7.1. Kijelentéslogika; logikai azonosságok

A kijelentéslogika esetében nem foglalkozunk a kijelentések "belső szerkezetével" (Szendrei-Tóth 1978: 14).

Kijelentésváltozót kapunk például akkor, ha egy P(x) formulát (vagy nyitott mondatot) helyettesítünk a p ⇋ P(x) kijelentésváltozóval. (Ez tulajdonképpen megfelel annak, hogy a P(x):I→{0,1} formulát az I alaphalmaz egy tetszőleges x∈I eleme mellett vizsgáljuk.)

A továbbiakban

Azt az állítást, hogy "egy 'p' kijelentés igaz", a szabvány-igaz állítás felhasználásával p≡⊤ módon, azt pedig, hogy mindig igaz (azaz az adott tárgyalási univerzumban |p|=1 teljesül, vagyis 'p' logikai törvény), |p≡⊤|=1 módon írhatjuk le. Ez utóbbit a továbbiakban p = ⊤ módon jelöljük. (Ezzel azt fejezzük ki, hogy "p ekvivalens a szabvány igaz állítással". Egy másik lehetőség az ekvivalencia kifejezésére a p ~⊤ jelölés. Később a logikai törvény jelölésére bevezetjük a ⊨ p jelölést is.)

Például formalizáljuk az alábbi kijelentést: "Az az állítás, hogy 'ha a fű piros, akkor zöld', igaz." Legyen

Ezekkel a jelölésekkel a kijelentés
p⊃q≡.⊤
módon formalizálható. Vizsgáljuk meg a kijelentést értéktáblázattal:

p q p⊃q ⊤ (p⊃q)≡.⊤
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1

Mivel 'p' hamis állítás, ezért |p|=0. Az értéktáblázatban kiemeltük azokat a sorokat, amelyekben 'p' értéke 0. A kiemelt sorokban a vizsgált p⊃q≡.⊤ logikai kifejezés értéke 1 (függetlenül a 'q' állítás igazságtartalmától), vagyis a kijelentés igaz. Általánosan megfogalmazva: egy implikáció mindig igaz, ha az előfeltétel (előtag) hamis.⇒

Ezután formalizáljuk az alábbi kijelentést egy zöld, füves réten: "Az az állítás, hogy 'ha a fű nedves, akkor zöld', igaz." Legyen

Ezekkel a jelölésekkel a kijelentés
p⊃q≡.⊤
módon formalizálható. Vizsgáljuk meg ezt a kijelentést is értéktáblázattal:

p q p⊃q ⊤ (p⊃q)≡.⊤
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1

Mivel 'q' igaz állítás, ezért |q|=1. Az értéktáblázatban most azokat a sorokat emeltük ki, amelyekben 'q' értéke 1. A kiemelt sorokban sorokban a vizsgált p⊃q≡.⊤ logikai kifejezés értéke 1 (függetlenül a 'p' állítás igazságtartalmától), vagyis a kijelentés igaz. Általánosan megfogalmazva: egy implikáció mindig igaz, ha a következmény (utótag) igaz.⇒

Ha két logikai kifejezés logikai értéke a kifejezésekben szereplő kijelentésváltozók minden lehetséges értékére azonos, akkor a logikai kifejezések ekvivalensek. (Ennek megfelelően, ha 'A' és 'B' ekvivalens logikai kifejezések, akkor 'A' és 'B' minden lehetséges logikai értéke esetén |A≡B|=1 teljesül. Az alábbiakban ezt A = B módon jelöljük.)

A logikai műveletek tulajdonságai alapján meg tudunk adni olyan logikai azonosságokat, amelyek ekvivalens logikai kifejezéseket adnak meg.

Legyenek A, B, C, ... tetszőleges kijelentésváltozók. A legfontosabb logikai azonosságok a következők (vö. Kopasz 1996: 12-17):

  • kettős tagadás: ⌝(⌝A) = A
  • a konjunkció idempotenciája: A∧A = A
  • a konjunkció kommutativitása: A∧B = B∧A
  • a konjunkció asszociativitása: (A∧B)∧C = A∧(B∧C)
  • konjunkció szabványkijelentésekkel:
    • A∧⊤ = A ("szorzás 1-gyel" vagy "teljes halmaz metszete A-val")
    • A∧⊥ = ⊥ ("szorzás 0-val" vagy "üres halmaz metszete A-val")
  • a diszjunkció idempotenciája: A∨A = A
  • a diszjunkció kommutativitása: A∨B = B∨A
  • a diszjunkció asszociativitása: (A∨B)∨C = A∨(B∨C)
  • diszjunkció szabványkijelentésekkel:
    • A∨⊤ = ⊤ ("teljes halmaz uniója A-val")
    • A∨⊥ = A ("0 hozzáadása" vagy "üres halmaz uniója A-val")
  • disztributivitás:
    • A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)
      • (A∨B)∧(C∨D)  =  (A∧C)∨(A∧D)∨(B∧C)∨(B∧D)
      • (A∨B)∧(C∨D)∧(E∨F)  =  (A∧C∧E)∨(A∧D∧E)∨ (A∧C∧F)∨(A∧D∧F)∨ (B∧C∧E)∨(B∧D∧E)∨ (B∧C∧F)∨(B∧D∧F)
      • A∨(B∧C)  =  (A∨B)∧(A∨C)  =  (A∧A)∨(A∧C)∨(B∧A)∨(B∧C)
    • A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)
      • (A∧B)∨(C∧D)  =  (A∨C)∧(A∨D)∧(B∨C)∧(B∨D)
      • (A∧B)∨(C∧D)∨(E∧F)  =  (A∨C∨E)∧(A∨D∨E)∧ (A∨C∨F)∧(A∨D∨F)∧ (B∨C∨E)∧(B∨D∨E)∧ (B∨C∨F)∧(B∨D∨F)
      • A∧(B∨C)  =  (A∧B)∨(A∧C)  =  (A∨A)∧(A∨C)∧(B∨A)∧(B∨C)
  • abszorpció (elnyelés; elimináció):
    • A∧(A∨B) = A
    • A∨(A∧B) = A
  • de Morgan-féle azonosságok:
    • ⌝(A∧B) = ⌝A∨⌝B
    • ⌝(A∨B) = ⌝A∧⌝B
  • felbontás:
    • A = (A∧B)∨(A∧⌝B)

