Alkalmazott matematika 2

Tartalom

• Valós függvények
•  
• Sorozatok, számsorozatok
• Függvények határértéke
• Függvények folytonossága
•  
• Differenciálszámítás
  • Függvényvizsgálat
• Integrálszámítás
•  
• Irodalom- és forrásjegyzék

Sorozatok

Ismétlés: Matematika 1, 5.1. Sorozatok

Az s : ℕ → ℝ függvényt (végtelen) számsorozatnak nevezzük. A sorozat szokásos jelölése:
   s₁, s₂, ..., s_n, ... (n∈ℕ⁺)
ahol az alsó indexként megadott 1,2,...,n,... értékeket a sorozatelemek indexének nevezzük.

Egyes esetekben a számsorozat elemeinek sorszámozását ("indexelését") 0-tól kezdjük, azaz a sorozatot egy s : ℕ → ℝ függvényként definiáljuk, és a sorozat tagjait
   s₀, s₁, ..., s_n, ... (n∈ℕ)
módon jelöljük.

Egy s : ℕ → B sorozat (s₁, s₂, ..., s_n, ...) ∈ B^∞ módon is ábrázolható. Jegyezzük meg, hogy a sorozat mint rendezett elemek sorozata és a sorozat elemeiből képzett { s_n | n∈ℕ } elemhalmaz különbözik egymástól (például azért, mert egy elemsorozatban az elemek sorrendje is számít; ha pedig az 's' leképezés nem injektív, akkor az s_n∈B (n∈ℕ) képelemek között ismétlődő elemek is vannak).

A számsorozatok szokásos megadása általában képlettel, a sorozat általános elemének (s_n) a megadásával történik az 'n' index függvényében. Az általános elemet egyes esetekben a megelőző elem vagy elemek segítségével állítjuk elő. Ilyenkor ún. rekurzív definícióról (vagy megadásról) beszélünk. A sorozatok megadásakor egyes esetekben (például rekurzív definíció esetében) szükséges az első elem (s₁), és esetleg további elemek megadása is. Jegyezzük meg, hogy a sorozatok képlettel történő megadása egy algoritmust ad meg, amellyel a sorozat elemei előállíthatók.

Ha a sorozat elemei pozitív számok (azaz s_n>0, n∈ℕ) pozitív definit sorozatról, ha pedig negatív számok (azaz s_n<0, n∈ℕ), negatív definit sorozatról beszélhetünk. Ha a sorozat elemeinek előjele váltakozik, oszcilláló sorozatról beszélhetünk.

Például adott s₁ és 'd' esetén az
    s_n=s₁+(n−1)*d (n∈ℕ)
sorozatot számtani sorozatnak nevezzük (ahol d∈ℝ a számtani sorozat ún. differenciája). A számtani sorozat elemei rekurzív szabállyal is megadhatók
    s_n=s_n−1+d (n>1)
módon. A számtani sorozat első 'n' elemének (tagjának) az összege szintén sorozat, amely megadható
    S_n=n*(s₁+s_n)/2= n*(2*s₁+(n-1)*d)/2= n*s₁+n*(n-1)*d/2
módon.

Bizonyítás (teljes indukcióval):
(1) Az S_n=n*(2*s₁+(n-1)*d)/2 összefüggés n=1-re (és n=2-re stb.) fennáll.
(2) Tegyük fel, hogy az összefüggés n-re fennáll, azaz S_n=n*(2*s₁+(n-1)*d)/2 teljesül.
(3) Ekkor S_n+1=S_n+s_n+1 és s_n+1=s₁+n*d miatt
   S_n+1=n*(2*s₁+(n-1)*d)/2+s_n+1=
   n*(2*s₁+(n-1)*d)/2+(s₁+n*d)=
   n*s₁+n*(n-1)*d/2+s₁+n*d=
   (n+1)*s₁+n*(n-1)*d/2+2*n*d/2=
   (n+1)*s₁+((n-1)+2)*n*d/2=
   (n+1)*2*s₁/2+(n+1)*n*d/2=
   (n+1)(2*s₁+n*d)/2
vagyis az indukciós feltétel öröklődött n→(n+1)-re, ezért minden természetes számra igaz.

Például adott s₁ és 'q' esetén az
    s_n=s₁*q⁽ⁿ⁻¹⁾ (n∈ℕ)
sorozatot mértani sorozatnak nevezzük (ahol q∈ℝ a mértani sorozat ún. kvóciense). A mértani sorozat elemei rekurzív szabállyal is megadhatók
    s_n=s_n−1*q (n>1)
módon. A mértani sorozat első 'n' elemének (tagjának) az összege szintén sorozat, amely q≠1 esetén megadható
    S_n=s₁*(qⁿ−1)/(q−1)
módon.

Sorozatok tulajdonságai

Mivel a számsorozatok speciális függvények, értelmezhető rájuk a korábban definiált korlátosság és monotonitás fogalma.

korlátosság

(a) az s : ℕ → ℝ számsorozat alulról korlátos, ha van olyan K_a∈ℝ szám, amelyre ∀n∈ℕ (K_a≤s_n) teljesül.

(b) az s : ℕ → ℝ számsorozat felülről korlátos, ha van olyan K_f∈ℝ szám, amelyre ∀n∈ℕ (s_n≤K_f) teljesül.

(c) az s : ℕ → ℝ számsorozat korlátos, ha van olyan K szám, amelyre ∀n∈ℕ (∣s_n∣≤K) teljesül.

Például az s_n=(2*n−1)/(n+1) sorozat korlátos (vö. Obádovics-Szarka 2009: 268):
– mivel 0<s_n (n∈ℕ), ezért K_a=0 alsó korlát;
– Legyen k∈ℝ tetszőleges való szám. Ekkor
   s_n=(2*n−1)/(n+1)<k ⇔
   2*n−1<k*(n+1)=k*n+k ⇔
   2*n−k*n=n*(2−k)<k+1
teljesül. Ez k≥2 esetén nyilvánvalóan fennáll (k=2 esetén 0<3, k>2 esetén pedig n*(2−k)<0<k+1), vagyis K_f=2 felső korlát.

monotonitás

(a) az s : ℕ → ℝ számsorozat monoton növekedő, ha ∀i∈ℕ ∀j∈ℕ (i<j ⊃ s_i≤s_j) teljesül.
(b) az s : ℕ → ℝ számsorozat szigorúan monoton növekedő, ha ∀i∈ℕ ∀j∈ℕ (i<j ⊃ s_i<s_j) teljesül.
(c) az s : ℕ → ℝ számsorozat monoton csökkenő, ha ∀i∈ℕ ∀j∈ℕ (i<j  ⊃ s_i≥s_j) teljesül.
(d) az s : ℕ → ℝ számsorozat szigorúan monoton csökkenő, ha ∀i∈ℕ ∀j∈ℕ (i<j ⊃ s_i>s_j) teljesül.

