív, differenciálható függvény, amelyre
– φ(α)=a és φ(β)=b
teljesül (Kozma 2004: 86).

Ilyen feltételek mellett alkalmazhatjuk az ún. helyettesítéses integrálás szabályát:

(e; összetett függvény határozatlan integrálja) ha x=φ(t), akkor ⎰f(x)dx= ⎰f(φ(t))*φ^’(t)dt

1. példa. Keressük az x*sin(x²) függvény határozatlan integrálját (Monostory 2006: 112).
Legyen f(x)=sin(x) és φ(t)=t², amiből φ^’(t)=2*t következik. x=φ(t) helyettesítéssel kapjuk, hogy
    f(φ(t))*φ^’(t)= sin(φ(t))*φ^’(t)= sin(t²)*2*t= 2*t*sin(t²)
teljesül.
Alkalmazzuk a ⎰f(x)dx= ⎰f(φ(t))*φ^’(t)dt szabályt:
    ⎰sin(x)dx= ⎰2*t*sin(t²)dt
Mivel azonban ⎰sin(x)dx=−cos(x)+c₁, ezért x=φ(t)=t² miatt ebből
    ⎰2*t*sin(t²)dt= −cos(x)+c₁ ⇒ ⎰t*sin(t²)dt= −cos(t²)/2+c
következik. Ellenőrizzük a kapott eredményt:
    (−cos(t²)/2+c)'= (sin(t²)*2*t)/2= t*sin(t²)
Tehát az F(x)=−cos(x²)/2+c függvény a x*sin(x²) függvény primitív függvénye.

2. példa. Keressük a sin³(x)*cos(x) függvény határozatlan integrálját.
Legyen f(x)=x³ és φ(t)=sin(t), amiből φ^’(t)=cos(t) következik. x=φ(t) helyettesítéssel kapjuk, hogy
    f(φ(t))*φ^’(t)= φ³(t)*φ^’(t)= sin³(t)*cos(t)
teljesül.
Alkalmazzuk a ⎰f(x)dx= ⎰f(φ(t))*φ^’(t)dt szabályt:
    ⎰x³dx= ⎰sin³(t)*cos(t)dt
Mivel azonban ⎰x³dx=x⁴/4+c, ezért x=φ(t)=sin(t) miatt ebből
    ⎰sin³(t)*cos(t)dt= x⁴/4+c ⇒ ⎰sin³(t)*cos(t)dt= sin⁴(t)/4+c
következik. Ellenőrizzük a kapott eredményt:
    (sin⁴(x)/4+c)'= (4*sin³(x)/4)*cos(x)= sin³(x)*cos(x)
Tehát az F(x)=sin⁴(x)/4+c függvény a sin³(x)*cos(x) függvény primitív függvénye.

Fontosabb alapintegrálok táblázata

A határozott integrál

Legyen f(x):[a,b]⊆ℝ→ℝ az [a,b] zárt intervallumon értelmezett, korlátos függvény. Osszuk fel az [a,b] intervallumot 'n' részre úgy, hogy létrehozzuk az
    a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n−1 < x_n = b
osztópontokat. (Például úgy, hogy az [a,b] intervallumot 'n' egyenlő részre osztjuk.) Legyenek továbbá
    ξ_k∈[x_k−1,x_k] (k=1, 2, ..., n)
az egyes osztópontok közötti tetszőleges értékek (pl. a szomszédos osztópontokhoz tartozó részintervallumok középpontjai).

Képezzük ezután az
    I_n ⇌ Σ _(1≤k≤n) f(ξ_k)*(x_k−x_k−1)
ún. integrálközelítő összeget.

Vegyük észre, hogy ha az f(x) függvényt ábrázoljuk, az integrálközelítő összegben szereplő f(ξ_k)*(x_k−x_k−1) szorzatok egy olyan téglalap területét adják meg, amelynek alapja az [x_k−1,x_k] részintervallum, magassága pedig f(ξ_k). Az integrálközelítő összeg az f(x) függvény görbéje alatti (előjeles) területet közelíti ezeknek a téglalapoknak a segítségével.

Másképpen megfogalmazva: az integrálközelítő összeg "szemléletes jelentése (pozitív függvény esetében) nem más, mint az adott beosztáshoz tartozó beírható téglalapok területösszege" (Kozma 2004: 82).

Vegyük a felosztásoknak egy minden határon túl finomodó sorozatát, és az ehhez tartozó
    I₁, I₂, ..., I_n, ...
sorozatot. Ha ez a sorozat a felosztástól és a ξ_k pontok választásától függetlenül konvergens, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az [a,b] intervallumon Riemann szerint integrálható.

Az I_n sorozat fenti értelemben vett lim I_n (n→∞) határértékét az f(x) függvény [a,b] intervallumon vett határozott integráljának nevezzük, és
   
lim I_n = b ⎰ a f(x)dx

módon jelöljük.

Legyen az f(x) függvény az [a,b] intervallumon folytonos, és legyen a primitív függvénye F(x). Ekkor
   
b ⎰ a f(x)dx = F(b)−F(a)

teljesül (Newton-Leibniz szabály). Ennek segítségével egy adott f(x) függvény görbéje alatti (előjeles) terület meghatározható.

Például az f(x)=sin(x) függvény esetén F(x)=−cos(x) egy megfelelő primitív függvény (c=0). Ezzel a [0,π] intervallum felett az f(x) függvény görbéje alatti terület

T = π ⎰ 0 sin(x)dx = F(π)−F(0)

módon számítható ki. Ennek alapján a görbe alatti területre egyszerű behelyettesítéssel cos(0)=1 és cos(π)=−1 miatt
    T=
    (−cos(π))−(−cos(0))=
    (1)−(−1)=
    2
adódik.