Ide sorolhatjuk a két alapvető logikai alapelvet kifejező összefüggéseket is:

  • az ellentmondás törvénye:⇒
    • (A∧⌝A)  =  ⊥
  • a kizárt harmadik törvénye:⇒
    • (A∨⌝A)  =  ⊤

A fenti azonosságok a három alapvető logikai művelet, a negáció, konjunkció és diszjunkció legfontosabb tulajdonságait írják le.

Az alábbi azonosságok segítségével a kizáró vagy, az implikáció és az ekvivalencia kifejezhető a negáció, konjunkció és diszjunkció segítségével (érdemes megjegyezni, hogy az ekvivalencia kifejezhető az implikáció és a konjunkció segítségével is):

  • a kizáró vagy kifejezése:
    • A⨁B = (A∨B)∧⌝(A∧B)
    • A⨁B = (A∧⌝B)∨(B∧⌝A)
  • az implikáció kifejezése:
    • A⊃B = ⌝A∨B
      • A⊃B = ⌝B⊃⌝A (a kontrapozíció törvénye)
    • A⊃B = (A∧B)∨(⌝A∧B)∨(⌝A∧⌝B)
  • az implikáció helyettesítése:
    • A⊃(B⊃C) = (A∧B)⊃C
  • az ekvivalencia kifejezése:
    • A≡B = (A∧B)∨(⌝A∧⌝B)
    • A≡B = (A⊃B)∧(B⊃A)
    • A≡B = ⌝(A⨁B)

Jegyezzük meg, hogy a fenti logikai azonosságokban használt "kiemelt" egyenlőségjel ( = ) az általa összekapcsolt logikai kifejezések ekvivalenciáját fejezi ki. (A logikai azonosságokban vagy "logikai egyenletekben" (vö. Kopasz 1996: 15) az egyenlőségjel bal- és jobboldalán szereplő logikai kifejezések a bennük szereplő kijelentésváltozók minden lehetséges értéke mellett azonos logikai értéket adnak. A logikai kifejezések ekvivalenciájának jelölésére szokásosabb az A~B jelölés, de az ekvivalenciát logikai törvényként felírva ugyanezt fejezi ki a ⊨ A≡B jelölés is.)

A logikai azonosságok igazságtáblázattal könnyen igazolhatóak.

Például igazoljuk az abszorpciót, azaz a
A∧(A∨B) = A
azonosságot egy igazságtáblázattal. A táblázat fehérrel kiemelt oszlopai az azonosság bal- és jobboldalán szereplő logikai kifejezések logikai értékét tartalmazzák.

A táblázatból leolvasható, hogy az abszorpciót kifejező azonosság bal- és jobboldalán szereplő logikai kifejezések értékei az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értéke mellett megegyeznek, vagyis az azonosság teljesül. Vegyük észre, hogy ez megfelel annak, hogy az A∧(A∨B) ≡. A ekvivalencia, illetve az A∧(A∨B)⊃A ∧. A⊃A∧(A∨B) logikai kifejezés az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz (vagyis logikai törvény⇒).

A logikai azonosságokat átalakíthatjuk úgy, hogy eredményül érvényes logikai azonosságokat kapunk:

7.2. Logikai következmény, logikai következtetések

Legyenek P1, P2, ..., Pn és Q tetszőleges formulák.

A P1, P2, ..., Pn formuláknak a Q formula a következménye, ha minden olyan esetben, amikor a P1, P2, ..., Pn formulák igazak, akkor a Q formula is igaz (vö. Kopasz 1996: 18).

A köznyelvben szokásos elnevezés szerint: ha a Q formula a következménye a P1, P2, ..., Pn formuláknak, akkor azt mondjuk, hogy a P1, P2, ..., Pn premisszák és a Q konklúzió ok-okozati kapcsolatban állnak.

Következtetésről beszélünk, ha adott premisszák teljesülése mellett megállapítjuk egy adott konklúzió teljesülését (azaz igazoljuk, hogy a konklúzió a premisszák következménye).

A következtetések tipikus formája a "ha a premisszák teljesülnek, akkor a konklúzió is teljesül", vagy rövidebben "a premisszákból következik a konklúzió" megfogalmazás. A fenti jelölésekkel ez
    "ha P1, P2, ..., Pn mindegyike teljesül, akkor Q teljesül", vagy
    "P1, P2, ..., Pn teljesüléséből következik Q teljesülése"
módon fogalmazható meg.