Például az s_n=(2*n−1)/(n+1) vagy az s_n=(4*n−9)/(2*n+1) sorozatok szigorúan monoton növekvőek és korlátosak (vö. Obádovics-Szarka 2009: 269-270).

Sorozatok részsorozatai

Az r : ℕ → ℝ számsorozatot az s : ℕ → ℝ számsorozat részsorozatának nevezzük, ha van olyan t : ℕ → ℕ szigorúan monoton növekvő számsorozat (ún. indexsorozat), amelyre ∀n∈ℕ (r_n=s_tn) teljesül. (Vagyis az s_n sorozat egy részsorozata az s_n sorozat t_n indexű elemeiből áll.)

Tekintsük például az s_n=(−1)ⁿ(2*n−1)/(n+1) sorozatot. Legyen t_n=2*n (n∈ℕ), ekkor az s_n sorozatból n↔t_n helyettesítéssel kapott
   r_n=s_tn= (−1)^2*n(2*2*n−1)/(2*n+1)= (4*n−1)/(2*n+1)
sorozat szigorúan monoton növekvő és korlátos (K_f=2 felső korlát).

Minden s : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatból kiválasztható egy monoton növekedő vagy monoton csökkenő részsorozat. (Farkas 2001: 51-52)

Sorozatok határértéke

(1) Az s : ℕ → ℝ számsorozat határértéke az l∈ℝ szám, ha

   ∀ε∈ℝ⁺ ∃n_ε∈ℕ ∀n∈ℕ ( n≥n_ε ⊃ ∣s_n-l∣<ε )

teljesül. Egyszerűen megfogalmazva: a sorozat elemei egy bizonyos n_ε indextől kezdődően tetszőlegesen kis ε távolságra megközelítik a sorozat határértékét.

Az ε értéket küszöbértéknek, az n_ε számot az ε küszöbértékhez tartozó küszöbindexnek nevezzük. Ha az s : ℕ → ℝ számsorozatnak létezik az l határértéke, akkor konvergensnek nevezzük. Szemléletesen kifejezve: az l határérték tetszőlegesen kis ε sugarú környezetében az s : ℕ → ℝ számsorozat "majdnem minden" eleme megtalálható (azaz véges sok elem kivételével a sorozat összes eleme).

Azt, hogy az s : ℕ → ℝ számsorozat határértéke az l∈ℝ szám,

    lim s_n = l n→∞ (egyszerűbben lim s_n = l)

módon jelöljük. Szokásos még az

    s_n → l (n → ∞) (egyszerűbben s_n → l)

jelölés is.

Például tekintsük azokat az s_n sorozatokat, amelyekre teljesül, hogy tetszőleges t∈ℕ⁺ számhoz hozzá tudunk rendelni egy olyan n_t természetes számot, hogy bármilyen n∈ℕ⁺, n>n_t természetes számra |s_n|<1/t teljesül. Ekkor s_n→0 (n→∞) teljesül, azaz az így definiált s_n sorozatok a 0-hoz konvergálnak. Az ilyen tulajdonságú sorozatokat nullasorozatnak nevezzük (vö. Szendrei 1975: 432). Például az s_n=1/n sorozat nyilvánvalóan nullasorozat, mivel a szigorúan monoton csökkenés miatt bármely t∈ℕ⁺ számra n_t=t+1 megfelelő lesz küszöbindexnek (ha n>t+1, akkor ebből s_n<1/t következik).

A nullasorozat fogalma segítségével azt, hogy egy s_n sorozat konvergál egy tetszőleges r∈ℝ számhoz, úgy is kifejezhetjük, hogy az s_n sorozat és az r_n=r konstans sorozat q_n=|s_n−r_n| különbsége nullasorozat (azaz q_n→0 teljesül). Ekkor az s_n sorozat határértékére s_n→r (n→∞) teljesül.

Ha egy sorozatnak nincs (véges) határértéke, akkor a sorozat divergens.

(2) Egy sorozat konvergenciájára a határérték ismerete nélkül is megadhatunk egy kritériumot. Az s : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha

   ∀ε∈ℝ⁺ ∃n_ε∈ℕ ∀m∈ℕ ∀n∈ℕ ( m≥n_ε ∧ n≥n_ε ⊃. ∣s_m−s_n∣<ε )

teljesül (Cauchy-féle kritérium). Szemléletesen megfogalmazva: a sorozat majdnem minden eleme egymástól tetszőlegesen kis távolságra helyezkedik el, "összetorlódik" (vagyis ezek az elemek benne vannak egy közülük választott tetszőleges elem ε sugarú környezetében).

A nullasorozat fogalma segítségével azt, hogy egy s_n sorozat Cauchy-sorozat (a fenti értelemben), úgy is kifejezhetjük, hogy az s_n sorozat és a sorozat egy tetszőleges r_n részsorozatának a q_n=|s_n−r_n| különbsége nullasorozat (azaz q_n→0 teljesül).

(3) Ha az s : ℕ → ℝ számsorozatra teljesül, hogy

   ∀p∈ℝ ∃n_p∈ℕ ∀n∈ℕ ( n≥n_p ⊃ s_n>p ),

akkor a sorozat a végtelenhez divergál, amit sokszor úgy fejezünk ki, hogy (általánosított értelemben) a határértéke ∞. Ezt s_n → ∞ vagy lim s_n=∞ módon jelöljük. Ebben az értelemben beszélhetünk egy divergens sorozat −∞ határértékéről is.

Sorozatok torlódási pontja

A határérték fogalmának általánosítása a torlódási pont (torlódási hely, sűrűsödési hely) fogalma. Az s : ℕ → ℝ számsorozat torlódási pontja az a τ∈ℝ szám, amelynek bármilyen ε>0 sugarú környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza.

A határérték definíciójából következik, hogy
   (a) egy sorozat határértéke mindig torlódási pont,

és mivel a határérték tetszőleges környezetében benne van a sorozat majdnem minden eleme,
   (b) konvergens sorozatnak csak egy torlódási pontja (és egy határértéke) lehet, és
   (c) egy konvergens sorozat mindig korlátos.

(b) Tegyük fel, hogy egy számsorozat határértéke (és ezáltal torlódási pontja) l, és létezik egy ettől különböző τ≠l torlódási pontja is. Legyen 0<ε<∣τ−l∣/2, ekkor τ és l ε sugarú környezete diszjunkt, és mivel l ε sugarú környezete a sorozat majdnem minden elemét tartalmazza, τ ε sugarú környezete csak véges elemet tartalmazhat. Emiatt τ nem lehet torlódási pont, ami ellentmondás, tehát nem lehetséges, hogy a sorozatnak van l-től különböző torlódási pontja.

Ha egy sorozatnak egynél több torlódási pontja van, ill. ha nincs torlódási pontja, akkor divergens. Másrészt ha egy sorozatnak csak egy torlódási pontja van, akkor még nem biztos, hogy konvergens. Tekintsük például az

Egy (végtelen) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha minden részsorozata konvergens, és a részsorozatok határértéke megegyezik. A konvergens részsorozatok közös határértéke ekkor megegyezik a sorozat határértékével.