Azt, hogy a P1, P2, ..., Pn premisszák következménye a Q konklúzió,
P1, P2, ..., Pn ⊨ Q
módon jelöljük. Szokásos a

P1, P2, ..., Pn
Q

vagy

P1
P2
...
Pn
Q

jelölés is.

A következtetések általános formulája (vagy sémája) logikai műveletekkel kifejezve a következő:

A P1, P2, ..., Pn premisszáknak a Q konklúzió akkor és csak akkor következménye, ha a
P1∧P2∧...∧Pn ⊃ Q
általános formula minden esetben teljesül.

A logikai következtetések szoros kapcsolatban állnak a logikai törvény fogalmával.

Ha egy adott formula teljesül
– a benne szereplő individuumváltozók minden lehetséges értékére,
– a formula értelmezésére használt tárgyalási univerzum összes lehetséges alaphalmaza esetén,
akkor logikai törvényről beszélünk. A logikai törvényeket a ⊨ jellel jelöljük.

Ha egy logikai kifejezés csak kijelentésváltozókat tartalmaz, és a logikai kifejezés a benne szereplő kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz értéket ad, akkor a logikai kifejezés tautológia.
– Egy tautológia minden tárgyalási univerzumban logikai törvény.
– Minden korábban tanult logikai azonosság⇒ tautológia, amely felírható logikai törvény formájában.

Például tekintsük egy olyan formulát az iskola univerzumban, amelyben minden individuumváltozó alaphalmaza egy adott osztály tanulóinak halmaza. Ez a formula az iskola univerzumban akkor és csak akkor logikai törvény, ha az univerzumban minden iskola minden osztályának minden tanulójára igaz.

Az iskola univerzumban számos iskola lehetséges, amelyek mindegyike különböző osztályokból áll. Egy adott iskola az iskola univerzum egy lehetséges interpretációja. Ebben az értelemben egy formula logikai törvény egy adott tárgyalási univerzumban, ha a formula az univerzum minden interpretációjában, a formulában szereplő individuumváltozók minden lehetséges értéke (azaz a formula minden értékelése) mellett igaz (vö. Dragálin - Buzási 1986: 78).

Ha egy formula előállítható adott számú kijelentésváltozó összetett logikai kifejezéseként (vagyis az ∧, ∨, ⌝, ⊃, ≡ stb. logikai műveletek segítségével), és teljesül, hogy a kijelentésváltozók minden lehetséges értékére a formula igaz, akkor a formula olyan, általános logikai törvény, amely bármilyen tárgyalási univerzumban teljesül (ún. propozicionális tautológia, vö. Dragálin-Buzási 1986: 81-83).

Például a "ha egy tanuló kitűnő, akkor kiváló matematikából" az iskola univerzumban logikai törvény, feltéve, hogy a "kitűnő" 5.0 átlagot, a "kiváló" pedig egy adott tárgyból jeles (pl. matematikából 5-ös) eredményt jelent. Ha bevezetjük a P(x) ⇋ "az 'x' tanuló kitűnő" és Q(x) ⇋ "az 'x' tanuló kiváló matematikából" formulákat, és ezeket a p ⇋ P(x) és q ⇋ Q(x) kijelentésváltozókkal jelöljük, akkor a fenti állítás p⊃q módon formalizálható. Mivel ez az iskola univerzumban minden osztályra igaz, ezért
    ⊨ p⊃q
teljesül. Azonban ez nyilvánvalóan nem tautológia, mivel pl. |p|=1 és |q|=0 esetén p⊃q hamis.
Ezzel szemben például a modus ponens következtetési sémának megfelelő
    p∧(p⊃q)⊃.q
összetett logikai kifejezés tautológia, mivel könnyen (ti. egy négy soros igazságtáblázattal) ellenőrizhető, hogy a 'p' és 'q' kijelentésváltozók bármely értékére igaz. Tehát a kifejezés az iskola univerzumban is logikai törvény, amit ⊨ p∧(p⊃q)⊃.q módon fejezhetünk ki. Ezt a 'p' és 'q' kijelentésváltozók fenti értelmezése mellett a következőképpen olvashatjuk: "ha egy 'x' tanuló kitűnő (p) és minden tanulóra igaz, hogy a kitűnő tanulók (p) jegye jeles matematikából (q), akkor az 'x' tanuló jeles matematikából (q)".

A logikai következtetésre vonatkozó általános formulában a "minden esetben teljesül" megfelel annak, hogy a P1∧P2∧...∧Pn ⊃ Q formula logikai törvény. Ezt
⊨ P1∧P2∧...∧Pn ⊃ Q
módon jelöljük.

A mindennapi életben nagyon (és a matematikai bizonyítások során különösen) fontosak azok az esetek, amikor a P1, P2, ..., Pn ill. Q állítások helyébe konkrét logikai kifejezéseket helyettesítve logikai törvényekhez jutunk. Ezeket a logikai kifejezéseket, amelyek tehát megfelelnek a következtetés általános formulájának, következtetési sémáknak vagy következtetési szabályoknak nevezzük.

(1) A korábban tanult logikai azonosságok⇒ tautológiák, amelyek felírhatók olyan logikai törvények formájában, amelyek két formula ekvivalenciáját fejezik ki. Például az abszorpció azonossága
    A∧(A∨B) = A
felírható
    ⊨ A∧(A∨B) ≡. A
formában is. Szokásos még a
    A∧(A∨B) ~ A
jelölés is, és (kétirányú) következtetésekben használhatjuk a
    A∧(A∨B) ⇔ A
írásmódot is, amelyet "akkor és csak akkor igaz", ill. "pontosan akkor teljesül" módon olvashatunk.

(2) Korábban láttuk, hogy az ekvivalencia mint logikai művelet kifejezhető két implikáció konjunkciójaként.⇒ Ennek megfelelően ha két formula ekvivalens, akkor ennek segítségével mindig felírható két érvényes következtetési séma. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a logikai azonosságok kétirányú következtetési sémák.

A későbbiekben tárgyalt következtetési sémák⇒ szintén logikai törvények (amelyek két formula implikatív, "ha ... akkor ..." típusú kapcsolatát fejezik ki). Például a modus ponens séma
    A, (A⊃B) ⊨ B, ill.
    A∧(A⊃B) ⊨ B
felírható
    ⊨ A∧(A⊃B)⊃.B
formában logikai törvényként. Következtetésekben a ⊨ helyett használhatjuk a ⇒ jelet és ezzel az
    A∧(A⊃B) ⇒ B
írásmódot is, amelyet például "... ból/ből következik, hogy ..." módon olvashatunk.

Ezekkel a jelölésekkel az (1) pontban szereplő abszorpciós azonosságból kapható két következtetési séma például
    A∧(A∨B) ⊨ A
és
    A ⊨ A∧(A∨B)
módon írható fel. Az első esetben szűkítési (vagy egyszerűsítési) szabályról, a második esetben bővítési szabályról beszélhetünk.

(3) A logikai törvények, ill. tautológiák olyan kifejezések, amelyekben egy adott logikai kifejezés mindig igaz. Ezt logikai azonosságként is kifejezhetjük. Ennek megfelelően a
    ⊨ A
logikai törvény és az
    A = ⊤
logikai azonosság ugyanazt fejezi ki. Másrészről, mivel az implikáció tulajdonságai miatt az A ⊨ ⊤ következtetés mindig teljesül (ez az ún. igaz következmény törvénye), az A = ⊤ logikai azonosság formálisan ekvivalens a
    ⊤ ⊨ A
következtetéssel.

(4) Mivel az A ⊨ ⊤ következtetés mindig teljesül,⇒ ha egy levezetés során a "szabvány-igaz" (⊤) állításhoz jutunk el, akkor a konklúzió nem ad számunkra semmilyen használható információt (ugyanis az 'A' esemény egyaránt lehet igaz vagy hamis). Ilyen következtetéshez bármely premisszából kiindulva könnyen eljuthatunk, például ha a bővítés szabályát⇒ alkalmazzuk (ennek alapján tetszőleges 'A' állításra A ⊨ A∨⌝A teljesül).

Például induljunk ki az
    P(A,B,C) ⇋ A∨B, B⊃C, C⊃⌝A
premisszákból. Mivel
    B⊃C, C⊃⌝A ⊨ B⊃⌝A
továbbá
    A∨B, B⊃⌝A ⊨ A∨⌝A
teljesül. A levezetés által szolgáltatott Q=(A∨⌝A) konklúzió Arisztotelész második törvénye (a harmadik kizárásának logikai elve) miatt a "szabvány-igaz" (⊤) állítást adja. Azonban más levezetések is lehetségesek.

Kis számolással ellenőrizhető, hogy
    P(A,B,C) ⇋ (⌝A∧B∧C) ∨ (A∧⌝B∧⌝C)
fennáll. Emiatt például a
    P(A,B,C) ⊨ A∨B
    P(A,B,C) ⊨ A∨C
    P(A,B,C) ⊨ ⌝A∨⌝B
    P(A,B,C) ⊨ ⌝A∨⌝C
    P(A,B,C) ⊨ B∨⌝C
    P(A,B,C) ⊨ ⌝B∨C
következtetések mindegyike teljesül, és ezek a következtetések már nem annyira nyilvánvalóak.

A helyes logikai következtetések során két fontos szabályt kell betartanunk: a következtetések egyrészt érvényesek, másrészt pedig értelmesek kell, hogy legyenek.

Ha a sémák leírásakor individuumváltozókat tartalmazó formulákat használunk (pl. P(x,y) alakban), akkor egyes állítások, ill. az állításokban egyes változók többször is előfordulhatnak. A sémákban szereplő két állítást akkor tekintünk azonosnak, ha az állításokat (predikátumokat) azonosító betűk, valamint az állításokban az egyes változókat azonosító betűk páronként megegyeznek.

A következtetések helyességének igazolásakor a konklúzió logikai értékét kell megvizsgálnunk minden olyan esetben, amikor a premisszák igazak. Ezt például a következőképpen tehetjük meg:

Egy másik lehetőség a P1, P2, ..., Pn ⊨ Q következtetés helyességének igazolására az, hogy megpróbáljuk a logikai műveletekre vonatkozó azonosságok alapján a P1∧P2∧ ... ∧Pn⊃.Q összetett logikai kifejezést az adott premisszák mellett levezetni.