Ha egy sorozat nem korlátos, akkor biztosan divergens.

Korlátos sorozatok konvergenciája

(1) Ha az s : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozat monoton növekedő és felülről korlátos, vagy monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor az s_n sorozat konvergens.

Az A⊂ℝ (valós) számhalmaz felülről korlátos, ha
   ∃K_f∈ℝ ∀x∈A ( x≤K_f )
teljesül. A K_f számot az A⊂ℝ halmaz felső korlátjának nevezzük.
Az A⊂ℝ felülről korlátos, nem üres valós számhalmaz legkisebb felső korlátja az a sup A∈ℝ valós szám, amelyre
   ∀x∈A ( x≤sup A ) (azaz sup A felső korlát) és
   ∀ε∈ℝ⁺ ∃x∈A ( sup A−ε<x )
teljesül. (Megjegyzés: az utóbbi állítás azt fejezi ki, hogy bármilyen kis ε>0 számot veszünk, sup A−ε már nem felső korlát, azaz nem létezik sup A-nál kisebb felső korlát.)
Hasonlóan definiálható egy valós A⊂ℝ számhalmaz alsó korlátja és inf A∈ℝ legnagyobb alsó korlátja.

A legkisebb felső korlát (ill. legnagyobb alsó korlát) korlátos és nem üres valós számhalmazok esetében mindig létezik (vö. Farkas 2001: 34-35).

Ha az s:ℕ→ℝ (végtelen) számsorozat monoton növekedő és felülről korlátos, akkor a sorozat konvergens, és határértéke megegyezik a sorozat elemeiből képzett halmaz legkisebb felső korlátjával, azaz
   lim s_n=sup { s_n | n∈ℕ }
teljesül (vö. Farkas 2001: 61).

Ha az s:ℕ→ℝ (végtelen) számsorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor a sorozat konvergens, és határértéke megegyezik a sorozat elemeiből képzett halmaz legnagyobb alsó korlátjával, azaz
   lim s_n=inf { s_n | n∈ℕ }
teljesül (vö. Farkas 2001: 61).

Bizonyíthatóak az alábbi tételek:

(a) Korlátos (végtelen) számsorozatnak mindig van konvergens részsorozata (Bolzano-Weierstrass tétel; vö. Farkas 2001: 63).

(b) Az s : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatnak a τ∈ℝ valós szám akkor és csak akkor torlódási pontja, ha létezik az s_n sorozatnak τ-hez konvergáló részsorozata (vö. Farkas 2001: 68).

(c) Korlátos (végtelen) számsorozatnak mindig van torlódási pontja (vö. Farkas 2001: 69).

(2) Egy korlátos (végtelen) számsorozat pontosan akkor konvergens, ha egyetlen torlódási pontja van.

Tegyük fel, hogy egy τ torlódási pont van és a (korlátos) sorozat nem konvergens. Ekkor a τ torlódási pontnak van olyan környezete, amelyen kívül a sorozatnak végtelen sok eleme van. A kimaradó elemek a sorozat egy korlátos részsorozatát alkotják, amelynek a BW tétel szerint van konvergens, és nem τ-hez konvergáló részsorozata. Emiatt a sorozatnak van τ-től különböző torlódási pontja, ami ellentmondás, mert csak egy torlódási pont lehet.

Műveletek sorozatok között

Legyenek s : ℕ → ℝ, t : ℕ → ℝ és u : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatok. Értelmezzük a sorozatok között az alábbi műveleteket:
(a) Az s_n és t_n számsorozat összegének nevezzük azt az u_n számsorozatot, amelynek elemeire u_n=s_n+t_n (n∈ℕ) teljesül.
(b) Az s_n és t_n számsorozat különbségének nevezzük azt az u_n számsorozatot, amelynek elemeire u_n=s_n−t_n (n∈ℕ) teljesül.
(c) Az s_n és t_n számsorozat szorzatának nevezzük azt az u_n számsorozatot, amelynek elemeire u_n=s_n*t_n (n∈ℕ) teljesül.
(d) Legyen t : ℕ → ℝ olyan számsorozat, amelyre t_n≠0 (n∈ℕ) teljesül. Ekkor az s_n és t_n számsorozat hányadosának nevezzük azt az u_n számsorozatot, amelynek elemeire u_n=s_n/t_n (n∈ℕ) teljesül.

Sorozatok határértékére vonatkozó fontosabb tételek

(I) Konvergens sorozatokra vonatkozó tételek

Legyenek s : ℕ → ℝ és t : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatok. Ekkor teljesülnek az alábbi állítások:

(a.1) Ha az s_n sorozat konvergens, akkor az ∣s_n∣ sorozat is konvergens, és lim ∣s_n∣=∣lim s_n∣.

(a.2) Ha az s_n és t_n sorozatok konvergensek, akkor összegük is konvergens, és lim (s_n+t_n)=(lim s_n)+(lim t_n).
(a.3) Ha az s_n és t_n sorozatok konvergensek, akkor különbségük is konvergens, és lim (s_n−t_n)=(lim s_n)−(lim t_n).

(a.4) Ha az s_n sorozat konvergens és c∈ℝ tetszőleges valós szám, akkor a c*s_n sorozat is konvergens, és lim (c*s_n)=c*lim s_n.

(a.5) Ha az s_n és t_n sorozatok konvergensek, akkor szorzatuk is konvergens, és lim (s_n*t_n)=(lim s_n)*(lim t_n).
(a.6) Ha az s_n és t_n sorozatok konvergensek, t_n≠0 (n∈ℕ) és lim t_n≠0, akkor hányadosuk is konvergens, és lim (s_n/t_n)=(lim s_n)/(lim t_n).

(a.7) Legyenek s : ℕ → ℝ, t : ℕ → ℝ és u : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatok. Ekkor ha az s_n és t_n sorozatok konvergensek és határértékük megegyezik, azaz lim s_n=lim t_n=l, valamint s_n<u_n<t_n (n∈ℕ) teljesül, akkor az u_n sorozat is konvergens, és lim u_n=l. (Ez az ún. csendőrszabály.)

(II) Divergens sorozatokra vonatkozó tételek

Legyenek s : ℕ → ℝ, t : ℕ → ℝ és u : ℕ → ℝ (végtelen) számsorozatok. Ekkor teljesülnek az alábbi állítások:

(b.1) ha lim s_n=∞, akkor lim ∣s_n∣=∞ teljesül.

(b.2) ha lim s_n=∞ és c>0 valós szám, akkor lim c*s_n=∞ teljesül.
(b.3) ha lim s_n=∞ és c<0 valós szám, akkor lim c*s_n=−∞ teljesül.

(b.4) ha lim s_n=∞ és a t_n sorozat alulról korlátos, és van olyan K_a>0 valós szám, amelyre t_n>K_a (n∈ℕ) teljesül, akkor lim s_n*t_n=∞ teljesül.