Legyen például

P1=A∨⌝B
P2=⌝A⊃B
Q=A

Vizsgáljuk meg a P1, P2 ⊨ Q, azaz az ⊨ (A∨⌝B)∧(⌝A⊃B)⊃.A következtetés helyességét az alábbi értéktáblázat alapján (vö. Kopasz 1996: 18):

A B ⌝B A∨⌝B
(P1) 		⌝A ⌝A⊃B
(P2) 		P1∧P2 A
(Q) 		P1∧P2⊃Q
0 0 1 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 1 1 1 (értelmes)
1 1 0 1 0 1 1 1 1
(érvényes)

Az értéktáblázatból látszik, hogy P1, P2 ⊨ Q teljesül.

Vegyük észre, hogy a táblázat utolsó oszlopában ábrázolt P1∧P2⊃Q logikai kifejezés az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz.

A fenti formális következtetés például megfeleltethető az alábbi példának:

P1 ⇋ "Az ég borús vagy nem süt a nap."
P2 ⇋ "Ha az ég nem borús, akkor süt a nap."
Q ⇋ "Az ég borús."

Megjegyzések:
– "Az ég borús vagy nem süt a nap." (P1) logikailag azt fejezi ki, hogy vagy az ég borús, vagy a nap nem süt (vagy esetleg mindkettő teljesül). Ha azonban az ég nem borús, akkor P1 csak akkor lehet igaz, ha nem süt a nap (például egy bárányfelhő eltakarja).
– A köznapi beszédben ritkán használunk P1-hez hasonló kijelentéseket. A "vagy" logikai művelet sok esetben akkor fordul elő, ha több, egymástól különböző esetet adunk meg egy kijelentéssel. Például, ha bevezetjük a
    P0 ⇋ "Rossz előérzetem van."
kijelentést és feltételezzük, hogy a P0 és P1 kijelentések ekvivalensek (azaz ha az ég borús vagy nem süt a nap, akkor rossz előérzetem van, ill. ha rossz előérzetem van, akkor az ég borús vagy nem süt a nap), a fenti következtetés ekvivalens a
    P0, P1 ⊨ Q
következtetéssel.
– P2 semmit sem mond arról, hogy ha az ég borús, akkor ennek milyen következménye van (a napsütésre nézve), vagyis a konklúzió (Q) fennállása mellett mindkét premissza igaz. (Formálisan: ha Q igaz, akkor a P2 által kifejezett implikáció előfeltétele hamis, tehát P2 igaz.)
– Ha viszont az ég nem borús (azaz ⌝Q igaz), akkor P2-ből az következik, hogy süt a nap. Fentebb azonban láttuk, hogy ez ellentmondásban van azzal, hogy P1 igaz, tehát ⌝Q nem lehet a következtetés konklúziója.

A fenti következtetés formálisan is igazolható:

P1∧P2 ~
(A∨⌝B)∧(⌝A⊃B) ~
(A∨⌝B)∧(⌝⌝A∨B) ~
(A∨⌝B)∧(A∨B) ~
A∨(⌝B∧B) ~
A∨⊥ ~
A

Vagyis P1∧P2⊃A, következésképpen P1∧P2⊨A teljesül.

7.3. Összetett érvelések, levezetések (kiegészítő anyag)

Mind a mindennapi következtetések esetében ("józan ésszel" gondolkodva), mind a tudományos gondolatmenetek során meghatározott következtetési sémákat⇒ használunk.

Az egyik legalapvetőbb következtetési séma a modus ponens,⇒ amelynek formális leírása a következő:
A , ( A ⊃ B ) ⊨ B
Ez a séma kifejezi, hogy ha az 'A' állítás igaz, és az 'A' állításból következik a 'B' állítás, akkor a 'B' állítás igaz.

Például az alábbi következtetés a modus ponens következtetési logikáját követi:

Ha "Az ég nem borús.", és elfogadjuk, hogy "Ha az ég nem borús, akkor süt a nap.", akkor "Süt a nap.".

A következtetési sémák olyan összetett logikai kifejezések, amelyek

A következtetési sémák implikációt tartalmazó logikai törvények.

Egyes gyakran használt következtetési sémák két premisszát tartalmaznak, tehát
P1, P2 ⊨ Q
alakúak. Ezek a következtetési sémák az ún. szillogizmusok.

A fent megadott modus ponens séma szillogizmus, amelyben a premisszák P1 ⇋ A és P2 ⇋ (A⊃B), a konklúzió pedig Q ⇋ B.

Egy adott következtetési sémából és a korábban megismert logikai azonosságokból⇒ további érvényes sémákat kaphatunk a helyettesítés elvének és a pótlás elvének⇒ a felhasználásával. Emellett a logikai azonosságok "kétirányú" következtetési szabályok, vagyis belőlük további következtetési sémák kaphatók.

Például az A∧⊤ = A azonosságból megkaphatjuk az A∧⊤ ⊨ A (következtetésekben egy mindig igaz állítás elhagyható egy konjunktív kifejezésből) és az A ⊨ A∧⊤ (következtetésekben egy mindig igaz állítás konjunktív tényezőként hozzávehető egy állításhoz) következtetési sémákat.

Egy következtetés akkor és csak akkor érvényes, ha érvényes következtetési séma behelyettesítésével és/vagy pótlásával keletkezett. (vö. Margitay 2014: 134)

Példaként bizonyítsuk be a korábban vizsgált⇒

P1=A∨⌝B
P2=⌝A⊃B
Q=A

következtetés érvényességét. A következtetések általános formulájának megfelelően azt kell igazolnunk, hogy az
(A∨⌝B)∧(⌝A⊃B)⊃.A
formula az 'A' és 'B' kijelentésváltozók minden lehetséges értékére igaz.

A logikai azonosságokat felhasználva a kiinduló formulát alakítsuk át úgy, hogy minden lépésben egymással logikailag ekvivalens kifejezésekhez jussunk:
(A∨⌝B)∧(⌝A⊃B)⊃.A = 
(A∨⌝B)∧(A∨B)⊃.A = 
A∨(⌝B∧B)⊃.A = 
A∨∅⊃.A = 
A⊃A
adódik. Ez az implikáció tulajdonságai⇒ miatt mindig igaz, mivel az ok (ill. előfeltétel, előtag) és okozat (ill. következmény, utótag) azonossága miatt az A⊃A formulában nem fordulhat elő a 0⊃1 helyettesítés. (Jegyezzük meg, hogy az azonosság törvénye⇒ éppen az A⊃A levezetési szabály érvényességét mondja ki.)

Egy adott következtetési sémában egy adott tárgyalási univerzumban
– a premisszák (P1,P2,...) és a konklúzió (Q) helyén meghatározott formulák szerepelnek, és
– ezeket csak abban az esetben vizsgáljuk, amikor a premisszák teljesülnek ("igazak"). Ekkor
– az adott következtetési séma érvényességéből következik, hogy a konklúzió is igaz lesz. Ebben az értelemben beszélünk a következtetési sémák értelmességéről.

Nagyon fontos annak a tudatosítása, hogy egy következtetés érvényessége az alapfeltétele az értelmes kommunikációnak, de egy logikailag helyes ("logikus") következtetés nem jelenti automatikusan azt, hogy értelmes dolgot ("igazat") mondunk. Ehhez a következtetésekben használt premisszáknak is igazaknak kell lenniük.

Egy következtetési sémában szereplő konklúzió mindig az illető sémában szereplő premisszák következménye (ti. egy következtetési séma implikációt tartalmazó logikai törvény). A következtetési sémák alkalmazásával a konklúzió (pl. egy bizonyítandó formula) igazságértékének vizsgálatát "visszavezethetjük" a premisszák igazságértékének vizsgálatára.

Ezek után próbáljuk meghatározni, hogy egy összetett érvelés (pl. matematikai bizonyítás, levezetés) milyen általános formát követ.

Ha az A1, A2, ..., Ak premisszáknak következménye a P1, P2, ..., Pn konklúzió, azaz
A1, A2, ..., Ak ⊨ P1
A1, A2, ..., Ak ⊨ P2
...
A1, A2, ..., Ak ⊨ Pn
teljesül, és
a P1, P2, ..., Pn premisszáknak szintén következménye a Q konklúzió, azaz
P1, P2, ..., Pn ⊨ Q
teljesül, akkor
A1, A2, ..., Ak ⊨ Q
is teljesül,
vagyis az A1, A2, ..., Ak premisszáknak is következménye lesz a Q konklúzió (vö. Szendrei-Tóth 1978: 52).

Ha k=1 és n=1, akkor a fenti formula az
A⊨P, P⊨Q ⊨ A⊨Q
alakra egyszerűsödik.

A fenti szabály az alábbi formában is érvényes.
Legyen a feladat egy Q konklúzió levezetése az Ai (i=1,2,...,k) premisszákból. Ha a levezetés során azt kapjuk, hogy az A1, A2, ..., Ak premisszáknak következményei a P1, P2, ..., Pn formulák, akkor a levezetés további lépései során a Pj konklúziókat (j=1,2,...,n) mindig hozzávehetjük az Ai (i=1,2,...,k) premisszákhoz (míg végül el nem jutunk a Q formulára vonatkozó következtetéshez).

Például ha a 'Q' formulát akarjuk levezetni az 'A' formulából, és
A ⊨ P
valamint
A, P ⊨ Q
teljesül, akkor ebből
A ⊨ Q
következik, vagyis egy következtetés levonása (ti. egy érvényes következtetési lépés) után a premisszák kibővítésével folytathatjuk a levezetést.
Érdekességként jegyezzük meg, hogy az A, P ⊨ Q formula ekvivalens az A ⊨ P⊃Q formulával. (Ez következik az implikáció helyettesítésére⇒ vonatkozó logikai azonosságból.)

Jegyezzük meg, hogy az előzőek alapján az A1, A2, ..., Ak ⊨ Pi (i=1,2,...,n) és P1, P2, ..., Pn ⊨ Q következtetéseknek meg kell felelniük valamelyik érvényes következtetési sémának (azaz az általuk kifejezett implikáció logikai törvény kell, hogy legyen).

Egy levezetés tehát egy adott tárgyalási univerzumban⇒ a következő elemekből áll:
  – kezdeti premisszákból (amelyek az adott tárgyalási univerzumban értelmezett formulák);
  – a következtetési sémák⇒ többszöri, a fenti általános formának megfelelő alkalmazásából (a sémákban szereplő kijelentésváltozókat az adott tárgyalási univerzumban értelmezett formulákkal helyettesítve⇒);
  – a végső konklúzióból, a bizonyítandó állításból (amely szintén az adott tárgyalási univerzumban értelmezett formula).