(b.5) ha az s_n sorozat alulról korlátos, és van olyan K_a>0 valós szám, amelyre s_n>K_a (n∈ℕ), valamint lim t_n=0 és t_n≠0 (n∈ℕ) teljesül, akkor lim ∣s_n/t_n∣=∞ teljesül.

(b.6) ha az s_n sorozat korlátos, azaz van olyan K≥0 valós szám, amelyre ∣s_n∣≤K (n∈ℕ), valamint lim t_n=∞ teljesül, akkor lim s_n/t_n=0 teljesül.

Például határozzuk meg az s_n=(2*n−1)/(n+1) sorozat határértékét. Azonos átalakítással s_n=(2−1/n)/(1+1/n) adódik. Mivel (b.6) miatt t_n=1/n → 0 (n → ∞), (a.2), (a.3) és (a.6) miatt

   lim s_n=2/1=2 n→∞

teljesül, vagyis a sorozat konvergens és határértéke 2.

writeln("s(n) = 3*n");
writeln();

for(var n=1;n<=10;n++) {
 var s=3*n;
 writeln(n+". elem: "+s); 
 }

writeln("-----");

writeln("s(n) = (n-1)/n");
writeln();

for(var n=1;n<=10;n++) {
 var s=(n-1)/n;
 writeln(n+". elem: "+s.toFixed(8)); 
 }

writeln("-----");

writeln("s(n) = (n-1)/n");
writeln();

writeln("1. elem: 0"); 
for(var n=2;n<=10;n++) {
 var s=(n-1)/n;
 writeln(n+". elem: "+(n-1)+"/"+n); 
 }

writeln("-----");

writeln("s(n) = s(n-2)+s(n-1)");
writeln();

var s1=1;
var s2=1;
writeln("1. elem: "+s1); 
writeln("2. elem: "+s2); 
for(var n=3;n<=10;n++) {
 var s=s1+s2;
 writeln(n+". elem: "+s); 
 s2=s1;
 s1=s;
 }

writeln("-----");

Függvények határértéke

Foglalkozzunk a továbbiakban egyváltozós valós függvényekkel.

Az f : A⊆ℝ → ℝ valós függvénynek az értelmezési tartomány egy a∈A pontjában vett δ>0 sugarú környezete alatt a

    K_a,δ={x∈A | |x−a|<δ}

számhalmazt értjük. Egyes esetekben a környezetből kivesszük az 'a' számot, ekkor a

    K_(a),δ={x∈A | x≠a, |x−a|<δ}= K_a,δ∖{a}

környezetet kapjuk. Ilyenkor ún. pontozott környezetről beszélhetünk (vö. Császár 1983: 155).

A későbbiekben fontos lesz a baloldali környezet és a jobboldali környezet fogalma is.

Az f : A⊆ℝ → ℝ valós függvénynek az értelmezési tartomány egy a∈A pontjában vett δ>0 sugarú (pontozott) baloldali környezete alatt az

    L_a,δ={x∈A | a−δ<x≤a} = K_a,δ∩(−∞,a]
    L_(a),δ{x∈A | a−δ<x<a} = K_a,δ∩(−∞,a) = K_(a),δ∩(−∞,a]

számhalmazokat értjük.

Hasonlóan, az f : A⊆ℝ → ℝ valós függvénynek az értelmezési tartomány egy a∈A pontjában vett δ>0 sugarú (pontozott) jobboldali környezete alatt a

    R_a,δ={x∈A | a≤x<a+δ} = K_a,δ∩[a,+∞)
    R_(a),δ={x∈A | a<x<a+δ} = K_a,δ∩(a,+∞) = K_(a),δ∩[a,+∞)

számhalmazokat értjük.

A környezet fogalmát kiterjeszthetjük a végtelenre is. A (plusz) végtelen δ sugarú környezete alatt a

    K_(∞),δ={x∈A | δ<x}

környezetet, a minusz végtelen δ sugarú környezete alatt pedig a

    K_(−∞),δ={x∈A | x<δ}

környezetet értjük.

x∈K_a,δ definíció szerint pontosan akkor teljesül, ha |x−a|<δ teljesül. Ez az abszolút érték definíciója miatt
    x≥a esetén x−a<δ ⇔ x<a+δ
    x<a esetén a−x<δ ⇔ a−δ<x
teljesülését jelenti. Ebből következik, hogy

x∈K_a,δ pontosan akkor teljesül, ha a−δ<x<a+δ teljesül.

Ezt átalakítva

x∈K_a,δ pontosan akkor teljesül, ha −δ<x−a<δ teljesül.

Megjegyzés: a −δ<(x−a)<δ egyenlőtlenség ekvivalens a −δ<(a−x)<δ egyenlőtlenséggel.

(I.) Legyen f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény, és a∈A az értelmezési tartomány egy pontja, amelynek egy környezetében a függvény értelmezve van. (Ha az f(x) függvény nem értelmezett az a∈ℝ pontban, akkor tegyük fel, hogy az 'a' pont egy pontozott környezetében a függvény értelmezve van.⁽⁰⁾)

Az f : A⊆ℝ → ℝ függvény határértéke az a∈A pontban

   lim f(x) = b, x→a ha

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈A ( x≠a ∧ ∣x−a∣<δ ⊃. ∣f(x)−b∣<ε )

teljesül. Azt, hogy az f(x) függvény határértéke az a∈A pontban b∈ℝ, lim f(x)=b (x→a) vagy f(x)→b (x→a) módon is jelölhetjük (és ha a kontextusból egyértelmű, az x→a jelölést el is hagyhatjuk).

Szavakban megfogalmazva: ha bármely kis⁽²⁾ ε>0 esetén meg tudunk adni egy δ>0 küszöbszámot úgy, hogy minden olyan x∈A (x≠a)⁽¹⁾ szám esetén, amelyre a−δ<x<a+δ teljesül, fennáll a b−ε<f(x)<b+ε összefüggés, akkor az f(x) függvény határértéke az x∈A pontban a b∈ℝ szám.

Az f(x) függvény határértéke az 'a' pontban a 'b' szám (azaz f(x)→b (x→a) teljesül), ha teljesül, hogy
    – ha "egyre jobban" (0<δ≪1) megközelítjük az 'x' tengelyen az 'a' számot (vagyis x∈K_(a),δ teljesül),
    – akkor az f(x) függvény értéke is "egyre jobban" (0<ε≪1) megközelíti az 'y' tengelyen a 'b' számot (azaz f(x)∈K_b,ε teljesül).
A határérték definíciója úgy fogalmaz, hogy bármilyen kis 0<ε számot választunk, találunk hozzá megfelelő 0<δ küszöbszámot, amelyre a fenti összefüggés fennáll.

A fenti definíció környezetek⁽³⁾ és sorozatok⁽⁴⁾ segítségével is megfogalmazható.

Megjegyzések:

(0) A definícióban itt és a következőkben elég azt feltételezni, hogy az f(x)A⊆ℝ→ℝ valós függvény a vizsgált a∈ℝ pont egy pontozott környezetében értelmezett, azaz van olyan δ>0 szám, hogy K_(a),δ⊆A teljesül. Mindez a további definíciók esetében is érvényes.

(1) Ha a fenti definícióban x≠a helyett 0<∣x−a∣ vagy ∀x∈A∖{a} szerepel, ekvivalens állításokat kapunk. Mivel A∖{a}⊂A nyilvánvalóan teljesül, ezért az
   F ⇋ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈A ( ∣x−a∣<δ ⊃. ∣f(x)−b∣<ε )
állításból következik a határérték definíciójában szereplő
   H ⇋ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈A∖{a} ( ∣x−a∣<δ ⊃. ∣f(x)−b∣<ε )
állítás (azaz az állításokra F⊃H teljesül).
(a) Ha tehát egy f(x) függvényre az F állítást bizonyítjuk, abból következik, hogy a függvénynek létezik a határértéke az x=a pontban (például folytonos függvények esetében b=f(a) és az F állítás teljesül).
(b) Ha viszont F nem áll fenn, ebből még nem következik az, hogy nem létezik a határérték. A határérték definíciójában ugyanis megengedjük azt, hogy az f(x) függvény az x=a pontban bármilyen értéket felvegyen, és azt az esetet is, amikor f(x) nem értelmezett az x=a pontban.

(2) Mind az F, mind a H állítások bizonyításakor elegendő kis pozitív ε számokra (pl. 0<ε<1 esetén) megadni a δ(ε) küszöbszámot. Ha ugyanis egy adott ε₁ esetén van olyan δ(ε₁), amelyre pl. ∀x∈A∖{a} (∣x−a∣<δ(ε₁) ⊃. ∣f(x)−b∣<ε₁) teljesül, akkor bármilyen ennél nagyobb ε₁<ε₂ esetén a δ(ε₂)=δ(ε₁) küszöbszám nyilvánvalóan megfelelő lesz ∀x∈A∖{a} (∣x−a∣<δ(ε₁)=δ(ε₂) ⊃. ∣f(x)−b∣<ε₁<ε₂) teljesülése miatt.

(3) A határérték definíciójából következik, hogy ha egy f : A⊆ℝ → ℝ függvénynek az értelmezési tartomány egy a∈A pontjában létezik a

lim f(x) = b x→a

határértéke, akkor a határérték bármely K_b,ε = { y∈ℝ | ∣y−b∣<ε } ε sugarú környezetéhez tartozik az a∈A pontnak egy olyan

K_(a),δ = { x∈A | x≠a, ∣x−a∣<δ }

δ sugarú környezete, amelyre

f(K_(a),δ) = { f(x) | x∈K_(a),δ } ⊆ K_b,ε

teljesül. Mivel K_b,ε korlátos halmaz, az f(x) függvény korlátos a K_(a),δ halmazon.

(4) Egy függvény határértékét ekvivalens módon definiálhatjuk a sorozatok határértéke segítségével is.
Legyen f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény és a∈A az értelmezési tartomány torlódási pontja. Legyen továbbá x_n : ℕ → A∖{a} olyan konvergens sorozat, amelynek határértéke x_n → a. Képezzük az x_n sorozatból az y_n=f(x_n) sorozatot.
Ekkor megfogalmazhatjuk az alábbi kritériumot: az f : A⊆ℝ → ℝ függvénynek akkor és csak van határértéke az a∈A pontban, ha minden fenti módon képzett y_n=f(x_n) sorozat konvergens és a határértékük megegyezik, azaz létezik olyan b∈ℝ szám, amelyre y_n → b teljesül minden y_n sorozatra.
A korábbi meghatározásban azt tételeztük fel, hogy a vizsgált a∈ℝ pont egy pontozott környezetében az f(x) függvény értelmezve van. Ekkor az a∈ℝ pont egyszersmind torlódási pont is. Érdemes kiemelnünk, hogy a "határérték szempontjából az értelmezési tartománynak azok a torlódási helyei figyelemreméltóak, ahol a függvény nincs értelmezve" (Obádovics-Szarka 2009: 69).

(II.) Értelmezzük ezek után egy függvény határértékét a végtelenben.

Legyen f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény, amelynek A⊆ℝ értelmezési tartománya felülről nem korlátos. Az f(x) függvény határértéke a végtelenben a b∈ℝ valós szám, azaz

   lim f(x) = b, x→∞ ha

∀ε>0 ∃δ∈ℝ ∀x∈A ( x>δ ⊃ ∣f(x)−b∣<ε )

teljesül.

A minusz végtelenben vett határértéket ehhez hasonlóan értelmezhetjük. Ha az f(x) függvény A⊆ℝ értelmezési tartománya alulról nem korlátos, akkor határértéke a minusz végtelenben a b∈ℝ valós szám, azaz

   lim f(x) = b, x→−∞ ha

∀ε>0 ∃δ∈ℝ ∀x∈A ( x<δ ⊃ ∣f(x)−b∣<ε )

teljesül.

Például az f(x)=1/x függvény határértéke a végtelenben 1/x→ 0 (x→±∞). A negatív kitevőjű exponenciális függvény határértéke a végtelenben e^−x → 0 (x→∞). Az exponenciális függvény határértéke a minusz végtelenben e^x → 0 (x→−∞).

(III.) Értelmezzük most egy függvény végtelen határértékét az értelmezési tartomány egy pontjában.

Legyen f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény, a∈A az értelmezési tartomány egy pontja, amelynek egy környezetében a függvény értelmezve van. (Ha az f(x) függvény nem értelmezett az a∈ℝ pontban, akkor tegyük fel, hogy az 'a' pont egy pontozott környezetében a függvény értelmezve van.)

Az f(x) függvény határértéke az a∈A pontban végtelen, azaz

   lim f(x) = ∞, x→a ha

∀ε∈ℝ ∃δ>0 ∀x∈A ( x≠a ∧ ∣x−a∣<δ ⊃. f(x)>ε )

teljesül.

Például az f(x)=1/x² reciprok hatványfüggvény határértéke az x=0 pontban f(x) → ∞ (x→0).

A minusz végtelenben vett határértéket ehhez hasonlóan értelmezhetjük. Az f(x) függvény határértéke az a∈A pontban minusz végtelen, azaz

   lim f(x) = −∞, x→a ha

∀ε∈ℝ ∃δ>0 ∀x∈A ( x≠a ∧ ∣x−a∣<δ ⊃. f(x)<ε )

teljesül.

Végezetül jegyezzük meg, hogy a

   lim f(x) = ±∞, x→±∞

határértékeket a fentiekhez hasonlóan értelmezhetjük.

(IV.) Megfogalmazhatunk egy szükséges és elégséges kritériumot egy függvény (véges) határértékének létezésére vonatkozóan.

Legyen f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény, a∈A az értelmezési tartomány egy pontja, amelynek egy környezetében a függvény értelmezve van (megengedjük az a=±∞ lehetőséget is). (Ha az f(x) függvény nem értelmezett az a∈ℝ pontban, akkor tegyük fel, hogy az 'a' pont egy pontozott környezetében a függvény értelmezve van.)