A levezetések során azt bizonyítjuk, hogy egy adott tárgyalási univerzumban adott premisszák mellett (a premisszák segítségével megadott állapotban vagy szituációban, azaz adott individuumok adott kapcsolatrendszere mellett) teljesül egy adott állítás.

Példaként próbáljunk meg levezetni egy halmazok közötti összefüggést. Legyen a tárgyalási univerzum az 'I' alaphalmaz (azaz ennek elemei és részhalmazai). Ebben teljesül az alábbi összefüggés:

Ha A⊆B és C⊆D tetszőleges halmazok, akkor A∩C⊆B∪D teljesül.

Ezt az összefüggést a részhalmaz reláció definíciója alapján átfogalmazhatjuk úgy, hogy ha az I alaphalmaz A, B, C, D⊆I részhalmazaira A⊆B és C⊆D teljesül, akkor tetszőleges olyan x∈I elemre, amelyre x∈A∩C teljesül, egyszersmind x∈B∪D is teljesül.

Ha A, B⊆I tetszőleges halmazok, akkor P(x)⇋(x∈A) és Q(x)⇋(x∈B) jelölésekkel a P(x) formula igazsághalmaza (ti. azon x∈I elemek halmaza, amelyre |P(x)|=1 teljesül) az 'A' halmaz lesz, a Q(x) formula igazsághalmaza a 'B' halmaz lesz, és
    P(x) ⊨ Q(x) ⇔ A⊆B
teljesül. (Ebben az értelemben egy következtetés levonása egy általánosabb, ugyanannyi vagy több individuumra vonatkozó állításhoz vezet.)

Emlékeztető:
A részhalmaz reláció (⊆), a metszetképzés (∩) és az unióképzés (∪) meghatározásából következnek az alábbi összefüggések tetszőleges x∈I elemre és A, B, C, D⊆I halmazokra:
  • x∈A ∧ A⊆B ⇒ x∈B
  • x∈C ∧ C⊆D ⇒ x∈D
  • x∈A∩C ⇔ x∈A ∧ x∈C
    • x∈A∩C ⇒ x∈A ∧ x∈C
    • x∈A ∧ x∈C ⇒ x∈A∩C
  • x∈B∪D ⇔ x∈B ∨ x∈D
    • x∈B∪D ⇒ x∈B ∨ x∈D
    • x∈B ∨ x∈D ⇒ x∈B∪D

Vezessük be a következő jelöléseket:
    P1 ⇋ x∈A
    R1 ⇋ x∈B
    P2 ⇋ A⊆B
    P3 ⇋ x∈C
    R3 ⇋ x∈D
    P4 ⇋ C⊆D
    U ⇋ x∈A∩C
    Q ⇋ x∈B∪D
    Q' ⇋ x∈B∩D

Bizonyítandó, hogy az
    U, P2, P4 ⊨ Q
következtetés teljesül.

A bizonyítás lépései:

x∈A∩C ∧ A⊆B ∧ C⊆D
x∈A∩C ⇒ x∈A ∧ x∈C (U ⊨ V)
x∈A ∧ x∈C ⇒ x∈A (V ⊨ P1; ld. a szűkítés szabályát⇒)
x∈A ∧ A⊆B ⇒ x∈B (P1, P2 ⊨ R1)
x∈A ∧ x∈C ⇒ x∈C (V ⊨ P3; ld. a szűkítés szabályát⇒)
x∈C ∧ C⊆D ⇒ x∈D (P3, P4 ⊨ R2)
x∈B ∧ x∈D ⇒ x∈B∩D (R1, R2 ⊨ Q')
x∈B ⇒ x∈B ∨ x∈D (R1 ⊨ S; ld. a bővítés szabályát⇒)
x∈B ∨ x∈D ⇒ x∈B∪D (S ⊨ Q)
x∈B∪D (U, P2 ⊨ Q)

Megjegyzések:
A fenti következtetéshez a P4 premisszán keresztül is eljuthattunk volna, ugyanis teljesen hasonló lépésekkel U, P4 ⊨ Q is levezethető.
Ha egy következtetés igaz, akkor a premisszákat további formulákkal bővítve szintén igaz következtetésekhoz jutunk. Tehát a fentiekből U, P2, P4 ⊨ Q következik.

Ezzel bizonyítottuk, hogy egy tetszőleges x∈A∩C elemre a megadott feltételek (A⊆B és C⊆D) mellett x∈B∪D teljesül. Ez a részhalmaz reláció (⊆) definíciója miatt éppen azt jelenti, hogy A∩C⊆B∪D teljesül, amit bizonyítani akartunk (q.e.d.).

A bizonyítás szürkével jelölt soraiból az is látszik, hogy a megadott feltételek mellett A∩C⊆B∩D is teljesül (vö. U, P2, P4 ⊨ Q').

A korábbi jelölésekkel a halmazokra most bizonyított összefüggések megfelelnek az alábbi összetett következtetéseknek:

(1)     P1⊃R1, P3⊃R3 ⊨ P1∧P3⊃.R1∨R3
Bizonyítás: (1) ekvivalens a
P1⊃R1, P3⊃R3, P1∧P3 ⊨ R1∨R3
következtetéssel;⇒ ezután a levezetés a következő lehet:
P1∧P3 ⊨ P1 (szűkítés szabálya⇒)
P1, P1⊃R1 ⊨ R1 (modus ponens⇒)
R1 ⊨ R1∨R3 (bővítés szabálya⇒)
(q.e.d.)

(2)     P1⊃R1, P3⊃R3 ⊨ P1∧P3⊃.R1∧R3
Bizonyítás: (2) az előző bizonyításhoz hasonlóan ekvivalens a
P1⊃R1, P3⊃R3, P1∧P3 ⊨ R1∧R3
következtetéssel;⇒ ezután a levezetés a következő lehet:
P1∧P3 ⊨ P1 (szűkítés szabálya⇒)
P1, P1⊃R1 ⊨ R1 (modus ponens⇒)
P1∧P3 ⊨ P3 (szűkítés szabálya⇒)
P3, P3⊃R3 ⊨ R3 (modus ponens⇒)
R1, R3 ⊨ R1∧R3 (átírás szabálya⇒)
(q.e.d.)

A következtetési sémák, ill. levezetések helyes használata az alábbiakat eredményezi:

A következtetési sémák használatakor szükségünk van egy tárgyalási univerzumra, amelyben a sémákat alkalmazni tudjuk. Ennek megfelelően a sémákban szereplő kijelentésváltozók helyére olyan állítások kerülnek, amelyek rendszerint egy vagy több individuumváltozót tartalmaznak. Az így kapott összetett formulákban két állítást akkor tekintünk azonosnak, ha predikátumuk megegyezik, és bennük ugyanazok a változók szerepelnek (és egynél több változó esetén ugyanabban a sorrendben).

Tekintsük az alábbi példát a természetes számok halmazán mint tárgyalási univerzumban. Döntsük el (osztás nélkül!), hogy 1971 osztható-e 3-mal? (vö. Borsodi 1972: 309)

Értelmezzük az alábbi formulákat a természetes számok halmaza (ℕ) mint tárgyalási univerzum felett:

  • P1(x) ⇋ "az x∈ℕ természetes szám számjegyeinek összege osztható 3-mal"
  • Q(x) ⇋ "az x∈ℕ természetes szám osztható 3-mal"
  • P2(x) ⇋ P1(x)⊃Q(x)

Az alapvető modus ponens következtetési szabály⇒ alapján a
P1(x), P1(x)⊃Q(x) ⊨ Q(x)
következtetés helyes. Korábbi iskolai tanulmányainkból tudjuk, hogy a P2 ⇋ P1(x)⊃Q(x) állítás minden x∈ℕ természetes számra igaz (azaz a természetes számok tárgyalási univerzumában logikai törvény). Ezért azokra az x∈ℕ természetes számokra, amelyekre P1(x) igaz, a modus ponens szabály alapján Q(x) is igaz lesz.

Megállapíthatjuk tehát, hogy az x=1971 természetes számra

  • P1(1971) igaz (ugyanis 1+9+7+1=18=6*3 osztható 3-mal);
  • emiatt Q(1971) is igaz lesz;
  • tehát arra a következtetésre jutottunk, hogy 1971 osztható 3-mal.

Jegyezzük meg a következőket:

(1) A fenti gondolatmenet során felhasználtuk, hogy P2(x) logikai törvény, és ennek alapján egy adott szám (x0=1971) esetén következtettünk a hárommal való oszthatóságra. A gondolatmenetet általánosan a kategorikus szillogizmus⇒ következtetési szabálya fejezi ki. Eszerint minden olyan számra (x0), amelyre teljesül, hogy a számjegyeinek összege osztható hárommal (|P1(x0)|=1), teljesül, hogy a szám maga is osztható hárommal (|Q1(x0)|=1).

(2) Az alkalmazott következtetési séma (esetünkben a modus ponens) logikai törvény, azaz bármilyen természetes számra igaz, vagyis olyan x'∈ℕ természetes számokra is, amelyre P1(x') nem teljesül. Ekkor ugyanis
    |P1(x')|=0 miatt a következtetés előtagjára
    |P1(x')∧(P1(x')⊃Q(x'))|=0 teljesül, vagyis az implikáció tulajdonságai miatt
    |P1(x')∧(P1(x')⊃Q(x'))⊃.Q(x')|=1 teljesül.
Ebben az esetben azonban általánosan semmilyen következtetést nem tudunk levonni Q(x') igazságértékére vonatkozóan, mivel a hamis előtagból minden állítás és annak az ellenkezője is következik,⇒ vagyis a következtetés |Q(x')|=0 és |Q(x')|=1 teljesülését is megengedi.

(3) Esetünkben nemcsak a P2(x)⇋P1(x)⊃Q(x) implikáció, hanem speciálisan a P1(x)≡Q(x) ekvivalencia is igaz minden természetes számra. (Egy természetes szám akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek az összege osztható 3-mal.) Az ekvivalenciára vonatkozó logikai azonosság⇒ és a szűkítés szabálya miatt érvényes a
    P1(x)≡Q(x) ⊨ Q(x)⊃P1(x)
következtetési séma. A modus tollens szabályt⇒ alkalmazva ebből
    Q(x)⊃P1(x), ⌝P1(x) ⊨ ⌝Q(x)
adódik, vagyis azokra az x'∈ℕ természetes számokra, amelyekre P1(x') nem teljesül, Q(x') sem teljesül.

(→ következő témakörök)

Boda István, 2023.