Az f(x) függvénynek akkor és csak akkor létezik (véges) határértéke az a∈A pontban, ha

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈A ∀x'∈A ( x∈K_(a),δ ∧ x'∈K_(a),δ ⊃. ∣f(x)−f(x')∣<ε )

teljesül (Cauchy-féle kritérium).

Például egy adott a∈A pontban a Cauchy-féle kritériumot szavakban a következőképpen fogalmazhatjuk meg:
Ha bármely ε>0 esetén meg tudunk adni egy δ>0 küszöbszámot úgy, hogy tetszőleges olyan x∈A∖{a} és x'∈A∖{a} számok esetén, amelyekre a−δ<x<a+δ és a−δ<x'<a+δ teljesül, fennáll a −ε<|f(x)−f(x')|<ε összefüggés, akkor az f(x) függvénynek létezik (véges) határértéke az x∈A pontban.

(V.) Végül definiáljuk egy függvény baloldali és jobboldali határértékét.

Legyen f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény, a∈A pedig az értelmezési tartomány egy pontja, amelynek egy baloldali környezetében a függvény értelmezve van. (Ha az f(x) függvény nem értelmezett az a∈ℝ pontban, akkor tegyük fel, hogy az 'a' pont egy pontozott baloldali környezetében a függvény értelmezve van.)

Az f(x) függvény baloldali határértéke az a∈A pontban

   lim f(x) = b, x→a−0 ha

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈A^a−0 ( a−x<δ ⊃ ∣f(x)−b∣<ε )

teljesül, ahol A^a−0 = { x∈A | x<a } = A∩(−∞,a) az A⊆ℝ értelmezési tartomány leszűkítése az a∈A pontnál kisebb valós számokra.

Szavakban megfogalmazva: ha bármely ε>0 esetén meg tudunk adni egy δ>0 küszöbszámot úgy, hogy minden olyan x∈A (x≠a) szám esetén, amelyre a−δ<x<a teljesül, fennáll a b−ε<f(x)<b+ε összefüggés, akkor az f(x) függvény baloldali határértéke az x∈A pontban a b∈ℝ szám.

Az f : A⊆ℝ → ℝ valós függvénynek akkor és csak akkor létezik az x=a pontban baloldali határértéke, ha az f(x) függvény  f│A∩(−∞,a)  leszűkítésével kapott függvénynek létezik az x=a pontban határértéke.

Legyen f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény, a∈A pedig az értelmezési tartomány egy pontja, amelynek egy jobboldali környezetében a függvény értelmezve van. (Ha az f(x) függvény nem értelmezett az a∈ℝ pontban, akkor tegyük fel, hogy az 'a' pont egy pontozott jobboldali környezetében a függvény értelmezve van.)

Az f(x) függvény jobboldali határértéke az a∈A pontban

   lim f(x) = b, x→a+0 ha

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈A^a+0 ( x−a<δ ⊃ ∣f(x)−b∣<ε )

teljesül, ahol A^a+0 = { x∈A | x>a } = A∩(a,+∞) az A⊆ℝ értelmezési tartomány leszűkítése az a∈A pontnál nagyobb valós számokra.

Szavakban megfogalmazva: ha bármely ε>0 esetén meg tudunk adni egy δ>0 küszöbszámot úgy, hogy minden olyan x∈A (x≠a) szám esetén, amelyre a<x<a+δ teljesül, fennáll a b−ε<f(x)<b+ε összefüggés, akkor az f(x) függvény jobboldali határértéke az x∈A pontban a b∈ℝ szám.

Az f : A⊆ℝ → ℝ valós függvénynek akkor és csak akkor létezik az x=a pontban jobboldali határértéke, ha az f(x) függvény  f│A∩(a,+∞)  leszűkítésével kapott függvénynek létezik az x=a pontban határértéke.

A fentiekhez hasonló módon definiálhatjuk egy függvény végtelen jobboldali és baloldali határértékét az értelmezési tartomány egy pontjában.

Például a tangensfüggvény baloldali határértéke az x=π/2 pontban tg(x) → ∞ (x→π/2−0). A tangensfüggvény jobboldali határértéke ugyanebben a pontban tg(x) → −∞ (x→π/2+0).

Ha egy függvénynek létezik a határértéke egy pontban, továbbá mind a baloldali, mind a jobboldali határérték létezik, akkor ezek értéke megegyezik ebben a pontban. Megfordítva: ha egy függvénynek létezik a baloldali és a jobboldali határértéke egy pontban és ezek értéke megegyezik, akkor ebben a pontban a függvénynek létezik ezzel megegyező határértéke. Ebből következően, ha egy függvénynek létezik a baloldali és a jobboldali határértéke egy pontban, és ezek különbözőek, akkor a függvénynek nem létezik határértéke ebben a pontban. Például az előjel függvény bal oldali határértéke az x=0 pontban −1, jobb oldali határértéke az x=0 pontban +1, vagyis a függvénynek nincs határértéke az x=0 pontban.

Függvények határértékére vonatkozó fontosabb tételek

Legyenek f : A_f⊆ℝ → ℝ és g : A_g⊆ℝ → ℝ valós függvények, A = A_f ∩ A_g, és legyenek az a∈A pont egy környezetében az f(x) és a g(x) függvények értelmezettek. Ekkor teljesülnek az alábbi állítások:

(a) Ha a lim f(x) = b x→a határérték létezik, akkor

   lim ∣f(x)∣ = ∣b∣ x→a

teljesül.

A tétel megfordítása nem igaz (vö. Farkas-Fritzné-Kissné 2000: 28). Azonban ha |f(x)|→0 (x→a) teljesül, akkor ebből a −|f(x)|≤f(x)≤|f(x)| egyenlőtlenség és a csendőrszabály miatt f(x)→0 (x→a) már következik.

(b) Ha a lim f(x) = b x→a és a lim g(x) = c x→a határértékek léteznek, akkor

   lim (f(x)+g(x)) = b+c x→a

teljesül.

(c) Ha a lim f(x) = b x→a és a lim g(x) = c x→a határértékek léteznek, akkor

   lim (f(x)−g(x)) = b−c x→a

teljesül.

(d) Ha a lim f(x) = b x→a és a lim g(x) = c x→a határértékek léteznek, akkor

   lim (f(x)*g(x)) = b*c x→a

teljesül.

(d.1) Ha c∈ℝ tetszőleges valós szám és g(x)=c (x∈A_g) a konstans függvény, akkor a (d) tételből

   lim (c*f(x)) = x→a c*lim (f(x)) x→a

teljesülése következik.

(e) Ha a lim f(x) = b x→a és a lim g(x) = c x→a határértékek léteznek, továbbá c≠0, akkor

   lim (f(x)/g(x)) = b/c x→a

teljesül.

(f) Legyenek f : A_f⊆ℝ → ℝ és g : A_g⊆ℝ → ℝ valós függvények, A = A_f ∩ A_g, és φ : A⊆ℝ → ℝ egy valós függvény. Legyenek az a∈A pont egy K_(a),δ = { x∈A | x≠a ∧ ∣x−a∣<δ } környezetében az f(x), g(x) és φ(x) függvények értelmezettek, továbbá teljesüljön rájuk az

   f(x)≤φ(x)≤g(x) (x∈K_(a),δ)

egyenlőtlenség. Ekkor ha a

   lim f(x) = b x→a és a lim g(x) = b x→a

határértékek léteznek és egyenlők, akkor

   lim φ(x) = b x→a

teljesül. (Ez az ún. csendőrszabály függvények esetén.)

(g) Legyenek f : A_f⊆ℝ → ℝ és g : A_g⊆ℝ → ℝ valós függvények, amelyekre Rng(f)⊆A_g teljesül (azaz értelmezhető a φ(x)=(g∘f)(x)=g(f(x)) összetett függvény). Tételezzük fel, hogy

(g.1) az a_f∈A_f pont egy környezetében értelmezett az f(x) függvény és az a_g∈Rng(f) pont egy környezetében értelmezett a g(x) függvény, valamint léteznek a

   lim f(x)=a_g x→a_f és lim g(x)=b x→a_g

határértékek;

(g.2) ha a g(x) függvénynek megszüntethető szakadása van az a_g∈A_g pontban (azaz a g(x) függvénynek létezik véges baloldali és jobboldali határértéke az a_g pontban, ezek megegyeznek, de különbözőek a függvényértéktől az adott pontban, ha a függvényérték egyáltalán létezik),
akkor van az a_f∈A_f pontnak olyan δ>0 sugarú
   K_af,δ = {x∈A_f | x≠a_f, |x−a_f|<δ} (K_af,δ⊆A_f)
környezete, amelyhez tartozó
   K' = {f(x) | x∈K_af,δ} (K'⊆A_g)
környezetben nincs benne az a_g pont, azaz a_g∉K' teljesül. (Ekkor a feltétel bármilyen K⊆K_af,δ környezethez tartozó K' környezetre is igaz.)

Ekkor a φ(x)=(g∘f)(x) összetett függvénynek is létezik határértéke, és erre

   lim φ(x) = b. x→a_f

teljesül.

Példák:

(1) Ha f(x) és g(x) folytonos függvények, a tétel állítása mindig teljesül. Legyen például f(x)=sin(x)/x (ahol f(0)≐1) és g(x)=e^x. Ekkor az φ(x)=(g∘f)(x)=e^sin(x)/x összetett függvénynek létezik határértéke az x=0 pontban, és ez f(x)→1 (x→0), g(x)→e (x→1) miatt φ(x)→e (x→0).

(2) Ezzel szemben ha f(x)=0 és
   g(x)=0 ha x≠0 és
   g(x)=1 ha x=0,
akkor az összetett függvény definíciója alapján
   φ(x)=(g∘f)(x)=1 ha x≠0 és
   φ(x)=(g∘f)(x)=1 ha x=0
teljesül. Ekkor az x=a_f=0 pontban f(x)→0, az x=a_g=0 pontban g(x)→0, és az x=a_f=0 pontban φ(x)=(g∘f)(x)→1(≠0) teljesül, vagyis a φ(x)=(g∘f)(x) összetett függvénynek létezik ugyan határértéke az x=a_f=0 pontban, de ez nem felel meg a tétel állításának. Vegyük észre, hogy a problémát az okozta, hogy az f(x) függvény az x=a_f=0 pont bármilyen kis K_af,δ⊆A_f környezetében f(x)=a_g=0 értékű, azaz a fenti jelölésekkel a_g∈K' (ahol a_g=0 a g(x) függvény szakadási pontja). Emiatt a φ(x)=(g∘f)(x) közvetett függvény az x=a_f=0 pont bármilyen kis környezetében felveszi a g(x) függvény szakadási pontban felvett értékét (amely nem egyezik meg a g(x) függvény a_g pontban felvett határértékével). Ezért a φ(x)=(g∘f)(x) közvetett függvény határértéke az a_f pontban nem egyezik meg a g(x) függvény a_g pontban felvett határértékével.

(3) Ha viszont az előző példában f(x)=x (a g(x) függvény pedig ugyanaz, mint korábban), akkor már teljesülnek a tétel feltételei, és
   φ(x)=(g∘f)(x)=0 ha x≠0 és
   φ(x)=(g∘f)(x)=1 ha x=0
miatt az x=0 pontban f(x)→0, g(x)→0 és φ(x)=(g∘f)(x)→0 teljesül.

Függvények folytonossága

Az f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény folytonos az x=a pontban, ha
(1) a∈A torlódási pont,
(2) az x=a pontban létezik a véges lim f(x) x→a határérték, és

(3) az x=a pontban a függvény határértéke megegyezik a függvényértékkel, azaz

   lim f(x) = f(a) x→a

teljesül.

A határérték definíciója alapján az f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény az értelmezési tartomány a∈A torlódási pontjában folytonos, ha
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈A ( ∣x−a∣<δ ⊃ ∣f(x)−f(a)∣<ε )
teljesül (vegyük észre, hogy az x=a esetet most nem zártuk ki).

Az f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény az x=a pontban jobbról folytonos, ha az f(x) függvény  f│A∩[a,∞)  leszűkítésével kapott függvény az x=a pontban folytonos.

Az f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény az x=a pontban balról folytonos, ha az f(x) függvény  f│A∩(−∞,a]  leszűkítésével kapott függvény az x=a pontban folytonos.

Legyen f : A⊆ℝ → ℝ valós függvény, és a∈A torlódási pont. Az f(x) függvénynek az x=a pontban szakadása van (szakadásos), ha ott nem folytonos. Ekkor az x=a pontot szakadási pontnak (szakadási helynek) nevezzük. A szakadási pontokat például a következőképpen osztályozhatjuk (Farkas-Fritzné-Kissné 2000: 45-46, Obádovics 2011: 70):

(1.1) Az x=a szakadási pont elsőfajú megszüntethető szakadási pont, ha az f(x) függvénynek létezik az a∈A pontban véges baloldali és jobboldali határértéke, ezek megegyeznek, de különbözőek a függvényértéktől az adott pontban (ha a függvényérték egyáltalán létezik):

lim f(x)=b, x→a−0 lim f(x)=b, x→a+0 és f(a)≠b vagy f(a) nem létezik

Mivel létezik véges baloldali és jobboldali határérték és ezek megegyeznek, az f(x) függvénynek létezik az x=a pontban véges határértéke, azaz f(x)→b (x→a). Ha az f(x) függvénynek megszüntethető szakadási pontja van, a függvény egy alkalmas kiterjesztéssel folytonossá tehető; ilyen például a sin(x)/x függvény az x=0 helyen.

(1.2) Az x=a szakadási pont elsőfajú, nem megszüntethető szakadási pont, ha az f(x) függvénynek létezik az a∈A pontban véges baloldali és jobboldali határértéke, de ezek nem egyeznek meg:

lim f(x)=b₁, x→a−0 lim f(x)=b₂, x→a+0 b₁≠b₂

Ebben az esetben az f(x) függvénynek az x=a pontban c=b₂−b₁ nagyságú ugrása van. Például a sgn(x) előjelfüggvénynek az x=0 helyen c=2 nagyságú ugrása van.

(2) Az x=a szakadási pont másodfajú szakadási pont, ha az f(x) függvénynek nem létezik véges baloldali vagy jobboldali határértéke. Másodfajú szakadási pontban az f(x) függvénynek nem létezik véges határértéke. (Ha egy f(x) függvénynek egy x=a pontban nem létezik véges határértéke, ún. lényeges szakadási pontról beszélhetünk.)

Például a sin(1/x) függvénynek az x=0 helyen nem létezik sem a jobboldali, sem a baloldali határértéke, ezért másodfajú szakadása van. Mivel a sin(1/x) függvény "a 0 pont tetszőleges környezetében minden [−1;1] intervallumbeli értéket felvesz" (vö. Farkas-Fritzné-Kissné 2000: 38), nem létezik véges határértéke az x=0 helyen. (Például ε=0.5 választás mellett bármilyen δ sugarú környezet esetén létezik olyan 0<|x|, |x'|<δ érték, hogy az f(x)=sin(1/x) függvény értékeire nem teljesül az |f(x)−f(x')|<ε egyenlőtlenség. Ezért ebben a pontban a határértékre vonatkozó Cauchy-féle kritérium alapján az f(x) függvénynek nincs véges határértéke.)

Függvények folytonosságára vonatkozó fontosabb tételek

Legyenek f : A⊆ℝ → ℝ és g : A⊆ℝ → ℝ valós függvények. Ekkor teljesülnek az alábbi állítások:

(a) Ha az f(x) függvény állandó az a∈A pont valamely K_δ = {x∈A | ∣x−a∣<δ} környezetében, azaz van olyan c∈ℝ szám, amelyre f(x)=c (x∈K_δ) teljesül, akkor az f(x) függvény folytonos az x=a pontban.

(b) Ha az f(x) függvény folytonos az a∈A pontban, akkor az ∣f(x)∣ függvény is folytonos az a∈A pontban.
Bár a tétel a határértékekre vonatkozó (a) tételből is következik, közvetlenül is könnyen belátható az abszolút érték tulajdonságaiból következő
∣∣f(x)∣ − ∣f(a)∣∣ ≤ ∣f(x) − f(a)∣
egyenlőtlenség alapján (vö. Farkas 2001: 39, 11.8).

(c) Ha az f(x) és g(x) függvények folytonosak az a∈A pontban, akkor az f(x)+g(x) függvény is folytonos az a∈A pontban.

(d) Ha az f(x) és g(x) függvények folytonosak az a∈A pontban, akkor az f(x)−g(x) függvény is folytonos az a∈A pontban.

(e) Ha az f(x) és g(x) függvények folytonosak az a∈A pontban, akkor az f(x)*g(x) függvény is folytonos az a∈A pontban.

(f) Ha az f(x) és g(x) függvények folytonosak az a∈A pontban és g(a)≠0, akkor az f(x)/g(x) függvény is folytonos az a∈A pontban.

(g) Legyenek f : A_f⊆ℝ → ℝ és g : A_g⊆ℝ → ℝ valós függvények, amelyekre Rng(f)⊆A_g teljesül. Ha az f(x) függvény folytonos az a∈A_f pontban, és a g(x) függvény folytonos az f(a)∈Rng(f)⊆A_g pontban, akkor a φ(x)=g(f(x))=(g∘f)(x) összetett függvény is folytonos az a∈A_f pontban.

Zárt intervallumban folytonos függvények

Az f : A⊆ℝ → ℝ függvény folytonos, ha f(x) folytonos az A értelmezési tartomány minden a∈A pontjában. Az A⊆ℝ halmazon folytonos függvények halmazát vagy (függvény)osztályát C⁰(A) módon jelöljük. (Ha I=[a,b] egy zárt intervallum, akkor C⁰(I) helyett C⁰[a,b] is írható.)

Legyen f : I⊆ℝ → ℝ valós függvény, I egy tetszőleges (nyílt, félig nyílt, zárt stb.) intervallum. Az f(x) függvény az I intervallumon egyenletesen folytonos, ha

   ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈I ∀x'∈I ( ∣x−x'∣<δ ⊃ ∣f(x)−f(x')∣<ε )

teljesül. Ha az f(x) függvény az I intervallumon egyenletesen folytonos, akkor az intervallum minden a∈I pontjában folytonos.

(1) Legyen f : I⊆ℝ → ℝ valós függvény, I=[a,b] zárt intervallum, f∈C⁰(I) az I-n folytonos függvény. Ha f(a)<f(b) teljesül, akkor fennáll a

   ∀c∈(f(a),f(b)) ∃ξ∈(a,b) ( f(ξ)=c )

összefüggés, vagyis az f(x) folytonos függvény az [a,b] zárt intervallumban minden f(a) és f(b) közé eső értéket felvesz (Bolzano tétele; vö. Farkas-Fritzné-Kissné 2000: 50). (A tétel igaz f(b)<f(a) teljesülése esetén is egy c∈(f(b),f(a)) értékre.)

(2) Legyen f : I⊆ℝ → ℝ valós függvény, I=[a,b] zárt intervallum, f∈C⁰(I) az I-n folytonos függvény. Ekkor

   ∃K∈ℝ ∀x∈I ( f(x)≤K )

teljesül, vagyis az f(x) folytonos függvény az [a,b] zárt intervallumban korlátos (Weierstrass első tétele; vö. Farkas-Fritzné-Kissné 2000: 51).

(3) Legyen f : I⊆ℝ → ℝ valós függvény, I=[a,b] zárt intervallum, f∈C⁰(I) az I-n folytonos függvény. Ekkor

   ∃ξ∈I ∃η∈I ( f(ξ)=sup{ f(x)|x∈I } ∧ f(η)=inf{ f(x)|x∈I } )

teljesül, vagyis az f(x) folytonos függvény az [a,b] zárt intervallumban felveszi a maximumát és a minimumát (Weierstrass második tétele; vö. Farkas-Fritzné-Kissné 2000: 51-52). (A tételben szereplő sup{...} és inf{...} jelölések az {...} halmaz legkisebb felső korlátját, ill. legnagyobb alsó korlátját jelölik.)

Legyen f : I⊆ℝ → ℝ valós függvény, I=[a,b] zárt intervallum, f∈C⁰(I) az I-n folytonos függvény. Ekkor az f(x) függvény az I zárt intervallumban egyenletesen folytonos. Ha viszont I egy nem zárt intervallum, akkor már létezik olyan f∈C⁰(I) függvény, amely I-n nem egyenletesen folytonos. Ilyen függvény például f(x)=1/x az I=(0,1) nyílt intervallumon.